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[vip专享]2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

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常微分方程 课程实习报告

常微分方程 课程实习报告

福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）课程实习报告课程名称：常微分方程课程实习实习题目：常微分方程数值求解问题的实习姓名：上官火玉系：信息与计算科学专业：信息与计算科学年级：2008学号：081152048指导教师：陈永雪职称：讲师2010 年12 月 1 日福建农林大学计算机与信息学院数学类课程实习报告结果评定目录1. 实习的目的和任务 (1)2. 实习要求 (1)3. 实习地点 (1)4. 主要仪器设备 (1)5. 实习内容 (1)5.1 用不同格式对同一个初值问题的数值求解及其分析 (1)5.1.1求精确解 (1)5.1.2用欧拉法求解 (3)5.1.3用改进欧拉法求解 (5)5.1.4用4级4阶龙格—库塔法求解 (7)5.1.5 问题讨论与分析 (10)5.2 一个算法不同不长求解同一个初值问题及其分析 (12)6. 结束语 (13)参考文献 (13)常微分方程课程实习1.实习的目的和任务目的：通过课程实习能够应用MATLAB软来计算微分方程（组）的数值解；了解常微分方程数值解。

任务：通过具体的问题，利用MATLAB软件来计算问题的结果，分析问题的结论。

2.实习要求能够从案例的自然语言描述中，抽象出其中的数学模型；能够熟练应用所学的数值解计算方法；能够熟练使用MATLAB软件；对常微分方程数值解有所认识，包括对不同算法有所认识和对步长有所认识。

3.实习地点数学实验室4.主要仪器设备计算机、Microsoft Windows XPMatlab 6.55.实习内容5.1 用欧拉方法，改进欧拉方法，4阶龙格—库塔方法分别求下面微分方程的初值dy/dx=y+x+1 y(0)=1 x∈[0，2]5.1.1求精确解首先可以求得其精确解为：y=3*exp(x)-x-25.1.1 程序代码：>> x=0:0.1:2;>> y=3*exp(x)-x-2>> plot(x,y,'b*-');>> Data=[x',y']y =Columns 1 through 91.0000 1.2155 1.4642 1.74962.0755 2.44622.86643.3413 3.8766Columns 10 through 184.47885.1548 5.91256.76047.70798.76569.9451 11.2591 12.7218Columns 19 through 2114.3489 16.1577 18.1672Data =0 1.00000.1000 1.21550.2000 1.46420.3000 1.74960.4000 2.07550.5000 2.44620.6000 2.86640.7000 3.34130.8000 3.87660.9000 4.47881.0000 5.15481.1000 5.91251.2000 6.76041.3000 7.70791.4000 8.76561.5000 9.94511.6000 11.25911.7000 12.72181.8000 14.34891.9000 16.15772.0000 18.1672>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.2 用欧拉法求解程序如下：建立函数文件cwfa1.mfunction [x,y]=cwfa1(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n)); endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa1(fun,[0,2],1,0.1);>> [x,y]>> plot(x,y,'r*-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.20000.2000 1.43000.3000 1.69300.4000 1.99230.5000 2.33150.6000 2.71470.7000 3.14620.8000 3.63080.9000 4.17381.0000 4.78121.1000 5.45941.2000 6.21531.3000 7.05681.4000 7.99251.5000 9.03171.6000 10.18491.7000 11.46341.8000 12.87981.9000 14.44772.0000 16.182500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.3用改进欧拉法求解：程序如下：建立函数文件cwfa2.mfunction [x,y]=cwfa2(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(fun,x(n),y(n));y(n+1)=y(n)+h*k1;k2=feval(fun,x(n+1),y(n+1));y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2;endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa2(fun,[0,2],1,0.1); >> [x,y]>> plot(x,y,'r+-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.21500.2000 1.46310.3000 1.74770.4000 2.07270.5000 2.44230.6000 2.86130.7000 3.33470.8000 3.86840.9000 4.46851.0000 5.14221.1000 5.89721.2000 6.74191.3000 7.68581.4000 8.73931.5000 9.91391.6000 11.22241.7000 12.67871.8000 14.29851.9000 16.09882.0000 18.0987>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.4 用4阶龙格—库塔求解程序如下：建立函数文件cwfa3.mfunction [x,y]=cwfa3(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(fun,x(n),y(n));k2=feval(fun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k1);k3=feval(fun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k2);k4=feval(fun,x(n+1),y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>> clear all;>> fun=inline(' y+x+1');>> [x,y]=cwfa3(fun,[0,2],1,0.1); >> [x,y]>> plot(x,y, 'b+-')结果及其图象：ans =0 1.00000.1000 1.21550.2000 1.46420.3000 1.74960.4000 2.07550.5000 2.44620.6000 2.86640.7000 3.34130.8000 3.87660.9000 4.47881.0000 5.15481.1000 5.91251.2000 6.76031.3000 7.70791.4000 8.76561.5000 9.94511.6000 11.25911.7000 12.72181.8000 14.34891.9000 16.15772.0000 18.1671>>00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825.1.5 问题讨论与分析由以上数值分析结果绘制表格：x=0:0.1:2;y1 = [1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7604 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1672];>> y1=[1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7604 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1672];>> y2=[1.0000 1.2000 1.4300 1.6930 1.9923 2.3315 2.7147 3.1462 3.6308 4.1738 4.7812 5.4594 6.2153 7.0568 7.9925 9.0317 10.1849 11.4634 12.8798 14.4477 16.1825];>> y3=[1.0000 1.2150 1.2192 1.4631 1.7477 2.0727 2.4423 2.8613 3.8684 4.4685 5.1422 5.8972 6.7419 7.6858 8.7393 9.9139 11.2224 12.6787 14.2985 16.0988 18.0987];>> y4=[1.0000 1.2155 1.4642 1.7496 2.0755 2.4462 2.8664 3.3413 3.8766 4.4788 5.1548 5.9125 6.7603 7.7079 8.7656 9.9451 11.2591 12.7218 14.3489 16.1577 18.1671 ];>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y2,'b-')>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y3,'b-')>> plot(x,y1,'r+-')>> hold on,plot(x,y4,'b-')00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.8200.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.8200.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82由上表和图可以看出欧拉法误差最大，而改进欧拉和龙格—库塔方法误差相对较小，并且龙格—库塔方法误差最小且大部分值都跟精确值相同。

