上海交大附中第一学期高三第一次月考数学试题参考答案

1交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .5.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .6.不等式21log x x <−+的解集是 .7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是 .8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于98,则q 的取值范围是 .212.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。

2024届上海交大附中高三数学上学期9月开学考试卷2023.9（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}1,4,5A =，{}3,4=B 则A B ⋃=．2．34i +的平方根为3．已知向量a 与b的夹角为120︒，3a = ，13+= a b ，则b =.4．设F 1和F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=,则12F PF ∆的面积为;5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知40S =，510a =，则n n a S +=6．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7．直线y ax b =+是曲线1y x =+的切线，则a b +的最小值为．8．各项为正且公差不为0的等差数列{}n a 的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b 的连续三项（顺序不变），设12231111n n n S a a a a a a +=+++L ，若对于一切的*N n ∈，11n S a ≤，则1a 的最小值为．9．设函数21()11f x x x =+-+，则使得()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭成立的实数x 的取值范围是.10．在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN⋅的最小值为34，则cos ACB ∠=．11．三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为427，则PA 的长为.12．设a ，b 是两个实数，0a b ≤<，直线:l y kx m =+和圆221x y +=交于两点A ，B ，若对于任意的[],k a b ∈，均存在正数m ，使得OAB 的面积均不小于34，则2b a -的最大值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）13．已知x 是实数，命题:3p x <；命题2:230q x x --<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．下列说法正确的是（）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β15．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．316．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）A ．8，8.5B ．8，8C ．9，8D ．8，9三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,M N 分别为棱,PD PC 的中点，PA AD =，平面PAD ⊥平面ABCD .求证：(1)//MN 平面PAB ；(2)AM ⊥平面PCD ．18．已知数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，数列{}n b 满足18b =，164n n b b +=．(1)证明{}n a 是等差数列；(2)是否存在常数a 、b ，使得对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立．若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．19．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．(1)试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出cos θ的取值范围；(2)问当AM 的长为多少时，能使总造价W 最小．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过()1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB 的面积为24.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ= ，求λμ+的取值范围.21．已知函数12ln 2(0(()))f x a x ax a x=-++≤.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当a<0时，讨论()f x 的单调性；（3）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.1．{}1,3,4,5【分析】进行并集的运算即可．【详解】解：{}1,4,5A = ，{}3,4=B {}1,3,4,5A B ∴⋃=故答案为：{}1,3,4,5．【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．(2)i ±+【分析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即222i 34i a b ab -+=+，则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--，即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.3．4【详解】试题分析：向量a 与b的夹角为120︒，313a a b ＝，＋＝，则3··cos 1 202a b a b b ︒=- ＝，222||2a b a a b b +⋅+ ＋＝.所以21393b b =-+ ，则1b ＝－（舍去）或4b ＝.考点：平面向量的数量积.4．1.【详解】∵点P 在双曲线右支上，且满足∠F 1PF 2=90°，12212420PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②②﹣①2得|PF 1|•|PF 2|=2．∴△F 1PF 2的面积S=12|PF 1|•|PF 2|=1．故结果为1.5．22410n n --【分析】设等差数列的公差为d ，然后由已知条件列方程组可求出1,a d ，从而可求出答案.【详解】设等差数列的公差为d ，因为40S =，510a =，所以1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得164a d =-⎧⎨=⎩，所以2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--，故答案为：22410n n --6．79【分析】由5 sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式，倍角公式求解即可.【详解】2517sin 2sin 2cos 212sin 126266 699πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：79【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.7．2【分析】设直线y ax b =+与曲线1y x =+相切于点()00,1x x +，根据导数的几何意义求出切线方程，可得001,212a x x b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，再根据基本不等式可得a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线1y x =+相切于点()()000,10x x x +≥，当00x =时，直线y b =不是曲线1y x =+的切线，故00x >,由1y x =+得012x x y x =='，所以切线方程为()()000112y x x x x -+=-，即001122x y x x =++，所以001,212a x x b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以00001112122222x x a b x x +=++≥⋅+=，当且仅当01x =时，等号成立，所以()min 2a b +=．故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8．13【分析】根据等差数列{}n a 的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b 的连续三项，利用等比中项得到2216a a a =，化简得到13d a =，从而求得()132n a n a =-，然后利用裂项相消法求得()2131n n S n a =+，再由()211131n n a a ≤+，得到131n a n ≥+求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2216a a a =得()()21115a d a a d +=+，因为0d ≠，所以13d a =，所以()()11132n a a n d n a =+-=-，12231111n n n S a a a a a a +=+++L 11223111111113n n a a a a a a a +⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭()()21111133131nd n a a n a n a =⋅=++，所以()211131n n a a ≤+，则131n a n ≥+，因为1111313313n n n ⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭，所以113a ≥，故1a 的最小值为13．故答案为：13【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．()32,2【分析】利用定义证明函数()f x 为偶函数，结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，解不等式()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，即可得出实数x 的取值范围.【详解】2211()11()1()1f x x x f x x x -=+--=+-=+-+，则函数()f x 为偶函数当0x >时，21()11f x x x =+-+，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭()212log 2log 1f x f x ⎛⎫∴>+ ⎪ ⎪⎝⎭，212log 2log 1x x ∴>+21222log log log 1log 2xx x ==- ，()()2222log 12log x x ∴>-即()2223log 4log 10x x -+<，即()()223log 1log 10x x --<21log 13x ∴<<，3222log 2log log 2x ∴<<322x ∴<<故答案为：()32,2【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.10．1358-【分析】取MN 的中点P 得PN PM =- ，12PN PM == ，再将CM CN ⋅用向量,,PN PM CP 表示并结合CM CN ⋅ 的最小值为34得min 1CP =，即C 到直线AB 的距离为1，再根据几何关系即可求得cos ACB∠【详解】取MN 的中点P ，取PN PM =- ，12PN PM ==，()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=- ，因为CM CN ⋅ 的最小值34，所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒，因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，15cos 4A =，所以()31cos cos 150cos sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+3151113524248-=-⨯+⨯=．故答案为：1358-.【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.11．2或3【分析】设F 是BC 的中点，连接,AF PF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，可证明AH ⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角，设PA m =，利用AE 平面PBC 所成的角的正弦值为427，列方程求解即可.【详解】设F 是BC 的中点，连接,AF PF ，PA ⊥ 平面ABC ，PA BC ∴⊥，ABC ∆ 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角，设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+，AE 平面PBC 所成的角的正弦值为427，223423sin 1742mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.12．2【分析】设O 到直线l 的距离为d ，利用三角形的面积均不小于34列不等式，由此求得d 的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于,m k 的不等式.根据k 的取值范围，求得m 的取值范围，由此求得关于,a b 的不等式，结合导数求得2b a -的最大值.【详解】设O 到直线l 的距离为d ，则2132124AOB S d d =⨯-⋅≥，解得1322d ≤≤，即213221m k ≤≤+，所以22131122k m k +≤≤+，因为[],k a b ∈，0m >时，22max 111122k b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，22min331122k a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22131122b m a +≤≤+，因为存在0m >满足条件，所以22131122b a +≤+，化简得223122b a -≤，且0a b ≤<，由223122b a -≤得232b a ≤+，所以()22322b a a a f a -≤+-=，因为0a ≥，解不等式()2620232a f a a '=->+无解，所以()f a 在[)0,∞+上单调递减，所以()()02f a f ≤=．故2b a -的最大值为2．故答案为：2【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.13．B【分析】由题意可得命题:33p x -<<，命题:13q x -<<.由()()1,33,3≠-⊂-，可得结论.【详解】解3x <，得33x -<<，∴命题:33p x -<<.解2230x x --<，得13x -<<，∴命题:13q x -<<.()()1,33,3,≠-⊂-∴ p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.14．C【分析】根据直线与平面的关系判断A ，根据线面平行、面面平行的性质判断B ，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C ，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l 不平行于平面α，例如l ⊂α，则平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面β或l β⊂，故B 错误；如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，直线l 与平面β也相交，故C 正确；如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β或α与β相交，故D 错误.故选：C 15．C【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=．【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如1(1)(1)(1)11()(0)0222f f f f +-+--====，存在；②假设存在不相等1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，即2221212()22x x x x ++=，得12x x =，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，(0)1f =，令2()|1|0f x x =-=，2x =±，则22(2)(2)()(0)122f f f f -+-===，存在．故选：C ．【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．16．A【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.【详解】党员人数一共有610987=40++++，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，4040%=16⨯，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是89=8.52+故选：A17．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【分析】（1）通过线面平行的判定定理证得//MN 平面PAB .（2）根据通过证明,AM PD CD AM ⊥⊥来证得AM ⊥平面PCD .【详解】（1）由于,M N 分别为棱,PD PC 的中点，所以//MN CD ，由于四边形ABCD 是矩形，所以//CD AB ，所以//MN AB ，由于MN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB ；（2）由于PA AD =，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥.由于平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，由于AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥，由于,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .18．(1)证明见解析；(2)存在12a =，11b =.【分析】(1)由数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，可求得62n a n =+，*N n ∈，再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得962n n b -=，log (96)log 2a n a b n =-，代入log n a n a b b =+中得626log 29log 2a a n n b +=-++，只需满足以66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩即可，从而求解,a b 的值即可.【详解】（1）解：证明：因为数列{}n a 的前n 项和为235n S n n =+，所以当1n =时，11358a S ==+=，当2n ≥时，213(1)5(1)n S n n -=-+-，所以221353(1)5(1)62n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，满足18a =，所以数列{}n a 的通项公式为62n a n =+，*N n ∈，所以16(1)2626n n a a n n +-=++--=，*N n ∈，所以{}n a 是等差数列；（2）解：因为164n n b b +=，所以1164n n b b +=，所以数列{}n b 是以8为首项，164为公比的等比数列，所以19618()264n n n b --=⋅=；所以96log log 2(96)log 2n a n a a b n -==-，要使对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立．即62(96)log 2a n n b +=-+，即626log 29log 2a a n n b +=-++，所以66log 229log 2a a b =-⎧⎨=+⎩，解得1211a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.故存在常数,a b ，当1,112a b ==时，对一切正整数n 都有log n a n a b b =+成立.19．(1)()54cos =816sin 2W a a θπθθθ-⎛⎫⋅+⋅- ⎪⎝⎭，4cos 0,5θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)43AM =米【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得16()2CN πθ=-，而切线长MN 需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得cos θ的取值范围；（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案.【详解】（1）解：过N 作AB 的垂线，垂足为F ，过M 作NF 的垂线，垂足为G ，在Rt BNF △中，16cos BF θ=，则2016cos MG AF θ==-，在Rt MNG 中，MNG θ∠=，则2016cos sin MN θθ-=，由题意易得162CN πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2016cos 54cos 216816sin 2sin 2W a a a a θπθπθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 0,5θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）解：()()()2282cos 1cos 245cos 816sin sin a W a a θθθθθθ---'=⋅-=，令()0W θ'=，得1cos 2θ=，又4arccos ,52πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，所以当4arccos ,53πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0W θ'<，()W θ单调递减；当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0W θ'>，()W θ单调递增．所以当3πθ=时，总造价W 最小，最小值为81633a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时83MN =，43NG =，83NF =，所以当43AM =米时，能使总造价W 最小．20．（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）()2,2【分析】（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 的面积为24可知，1224ab =，解得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.0∆>，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为()1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ= ，PT PO μ= ，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421k x x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=经过点()1,0A ，所以21a =解得1a =.由AOB 的面积为24可知，1224ab =，解得22b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >.因为0k >，所以k 的取值范围是2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为()1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y .所以直线AM 的方程是：()1111yy x x =--.令0x =，解得111yy x -=-.所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭ ，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =- .由PS PO λ= ，PT PO μ= ，可得：1111yx λ--=--，2211y x μ--=--，所以111111111ykxx x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421k x x k +=-+，122121x x k =+，所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++()1222,212k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是()2,2.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21．（1）极小值22ln 2-，无极大值；（2）参考解析；（3）133m ≤-【详解】试题分析：第一问，将0a =代入()f x 中确定函数()f x 的解析式，对()f x 进行求导，判断()f x 的单调性，确定在12x =时，函数()f x 有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对()f x 求导，()0f x '=的根为1a -和12，所以要判断函数()f x 的单调性，需对1a-和12的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当32a -<<-时，()f x 在[1,3]为减函数，所以(1)f 为最大值，(3)f 为最小值，所以()()12f x f x -的最大值可以求出来，因为()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，所以()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->-，将()()12f x f x -的最大值代入后，(3,2)a ∈--，又是一个恒成立，整理表达式，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，所以再求min 2(4)3a -+即可.试题解析：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=>由()2210x f x x -'=>,解得12x >.∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--=-+=>'=.①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；②当2a =-时，()f x 在()0,∞+上是减函数；③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数，∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-.由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，∴()()()12maxln 32ln 3m a f x f x +->-即()()22l l n n 3342ln 33m a a a ->-+-+对任意32a -<<-恒成立，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.。

