应用随机过程第三章习题解

∑ ∑k
∑
P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) = (kλ)jexp(−kλ)P (X1 > t − j)/j!
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
3.9 设更新过程 N (t) 的更新间隔是 Xn, i1, i2, . . . , in 是 1, 2, . . . , n 的一
个全排列. 对于 n ≥ 2, 证明
3.5 设更新过程 {N (t)} 的更新间隔有密度函数 f (t) > 0, 是否能找到
来自总体 T 的随机变量 {Ti}, 使得将 {N (t)} 的第 i 个更新间隔扩大 Ti 后, 得到强度为 λ 的泊松过程.
解: 可以找到。 因为只要找到 Ti, 使得 {TiXi} 服从 ε(λ) 即可. 设 Ti 的密度函数为 g(t),
= 1/p − 1
3.7 对于泊松过程验证定理 1.2（2）成立.
证明: 对于泊松过程 N (t) 有 m(t) = E(N (t)) = λ·t, 而 λ·(t) 是连续的且 在 t≥0 时是严格增加的，当然是单调不减的, 也即定理 1.2(2) 对于泊松过 程是成立的。
3.8 设更新过程N(t)的更新间隔是来自总体 X 的随机变量。
第三章习题解
3.1 乘客按照更新流 S1, S2, . . . 到达长途汽车站, 假设每次到达一人.
只要凑够 45 人就发一辆车, 将乘客全部运走. 计算每个乘客的平均候车时 间.
解: 记平均更新间隔为 µ, 根据题意可得总的候车时间为
∑ 45 (S45 − Sj),
j=1
那么每个乘客的候车时间就是
P (t 时为开状态) =
EUi
21.9 =
EUi + EVi 22
P
(至少有一个人眨眼的概率)
=
1
−
21.9 100 ()
=
0.3659
22
假设为了以 0.95 的概率保证相片中没有人眨眼，至少应当重复拍 n 次。
∑n 0.3659(n−1) · (1 − 0.3659) 0.95
i=1
可解得:n 3
义随机变量, 当更新过程 {N (t)} 的更新间隔 Xn 是来自总体 X 的随机变 量时, 用
η ≡ lim N (t)
t→∞
表示 [0, ∞) 中的更新次数. 计算 η 的概率分布和数学期望. 解: 因为 p = P (X = ∞) > 0, 所以 P (X < ∞) = 1 − p, {η = k} = {[0, ∞) 中更新次数为 k}
r−1
= f (n)
3.4 设 T1, T2, . . . 独立同分布，都服从二项分布 B(n, p), 且与更新过
程 {N (t)} 独立。将 {N (t)} 的第 i 个更新间隔扩大 Ti 倍后, 是否得到新的 更新过程？如果是，计算新的更新间隔的分布函数。
解：
首 先,T1, T2, . . . 相 互 独 立 ，{Xi} 也 相 互 独 立, 且 {Ti} 与 {Xi} 独 立 ， 故 {XiTi} 也相互独立； 其次，
(c) 用 Z 表示第 i 更新间隔的长度，计算 EZ;
(d) 用 Sr 表示第 r 个更新的发生时刻，计算 fr(n) = P (Sr = n);
(e) 对 r = i + j, i, j ≥ 1，推导公式 fr(n) = n∑−j fi(k)fj(n−k).
k=i
解:
(a) f (n) = qn−1p, 其中q = 1 − p; (b) f ∗ = ∑∞ f (n) = 1;
3.12 已知甲虫横穿公路需要 3 分钟，汽车流构成更新流，平均 5 分钟
一辆通过该公路。忽略汽车的长度。 (a) 更新间隔服从指数分布时，计算甲虫被撞的概率； (b) 更新间隔服从均匀分布时，计算甲虫被撞的概率； (c) 更新间隔是常数时，计算甲虫被撞的概率； 解: 汽车每次通过为一次更新。假设更新的时间间隔为 Xi,EXi = 5, 因
试验时 A 发生，则称 n 是一个更新时刻，并称任何两次更新之间的实
验次数为更新间隔. 例如试验结果 AAAAAAAAAA . . . 的更新间隔依次
是 4, 2, 1, 3 · · · . 用 f (n) 表示第 n 次试验时更新首次发生的概率，
(a) 计算 f (n);
(b) 用 f (n) 表示出 A 最终发生的概率 f ∗;
p2 = P (S2 ≤ 3 < S3) = P (X1 + X2 ≤ 3, X1 + X2 + X3 > 3) = 0.625. p3 = P (S3 ≤ 3 < S4) = P (X1 + X2 + X3 ≤ 3)
= P (X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1) = 0.125.