常微分方程数值解实验

常微分方程数值解实验
X=dsolve(‘f1’,’f2’,…) 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求 出通解，如果有初始条件，则求出特解。
有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无 法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程 数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般 格式为：
Image
Image
如果微 分方程 由一个 或多个 高阶常微分方程给出，要得到该方程的数值解,可以将方程转换成一阶 常微分方程组。假设高阶常微分方程的一般形式为y( n) = f ( t, y, yʹ, ⋯,y( n - 1) )，而且函数y(t)的各阶导数初值为y(0)，yʹ(0) ,…, y( n - 1) (0)可以选 择一组变量令: x1= y, x2 = yʹ,…, xn = y( n - 1) ,我们就可以把原高阶常微 分方程转换成下面的一阶常微分方程组形式： 而且初值x1(0)=y(0),x2(0)=yʹ(0),…，xn(0)=(0)。 转换以后就可以求原 高阶常微分方程的数值解了。 例2 求微分方程，,的数值解。 对方程进行变换,选择变量 (1) 建立自定义函数 用edit命令建立自定义函数名为f.m,内容为: function y =f(t,x) y=[x(2);x(3);-t^2*x(2)*x(1)^2-t*x(1)*x(3)+exp(t*x(1))]; (2)调用对微分方程数值解ode45函数求解 用edit命令建立一个命令文件f2. m,内容为: >>x0=[2;0;0]; >>[t,y] =ode45(’f’,[0,10],x0);plot(t,y); >>figure; >>plot3(y(:,1),y(:,2), y(:,3))得

常微分方程的数值解法实验报告

常微分方程的数值解法实验报告

常微分方程的数值解法专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：120108010002 一、实验目的1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。

二、实验题目1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；2、试分别取不同步长，考察某节点j x处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。

三、实验原理与理论基础（一） 欧拉法算法设计对常微分方程初始问题(6-1)(6-2)用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从(6-2)式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =。

设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(6-3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为)(1x y 的近似值。

利用1y 及f (x 1, y 1)又可以算出)(2x y 的近似值：),(1112y x hf y y +=一般地，在任意点()h n x n 11+=+处)(x y 的近似值由下式给出),(1n n n n y x hf y y +=+(6-4)这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。

⎪⎩⎪⎨⎧==)( ),(d d 00y x y y x f x y（二）四阶龙格-库塔法算法设计：欧拉公式可以改写为：()111,i i i i y y k k hf x y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，它每一步计算(),f x y 的值一次，截断误差为()2o h 。

改进的欧拉公式可以改写为：()()()11212112,,i i i i i i y y k k k hf x y k hf x h y k +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它每一步要计算(),f x y 的值两次，截断误差为()3o h 。

实验报告——常微分方程的数值解法

实验报告——常微分方程的数值解法

实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。

【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。

【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。

下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。

常微分方程数值解实验

常微分方程数值解实验
刚性
多步法，Gear’s反向
数值积分，精度中等
若ode45失效时，
可尝试使用
ode23s
刚性
一步法，2阶Rosebrock算法，
低精度。
当精度较低时，
计算时间比ode15s短
odefx为显式常微分方程 中的 ，t为求解区间，要获得问题在其他指定点 上的解，则令t=[t0,t1,t2,…]（要求 单调），y0初始条件。
MATLAB 中有几个专门用于求解常微分方程的函数,它们的设计思想基于Runge-Kutta方法,基本设计思想为：从改进的欧拉方法比欧拉方法精度高的缘由着手,如果在区间[ x1, xi+1]多取几个点的斜率值,然后求取平均值,则可以构造出精度更高的计算方法。 这些函数主要包括：ode45、ode23、ode15s、ode113、ode23s、ode23t、ode23tb. 其中最常用的是函数ode45,该函数采用变步长四阶五阶Runge-Kutta法求数值解,并采用自适应变步长的求解方法。ode23采用二阶三阶Runge-Kutta法求数值解,与ode45类似,只是精度低一些。ode15s用来求刚性方程组。
43
4月22日
588
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28
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4月23日
693
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35
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863
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4月25日
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954
42
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988
1093
48
76
4月27日
1114
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4月28日
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4月29日

常微分方程实验报告

常微分方程实验报告

常微分方程实验报告《常微分方程》综合性实验实验报告实验班级05应数（3）学生姓名江晓荣学生学号200530770314指导老师方平华南农业大学理学院应用数学系实验微分方程在数学建模中的应用及数值解的求法一、实验目的1．了解常微分方程的基本概念。

2．常微分方程的解了解析解和数值解。

3．学习、掌握MA TLAB 软件有关求解常微分方程的解析解和数值解的有关命令。

4. 掌握微分方程在数学建模中的应用。

二、实验内容1．用MA TLAB 函数dsolve 符号求解常微分方程的通解和特解。

2．用MA TLAB 软件数值求解常微分方程。

三、实验准备1．用MA TLAB 求常微分方程的解析解的命令用MA TLAB 函数dsolve 求常微分方程()(,,,,,,)0n F x y y y y y ''''''= （7.1）的通解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'var')其中输入的量eqn 是改用符号方程表示的常微分方程(,,,2,)0F x y Dy D y Dny = ，导数用D 表示，2阶导数用D2表示，以此类推。

var 表示自变量，默认的自变量为t 。

输出量S 是常微分方程的解析通解。

如果给定常微分方程（7.1）的初始条件()00010(),(),,()n n y x a y x a y x a '=== ，则求方程（7.1）的特解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'condition1 ',…'conditonn ','var')其中输入量eqn ，var 的含义如上，condition1,…conditonn 是初始条件。