2021届上海市交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A ．22a b +有最小值 B ．ab 有最小值 C ．11a b+有最大值 D ．1a b+有最大值【答案】A【解析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=， 因为0,0a b >>，则2a b ab +≥，即2()42a b ab +≤=， 所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02{22x y x y≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．42【答案】B【解析】试题分析： 画出区域D 如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又2z OM OA x y =⋅=+,所以当目标线过点()2,2B时，,故选B.【考点】线性规划3．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【解析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集. 对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题. 4．对于定义在[]1,1-上的函数()f x 和()g x ，有下面几个命题： ①若()()*cos cos N f x nx n =∈，当n 为奇数时，函数()f x 是奇函数；②若()()*cos cos N f x nx n =∈，当n 为偶数时，函数()f x 是偶函数：③存在正奇数n 和奇函数()g x ，满足对任意的x ，都有()()*sin sin Ng x nx n =∈；④存在正偶数n 和偶函数()g x ，满足对任意的x ，都有()()*sin sin N g x nx n =∈；⑤存在正整数n ，使得()f x 与()g x 均为单调函数，其中()cos cos f x nx =，()()*sin sin N g x nx n =∈.其中真命题的个数是（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】根据函数的奇偶性进行判断．特称命题可以举一例说明． 【详解】在(cos )cos f x nx =中，(cos )(cos())cos()f x f x nx n ππ-=+=+， 当n 为奇数时，(cos )cos (cos )f x nx f x -=-=-，()f x 是奇函数，①正确；n 为偶数时，(cos )cos (cos )f x nx f x -==，()f x 是偶函数，②正确；令1n =，()g x x =，则(sin )sin g x x =，③正确；若(sin )sin g x nx =，则(sin )(sin())sin()sin (sin )g x g x nx nx g x -=-=-=-=-，()g x 为奇函数，不可能为偶函数，④错误；取1n =，()f x x =，()g x x =，均为增函数，且(cos )cos f x x =，(sin )sin g x x =．⑤正确．正确命题有4个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，注意对于复合函数的奇偶性的表述．如只要证明(cos )(cos )f x f x -=-，即得()f x 是奇函数．本题考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，属于难题．二、填空题5．若样本数据依小到大为1，2，3，x ，6，6，它们的中位数是4，则x =______. 【答案】5.【解析】根据中位数的定义计算． 【详解】6个数的中位数是中间两个数的平均值，则2435x =⨯-=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查中位数的概念，把一列数按从小到大顺序排列，中间的一个数（奇数个数时）和或中间的两个数的平均值（偶数个数时）为这组数据的中位数．6．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=______. 【答案】2.【解析】由线性方程组的增广矩阵的概念可得21x y =⎧⎨=⎩为方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，即可得解.【详解】 由题意，21x y =⎧⎨=⎩为方程组2ax y b =⎧⎨=⎩的解，所以221a b =⎧⎨=⎩， 所以11a b =⎧⎨=⎩，所以2a b +=.故答案为：2. 【点睛】本题考查了线性方程组增广矩阵的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．若复数z 满足()()3421()2i z i i -=+-，则z 的虚部是______. 【答案】45【解析】根据复数的除法和模长公式求解z ，再得出虚部即可. 【详解】()()212435i i i+-=-==即(34)5i z -=， 所以()()()53453434343434555i i z i i i i ++====+--+，故虚部是45. 故答案为：45【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算和模长公式，属于基础题. 8．方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______.【解析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2. 【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为______. 【答案】84.【解析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令930r -=，运算即可得解. 【详解】二项式921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为99319921rr r r r r C T x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令930r -=，解得3r =，所以921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为39=84C .故答案为：84. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．记函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点（1，-4），那么函数()12y fx -=的图像一定过点______.【答案】（-2，1）【解析】利用函数与其反函数的图像关于直线y x =对称的关系即可求得1(4)1f --=，再利用该结论即可得解.因为函数()y f x=的反函数为1()y f x-=，又(1)4f=-，则1(4)1f--=，所以1(22)1f--⨯=，即函数1(2)y f x-=的图像一定过点()2,1-，故答案为：()2,1-.【点睛】本题考查了函数与其反函数的图像关于直线y x=对称的性质，重点考查了函数与其反函数图像的关系，属基础题.11．空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，13，25，则该线段的长度为______.【答案】29.【解析】将线段放入长方体中，由三视图的概念可得长方体的长宽高，进而可得线段长. 【详解】将该线段放入一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，如图，由题意可得(22222222251325a ca bc b⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解得324abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，22229a b c++=29.【点睛】本题考查了长方体几何特征及三视图的应用，考查了空间思维能力，属于基础题. 12．设12F F、分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足121235PF PF F F -=，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】43y x =±【解析】【详解】所以4453b bc a =⇒=，渐近线方程为43y x =±，故答案为43y x =±.13．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则OA AB ⋅=______.【答案】2.【解析】由正切函数性质求得,A B 两点的坐标，然后计算数量积． 【详解】tan 042x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，42x k πππ-=，42x k =+，k Z ∈，最小的正整数为2x =，(2,0)A ，tan 142x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，424x k ππππ-=+，43x k =+，k Z ∈，最小的正整数为3x =，(3,1)B ，(2,0),(1,1)OA AB ==，∴(2,0)(1,1)2OA AB ⋅=⋅=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是由正切函数性质求出,A B两点坐标，然后计算．14．函数()f x与()g x的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含(0,1)A､(1,1)B､(0,0)O､(1,1)C--､(0,1)D-五个点，若()f x的图象关于原点对称的图形即为()g x的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.【答案】()1xf x⎧=⎨⎩1001xx-<<<<【解析】先根据图象可以得出f (x)的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB 中选取一个，即可得出函数f (x) 的解析式.【详解】由图可知，线段OC与线段OB是关于原点对称的，线段CD与线段BA也是关于原点对称的，根据题意，f (x)与g (x)的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC或CD 中选取一个，再在AB或OB中选取一个，比如其组合形式为: OC和AB，CD和OB, 不妨取f (x)的图象为OC和AB，OC的方程为: (10)y x x=-<<，AB的方程为: 1(01)y x=<<，所以,10()1,01x xf xx-<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x xf xx-<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.15．已知等差数列{}n a（公差不为零）和等差数列{}n b，如果关于x的方程：()212202112202120210x a a a x b b b-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下2021个方程2110x a x b -+=，2220x a x b -+=，2330x a x b -+=，…，2202120210x a x b -+=中，无实数解的方程最多有______个. 【答案】1010【解析】设等差数列{}n a 的公差为11,0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，由等差数列的性质可得2101110114a b ≥，设()()22111*,202,11i y i a a d N i i ⎡⎤==+-⎣∈≤⎦，()()212*,20441,21i y b b i i d i N ⎡∈≤⎤==+-⎣⎦，由一次函数与二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为11,0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ， 则12202110112021a a a a ++⋅⋅⋅+=，12202110112021b b b b ++⋅⋅⋅+=，所以原方程可变为2101110112021202120210x a x b -+=，由该方程有实数解可得()22101110112021420210a b -⨯≥即2101110114a b ≥，若要使方程()2*0,,2021i i x a x b i N i -+=∈≤无解， 则要使()2*0,,2021i i a b i N i ∆=-<∈≤，设()()22111*,202,11i y i a a d N i i ⎡⎤==+-⎣∈≤⎦， ()()212*,20441,21i y b b i i d i N ⎡∈≤⎤==+-⎣⎦， 易得1y 为开口向上的抛物线的一部分，2y 为直线的一部分， 又1011i =时，12y y ≥，所以满足12y y <的i 的取值最多可有1010个， 即无实数解的方程最多有1010个. 故答案为：1010. 【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，考查了函数与方程思想及转化化归思想，属于中档题. 16．函数11y x=-的图像与函数[]()2sin 2,4,Z y x x k k k π=∈--+∈的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k 的值是______. 【答案】1006或1007.【解析】由题意可得函数11y x=-的图像与函数2sin π(35)y x x =-≤≤的图像所有交点成对出现，且每一对关于点(1,0)对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k 的值. 【详解】 函数11y x=-的图像关于点(1,0)对称，函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图像也关于点(1,0)对称，如图所示：故函数11y x=-的图像与函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图像所有交点成对出现，且每一对关于点(1,0)对称，因为两个图像的所有交点的横坐标之和等于2020，当1x >时，它们共有1010对交点， 所以41010k +=或41011k +=， 解得1006k =或1007. 故答案为：1006或1007. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查学生的数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，3AB =，4SA =.（1）求直线SC 与平面SAB 所成角的大小； （2）求SAB 绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积. 【答案】（1）直线SC 与平面SAB 所成角的大小为3arctan5；（2）485π. 【解析】（1）根据已知得BC ⊥平面SAB ，//BC AD ，BSC ∠即为直线SC 与平面SAB 所成的角，在直角三角形SAB 可求解；（2）SAB 绕棱SB 旋转一圈形成几何体是有共同底面圆的两个圆锥，它们的高的和是SB ，求出体积可得答案. 【详解】 （1）SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴SA BC ⊥，底面ABCD 为正方形，AB BC ∴⊥，又AB SA A =， BC ∴⊥平面SAB ，BSC ∴∠即为直线SC 与平面SAB 所成的角，因为3AB =，4SA =，所以221695SB SA AB =+=+=，3BC AB ==，由于90SBC ∠=，所以3tan 5BC BSC SB ∠==，所以3arctan 5BSC ∠=， 直线SC 与平面SAB 所成的角为3arctan 5.（2）做AE SB ⊥与E 点，SAB 绕棱SB 旋转一圈形成几何体是有共同底面圆的两个圆锥，底面是以E 为圆心、EA 为半径的圆，并且S B 、分别是两个圆锥的顶点，高分别是SE EB 、，在直角SAB 中，3AB =，4SA =，125EA =，所以所求几何体的体积是2222112112112112485353535355V SE BE SB πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、圆锥的体积.18．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．【答案】（1）14海里/小时； （2）.【解析】【详解】（1）12,20,120AB AC BAC ︒==∠=,∴∴,∴V 甲海里/小时 ； （2）在中，由正弦定理得∴∴.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题. 19．在数列{}n a 中，112a =，()()*1222,N 1n n n a a n n n n -+=+≥∈+. （1）求证：11n a n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求通项n a ； （2）设()1212n n n b n a +=++，从数列{}n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列{}n c ，其中n n k c b =，其中*11N n n k k k m +-==∈.试问是否存在正整数m ，使()121lim 7n n c c c →+∞++⋅⋅⋅+=？若存在，求出m 的值：不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；1121n n a n -=-+；（2）存在；3m =. 【解析】（1）根据递推关系，得到12121n n a a n n -=+-+，进而可证数列11n a n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭是等比数列，从而可得通项公式； （2）先由（1）求出12n n b =，根据题中条件，得到数列{}n c 是以12m 为首项，以12m为公比的等比数列，根据无穷等比数列的极限，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】 （1）因为()()*111222212222,N 111n n n n n n n a a a a n n n n n n n n ---+++=+=+-=+-≥∈+++，所以11121n n a a n n -⎛⎫+⎪⎝=+⎭+，又112a =，则11111a +=+， 所以数列11n a n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列， 因此1121n n a n -+=+，所以1121n n a n -=-+； （2）由（1）可得，()1111222212211212n nn nnn b n a a n n n +====+++++++-， 又n n k c b =，*11N n n k k k m +-==∈，所以1111122n n n n k k mk n n k b c c b ++-+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112k m c b ==， 则数列{}n c 是以12m 为首项，以12m 为公比的等比数列， 因此()12111122112lim lim 112171122n mm m nm n n m m c c c →+∞→+∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++⋅⋅⋅+====---，即28m =，解得3m =，即存在正整数3m =，使()121lim 7n n c c c →+∞++⋅⋅⋅+=. 【点睛】本题主要考查由递推公式证明数列是等比数列，并求数列的通项公式，考查无穷等比数列的极限，属于常考题型.20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l 经过点2F ，倾斜角为45°，与椭圆交于A 、B 两点.（1）若12F F = （2）对（1）中椭圆，求1ABF 的面积；（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得OM OA OB λμ=+，试确定λ，μ满足的等式关系.【答案】（1）2213x y +=；（2（3）221λμ+=.【解析】（1）转化条件为c =3a b ，结合222a c b -=即可得解；（2）联立方程组，结合韦达定理可得12y y -，再由1121212ABF S F F y y =⋅-△即可得解；（3）将椭圆方程转化为22233x y b +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由平面向量数乘的坐标表示可得()()222121233x x y y b λμλμ+++=，联立方程组，结合韦达定理化简即可得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得122c F F ==，即c =因为椭圆长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点， 所以3ab ，所以222222a b b c -===，所以223,1a b ==，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）知()1F，)2F，所以直线:l y x =-设()11,A x y ，()22,B x y ，由2213y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y得2430x -+=，>0∆，所以12x x +=，1234x x =，所以122x x -==，12122y y x x -=-+=，所以1121211222ABF S F F y y =⋅-=⨯=△ （3）由3a b 可得椭圆方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，则点)2,0F ，直线:l y x =-，由22233y x x y b⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22430x b -+=，>0∆， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，21234x x b =，设(),M x y ，由OM OA OB λμ=+可得12x x x λμ=+，12y y y λμ=+， 由点(),M x y 在椭圆上可得()()222121233x x y y b λμλμ+++=，整理得()()()22222221122121233233xy x y x x y y b λμλμ+++++=，因为()()()21212121212123346x x y y x x x x x x x x b +=+=-++2223960b b b =-+=，所以()()22222221122333xy x y b λμ+++=，又()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆上，所以2221133x y b +=，2222233x y b +=，所以()222233bb λμ+=，所以221λμ+=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21．若()()2f a x f a x b ++-=对一切满足定义的x 成立，则函数关于点(),a b 中心对称.对于函数()cos 2x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，试回答下面几个问题： （1）求函数()f x 的对称中心： （2）当[],1x n n ∈+时，求方程：12sin 10n xn--=的所有解；（3）对于等差数列{}n a ，记{}n a 前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，(){}n f a 的前n 项和()()()12n n T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，试判断：“20202020S π=”是“20202020T π=”成立的什么条件，并证明.【答案】（1）()()2,2Z k k k ππππ++∈；（2）当1n =时，该方程有唯一解2x π=；当2n ≥时，方程无解；（3）充要条件；证明见解析.【解析】（1）根据()()2f a x f a x b ++-=对一切满足定义的x 成立，则函数关于点(),a b 中心对称求解.（2）将12sin 10n xn --=转化为11sin 2n x n -=，分1n =和 2n ≥，研究函数11sin ,2n x y y n -==的值域即可.（3）利用等差数列{}n a 的前n 项和公式和逻辑条件的定义求解. 【详解】（1）()()f a x f a x ++-，cos cos 22a x a x a x a x +-⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22cos cos 222a xb a =+=，所以cos 0222a a b⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得2a b k ππ==+，所以函数()f x 的对称中心是()()2,2Z k k k ππππ++∈；（2）方程：12sin 10n xn --=转化为11sin 2n x n -=，当1n =时，sin 1x =，因为[]1,2x ∈，所以2x π=，所以方程：12sin 10n xn--=有一解；当2n ≥时，因为[],1x n n ∈+，所以11,1x n n ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1sinsin1,sin 1x n n ⎡⎤⎛⎫∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]sin1,1， 而111(0,]22n -∈， 所以方程方程：12sin 10n xn--=无解；（3）由等差数列{}n a ，2020122020120202019202020202dS a a a a π⨯=++⋅⋅⋅+=+=，所以120192da π=-， 20212n a n d π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()()12n n T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，20212019202120171cos 2cos 224224d d d d ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 20212019...cos 224n d d ππ⎛⎫⎛⎫+++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2019201720192020sin sin +...-sin 444d d d π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故充分；，以上可逆，故必要，所以“20202020S π=”是“20202020T π=”成立的充要条件. 【点睛】本题主要考查函数的对称性，方程的根与函数的零点以及等差数列的前n 项和的应用和逻辑条件的判断，还考查了以上求解的能力，属于中档题.。