3.3 设事件 A 发生的概率是 p. 在独立重复试验中，如果第 n 次
p2 = P (S2 ≤ 2 < S3) = P (X1 + X2 ≤ 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = 0.25.
1
第三章 更新过程
第三章 更新过程
(3)k = 3, p1 = P (S1 ≤ 3 < S2) = P (X1 ≤ 3, X1 + X2 > 3) = P (X1 = 2, X2 = 2) = 0.25.
是 3 分钟. 假设每台电话独立工作, 一共有 6 部电话, 估算上午 10:30 时恰
有 5 部电话占线的概率.
解:
由题可知每台电话占线的概率为
p
=
3 23
,
又各电话是否占线独立，
所以 10:30 有 5 部电话占线的概率为：
P = C65p5(1 − p)
3.11 眨眼使泪水均匀地涂在角膜和结膜的表面，以保持眼球润湿而不
∑n E(X1 + X2 + · · · + XN (t)|N (t) = n) = E(Xi|N (t) = n).
i=1
5
第三章 更新过程
第三章 更新过程
因为 X1, X2, . . . , Xn 独立，所以
∑n E(Xi|N (t) = n) = nE(X1|N (t) = n)
i=1
(c) 因为 N (t) > 0 = X1 < t, 所以，
干燥。但是眨眼经常给照相带来麻烦。照相时如果每个人平均 22 秒眨眼 一次，眨眼的时间为 0.1 秒，100 个人照相时，计算至少有一个人眨眼的 概率。为了以 0.95 的概率保证相片中没有人眨眼，至少应当重复拍摄几 次。
6
第三章 更新过程
第三章 更新过程
解：将睁眼视为开状态，眨眼视为关状态。则 EUi = 21.9,EVi = 0.1
i=1
i=1
∑ ∑k
=
P r( Xi = j, Xk+1 > t − j)
0≤j≤t
i=1
(a) 当 X 服从 B(5, p) 时，
∑
∑k P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) =
∑
()
5k j
pjq5k−jP (X1 > t − j).
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
(b) 当 X 服从 P(λ) 时,
∑ 45 E{ (S45 − Sj)}/45 = 22µ,
j=1
其中 E(Sj) = jµ, j = 1, 2, . . . , 45.
3.2 设更新过程 {N (t)} 的更新间隔有离散分布 P (Xn = 1) = P (Xn =
2) = 0.5, 对于 k = 1, 2, 3, 计算 pj = P (N (k) = j). 解：因为 pj = P (N (k) = j) = P (Sj ≤ k < Sj+1), 又已知 P (Xn = 1) =
r−1
2
第三章 更新过程
第三章 更新过程
(e)
∑ n−j
fi(k)fj(n−k)
=
∑ n−j
( k i
− −
)( 1 piqk−i n 1
−k j−
− 1
) 1 pj qn−k−j
k=i
k=i
=
∑ n−j
( k
−
)( 1n
−
k
−
) 1 prqn−r
i−1 j−1
(k=i )
= n − 1 prqn−r
(t)
|N
(t)
>
0)
=
E(X1|X1
<
t).
证明:
(a) 因为 X1, X2, . . . , Xn 独立，所以
f (X1, X2, . . . , Xn) = f (X1)f (X2) . . . f (Xn) = f (Xi1)f (Xi2) . . . f (Xin).