输出量S 是常微分方程的特解。

2．常微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无解析解，应用中主要依靠数值解法。

常微分方程的求解与定性分析实验报告

常微分方程的求解与定性分析实验报告

常微分方程的求解与定性分析实验报告Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常微分方程的求解与定性分析实验报告一、实验综述1、实验目的及要求●归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；●掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；●熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；●通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；●通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。

这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

2、实验仪器、设备或软件电脑、二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）实验内容：根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。

y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(m,[0 1])m =3*exp(x) - 2*x – 21．求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧====-+]100[0)0(;0)0(01.03t uu u u u 的数值解，要求编写求解程序。

function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)+*y(1)^3;[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]);plot(T,Y(:,1),'-')3．Rossler 微分方程组：当固定参数b =2，c =4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状function r=rossler(t,x)global a;global b;global c;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];global a;global b;global c;b=2;c=4;t0=[0,200];for a=0::[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t 的变化情况');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend结果显示：a=0:a=:a=:a=:a=:a=:结果分析：从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，，）；当a=时，（x,y,z）仍收敛与（0，，），只是收敛速度减慢；当a=时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。

大学数学实验四_常微分方程数值解

大学数学实验四_常微分方程数值解
【实验内容】
2 小型火箭初始质量为 1400kg，其中包括 1080kg 燃料。火箭竖直向上发射时，燃料燃烧率 为 18kg/s，由此产生 32000N 推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正 比于速度的平方，比例系数为 0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火 箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
6
输出结果为
故，当 t =60s 时，火箭的速度、高度、加速度为
v (m/s)
向前欧拉公式
266.94
经典龙格-库塔公式
266.94
ode45(@rocket,t,v)
266.93
h (m) 12131 12131 12131
从上表可以看出，用三种不同方法求得的结果相差不大。
60s 后，火箭作竖直上抛运动，加速度为
4
输出的结果为
输出的火箭的 h – t 图线如下：
经典龙格-库塔公式： n=100000; h=60/n; t=0:h:60; v(1)=0; z(1)=0; g(1)=90/7; for i=1:n
a = v(i); s = z(i); x1 = h*i; k1 = (32000-0.4*a.^2)/(1400-18*x1)-10; x1 = x1 + h/2; b = a + h/2*k1; k2 = (32000-0.4*b.^2)/(1400-18*x1)-10; c = a + h/2*k2; k3 = (32000-0.4*c.^2)/(1400-18*x1)-10; x1 = x1 + h/2;
n = 500 267.0539 n = 100000 266.9432

常微分方程上机实验报告

常微分方程上机实验报告
常微分方程及其数值解实验报告
实验名称
常微分方程初值问题的数值解法
实验时间
2012年3月13日
姓名
XXX
班级
XXX
学号
XXX
成绩
一、实验目的及内容
1．MATLAB基本操作：矩阵相乘、矩阵LU分解及矩阵分解为另一个矩阵和其转置相乘、解矛盾方程、符号求解微分方程。
2．MATLAB数据调用及绘图。
二、相关背景知识介绍
（4）符号求解微分方程，求 。
2.MATLAB数据调用及绘图：
三．代码
1.(1)A=[3 4;5 6]
B=[0 8;1 6]
A*B
(2)A=[2 3;4 5]
[L U]=lu(A)
B=Chol(A)
(3)A=[2 8;3 4]
b=[6;2]
X=A\b
(4)dsolve('Dy=x','x')
2.
dsolve('Dy=x','y(0)=0','x')
1.MATLAB基本操作：矩阵Fra bibliotek乘、矩阵LU分解及矩阵分解为另一个矩阵和其转置相乘、解矛盾方程、符号求解微分方程。
（1）矩阵相乘：A=[3 4;5 6] B=[0 8;1 6]，求A*B。
（2）矩阵分解：A=[2 3;4 5]，求[L U]=lu(A)、B=Chol(A)。
（3）解方程：A=[2 8;3 4] b=[6;2]，求X=A\b。
ans =
-x-1+exp(x)*C1
>> dsolve('Dy=x','x')
ans =
1/2*x^2+C1

