建筑力学第八章 弯曲变形

截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
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建筑力学
M1 2qa2 q
M 2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
取右段梁为研究对象:
MC FBy 2a 2qa a M 2 2qa2
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x),
FQ
(x)
ql 2
qx
M M (x) 称为剪力方程和弯矩方程
M (x) qlx qx2 22
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建筑力学 2 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
4）在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变， 突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力 偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变 （沿x正向），反之则向下突变，但剪力图 在该处无变化。
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（剪力 FQ 的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
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建筑力学
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
Mc
qa
若q＞0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的 曲线（凹孤）；
若q＜0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲 线（凸孤）。
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建筑力学
3）在集中力作用处（包括支承处），剪力 图将发生突变，其突变值等于该处集中力之 大小。当集中力向上时，剪力图向上突变 （沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图 将因该处两侧斜率不等出现拐点。
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建筑力学
4 计算剪力和弯矩的基本规律
（1）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边
（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。 若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使
该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上 产生负号的剪力。
（2）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边 （或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩 的代数和。
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和 力偶）向截面形心简化所得到的主矩。
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建筑力学
FQ Fy (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截 面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负 号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上 产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上 产生负号的弯矩。
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建筑力学 计算实例
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建筑力学
8.3内力方程和内力图
0
对于抛物线顶点，令 dM dx 0 x l 2
M顶
ql l
2
2
q(l 2)2 2
ql 2 8
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建筑力学
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建筑力学
8.4微分关系法作内力图
1 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系
dM (x) dx
FQ (x)
d 2M (x) dx 2
dFQ (x) dx
q(x)
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由 Fy 0, 得到：
Fb FQ FAy L
由 M o 0, 得到：
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M
FAy
x
Fb L
x
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2、剪力、弯矩的正、负号规定：
左上右下，剪力为正 左顺右逆，弯矩为正
Q
（＋） M
Q
（－）
M
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建筑力学
3、求指定截面上的剪力和弯矩
M1 2qa2 q
M 2 2qa2
（b）悬臂梁
（c）外伸梁
（d）静定组合梁
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中间铰
建筑力学
8.2梁的内力计算
1、梁的内力—剪力与弯矩
a mF
b
A
FAy
A
FAy
xm
L
m
o
M
x FQ
m
解：(1)、根据平衡条件求支座反力
FAy
Fb L
,
FBy
Fa L
B (2)、截取m-m截面左段。
剪力 FQ——使截面不产生移动
FBy
弯矩M ——使截面不产生转动
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建筑力学
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
ql 2
qx
M (x) qlx qx2
22
2、剪力图
当
x0
时，FQA
ql 2
q0
ql 2
当
x l 时，FQB
ql q l ql
2
2
3、弯矩图
当
x0
时，M A
ql 0 q 02
2
2
0
当
x
l
时，M B
ql l 2
ql2 2
建筑力学第八章 弯曲变形
建筑力学
(2)载荷作用在对称平面内 所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
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建筑力学 2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
墙
楼板
梁 q
l
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建筑力学
3、静定梁的种类：
（a）简支梁
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 3qa
MB 0
FAy qa
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建筑力学 2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
Mc
A
C FQc
FAy
a
由 M C 0, 得到：
由 Fy 0, 得到：
FAy q 2a FQc 0
FQc FAy q 2a qa
C
FQc
MC FBy 2a 2qa a M 2
2qa2
M 2 2qa2
B
a
FBy
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M1 2qa2
q
A C
FAy
a
4a
取左段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
M 2 2qa2
B
a
FBy
取右段梁为研究对象:
FQc q 2a FBy qa
FQ Fy (一侧)
建筑力学
2 剪力图、弯矩图的规律
1）当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直 线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FQ＞0 时，弯矩图为上升斜直线；FQ＜0时，弯矩图为下降斜直线。
2）当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图 为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。