2023届上海交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题 1．“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由sin 1x =，可得()2x k k ππ=+∈Z ，分析即得解【详解】由题意，若2()2x k k ππ=+∈Z ，则sin 1x =，即sin 1x =，故充分性成立；反之，若sin 1x =，则sin 1x =±，即()2x k k ππ=+∈Z ，故必要性不成立；故“2()2x k k ππ=+∈Z ”是“sin 1x =”的充分不必要条件.故选：A2．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)22ωϕππ>-<<的部分图象如图，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．1,6πωϕ==- B ．1,3πωϕ==-C ．2,6πωϕ==-D ．2,3πωϕ==-【答案】D【分析】由函数的部分图像求出函数的周期和向左平移量，进而求得,ωϕ的值. 【详解】解：由53()1234πππ--=得：函数()2sin()f x x ωϕ=+的周期T π=， 又0ω>，2ω∴=，又由第一点坐标为(,0)6π，故第一点向左平移量6L π=-，故2()63L ππϕω==⨯-=-，故选：D.【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式，求ϕ是难点，属于中档题.3．碳70()70C 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．A ．12B ．25C ．30D ．36【答案】B【分析】根据题意可知顶点数为70，可求得棱长数为105，结合欧拉公式得到面数为37，列出方程组即可求解.【详解】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用， 故棱长数7032105=⨯÷=，由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数21057037=+-=， 设正五边形x 个，正六边形y 个，则37x y +=，561052x y +=⨯，解得12x =，25y =， 故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个， 故选：B.4．若对于函数()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x =成立，则称这样的函数为“F 函数”，则下列四个函数：①()ln(1)f x x =-；②1()e x f x +=；③2()1f x x =+；④()tan f x x =，π(0,)2x ∈.其中“F 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据“F 函数”的定义一一验证每个选项中的函数，符合该定义的即为“F 函数”，由此可得答案.【详解】对于①()=ln(1)f x x -，当12x =时，1()=0f x ，此时不存在2x ，使得12()()1f x f x =，故①不是“F 函数”；对于②+1()=e x f x ，对于定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量21=2x x --，使得11+11012()()=e ?e =e =1x x f x f x --， 故②1()e x f x +=是“F 函数”；对于③2()1f x x =+，对于定义域内的任意一个自变量x ，都有2()=+11f x x ≥， 取12x = ，则1()=5f x ，定义域内不存在2x ，使得21()5f x =，即不能使得12()()1f x f x =，故③不是“F 函数”；对于④()tan f x x =，π(0,)2x ∈定义域内的任意一个自变量1x ,都存在唯一一个自变量212ππ=,(0,)22x x x -∈,使得12111πsin()π12()=tan()==π2tan cos()2x f x x x x ---，从而使得12111()()=tan ?=1tan f x f x x x ， 故④为“F 函数”； 故选：C二、填空题5．设i 是虚数单位，若()i i 1b +是纯虚数，则实数=b _________. 【答案】0【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的概念，即可求得答案.【详解】由题意得()i i 1i b b +=-+，因为()i i 1b +是纯虚数，则0b -= ，即=0b ，故答案为：06．满足条件{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆的集合M 共有___________个． 【答案】4【详解】符合题意的集合M 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,44个7．若1tan 2θ=-，那么221sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】-1.【分析】原式变形为关于sin ,cos θθ的齐次分式，代入求值.【详解】2222221sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=-- 22tan 1tan tan 1θθθ++=- 111421114+-==--. 故答案为：1-【点睛】本题考查根据tan θ的值化简sin ,cos θθ的齐次分式，并求值，意在考查变形化简计算的能力，属于基础运算题型.8．已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离等于______________． 【答案】4.【详解】分析：把点(0M x 代入抛物线方程，解得0x ．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离01x +．详解：把点(0M x代入抛物线方程可得：204x =，解得03x = ． ∴点M 到抛物线焦点的距离014x =+= ． 故答案为4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．不等式3112x x-≥-的解集为___________. 【答案】3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】根据题意，由3112x x -≥-，得4302x x -≥-，即()()432020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得324x ≤<，因此不等式3112x x -≥-的解集为3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．在△ABC 中，2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______【答案】150 【详解】试题分析：113sin 23sin 222S AB AC BAC BAC =∠=⨯⨯⨯∠=，，∵0AB AC ⋅<，∴90BAC ∠>︒，∴150BAC ∠=︒． 【解析】三角形的面积，向量的夹角． 11．2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++=_________ .【答案】1【分析】根据换底公式，以及对数的运算法则，求解即可 【详解】根据换底公式：2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++lg 2lg3lg !lg100!lg100!lg14lg1000!lg1000=++++lg 2lg3lg 4..!g .lg 100100l =++++lg100!lg100!lg1lg 2lg3lg 4...lg100lg(123...100)=+++⨯=++⨯⨯⨯1lg lg 01001!0!== 故答案为：112．在621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．（用数值回答）【答案】581【分析】求得621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，并求得2rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项212k k r kk r T C x -+'=，令20r k -=，对k 、r 分类讨论即可得出答案.【详解】621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式通项为()16206,rr r T C x r r N x +⎛⎫=+≤≤∈ ⎪⎝⎭，2r x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项()212206,,kk r k k k r k k r r T C x C x k r k r N x --+⎛⎫'=⋅=≤≤≤∈ ⎪⎝⎭， 令20r k -=，0k =，0r =时，可得11T =；1k =，2r =时，可得22362T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1222T C '=，2162260C C ∴⨯=；2k =，4r =时，可得44562T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2234224T C '==，4624360C ∴⨯=； 3k =，6r =时，可得66762T C x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33462160T C '==，66160160C ∴⨯=. 因此，621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为160360160581+++=.故答案为：581.【点睛】本题考查了三项展开式中常数项的计算，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_________.【答案】11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min 12a x a x a -+≤-++，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围.【详解】()()2223x a x a x a x a x a x a a -++=-++≥--+=， 当()(2)0x a x a -+≤时等号成立，即()min 23x a x a a -++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即13a a -+≤ ，即31a a ≥-或31a a ≤- ， 解得：14a ≥或12a ≤-. 故答案为：11,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭14．设P 是ABC 内的一点，且=2BC ，3CA =，=4AB ，则222234PA PB PC ++的最小值为_________. 【答案】24【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解.【详解】如图，以AB 中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，164911cos 24216B +-==⨯⨯，所以5(8C ，(20)A -，，(20)B ，，设(,)P x y ，则()2222PA x y =++，()2222PB x y =-+，22258PC x y ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222222210999309334x y x x y x PA PB PC ++⎛⎫=+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭221889924233x y ⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥=-++≥⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当1,2x y ==时，取到等号. 故答案为：24.15．如果函数()=y g x 满足：对任意实数m 、n 均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()=y g x 是“次线性”函数，若“次线性”函数()=y f x 满足()01f =，且两正数x 、y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，则142log ()log x y x +-的最大值为_________. 【答案】1-【分析】根据定义，利用赋值法可求出()1f x x =+，再利用导数求最值可得解. 【详解】令0m n ==，则(1)(0)(0)=2(0)0f f f f ---成立， 因为函数()=y f x 满足()01f =，所以(1)=2f ， 令=,0m x n =，则有()()()()10=20f f x f f x ---， 从而有()1f x x =+，因为1422log (+)log =log (+x y x x y --所以142log (+)log x y x -的最大值，即(x y +又因为正数,x y 使得点()21,32x xy --在函数()=y f x 的图像上，所以有2231+1=32=>00<2x x xy y x x-⇒⇒--所以223(++2x x y x x -14(0,3)t ∈24+32t t =， 令4+3()2t h t t =，则42223(1)3(+1)(+1)(1)()==22t t t t h t t t --'， 当14()>01<<3h t t ⇒'，()<00<<1h t t ⇒'，所以函数()h t 在(0,1)上单调递减，在14(1,3)上单调递增， 所以min 13()(1)22h t h +===，所以min [(2x y +=所以14222log (+)log =log (+log 2=1x y x x y ----.所以142log (+)log x y x -的最大值为1-.故答案为：1-三、解答题16．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800iii x x y y =--=∑.(1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本(),(1,2,,20)i i x y i =的相关系数.（精确到0.01）【答案】(1)12000 (2)0.94【分析】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案； （2）根据相关系数公式进行计算，可得答案.【详解】(1)由已知得样本平均数20111=12006002020i i y y ==⨯=∑ ， 从而该地区这种野生动物数量的估计值为2060012000⨯=.(2)由()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800i i i x x y y =--=∑，可得样本(,)()1220i i x y i =，，， 的相关系数为20()()0.94iix x y y r -===≈-∑.17．已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(2)22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩【分析】（1）先利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，再利用累加法求出n b ；（2）先利用（1）结果求出n c ，再利用等差数列求和公式进行求和即可． 