数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<Euler 法：function [t,y]=euler(Fun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h.*feval(Fun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=x+y;>> [x,y]=euler('Fun',[0,3],1,0.1)>> [x,y] ans =0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.2200 0.3000 1.3620 0.4000 1.5282 0.5000 1.7210 0.6000 1.9431 0.7000 2.1974 0.8000 2.4872 0.9000 2.8159 1.0000 3.1875 1.1000 3.6062 1.2000 4.0769 1.3000 4.6045 1.4000 5.1950 1.5000 5.8545 1.6000 6.5899 1.7000 7.4089 1.8000 8.3198 1.9000 9.3318 2.0000 10.4550 2.1000 11.7005 2.2000 13.0805 2.3000 14.6086 2.4000 16.2995 2.5000 18.1694 2.6000 20.2364 2.7000 22.5200 2.8000 25.0420 2.9000 27.8262 3.0000 30.8988ode45：>> [x,y]=ode45('Fun',[0,3],1) ans =0 1.0000 0.0502 1.0528 0.1005 1.1109 0.1507 1.17460.2010 1.2442 0.2760 1.3596 0.3510 1.4899 0.4260 1.63610.5010 1.7996 0.5760 1.9817 0.6510 2.1838 0.7260 2.4074实验一 常微分方程0.8010 2.6544 0.8760 2.9264 0.9510 3.2254 1.0260 3.55351.1010 3.9131 1.1760 4.3065 1.2510 4.7364 1.3260 5.20561.4010 5.7172 1.4760 6.2744 1.5510 6.8810 1.6260 7.54061.7010 8.2574 1.7760 9.0359 1.8510 9.8808 1.9260 10.79742.0010 11.7912 2.0760 12.8683 2.1510 14.0351 2.2260 15.29862.3010 16.6664 2.3760 18.1466 2.4510 19.7478 2.5260 21.47962.6010 23.3522 2.6760 25.3764 2.7510 27.5641 2.8260 29.92812.9010 32.4820 2.9257 33.3694 2.9505 34.2796 2.9752 35.21343.0000 36.1711解析解：>> y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') y =2*exp(x) - x - 1(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<< Euler 法：实验一常微分方程function f=Fun(t,y)% 常微分方程的右端函数f=[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)];>> [t,y]=euler('Fun',[0,5],[0,1],0.2)ode45：>> [t,y]=ode45('Fun',[0,5],[0,1])t =0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.00250.0037 0.0050 0.0062 0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0627 0.0941 0.12550.1569 0.2819 0.4069 0.5319 0.6569 0.7819 0.9069 1.0319 1.1569 1.28191.4069 1.5319 1.6569 1.7819 1.90692.0319 2.1569 2.2819 2.4069 2.53192.6569 2.7819 2.90693.0319 3.1569 3.2819 3.4069 3.5319 3.6569 3.78193.90694.0319 4.1569 4.2819 4.4069 4.5319 4.6569 4.7427 4.8285 4.91425.0000y =0 1.0000 0.0001 1.0000 0.0001 1.0000 0.0002 1.0000 0.0002 1.00000.0005 1.0000 0.0007 1.0000 0.0010 1.0000 0.0012 1.0000 0.0025 1.00000.0037 1.0000 0.0050 1.0000 0.0062 1.0000 0.0125 1.0000 0.0188 1.00000.0251 0.9999 0.0313 0.9998 0.0627 0.9987 0.0941 0.9965 0.1253 0.99340.1564 0.9893 0.2786 0.9632 0.3966 0.9220 0.5085 0.8662 0.6126 0.79670.7072 0.7146 0.7908 0.6210 0.8620 0.5176 0.9198 0.4058 0.9632 0.28760.9915 0.1647 1.0043 0.0392 1.0013 -0.0869 0.9826 -0.2117 0.9485 -0.33310.8996 -0.4490 0.8365 -0.5578 0.7605 -0.6577 0.6725 -0.7471 0.5742 -0.8246实验一 常微分方程0.4669 -0.8889 0.3525 -0.9393 0.2327 -0.9748 0.1095 -0.9950 -0.0154 -0.9996-0.1398 -0.9887 -0.2619 -0.9624 -0.3798 -0.9212 -0.4916 -0.8657 -0.5957 -0.7970-0.6904 -0.7161 -0.7742 -0.6242 -0.8460 -0.5228 -0.9046 -0.4134 -0.9491 -0.2978-0.9789 -0.1777 -0.9934 -0.0549 -0.9945 0.0300 -0.9883 0.1146 -0.9748 0.1985-0.9543 0.28092. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？function f=Fun(x,y) % 常微分方程的右端函数 f=2*x+y.^2;>> [x,y]=ode45('Fun',[0,1.57],0) x =0 0.0393 0.0785 0.1178 0.1570 0.1963 0.2355 0.2748 0.3140 0.3533 0.3925 0.4318 0.4710 0.5103 0.5495 0.5888 0.6280 0.6673 0.7065 0.7458 0.7850 0.8243 0.8635 0.9028 0.9420 0.9813 1.0205 1.0598 1.0990 1.1383 1.1775 1.2168 1.2560 1.2953 1.3345 1.3738 1.4130 1.4248 1.4367 1.4485 1.4604 1.4722 1.4840 1.4959 1.5077 1.5140 1.5203 1.5265 1.5328 1.5376 1.5424 1.5472 1.5519 1.5543 1.5567 1.5591 1.5614 1.5631 1.5647 1.5664 1.5681 1.5685 1.5690 1.5695 1.5700 y =实验一 常微分方程0 0.0015 0.0062 0.0139 0.0247 0.0386 0.0556 0.0758 0.09920.1259 0.1559 0.1895 0.2266 0.2675 0.3124 0.3615 0.4152 0.4738 0.5378 0.6076 0.6841 0.7679 0.8601 0.9620 1.0751 1.2014 1.3434 1.5045 1.6892 1.9037 2.1557 2.4577 2.8282 3.3003 3.9056 4.7317 5.9549 6.4431 7.0116 7.6832 8.4902 9.4821 10.7170 12.3090 14.4551 15.9220 17.7080 19.9390 22.8164 25.6450 29.2282 33.9673 40.5910 44.9434 50.3088 57.1229 66.1087 74.3108 84.7123 98.4901 117.7875 124.9206 132.9699 142.1268 152.641500.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6若x 上限增为1.58，1.60,则超出运算的范围，发生溢出。