即 (X1, X2, . . . , Xn) 和 (Xi1, Xi2, . . . , Xin) 同分布 (b)
∑n E(Xi|X1 < t) = nE(X1|X1 < t)
i=1
所以，
E( (X1
+
X2 + · · N (t)
·
+
XN(t) |N (t)
>
0)
=
E(X1|X1
<
t)
3.10 在工作时间内, 校长办公室的每部电话是一个开关系统. 在关状态
下电话占线, 无法接通. 设开状态的平均时间为 20 分钟, 关状态的平均时间
E( (X1
+
X2 + · · N (t)
·
+
XN(t) |N (t)
>
0)
=
E(E( (X1
+
X2 + · · · N (t)
+
XN (t)
|N (t)
=
n,
X1
<
t))
=
E( (X1
+
X2
+ n
·
·
·
+
Xn
|X1
<
t)
1 ∑n
= n
E(Xi|X1 < t).
i=1
又因为 X1, X2, . . . , Xn，则
P (Xn = 2) = 0.5, 所以
(1)k = 1, p0 = P (S0 ≤ 1 < S1) = P (X1 > 1) = 0.5, p1 = P (S1 ≤ 1 < S2) = P (X1 ≤ 1) = 0.5.
(2)k = 2, p1 = P (S1 ≤ 2 < S2) = P (X1 ≤ 2, X1 + X2 > 2) = P (X1 = 1, X2 = 2) + P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 2) = 0.75.
∑n P (TiXi ≤ x) = P (TiXi ≤ x|Ti = i)P (Ti = t)
(i=0)
=
∑n
P (iXi
≤
() x) n piqn−i
i
+
p(Xi
≤
x)p(Ti
=
0)
=
i=1
∑n
F
() (x/i) n ptqn−t
+
qn
i
i=1
即，{XiTi} 具有相同的分布； 所以，得到过程为新的更新过程，更新间隔的分布函数如上。
∫
g(t) = f (x, tx)|x|dx
3
第三章 更新过程
第三章 更新过程
其中 f (t, tx) 是 Xi 与 TiXi 的联合密度函数, 当 Xi 与 TiXi 独立时，有
∫ g(t) = λ exp{−λtx}f (x)|x|dx
所以这样的 Ti 是存在的.
3.6 如果 p = P (X = ∞) > 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广
(a) 当 X 服从 B(5, p) 时，计算 P r(N (t) = k). (b) 当 X 服从 P(λ) 时，计算 P r(N (t) = k).
4
第三章 更新过程
第三章 更新过程
证明:
P r(N (t) = k) = P r(Sk≤t<Sk+1)
∑k
∑k
= P r( Xi≤t Xk+1 + Xi > t)
P (η = k) = P (Sk < ∞, Sk+1 = ∞) = P (X1 < ∞, · · · , Xk < ∞, Xk+1 = ∞) = P (X1 < ∞) · · · P (Xk < ∞)P (Xk+1 = ∞) = (1 − p)kp
Eη = Σ∞ k=0(kP (η = k)) · p = Σ∞ k=0(k + 1)(1 − p)k · p − Σ∞ k=0(1 − p)k · p = −Σ∞ k=0((1 − p)k+1)′ · p − Σ∞ k=0(1 − p)k · p = −(Σ∞ k=0(1 − p)k+1)′ · p − p/[1 − (1 − p)] = −(1/p − 1)′ · p − 1
(a) 在条件 N (t) = n 下，(X1, X2, . . . , Xn) 和 (Xi1, Xi2, . . . , Xin) 同分布;
(b)E(X1 + X2 + · · · + XN(t)|N (t) = n) = nE(X1|N (t) = n);
(c)E
(
(X1
+X2+···+XN N (t)
n=1
(c)
EZ
=
∑∞
nf (n)
=
∑∞
nqn−1p
=
∑∞
p(qn)′
=
∑∞ p(
qn)′
=
1
n=1
n=1
n=1
Baidu Nhomakorabea
n=1
p
(d)
fr(n) = P (Sr = n)
=
P (前 (
n)−
1
次试验发生
r
−
1
次更新，第
n
次试验发生第
r
次更新)
= n − 1 pr−1qn−rp
(r − 1)
= n − 1 prqn−r