【详解】(1)∵31n S n =-，∴134,2-=-≥n S n n ， ∴()1313432n n n a S S n n n -=-=--+=≥， 当1n =时，1123S a ==≠，∴2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，∵()121n n b b n +=+-，∴211b b -=，32433,5,-=-=b b b b …，123,2n n b b n n --=-≥， 以上各式相加得：21(1)(123)135(23)(1)2,2n n n b b n n n -+--=++++-==-≥，22n b n n =-，又11b =-符合上式，∴22n b n n =-；(2)由题意得2,136,2n n c n n -=⎧=⎨-≥⎩，1n =时，12T =-,当2n ≥时，()20363921222n n n n T n +--+=⨯--=， ∴22,1392,22n n T n n n -=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩.18．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2N μ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,2050.8100,205x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本． 参考数据：()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈．【答案】（1）0.002a =；（2）200；0.6827；（3）75.04元． 【分析】（1）由频率之和等于1求出a 的值；（2）先由频率分布直方图求平均数的方法得出μ，再由参考数据得出数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）先由频率分布直方图得出每组的质量指标值，再根据生产成本与质量指标值之间的函数关系得出生产疫苗的平均成本．【详解】解：（1）由10(0.0090.0220.0330.0240.008)1a a ⨯++++++= 解得0.002a =．（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 2200.082300.02200⨯+⨯=故()2200,12.2X N ~所以(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6827P X P X <<=-<<+≈ 故测量数据落在(187.8,212.2)内的概率约为0.6827（3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.33(0.8210100)0.24(0.8220100)0.08(0.8230100)0.02+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯75.04=故生产该疫苗的平均成本为75.04．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由频率分布直方图计算平均数的方法得出μ，进而由正态分布的性质得出概率.19．三棱锥P ABC -中，PA PB PC BC a ====，且PB 与底面ABC 成60︒角.(1)设点P 在底面ABC 的投影为H ，求BH 的长； (2)求证：ABC 是直角三角形； (3)求该三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)12a ； (2)证明见解析；3.【分析】（1）根据题意找到PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角，即可求得答案； （2）确定点H 为ABC 的外心，且落在BC 的中点处，即可证明结论; （3）求出底面三角形面积的最大值，根据三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】(1)如图，点P 在底面ABC 的投影为H ，则PH ⊥底面ABC ,则PBH ∠为PB 与底面ABC 所成角.，即60PBH ∠=︒， 故1122BH PB a ==； (2)因为==PA PB PC ，则HA HB HC ==,即H 为ABC 的外心， 设BC 的中点为D ，连接HD ，则HD BC ⊥，所以PD PH =,即PD PH =,故,D H 重合，则12AD a == ， 则12AD BC =,则90BAC ∠=,故ABC 是直角三角形； (3)设,,0,0AB m AC n m n ==>>，则222m n a += ，故22222m n a mn +≤=，当且仅当m n ==时取等号，故21124ABC S mn a =≤，故三棱锥P ABC -体积的最大值为231134a ⨯= .20．已知()()ln 1f x x ax =++.(1)当=1a 时，求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程； (2)当10a -<<时，研究函数()=y f x 在区间()0,∞+上的单调性；(3)是否存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,∞+上各恰有一个零点？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2y x =；(2)()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11,a ⎛⎫⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)不存在，理由见解析；【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）求()f x 的导数，讨论导数的正负，从而得到()f x 的单调区间； （3）分0a ≥，1<0a -≤和<1a -进行讨论，通过导数求其单调性即可 【详解】(1)若=1a ，则()()=ln 1++1f x x x x >-，，()111f x x'=++， 则函数在()()0,0P f 处的切线的斜率()0=2k f '=，又()0=0f ， 所以曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程是2y x =； (2)由()(),0ln 1f x x ax x =+>+可得()1111ax a f x a x x++'=+=++， 当1<<0a -时，令()=0f x '，解得1=1+>0x a -⎛⎫⎪⎝⎭当10<<1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是10,1+a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11+,+a -∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)当0a ≥时，()1=+01+f x a x≥'，所以()f x 在()1,+-∞单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当1<0a -≤时，令()=0f x '，解得1=1+0x a -≥⎛⎫⎪⎝⎭当11<1+x a -≤-⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x ≥'，()f x 单调递增；因为()0=0f ，且101,1+a ∈--⎛⎤⎛⎫ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故当()1,0x ∈-，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()1,0-无零点；当<1a -时，令()=0f x '，解得()1=1+1,0x a -∈-⎛⎫⎪⎝⎭，当1>1+x a -⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；因为()0=0f ，且101+,+a ∈-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0,+x ∈∞，()()00f x f <=，故此时()f x 在区间()0,+∞无零点；综上所述，并不存在实数a 使得函数()=y f x 在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()=0f x 分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线=y a 与函数()=y g x 的图象的交点问题.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为y =，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点. (1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1，求线段AB 的中点坐标；(3)点()11,P x y 、()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -=(2)(1,3)-- (3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案； （2）首先求出点M 的轨迹方程即为3,M M y x k=其中k 为直线PQ 的斜率； 若选择①②∶设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，求出点M 的坐标，可得M 为AB 的中点，即可推出||=||MA MB ；若选择①③︰当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2)y m x -，求出点M 的坐标，即可PQ AB ∥；若选择②③∶设直线AB 的方程为=(2)y k x -，设AB 的中点C ，求出点C 的坐标，可得点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．【详解】(1)由题意可得2,b c a = 2ba=，解得1,a b ==，因此C 的方程为 22=13y x -；(2)由直线AB 的斜率为1，得直线AB 的方程为=2y x -，联立=2y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，得：=1=3x y ---⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设(1,3A ---,联立=2=y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，得：1=x y -⎧⎪⎨⎪⎩，不妨设1,B -, 故线段AB 的中点的横坐标为1-，纵坐标为3-， 故线段AB 的中点的坐标为(1,3)--；(3)由题意设直线PQ 的方程为=+(0y kx m k ≠，） ，将直线PQ 的方程代入22=13y x -得 222(3)23=0k x kmx m ----,22Δ=12(+3)>0m k -,因为12>>0x x ，21212222+3+=>0,=>033km m x x x x k k ∴---，23<0k ∴-，12x x ∴- 设点M 的坐标为(,)M M x y ,则1122=))M M M M y y x x y y x x -----⎧⎪⎨⎪⎩，整理得1212+)M y y x x --，1212=()y y k x x --，1212+)+()M x x k x x ∴-，解得M x又因为12122(+)M y y y x x --，12121212+=(+)+2, 2)+(+)+2M y y k x x m y x x k x x m ∴-，M y ∴3=M M y xk ∴；若选择①②作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x -，并设A 的坐标为33(,)x y ，B 的坐标为44(,)x y ，则3333=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得33x y同理求得44=x y - 2343422412+=,+=33k kx x y y k k ∴--，此时点M 的坐标满足=(2)3=M M M M y k x y x k -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得23434222161==(+),==(+)3232M M k k x x x y y y k k --，故M 为AB 的中点，即MA MB =，即③成立 ； 若选择①③作条件：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(20)F ，，此时不在直线3y x k= ，矛盾， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为=(2),(0)y m x m -≠ ，并设A 的坐标为55(,)x y ，B 的坐标为66(,)x y ，则5555=(2)y m x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得55x y同理解得66=x y -此时256212=(+)=23M m x x x m -，56216=(+)=23M m y y y m ∴-，由于点M 同时在直线 3y x k =上，故222632=33m m m k m ⋅-- 解得k m = ， 因此PQ AB ∥ ，即②成立． 若选择②③作条件：设直线AB 的方程为=(2)y k x - ，并设A 的坐标为78(,)x y ，B 的坐标为88(,)x y ，则7777=(2)y k x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得77x y同理可得88=x y - 设AB 的中点为(,)C C C x y ,则27878221216=(+)=,=(+)=2323C C k kx x x y y y k k --， 由于MA MB =，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1=()C C y y x x k---上， 将该直线与3y x k =联立，解得22226==,==33M C M C k kx x y y k k --，即点M 恰为AB 中点，即点M 在直线AB 上, ①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.四、双空题22．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．【答案】【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面积为1344sin602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin 602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点， 则8HF MF ==，4BF =.在HBF 中，22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=，HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥，又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥，∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯=，在HBM △中，由余弦定理得2221cos 23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅，sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin MH r HBM ===∠r ∴=∴点N的轨迹长度为2πr =.故答案为：.【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N 的轨迹.。