计算方法--常微分方程求解实验

计算方法--常微分方程求解实验

实验五 常微分方程求解实验一、 实验目的通过本实验学会对给定初值我呢他，用欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法求数值解和误差，并比较优缺点.对给定刚性微分方程，求其数值解，并与精确解比较，分析计算结果.二、 实验题目1. 解初值问题各种方法比较 实验题目：给定初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+=,0)1(,21,e d d y x x xyx y x 精确解为)e -e (xx y =，按 （1） 欧拉法，步长;1.0,025.0==h h （2） 改进欧拉法，步长;01.0,05.0==h h （3） 四阶标准龙格-库塔法，步长;1.0=h求在节点)10,,2,1(1.01 =+=k k x k 处的数值解及误差，比较各方法的优缺点. 2. 刚性方程计算实验题目：给定刚性微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-+-=-,2)0(,50,600e 8.1199600d d 1.0y x y xyx 其精确解为12e e )(-0.1x -600x-+=x y .任选取一显示方法，取不同的步长求解，并分析计算结果.三、 实验原理1.欧拉格式由数值微分的向前差商公式可以解决初值问题（6.1）()()⎩⎨⎧=≤≤=00',,,y x y b x a y x f y 中的导数的数值计算问题：()()()()(),'1h x y x y h x y h x y x y n n n n -=-+≈+由此可得()()().'1n n n x hy x y x y +≈+（6.1）实际上给出()()()()()().,','n n n x y x f x y x y x f x y =⇒=于是有()()()().,1n n n n x y x hf x y x y +≈+再由()()11,++≈≈n n n n x y y x y y 得().,1,0,,111 =+=+++n y x hf y y n n n n （6.2） 递推公式（6.2）称为欧拉格式。

常微分方程实验报告_闵安游_U201310085

常微分方程实验报告_闵安游_U201310085

⑵、3 步 4 阶 Adams 方法： ①、画图程序：
w = exp(i*linspace(0,2*pi)); z = 24*(w.^3 - w.^2)./(1 - 5*w + 19*w.^2 + 9*w.^3); plot(z)
②、绝对稳定性判断程序：
9 3 19 2 5 h (1 h ) (1 h) h 0 此时的特征方程是： 24 24 24 24
fprintf('误差为: %10.10f\n',m)
测试程序：
f = @(t,y)-2*y + 2*t + 1; F = @(t)exp(-2*t) + t; Threesteps_Adams1(0,2,f,F,0.1)
第 2 题： ⑴、2 步 3 阶 Adams 方法： ①、画图程序：
w = exp(i*linspace(0,2*pi)); z = 12*w.*(w - 1)./(5*w.*w + 8*w -1); plot(z)
t = a + i*h; y2 = y1 + h/2*(3*f1 - f0); plot(t,y2,'.'); f2 = f(t,y2); y1 = y2; f0 = f1; f1 = f2; end y = linspace(a,b); plot(y,F(y),'r'); hold off m = abs(y1-F(b)); fprintf('数值解: %10.10f\n',y1) fprintf('误差为:%10.10f\n',m)
' u2 24u1 51u2 9 cos t 1/ 3sin t

计算方法实验报告-常微分方程的数值解法

计算方法实验报告-常微分方程的数值解法
15.0000 50.1112 50.1112
15.1000 50.1224 50.1224
15.2000 50.1332 50.1332
15.3000 50.1436 50.1436
15.4000 50.1535 50.1535
disp([T',V',df']);
%画图观察效果
figure;
plot(T,df,'k*',T,V,'--r');
grid on;
title('速度v与时间t的函数曲线');
legend('准确值','四阶经典R-K法');
结果如下所示：
步长四阶经典R-K法准确值
0 0 0
0.1000 0.9799 0.9799
5.9000 41.1708 41.1708
6.0000 41.4919 41.4919
6.1000 41.8028 41.8028
6.2000 42.1039 42.1039
6.3000 42.3954 42.3954
6.4000 42.6775 42.6775
6.5000 42.9504 42.9504
11.5000 49.2667 49.2667
11.6000 49.3097 49.3097
11.7000 49.3511 49.3511
11.8000 49.3909 49.3909
11.9000 49.4292 49.4292
12.0000 49.4661 49.4661
12.1000 49.5016 49.5016
（2）某跳伞者在t=0时刻从飞机上跳出，假设初始时刻的垂直速度为0，且跳伞者垂直下落。已知空气阻力为F=cv2，其中c为常数，v为垂直速度，向下方方向为正。写出此跳伞者的速度满足的微分方程；若此跳伞者的质量为M=70kg，且已知c=0.27kg/m，利用四阶龙格-库塔公式计算t<=20s的速度（取h=0.1s）

数值分析实验报告之常微分方程数值解

数值分析实验报告之常微分方程数值解

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称常微分方程数值解
所属课程名称数值方法B
实验类型验证
实验日期2013.11.11
班级
学号
姓名
成绩
图1 h=0.1时三个方法走势图
图2 h=0.05时三个方法走势图
图4 h=0.05时三个方法走势图
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1)30,1)0(,<<=+='x y y x y编写Euler 法的matlab 函数，命名为euler.mfunction [t,y]=euler(odefun,tspan,y0,h) t=tspan(1):h:tspan(2); y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*feval(odefun,t(i),y(i)); end t=t'; y=y';下面比较三者的差别： % ode45odefun=inline('x+y','x','y'); [x1,y1]=ode45(odefun,[0,3],1); plot(x1,y1,'ko');pause hold on ; % Euler·¨[x2,y2]=euler(odefun,[0,3],1,0.05); plot(x2,y2,'r+');pause hold on ;% 解析解y0=dsolve('Dy=t+y','y(0)=1'); ezplot(y0,[0,3]);pause hold off ;legend('ode45','euler 法','解析解');实验一 常微分方程Euler 法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，而ode45的效果比较好，很接近真实值。