上海交通大学附属中学高三数学月考试卷(理)（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

） 一、填空题（本大题满分56分，每题4分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1．已知复数z 满足i z i =-)1(，则z = 2．已知集合{}{}lg(1),213S x y x T x x ==-=-≤,则ST =_________.3．在等差数列{}n a 中，已知137=a ，2915=a ，则通项公式n a =_____________.4．若P 是圆012422=++-+y x y x 上的动点，则P 到直线02434=+-y x 的最小距离是_____________.5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 .（精确到0.01） 6．函数3sin sin()y x x π=+的最大值是______________.7．二项式9)1(xx -展开式中的常数项为 .8．已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，cos 3ρθ=，则曲线1C 与2C 交点的一个极坐标为 ．9．若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→n n n n n a a ，则=a 。

10．已知)(x f 是最小正周期为2的函数，当(1,1]x ∈-时，()f x =若在区间(3,5]上ax x f =)(有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________11．某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的均值等于 分钟．12．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是 ． ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直；成 绩 人 数40 1150 60 221370 80 90③与直线m 平行的直线不．可能与平面α垂直； ④与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行； ⑤与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直． 13．已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

交大附中2022学年第一学期高三年级数学月考2022.9一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设i 是虚数单位，若()i i 1b +是纯虚数，则实数b =______.2.满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆∅的集合A 共有______个.3.若tan 2θ=，那么2212sin cos sin cos θθθθ+=-______. 4.已知抛物线24y x =上一点()0,23M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为______. 5.不等式3112x x-≥-的解集为______. 6.已知ABC △中，2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠=______. 7.2341001111log 100!log 100!log 100!log 100!++++=______.8.若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是______.9.621x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______.（用数值回答）10.设P 是ABC △内的一点，且2BC =，3CA =，4AB =，则222234PA PB PC ++的最小值为______.11.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”.点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______，点N 轨迹的长度为______.（本题第一空2分，第二空3分.） 12.如果函数()y g x =满足：对任意实数m，n均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()y g x =是“次线性”函数.若“次线性”函数()y f x =满足()01f =，且两正数x ，y 使得点()21,32x xy --在函数()y f x =的图像上，则()142log log x y x +-的最大值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.“()2Z 2x k k ππ=+∈”是“sin 1x =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.函数()2sin 0,22y x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ） A.1ω=，6πϕ=- B.1ω=，3πϕ=-C.2ω=，6πϕ=-D.2ω=，3πϕ=-15.碳70()70C 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ） A.12B.25C.30D.3616.若对于函数()y f x =定义域内的任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个自变量的值2x ，使得()()121f x f x =成立，则称这样的函数为“F 函数”，则下列四个函数：（1）()()ln 1f x x =-；（2）()1x f x e+=；（3）()21f x x =+；（4）()tan f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 其中“F 函数”的个（ ） A.4B.3C.2D.1三、解答题（本大题共有6题，满分80分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得20160ii x==∑，2011200ii y==∑，()202180i i x x=-=∑，()20219000i i y y=-=∑，()()201800i ii x xy y =--=∑.（1）估计该地区这种野生动物的数量； （2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =的相关系数（精确到0.01）.18.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分） 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验.某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中实数a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2N μ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算均值μ，并计算测量数据落在区间()187.8,212.2内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,205,0.8100,205.x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本.（参考数据：()10.8413Φ≈，()20.9772Φ≈，()30.9987Φ≈）19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知数列{}n a 的前n 项和3nn S =，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-()*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 三棱锥P ABC -中，PA PB PC BC a ====，且PB 与底面ABC 成60°角. （1）设点P 在底面ABC 的投影为H ，求BH 的长； （2）求证：ABC △是直角三角形； （3）求该三棱锥体积的最大值.21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知()()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程； （2）当10a -<<时，研究函数()y f x =在区间()0,+∞上的单调性；（3）是否存在实数a 使得函数()y f x =在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点？若存在，请出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为y =.过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.（1）求C 的方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求线段AB 的中点坐标；（3）点()11,P x y ，()22,Q x y 在C 上，且120x x >>，10y >.过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①点M 在AB 上；①PQ AB ∥；①MA MB =. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.参考答案一、填空题1.0;2.3;3.3;4.4;5.324x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭＜;6.56π;7.1;8.(]225⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，;9.581; 10.24； 11. 8+ 12.-1 12.如果函数()y g x =满足：对任意实数m，n均有()()()()12g mn g m g n g n m +-=--成立，那么称()y g x =是“次线性”函数.若“次线性”函数()y f x =满足()01f =，且两正数x ，y 使得点()21,32x xy --在函数()y f x =的图像上，则()142log log x y x +-的最大值为______.【解析】先令令m n 0==,求出g (1)2=,再化简12log 42()log log ()x y x x y x +-=-+,求出()x y x +的最小值即可. 二、选择题13.A 14.D 15.B 16.C 三、解答题17.（1）12000 （2）0.94≈18.（1）0.002a =(2)0.6827≈(3)75.0419.（1）13,123,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅⎩,22n b n n =- （2）3(25)32n n n T +-⨯=20.（1）2y x =（2）1(1,1)x a ∈---时单增，11,+x a ⎛⎫∈--∞ ⎪⎝⎭时单增减，（33a21.(1)2y x =（2）(3)1a -＜ 21.已知()()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程； （2）当10a -<<时，研究函数()y f x =在区间()0,+∞上的单调性；（3）是否存在实数a 使得函数()y f x =在区间()1,0-和()0,+∞上各恰有一个零点？若存在，请出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)2y x =（2）(3)1a -＜(1)将1a =代入,对函数()f x 求导,求出(0)f '及(0)f ,由点斜式得答案;(3)对函数()f x 求导,分0a 及0a <讨论,当0a 时容易判断不合题意,当0a <时,令()21()1xa x g x e -=+,利用导数判断()g x 的性质,进而判断得到函数()f x 的单调性并结合零点存在性定理即可得解.。

上海交大附中第一学期高三第一次月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分。

1．集合2{|1,}M y y x x R ==-+∈，2{|lg(4)}N x y x ==-，则M N ⋂= 。

2．设{|110,}A x x x N =≤≤∈，2{|280,}B x x x x R =+-=∈，全集U R =，则右图中阴影表示的集合中的元素为 。

3. 有4个命题：①很多男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球。

其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定命题的是 。

4. 函数22()1x f x x =+，则111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++= 。