(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<先写M 文件ex1_2fun.mfunction f=ex1_2fun(t,y) f(1)=y(2);f(2)=0.01*y(2).^2-2*y(1)+sin(t); f=f(:); % ode45[t1,y1]=ode45(@ex1_2fun,[0,5],[0;1]); plot(t1,y1(:,1),'ko');% 解析解s=dsolve('D2y-0.01*(Dy)^2+2*y=sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')s =[ empty sym ]%由此可知该微分方程无解析解2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？odefun=inline('2*x+y^2','x','y'); subplot(1,4,1);[x1,y1]=ode45(odefun,[0,1.57],0); plot(x1,y1,'r*'); title('上限1.57'); subplot(1,4,2);[x2,y2]=ode45(odefun,[0,1.58],0); plot(x2,y2,'bo'); title('上限1.58');实验一 常微分方程subplot(1,4,3);[x3,y3]=ode45(odefun,[0,1.6],0); plot(x3,y3,'k'); title('上限1.60'); subplot(1,4,4);plot(x1,y1,'r*');hold on ; plot(x2,y2,'bo');hold on ; plot(x3,y3,'k');hold off ;legend('上限1.57','上限1.58','上限1.60');上限1.5713上限1.5814上限1.6014结论：随着x 上界的增加，解趋于无穷大。

常微分方程实验报告.

常微分方程实验报告.

常微分方程课程实验报告实验名称 Matlab在常微分方程中的应用z =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)【3．1】作图(先做出x关于t，y关于t,z关于t的函数图像)：hold on;for c1=0:0.1:1%C1、C2和C3都大于0for c2=0:0.1:1for c3=0:0.1:1t=0:0.1:1;x=c1.*exp(2.*t)+c3.*exp(-t);y=c1.*exp(2.*t)+c2.*exp(-t)+exp(-2.*t)*c3;z=c2.*exp(2.*t)+exp(-2.*t)*c3;subplot(1,3,1),plot(t,x),legend('t~x') %x关于t的函数图像 subplot(1,3,2),plot(t,y),legend('t~y') % y关于t的函数图像 subplot(1,3,3),plot(t,z),legend('t~z') % z关于t的函数图像endendend【3.2】作图（再做出x、y、z的三维图像）：hold on;X=[];Y=[];Z=[];for c1=0:0.2:1%C1、C2和C3都大于0for c2=0:0.2:1for c3=0:0.2:1t=0:0.1:1;x=c1.*exp(2.*t)+c3.*exp(-t);y=c1.*exp(2.*t)+c2.*exp(-t)+exp(-2.*t)*c3;z=c2.*exp(2.*t)+exp(-2.*t)*c3;X=[X,x];Y=[Y,y];Z=[Z,z];endColumns 37 through 410.9753 1.0129 1.0521 1.0929 1.1353第4题：【1】编写函数M文件——cwf1.m(用于求近似解)function dy=cwf1(x,y)dy=(cos(x)-2*x*y)/(x^2-1)【2】编写脚本M文件——chang8.m[X,Y]=ode45('cwf1',[0,1],1)y1=Y’ %转置【3】则求出的近似解为（x取值为0~1）：>>y1=Columns 1 through 101.0000 0.9756 0.9524 0.9303 0.9093 0.8892 0.8701 0.8520 0.8347 0.8183Columns 11 through 200.8028 0.7880 0.7742 0.7611 0.7488 0.7374 0.7269 0.7172 0.7085 0.7008Columns 21 through 300.6941 0.6886 0.6843 0.6815 0.6802 0.6809 0.6837 0.6890 0.6976 0.7102Columns 31 through 400.7277 0.7519 0.7851 0.8319 0.8964 0.9910 1.1404 NaN NaN NaNColumn 41-Inf【4】在command窗口运行以下语句，用于求精确解：>> y=dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x') %精确解。

2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

2013春数学实验基础 实验报告(1)常微分方程

实验一 常微分方程1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较：(1) ,(0)1,13y x y y x '=+=<<先编写Euler 法的M 文件function [x,y] = euler(odefun,tspan,y0,h)x = tspan(1):h:tspan(2);y(1) = y0;for i = 1:length(x)-1y(i+1) = y(i)+h*feval(odefun,x(i),y(i));endx = x';y = y';1、ode45解>> fun = inline('x+y','x','y');>> ode45(fun,[0,3],1)2、Euler 法:>> [t,y]=euler(fun,[0,3],1,0.01);>> plot(t,y,'r')3、解析解：>> s=dsolve('Dy=y+x','y(0)=1','x')s =2*exp(x) - x - 1>> x=0:0.05:3;>> s=2*exp(x) - x - 1;>> plot(x,s,':')可以看到三者几乎重合。

（2）20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<现将其改成方程组形式：y=y(1);y ’=y(2); 则有 1)0(0)0()sin(201.02122221==+⋅-⋅==y y t y y dt dy y dtdy1、ode45解>> fun=inline('[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)]','t','y');>> ode45(fun,[0,5],[0,1])结果如图二实验一 常微分方程2、解析解：>> s=dsolve('D2y-0.01*Dy^2+2*y-sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')Warning: Explicit solution could not be found.> In dsolve at 101s =[ empty sym ]解析解在无法解出2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于22,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？解：相当于用解微分方程 ='y 22,0 1.57.x y x +<<0)0(=y输入如下指令：>> fun=inline('2*x+y^2','x','y');>> ode45(fun,[0,1.57],0)>> ode45(fun,[0,1.58],0)>> ode45(fun,[0,1.60],0)比较三个图像x 上限为1.57时y 的上限160左右当x 上限为1.58时y 的上限达到18乘以10的13次方数量级当x 上限为1.60时y 的上限还是18乘以10的13次方数量级说明1.57到1.58附近函数开始上升得特别快再增加,解会"爆炸"3. 求解刚性方程组：11212121100.25999.750.5,(0)1,050.999.751000.250.5,(0)1,y y y y x y y y y '=-++=⎧<<⎨'=-+=-⎩解：ode45法：实验一常微分方程>> fun=inline('[-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5]','x','y');>> tic;>> [x,y]=ode45(fun,[0,50],[1,-1]);>> toc;Elapsed time is 162.804781 seconds.解析解：>> S=dsolve('Df=-1000.25*f+999.75*g+0.5','Dg=999.75*f-1000.25*g+0.5','f(0)=1','g(0)=-1');>> S.f,S.gans =1/exp(2000*t) - 1/exp(t/2) + 1ans =1 - 1/exp(2000*t) - 1/exp(t/2)4.(温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃,再过10分钟后读数28.32℃。