5. 不等式2(2)90x x +-≤的解集为 。

6．若点(2,4)既在函数2ax b y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式是 。

7．设函数1()2ax f x x a+=+在区间(2,)-+∞上是增函数，那么a 的取值范围是 。

8. 若221 1()log 1 1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩ ，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -= 。

9．若1x >-，(5)(2)()1x x f x x ++=+的最小值是 。

10. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是 。

11．函数()lg(6),()a f x x a R x=+-∈的值域为R ，则实数a 的取值范围是 。

12. 建造一个容积为318m , 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每2m 的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为 元。

13．已知函数()||,()f x x x px q x R =++∈，给出下列四个命题：①()f x 为奇函数的充要条件是0q =；②)(x f 的图象关于点(0,)q 对称；③当0p =时，方程()0f x =的解集一定。

上海市交通大学附属中学2021届高三上学期10月月考数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、若样本数据依小到大为1，2，3，x ，6，6，它们的中位数是4，则x =______.2、若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=______. 3、若复数z 满足()()3421()2i z i i −=+−，则z 的虚部是______.4、方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______.5、在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为______. 6、记函数()y f x =的反函数为()1y fx −=，如果函数()y f x =的图像过点（1，-4），那么函数()12y f x −=的图像一定过点______.7、空间中一条线段在三视图中的长度分别为5______. 8、设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足121235PF PF F F −=，则该双曲线的渐近线方程为______. 9、函数tan42y x ππ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则OA AB ⋅=______.10、函数()f x 和()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含()0,1A ，()1,1B ，()0,0O ，()1,1C −−，()0,1D −五个点，若函数()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.11、已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的方程：()212202112202120210x a a a x b b b −++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=有实数解，那么以下2021个方程2110x a x b −+=，2220x a x b −+=，2330x a x b −+=，…，2202120210x a x b −+=中，无实数解的方程最多有______个.12、函数11y x=−的图像与函数[]()2sin 2,4,Z y x x k k k π=∈−−+∈的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k 的值是______.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13、已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ）A.22a b +有最小值C.11a b +有最大值有最大值 14、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(),M x y 为D 上的动点，点A的坐标为)，则z OM OA =⋅的最大值为（ ） A.3B.C. D.4 15、设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>， 其中,a b R ∈.下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集：对任意b ，1Q 不是2Q 的子集B.对任意a ，1P 是2P 的子集：存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集D.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集16、对于定义在[]1,1−上的函数()f x 和()g x ，有下面几个命题：①若()()*cos cos N f x nx n =∈，当n 为奇数时，函数()f x 是奇函数；②若()()*cos cos N f x nx n =∈,当n 为偶数时，函数()f x 是偶函数：③存在正奇数n 和奇函数()g x ，满足对任意的x ，都有()()*sin sin N g x nx n =∈；④存在正偶数n 和偶函数()g x ，满足对任意的x ，都有()()*sin sin N g x nx n =∈；⑤存在正整数n ，使得()f x 与()g x 均为单调函数，其中()cos cos f x nx =，()()*sin sin N g x nx n =∈. 其中真命题的个数是（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个 三、解答题（本大题共5题，满分76分，14′+14′+14′+16′+18′=76）17、本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，3AB =，4SA =.（1）求直线SC 与平面SAB 所成角的大小；（2）求SAB △绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积.18、本小题满分14分（第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值。