常微分方程数值解---实验报告

常微分方程数值解---实验报告

琼州学院实验报告课程名称：__________ ___开课学期：____ ______院（部）:__理工学院_________开课实验室：________ __学生姓名:__梁小叶_______ __专业班级:________ __学号:__________常微分方程数值解---实验报告一 实验目的： 1．掌握用MATLAB 求微分方程初值问题数值解的方法；2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

二 实验内容:用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较22'2,(1)(01),322;(0)1',(2)(010).(0)0(0)1x y y x x y e x y y x y x y y =+⎧≤≤=--⎨=⎩⎧=-≤≤⎨==⎩精确解或三 问题分析：怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？【程序如下】:function f=f(x,y)f=y+2*x;clc;clear;a=0;b=1; %求解区间[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；%% 以下利用Euler 方法求解y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;x=a:h:b;for i=1:Ny(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));endfigure(1)plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图title('数值解与真解图');legend('RK4','Euler','真解');xlabel('x');ylabel('y');figure(2)plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差title('龙格库塔方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');figure(3)plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler 方法的误差title('Euler 方法的误差')xlabel('x');ylabel('Error');【运行结果如下】：5总结体会：自己写了哦。

常微分方程实验

常微分方程实验

常微分方程实验实验4 研究如下的Lorenz 方程⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=bz xy z xz y rx y y x a x '')('如果你是第一次接触这个方程，相信你一定觉得它并无特别之处。

千万不要小看了这个简单的问题！Lorenz 方程具有重要的实际背景，它所揭示的现象---著名的Lorenz 吸引子，具有重大的科学价值。

本实验就将引导你进入混沌的殿堂。

吸引子实验的背景前面研究的离散动力系统，可以看成是在持续的离散时间间隔上，一个数 量值的变化关系。

如果时间的间隔可以趋于零，那么这种变化关系通常就可以 用微分方程描述。

这样，很自然地就可以把一个(时间独立的)微分方程作为一 个连续的动力系统进行研究。

这里我们最关注的是当时间趋于无穷时，对于某 个集合上的初始值，微分方程解的性态。

设 D 是 n R 中的一个区域，再设 f :Dn R 是一个光滑函数。

考虑微分方程'()()x t f x = (*) 吸引子是描述连续动力系统长期性质的重要概念。

区域 D 的一个闭子集 F 叫 做包含 F 的吸引域 V 的吸引子，如果对开集 V 中的所有初始点 x(0), 通过 x(0)的轨道 x (t)随着 t 的无限增大而接近 F 。

当然，应要求 F 是不变的， 即 如果 x(0)是 F 中的点，那么对0t < t <+∞, ()x t 都在 F 中，这就意味着 F 是一些轨道的并集。

同时我们还要求 在下面的意义下是最小的，即存在一点 (0)x , 使得 ()x t 在 F 中稠密。

具有复杂吸引子连续动力系统最简单又引人入胜的例子，就是Lorenz 方程。

该系统表面上并无任何神秘之处，但它有很强的实际背景，它是长期气象预报的 一个简化模型。

⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=bz xy z xz y rx y y x a x '')('在 (x,y,z) 空间中考虑我们的问题。

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1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1)30,1)0(,<<=+='x y y x y 编写Euler 法的matlab 函数，命名为euler.m function [t,y]=euler(odefun,tspan,y0,h)t=tspan(1):h:tspan(2);y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*feval(odefun,t(i),y(i));end t=t';y=y';下面比较三者的差别：% ode45odefun=inline('x+y','x','y');[x1,y1]=ode45(odefun,[0,3],1);plot(x1,y1,'ko');pause hold on ;% Euler·¨[x2,y2]=euler(odefun,[0,3],1,0.05);plot(x2,y2,'r+');pause hold on ;% 解析解y0=dsolve('Dy=t+y','y(0)=1');ezplot(y0,[0,3]);pause hold off ;legend('ode45','euler 法','解析解');Euler 法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，而ode45的效果比较好，很接近真实值。

(2) 20.01()2sin(),(0)0,(0)1,05y y y t y y t ''''-+===<<先写M 文件ex1_2fun.mfunction f=ex1_2fun(t,y)f(1)=y(2);f(2)=0.01*y(2).^2-2*y(1)+sin(t);f=f(:);% ode45[t1,y1]=ode45(@ex1_2fun,[0,5],[0;1]);plot(t1,y1(:,1),'ko');% 解析解s=dsolve('D2y-0.01*(Dy)^2+2*y=sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t')s =[ empty sym ]%由此可知该微分方程无解析解2.求一通过原点的曲线，它在处的切线斜率等于若上限增为1.58，1.60会(,)x y 22,0 1.57.x y x +<<x 发生什么？odefun=inline('2*x+y^2','x','y');subplot(1,4,1);[x1,y1]=ode45(odefun,[0,1.57],0);plot(x1,y1,'r*');title('上限1.57');subplot(1,4,2);[x2,y2]=ode45(odefun,[0,1.58],0);plot(x2,y2,'bo');title('上限1.58');subplot(1,4,3);[x3,y3]=ode45(odefun,[0,1.6],0);plot(x3,y3,'k');title('上限1.60');subplot(1,4,4);plot(x1,y1,'r*');hold on ;plot(x2,y2,'bo');hold on ;plot(x3,y3,'k');hold off ;legend('上限1.57','上限1.58','上限1.60');上上1.5713上上1.5814上上1.6014结论：随着x 上界的增加，解趋于无穷大。