绝密★启用前 上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A ．17πB ．22πC ．68πD ．88π3．设O 为坐标原点，第一象限内的点(),M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩， (),ON a b =（0a >,0b >）.若OM ON ⋅的最大值为40，则51a b+的最小值为A ．256 B ．94C ．1D ．44．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC ∆边BC 延长线上一点；（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ） A．1λ<-或2λ=- B ．4<-λC ．2λ=-D ．4<-λ或1λ=-二、填空题5．已知集合{}11A x x =-<<，{}1,0,2B =-，则A B =___________. 6．计算：20lim313n n n →∞+=+___________.7．若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________. 8．若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，其解为11x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=________ 9．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 10．在()()21511....(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是________（用数字作答） 11．若双曲线22213x y a -=的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为_________．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则a 的取值范围是___________.13．已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为__________.14．已知等差数列{}n a 中公差10,1d a ≠=，若125,,a a a 成等比数列，且1212,,,,,,nk k k a a a a a ⋯⋯成等比数列，若对任意n *∈N ，恒有()2121n mn m a a m k k *≤∈--N ，则m =_________． 15．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．16．对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取1x 、[)20,x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k +=+∈N ，对一切[)0,x ∈+∞恒成立；④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同实根1x 、2x ，则123x x +=. 则其中所有正确结论的序号是___________.（请写出全部正确结论的序号） 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD A A ===.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.18．设函数()3sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且以23π为最小正周期．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．19．设n S 、n T 分别是数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，已知对于任意*n ∈N ，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，且525T =，1019b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()1n nn a b c n n =+，求数列{}n c 的前n 项和n R ，并求n R 的最小值.20．如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，A B 、为椭圆的左右顶点，焦点(),0F c 到短轴端点的距离为2，且c a =，P Q 、为椭圆E 上异于A B 、的两点，直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍.（1）求直线BP 与直线BQ 的斜率乘积值； （2）求证：直线PQ 过定点，并求出该定点； （3）求三角形APQ 的面积S 的最大值.21．已知a ∈R ，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若()23f =-，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围.（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.参考答案 1．A 解：试题分析：由题意得，min 2()221a a x x a x x +≥⇔+≥⇔⇔≥，故“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1．充分必要条件；2．恒成立问题． 2．A 解：从题设中提供的三视图可以看出：该几何体所是底面是边长为2的正方形，高是3的正四棱柱，如图，外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点上，即球心距为13322d =⨯=，底面外接圆的半径为12r =⨯222917244R d r =+=+=，其表面积21744174S R πππ==⨯=，应选答案A ． 3．B 解：OM ON ax by ⋅=+，∴设z=ax+by ，则z 的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by ，得a z y x b b =-+，由图象可知当直线a z y x b b =-+，经过点A 时，直线a z y x b b=-+的截距最大，此时z 最大（∵b ＞0），由26020x y x y ＝＝--⎧⎨-+⎩，解得810x y ＝＝⎧⎨⎩，即A （8，10），代入z=ax+by ，得40=8a+10b ，即154ab +＝，5151155519)(12544454424a b b a a b a b a b ∴+=++=+++≥++⨯（）＝＝， 当且仅当545b a a b ＝，即4a 2=25b 2，2a=5b 时取等号，∴5a+1b 的最小值为94， 本题选择B 选项.4．D首先根据（1）确定0λ<，再结合换元法把（2）转化为二次方程在区间内有唯一解的问题，即可得解． 解：(1)AD AB AC λλ=+-()AC AB AC λ=+-AC CB λ=+，又AD AC CD =+，∴CB CD λ=，D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，0λ∴<，关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解， 令sin t x =，由正弦函数的图象可知， 方程22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解， [2(1)1][2(1)1]0λλ∴-+++++<或01114λ∆=⎧⎪⎨+-<<⎪⎩，解得4<-λ或2λ>（舍)或1λ=--1λ=-+，∴4<-λ或1λ=--故选：D ． 【点睛】此题考查向量变换、换元法、二次方程的根等，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综合性较强，难度较大． 5．{}0##利用交集的定义，即得解 解：集合{}11A x x =-<<，{}1,0,2B =-， 由交集定义，{}0A B ⋂=， 故答案为：{}0 6．13利用常用数列的极限可求得结果. 解：201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++， 故答案为：13.7利用复数的除法化简复数z ，可得出z ，再利用复数的模长公式可求得结果. 解：()223i i 3i 3i i 3i 113i i i i i 1z +++-=====-⋅-，所以，13i z =+，因此，z ==8．6本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 解：解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 9．2arcsin 5π+解：由于2arcsin 5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =-3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角. 10．560由题意可得x 2项的系数是222223415C C C C ++++，再利用二项式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）15的展开式中，x 2项的系数是222232341516C C C C C ++++==560，故答案为：560． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题． 11．2 解：22213x y a -=＋ay ＝0，被圆(x －2)2＋y 2＝4所截弦长为2，=，a ＝1.所以双曲线的实轴长为2.12．(),2-∞-作出分段函数图象，可知()f x 在R 上单调递减，不等式()()2f x a f a x +>-可转化为2x a a x +<-在[],1x a a ∈+上恒成立，即2a x >，转化为max (2)a x >即得解 解：作出分段函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩的图象如图，要使不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立， 则2x a a x +<-在[],1x a a ∈+上恒成立， 即2a x >在[],1x a a ∈+上恒成立， ∴()21a a >+，解得：2a <-. 故答案为：(),2-∞- 13．3()2,1AB =, ()1,2AC =，()()()2,11,22,2AP AB AC λμλμλμλμ=+=+=++，设 (),P x y ，则()1,1AP x y =-+，所以 12,{12,x y λμλμ-=++=+即23,3{23.3y x x y μλ-+=--=因为12λ≤≤，01μ≤≤，所以23013y x -+≤≤且23123x y --≤≤，即画出平面区域，如下图所示，||CD =E 到直线230x y --=BDCE 的面积为3.【考点定位】本题考查两条直线的位置关系、考查了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题.难度较大. 14．1或2 解：设等差数列的公差为d ，由题意可得：2215a a a =，即：()()21114a d a a d +=⨯+， 结合11a =整理可得：()20d d -=，由0d ≠可得：2d =，数列的通项公式：()1121n a a n d n =+-=-，则：121,3a a ==，即数列1212,,,,,,nk k k a a a a a ⋯⋯是首项为1公比为3的等比数列，则：1321nn k n a k +==-，据此可得：121213n n na n k +-=-， 结合数列21n n a k ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得1m =或2. 15．(,6][12,)-∞⋃+∞由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解. 解：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=，当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=，当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1131669224a a a ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭其出现的概率为211()24=，∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34，则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16．①④⑤求出函数()f x 的最大值和最小值，可判断①的正误；求出函数()f x 在区间[]4,5上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；数形结合可判断④的正误；利用正弦型函数的对称性可判断⑤的正误. 解：()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如图所示：①当[]0,2x ∈时，()[]sin 1,1f x x π=∈-， 当[]2,4x ∈时，()()()111112sin 2sin ,22222f x f x x x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当[]4,6x ∈时，()()()111114sin 4sin ,44444f x f x x x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 以此类推，当()()2,21x k k k N ∈+∈⎡⎤⎣⎦时，()()()111112sin 2sin ,22222k k k k k f x f x k x k x ππ⎡⎤=-=-=∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，对任意的1x 、[)20,x ∈+∞，()()()()12max min 2f x f x f x f x -≤-=，故①正确； ②当[]4,5x ∈时，()()()1114sin 4sin 444f x f x x x ππ=-=-=⎡⎤⎣⎦， 因为45x πππ≤≤，所以，函数()f x 在[]4,5上不单调，故②错误；③111112244868822222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+≠+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故不正确，故③错误；④如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点，故④正确， ⑤当12x ≤≤时，函数()f x 关于直线32x =对称， 若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同实根1x 、2x ，则12322x x +=， 则123x x +=成立，故⑤正确， 故答案为：①④⑤.17．（1）见解析；（2）23. 解： 试（1）因为1111ABCD A B C D -为长方体， 故1111AB //C D ,AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11BC //AD ， 显然1B C 不在平面1D AC 内， 所以直线1BC 平行于平面1D AC ；（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点B 到平面1D AC 的距离，设为h 考虑三棱锥1ABCD 的体积，以面ABC 为底面，可得111V 121323⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭而1ΔAD C 中，11AC D C ==1ΔAD C 3S 2=所以，1312V h=h 3233=⨯⨯⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.18．（1）225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,2⎡--⎢⎣⎦.（1）根据()f x 的最小正周期求解出ω的值，再采用整体替换的方法结合正弦函数的单调递减区间的公式求解出()f x 的单调递减区间；（2）先求解出t x ωϕ=+的范围，然后根据3sin y t =的单调性求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可求. 解： （1）因为2T πω=，所以22323T ππωπ===，所以()3sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3232,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以225,312312k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为：225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()3sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以令573,444t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，又因为3sin y t =在5342ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在37,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以()min 33sin 32f x π==-，此时512x π=，又57sinsin 44ππ==()max 53sin 4f x π==，此时3x π=或2π，所以()f x 的值域为：3,⎡-⎢⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值. 19．（1）3nn a =，21n b n =-；（2）1331n n R n +=-+，最小值为32. （1）推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，设数列{}n b 的公差为d ，根据已知条件求出等差数列{}n b 的首项和公差，进而可求得等差数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出1331n nn c n n+=-+，利用裂项求和法可求得n R ，结合数列的单调性可求得数列{}n R 的最小值. 解：（1）由323n n a S =+，当1n =时，11323a a =+，解得13a =； 当2n ≥时，由323n n a S =+可得11323n n a S --=+， 上述两式相减得1332n n n a a a --=，即13n n a a -=，所以，数列{}n a 是等比数列，公比为3，因此1333n nn a -=⨯=.设数列{}n b 的公差为d ，由题意可得5110151025919T b d b b d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11b =，2d =，因此()1121n b b n d n =+-=-；（2）由（1）可得：()()()()()1313213331111n n n n n n n n n n a b c n n n n n n n n +-+⋅⎡⎤-⋅⎣⎦====-++++， 数列{}n c 的前n 项和2231133333333122311n n n n R n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为0n c >，所以数列{}n R 单调递增. 所以1n =时，n R 取最小值，故最小值为32. 20．（1）1-；（2）证明见解析，定点为2,03⎛⎫⎪⎝⎭；（3）329（1）由题意可得：a ＝2，c a =a 2＝b 2+c 2，联立解出可得椭圆E 的方程为：2242x y +=1．设P 点坐标（x ，y ），y 212=（4﹣x 2），则A （﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP •k BP 22142y x ==--，由k BQ ＝2k AP ，可得k BP •k BQ ．（2）当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y ＝kx+t 与x 轴的交点为M ，与椭圆方程联立得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由k BP •k BQ ＝﹣1，即BP BQ ⋅=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知： t 23k =-．且S ＝S△APQ＝S△APM+S△AQM12AM =|y 1﹣y 2|=，利用根与系数的关系、函数的单调性可得S 329＜．当直线PQ 的斜率不存在时，可得|PQ|83=，可得S ．解：（1）解：由题意可得：a ＝2，c a =，a 2＝b 2+c 2， 联立解得a ＝2，b ＝c = ∴椭圆E 的方程为：2242x y +=1． 设P 点坐标（x ，y ），y 212=（4﹣x 2），则A （﹣2，0），B （2，0），则 k AP 2y x =+，k BP 2y x =-， 则k AP •k BP 22142y x ==--， 由k BQ ＝2k AP ，故k BP •k BQ ＝﹣1．∴直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y ＝kx+t 与x 轴的交点为M ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 整理得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 22421kt k =-+，x 1x 2222421t k -=+，由k BP •k BQ ＝﹣1，即BP BQ ⋅=0，则y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4＝0， 得（k 2+1）x 1x 2+（kt ﹣2）（x 1+x 2）+4+t 2＝0，4k 2+8kt+3t 2＝0，得t ＝﹣2k 或t 23=-k ．y ＝k （x ﹣2）或y ＝k （x 23-），所以过定点（2，0）或（23，0）， A （2，0）为椭圆的右顶点，舍去， 当直线PQ 的斜率不存在时，当23x =时易得2424,,,3333P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足BP BQ ⋅=0 综上直线PQ 过定点M （23，0）． （3）解：由（2）可知：当直线PQ 的斜率存在时，t 23k =-S ＝S △APQ ＝S △APM +S △AQM 12AM =|y 1﹣y 2|==，令2121k =+m ∈（0，1），则S163299==＜，当直线PQ 的斜率不存在时，由（2）|PQ|83=，可得S 188322339=⨯⨯=．综上可得：当PQ ⊥x 轴时，三角形APQ 的面积S 取得最大值329． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（1）38a =-；（2）12a <≤或3a =或4a =；（3）23a ≥.（1）化简()23f =-即得解；（2）化简得()()1410x a x +--=⎡⎤⎣⎦，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围； （3）由题得()()11f t f t -+≤，即()11ta t t -≥+，设1t r -=，再对r 分类讨论，结合基本不等式得解. 解：解：（1）()23f =-，∴2211log 3log 28a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，∴1128a +=，解得38a =-（2）由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦得()221log log 4250a a x a x ⎛⎫⎡⎤+--+-= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 即()14250a a x a x+=-+->，① 则()()24510a x a x -+--=，即()()1410x a x +--=⎡⎤⎣⎦，②，当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①，成立； 当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①，成立； 当4a ≠且3a ≠时，方程②的解为1x =-或14x a =-， 若1x =-是方程①的解，则110a a -+=->，即1a >， 若14x a =-是方程①的解，则4240a a a -+=->，即2a >， 则要使方程①有且仅有一个解，则12a <≤.综上，若方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是12a <≤或3a =或4a =.（3）函数()f x 在区间[],1t t +上单调递减， 由题意得()()11f t f t -+≤，即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 即1121a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，即()12111t a t t t t -≥-=++ 设1t r -=，则102r ≤≤，()()()2111232t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， ∵2y r r=+在(上递减， ∴219422r r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--， ∴实数a 的取值范围是23a ≥.。

一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．由数字1，2，3，4，5可以组成无重复数字的个三位偶数．2．在的展开式中，常数项等于（用数字作答）3．若4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法．4．若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=．5．从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是．6．若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为．7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有种（用数字表示）8．设m、n是异面直线，m、k也是异面直线，则n、k的位置关系是．9．学校A有学生200人，学校B有学生300人，学校C有学生500人，从这三所学校的学生中用分层抽样的方法共得到20人当代表，则学校A、B、C依次抽得的人数是．10．求值：2C90﹣C91+2C92﹣C93+2C94﹣C95+2C96﹣C97+2C98﹣C99=．二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）11．用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）A．64 B．60 C．24 D．25612．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）A．2160 B．120 C．240 D．72013．要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）A．A33A85B．A55A43C．A55A53D．A55A6314．5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A．6 B．24 C．84 D．4815．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．甲、乙两学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，那么正确评价他们的数学学习情况的是（）A．学习水平一样B．成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大C．虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D．方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低17．若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的方差是（）A．26.0 B．32.5 C．41.5 D．5.718．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个 B．48个 C．36个 D．24个19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45三、解答题（共5小题，满分74分）20．解方程A x3+A x2=12A x﹣11．21．证明题：如图：两直线a，b平行，直线c与a，b相交，则：直线a、b、c三线共面（要求写处已知、求证、证明）22．已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．23．（16分）如图；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点．（1）如图中与BA1是异面直线的条数有．（2）求BA1与AD1的所成角的大小．（3）求AE与BA1的所成角的大小．24．（16分）（在的展开式中，倒数第8项是常数项．（1）求n的值；（2）求和：．2009-2010学年上海交大附中浦东实验高中高三（上）第一次月考数学试卷参考答案一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．由数字1，2，3，4，5可以组成无重复数字的24个三位偶数．【分析】本题是一个分步计数问题，最后一位数字一定是从2，4中选一个，有两种选法，前两位是在剩下的4个数字中选两个进行排列，根据分步计数原理得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵由数字1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位偶数，∴最后一位数字一定是从2，4中选一个，有两种选法，前两位是在剩下的4个数字中选两个进行排列，共有C42A22=12种结果，根据分步计数原理知共有2×12=24种结果，故答案为：24．【点评】本题考查分步计数原理．考查带有限制条件的数字问题，这是一种典型的排列组合问题，需要先排列有限制条件的元素，再排列其他的元素．2．在的展开式中，常数项等于﹣160（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得到常数项．解：展开式的通项公式是=（﹣1）r26﹣r C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=﹣23C63=﹣160故答案为﹣160【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．若4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有8640种不同排法．【分析】本题是一个有限制条件的站队问题，根据4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，可以先从4个男生中选2个排在两端，其余6个人在中间的6个位置上全排列，得到结果．解：由题意知4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，可以先从4个男生中选2个排在两端，其余6个人在中间的6个位置上全排列，共有A42A66=8640种结果，故答案为：8640【点评】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果．4．若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．【分析】本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63【点评】本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．5．从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是．【分析】本题是一个等可能事件的概率，．试验发生包含的事件是从5个数字中有放回的抽取三个数字，共有53种结果，满足条件的事件是三个数字完全不同，共有A53，根据等可能事件的概率得到结果．解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5个数字中有放回的抽取三个数字，共有53种结果，满足条件的事件是三个数字完全不同，共有A53，根据等可能事件的概率公式知P==，故答案为：．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查有放回抽样的事件数，本题是一个基础题，若出现一定是一个必得分题目．6．若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．【分析】通过对x分别赋值1，﹣1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2故答案为1【点评】本题考查解决展开式的系数和问题的重要方法是赋值法．7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有240种（用数字表示）【分析】本题是一个分步计数问题，首先需要在5本书中选两本作为一个元素，有C52种选法，同其他的3个元素在4个位置进行全排列，最后根据分步计数原理得到结果．解：本题是一个分步计数问题，将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书，首先需要在5本书中选两本作为一个元素，同其他的3个元素在4个位置进行全排列，共有C52A44=240，故答案为240，【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，这种题目容易出错，比如先选四个元素在四个位置进行排列，在使得最后一个元素在四个位置排列，这样做出的结果是错误的．8．设m、n是异面直线，m、k也是异面直线，则n、k的位置关系是平行、相交、异面．【分析】空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交、异面，根据本题的条件可以判定，n、k的位置关系可以是三者中的任何一种．解：根据空间两条直线的位置关系，空间两条直线有平行、相交、异面三中情况，而本m、n是异面直线，m、k也是异面直线，对于直线n、k来说，在满足上述条件的前提下，可以平行，也可以相交，也可以异面，故二者的位置关系为：平行、相交、异面．答案为：平行、相交、异面【点评】本题考查空间两条直线的位置关系，要注意根据条件分析n、k的位置关系，与平行公理作区别．9．学校A有学生200人，学校B有学生300人，学校C有学生500人，从这三所学校的学生中用分层抽样的方法共得到20人当代表，则学校A、B、C依次抽得的人数是4、6、10．【分析】根据学校A有学生200人，学校B有学生300人，学校C有学生500人，得到学校共有学生200+300+500，从这三所学校的学生中用分层抽样的方法共得到20人，得到每个个体被抽到的概率，做出抽取的人数．解：∵学校A有学生200人，学校B有学生300人，学校C有学生500人，∴学校共有学生200+300+500=1000，∵从这三所学校的学生中用分层抽样的方法共得到20人，∴每个个体被抽到的概率是=，∴学校A抽取200×=4人，学校B抽取300×=6人，学校C抽取500×=10人，故答案为：4、6、10【点评】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．10．求值：2C90﹣C91+2C92﹣C93+2C94﹣C95+2C96﹣C97+2C98﹣C99=256．【分析】先将奇数项的二项式系数放在一起偶数项的二项式系数放在一起，利用二项式系数和的性质：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和等于2n﹣1．解：2C90﹣C91+2C92﹣C93+2C94﹣C95+2C96﹣C97+2C98﹣C99=2（C90+C92+C94+C98）﹣（C91+C93+C95+C97+C99）=2×28﹣28故答案为256【点评】本题考查二项式系数的性质：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和等于2n﹣1．二、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）11．用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）A．64 B．60 C．24 D．256【分析】把所有组成数字不重复的自然数分成4类，一位的自然数共有4个，二位的自然数共有A42=12个，三位的自然数共有A43=24个，四位的自然数共有A44=24个．解：一位的自然数共有4个，二位的自然数共有A42=12个，三位的自然数共有A43=24个，四位的自然数共有A44=24个，∴组成数字不重复的自然数的个数为4+12+24+24=64，故选：A．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．12．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）A．2160 B．120 C．240 D．720【分析】本题是一个分步计数问题，3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，第一张有10种结果，第二种有9种结果，第三种有8种结果，根据分步计数原理得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，∴第一张有10种结果，第二种有9种结果，第三种有8种结果，根据分步计数原理有10×9×8=720种结果，故选：D．【点评】本题考查分步计数问题，是一个典型的分步计数问题，题目包含三个环节，看出三个环节的结果数，再根据分步乘法原理得到结果．13．要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）A．A33A85B．A55A43C．A55A53D．A55A63【分析】由于合唱节目不能相邻，先排列独唱节目，共有A55种结果，合唱节目不能排在第一个，在五个独唱节目形成的除去第一个空之外的五个空中选三个位置排列，共有A53种结果，写出结果．解：∵合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，∴先排列独唱节目，共有A55种结果，再在五个独唱节目形成的除去第一个空之外的五个空中选三个位置排列，共有A53种结果，∴节目表不同的排法种数是A55A53故选：C．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．14．5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A．6 B．24 C．84 D．48【分析】首先分析题目求5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法，此题适合从反面考虑，求出甲、乙两人没有一人在两端的排法，然后用总的排法减去它即可得到答案．解：考虑反面情况；甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间3 个位置，故有A32=6种，剩下3人取2个排在两端，即有C32A22=6种排法，所以反面共有6×6=36种，因为5个人排成一排一共有A55=120 种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有120﹣36=84种．故选：C．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，其中涉及到求反面的思想．此类考点在高考中属于重点考点，在高考中多次出现同学们需要掌握．15．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】由题意知，用由一条直线和直线外一点确定一个平面验证充分性成立，反之必要性不成立．解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，由一条直线和直线外一点确定一个平面，推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选：A．【点评】本题考查了确定平面的依据：即公理2和推论，还有必要条件、充分条件与充要条件的判断．16．甲、乙两学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，那么正确评价他们的数学学习情况的是（）A．学习水平一样B．成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大C．虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D．方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低【分析】由题意知数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平均水平基本持平，方差较小的同学，数学成绩比较稳定，选择学生参加考试时，还要选方差较小的学生．解：∵数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平均水平基本持平，方差较小的同学，数学成绩比较稳定，故选：C．【点评】对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．17．若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的方差是（）A．26.0 B．32.5 C．41.5 D．5.7【分析】根据所给的两组数据的平均数的值，做出这组数据中的未知数，即知道了要求方差的这组数据的两个未知数的值，先求出这组数据的平均数，再用方差公式做出方差．解：∵样本1，2，3，x的平均数为5，∴1+2+3+x=20，∴x=14，∵样本1，2，3，x，y的平均数为6，∴1+2+3+14+y=30，∴y=10，∴样本1，2，3，x，y的平均数是=6，∴这组数据的方差是（25+16+9+64+16）=26，故选：A．【点评】对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．18．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A．60个 B．48个 C．36个 D．24个【分析】由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A33=6种，求乘积即可．解：由题意，符合要求的数字共有2×3A33=36种故选：C．【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，y=50×（0.36+0.34）=35，故选：A．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力，基本上是低起点题．三、解答题（共5小题，满分74分）20．解方程A x3+A x2=12A x﹣11．【分析】根据所给的关于排列数的等式，把等式展开整理，注意排列数本身所要求的条件，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个解，把不合题意的舍去，得到结果．解：∵A x3+A x2=12A x﹣11∴x（x﹣1）（x﹣2）+x（x﹣1）=12（x﹣1），且x≥3∴x2﹣x﹣12=0，∴x=4，x=﹣3（舍去）【点评】本题考查排列数的运算，根据排列和组合的公式，写出算式，通过加减乘运算，得到结果，这类问题有一大部分是考查排列和组合的性质的，本题是一个简单的运算．21．证明题：如图：两直线a，b平行，直线c与a，b相交，则：直线a、b、c三线共面（要求写处已知、求证、证明）【分析】这种题目首先要根据所给的图形写出符合条件的已知，求证，再根据条件进行证明，首先两条平行线确定一个平面，再说明两个交点在平面上，根据一条直线有两个点在平面上知道直线在平面上，得到三线在同一个平面上．【解答】已知：a∥b，a∩c=A，b∩c=B，求证：直线a、b、c共面．证明：∵a∥b∴a与b确定一个平面α又a∩c=A，b∩c=B，则A∈α，B∈α∴AB⊂α，即c⊂α，∴直线a、b、c共面．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查两条平行线确定一个平面，考查一条直线若有两个点在一个平面上，则直线在平面上，本题是一个基础题．22．已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【分析】利用二项式系数为C n r，列出方程求出n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，利用展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项．解：∵末三项的二项式系数分别为C n n﹣2，C n n﹣1，C n n∴C n n﹣2+C n n﹣1+C n n=121∴C n2+C n1+C n0=121即n2+n﹣240=0∴n=16或n=﹣15（舍）∴T r+1=C15r（3x）r=C15r3r x r设第r+1项与第r项的系数分别为t r+1，t r令t r+1=C15r3r，t r=C15r﹣13r﹣1∴t r+1≥t r则可得3（15﹣r+1）＞r解得r≤12∴当r取小于12的自然数时，都有t r＜t r+1当r=12时，t r+1=t r∴展开式中系数最大的项为T12=C1511311x11和T13=C1512312x12【点评】本题考查二项展开式中的系数最大的项的求法：利用最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数来求．23．（16分）如图；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点．（1）如图中与BA1是异面直线的条数有．（2）求BA1与AD1的所成角的大小．（3）求AE与BA1的所成角的大小．【分析】（1）如图，排除过点B，A1的棱有关6条，没有与它平行的棱，故还有6条．（2）由BC1∥AD1，可知∠BC1A1是BA1与AD1的所成角，然后在△∠BC1A1是等边三角形中求解．（3）取DD1的中点F，由中位线定理可知EF∥CD1∥BA1，从而∠FEA是AE与BA1的所成角，然后在△AEF中求解．解：（1）∵棱BC，BB1，BA，A1A，A1D1，A1B1与BA1是相交，∴与之是异面直线的棱有6条；（2）连接BC1，C1A1，则BC1∥AD1，则∠BC1A1是BA1与AD1的所成角．又△∠BC1A1是等边三角形，则∠BC1A1=60度，所求BA1与AD1的所成角的大小是60度．（3）取DD1的中点F，由E是CD的中点，则EF∥CD1∥BA1，则∠FEA是AE与BA1的所成角．设AB=2，则AE=，EF=，AF=，则cos∠FEA=．即AE与BA1的所成角的大小是arccos．【点评】本题主要考查异面直线所成的角，解题思路是应用异面直线所成角的定义，用平行线将空间角转化为平面角，是常考类型，属中档题．24．（16分）（在的展开式中，倒数第8项是常数项．（1）求n的值；（2）求和：．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出倒数第8项，令其x的指数为0，求出n （2）先利用组合数公式求数列的通项，知数列是等差数列，再求出其前28项和．解：（1）倒数第8项是顺数第n﹣6项，得，x的次数是：，解得n=28，（2）当n=28时，由于，且k=1，2， (28)所以：=（29﹣1）+（29﹣2）+…+（29﹣28）=406【点评】本题考查利用二项展开式的通项解决二项展开式的特定项问题、组合数的公式、等差数列的前n项和公式．。