3. 求解刚性方程组：500,1)0(,5.025.100075.999,1)0(,5.075.99925.100022121211<<⎩⎨⎧-=+-='=++-='x y y y y y y y y 先写M 函数ex3fun.mfunction f=ex3fun(t,y)f(1)=-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;f(2)=999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5;f=f(:);%作图[t,y]=ode15s(@ex3fun,[0,50],[1,-1]);plot(t,y,'*');4. (温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃, 再过10分钟后读数28.32℃。

建立一个较合理的模型来推算户外温度。

设：t 时刻温度计的读数为T ，户外温度为c ，T 的增速与室内外温差（c-T ）成正比，由此建立微分方程，其中k 为比例系数⎩⎨⎧=-='20)0()(T T c k T %首先，计算解析解>> y=dsolve('DT=k*(c-T)','T(0)=20','t')y =c - (c - 20)/exp(k*t)%又已知，用非线性最小二乘拟合该函数，调用lsqcurvefit 命令：32.28)20(,2.25)10(==T T fun=inline('c(1)-(c(1)-20)./exp(c(2)*t)','c','t');lsqcurvefit(fun,[30 1],[10 20],[25.2 28.32])ans = 33.0000 0.0511即户外温度c=33，比例系数k=0.05115. (广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。

(1) 建立该问题的数学模型，并求其数值解与模拟结果作以比较；设：市场占有率为，市场占有率的增长速度为，则相对增长率为，由此建立微分方程为x x 'xx '⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯='05.0)0()1(5.0x x x x %首先，计算解析解>> s=dsolve('Dx=(0.5*(1-x))*x','x(0)=0.05','t')s=1/(exp(log(19) - t/2) + 1)%再调用ode45计算数值解，并作图比较解析解与数值解的区别：odefun=inline('(0.5*(1-x))*x','t','x');[t,x]=ode45(odefun,[0,20],0.05);plot(t,x,'r*');hold on ;ezplot(s,[0 20]);hold off ;t1/(exp(log(19) - t/2) + 1)(2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？t_min=min(find(x>0.8));t(t_min)ans = 8.8543结果：大约8.8543个单位的时间后，可使市场购买率达到80%。

6. (肿瘤生长) 肿瘤大小V 生长的速率与V 的a 次方成正比，其中a 为形状参数，;而其比例系数10≤≤a K 随时间减小，减小速率又与当时的K 值成正比，比例系数为环境参数b 。

设某肿瘤参数a=1, b=0.1, K 的初始值为2，V 的初始值为1。

问(1)此肿瘤生长不会超过多大？由已知条件建立微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯-='≤≤⨯='2)0(1)0()()(10,)()()(K V t K b t K a t V t K t V a %先编写上述函数的ex6_1fun.m 文件function f=ex6_1fun(t,y)f(1)=y(2).*y(1);f(2)=-0.1*y(2);f=f(:);%画出其图像，并求最大的肿瘤大小V[t1,y1]=ode45(@ex6_1fun,[0,100],[1,2]);plot(t1,y1(:,1),'r*');max(y1(:,1))8ans =4.8567e+008%故肿瘤生长不会超过8108567.4⨯(2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？%从图像可以看出，大约在（0，1）内，肿瘤大小翻一倍，以此求解[t2,y2]=ode45(@ex6_1fun,[0 1],[1;2]);t_min=min(find(y2(:,1)>2));t2(t_min)ans =0.3750答：大约0.4个单位时间后肿瘤大小翻一倍。

(3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？dv=y1(:,2).*y1(:,1);[Vn,tn]=max(dv);t1(tn)ans =29.5466答：大约30个单位时间后肿瘤生长速率由递增转为递减。

(4)若参数a=2/3呢？%重新编写微分方程ex6_4fun，并依次计算上述三个问题function f=ex6_4fun(t,y)f(1)=y(2)*y(1).^(2/3);f(2)=-0.1*y(2);f=f(:);%画图像，肿瘤生长不会超过450.7959%求多长时间肿瘤大小翻一倍，大约为0.4ans =0.4000%何时肿瘤生长速率由递增转为递减，大约为10ans =9.5718选做题：1.(生态系统的振荡现象)第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到更多的鱼才是。

可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。

令x1为鱼饵的数量，x2为鲨鱼的数量，t为时间。

微分方程为(5.20)式中a1, a2, b1, b2都是正常数。

第一式鱼饵x1的增长速度大体上与x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鲨鱼吃掉的部分按b1x1x2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然死亡或互相咬食按a2x2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b2x1x2的比率增加。

对a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。

画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。

%首次编写上述微分方程的ex_7fun.m函数function f=ex_7fun(t,x)a1=3;b1=2;a2=2.5;b2=1;f(1)=x(1)*(a1-b1*x(2));f(2)=-x(2)*(a2-b2*x(1));f=f(:);%画出解曲线图和相轨线图[t,x]=ode45(@ex_7fun,[0,4],[1;1]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'k:');legend('x1','x2');title('解曲线');subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));title('相轨线');2.编写四阶Runge-Kutta法程序实验小结与收获：完成第二份实验报告后，我学习了Matlab有关求解常微分方程（组）的指令，了解了什么是Euler法和刚性方程组以及如何求解，并了解了ode45、ode15s、Euler等函数间的异同；某些无法求得解析解的方程可以通过计算数值解了解它们的性质，有助于我们的学习；还学习了通过建立数学模型解决实际问题，将理论应用于实际，锻炼了我们逻辑思维能力和抽象概括能力。

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