拉伐尔喷管的设计
摘要：本文针对拉伐尔喷管的几何条件和力学条件进行了推导。建立了喷管截面积变化及流速、压强、密度、温度等流动性能参数间的关系，分析了喷管出口截面下游的外界反压对拉伐尔喷管工作过程的影响。推导建立了拉伐尔喷管主要性能参数的计算方法。针对实际流动损失的存在，为得到喷管的实际流动性能，对理论性能参数提出了修正方法。本文研究内容为拉伐尔喷管的设计提供依据。
关键词：变截面；力学条件；性能参数；流动损失
1．引言
拉伐尔喷管是火箭发动机和航空发动机最常用的构件，由两个锥形管构成，如图1所示，其中一个为收缩管，另一个为扩张管。拉瓦尔喷管是推力室的重要组成部分。喷管的前半部是由大变小向中间收缩至喷管喉部。喉部之后又由小变大向外扩张。燃烧室中的气体受高压流入喷嘴的前半部，穿过喉部后由后半部逸出。这一架构可使气流的速度因喷截面积的变化而变化，使气流从亚音速到音速，直至加速至超音速。所以，人们把这种喷管叫跨音速喷管。瑞典工程师De Laval在1883年首先将它用于高速汽轮机，现在这种喷管广泛应用于喷气发动机和火箭发动机。
图1 拉伐尔喷管结构图
2．拉伐尔喷管的几何条件
2．1变截面一维定常等熵流动
在变截面一维定常流动中只考虑截面积变化这一种驱动势，忽略摩擦、传热、重力等其他驱动势，因此流动是绝热无摩擦的，即等熵流动，变截面定常等熵流动模型如图2所示。
变截面一维定常等熵流动的控制方程组为：
(1)
(2)
(3) 2．2截面积变化对流动特性的影响
管道的形状变化可以用截面积变化dA 来表示。
(a) 截面积变化对流速的影响
对连续方程(1)取对数微分，得
(4) 将(2)两边同除以，得
(5) 由声速公式及马赫数定义，得
(6) 这就是截面积变化及流速变化之间的关系。
(b) 截面积变化对压强的影响
将(2)代入(6)，由理想声速公式得到
(7) (c) 截面积变化对密度、温度、声速、马赫数的影响
联立(4)式及(6)式，消去速度项，得
(8) 控制体 p +dp
dx
ρ+d ρ V +dV T +dT A +dA
p
T
A 图2 变截面一维定常等熵流动模型
联立(2)式及(3)式，并将(7)式代入，得
(9)
将理想气体声速公式求对数微分，并将(9)式代入，得到
(10)
对马赫数定义取对数微分，并将(6)式和(10)式代入，得
(11)
通过分析所得结果，截面积变化对各流动特性的影响可概括为：一维定常等熵流动具有膨胀加速或压缩减速额流动特性。收敛管道中的亚声速流和扩张管道中的超声速流是膨胀加速的，沿管道流速不断增加，而压强、密度和温度不断减小；扩张管道中的亚声速流和收敛管道中的超声速流是压缩减速的，沿流道流速不断降低，而压强、密度和温度却不断增加。
2．3流动极限状态——壅塞状态
收敛管道中的一维定常等熵流动流速只能连续变化到M=1，即达到临界状态，这是它的极限。在此之后，流速既不可能增大，也不可能减小，收敛管道中的这种现象称为流动壅塞。同样，超声速流也不可能通过收敛管道连续减速到亚声速流。
如果在临界截面之后使管道扩张，则当管道出口截面处的下游物理边界条件满足一定要求时，流动能够从声速流变为超声速流。这种先收敛后扩张的管道即为拉伐尔喷管。这种先收敛后扩张的管道形状是从初始亚声速流获得超声速流的必要条件，称为拉伐尔喷管的几何条件。
3．拉伐尔喷管的力学条件
拉伐尔喷管为实现亚声速流向超声速流的连续变化，除几何条件外，必须对喷管出口截面下游的环境压强（外界反压）做出限制，即拉伐尔喷管的力学条件。
为了分析外界反压对拉伐尔喷管流动的影响，假设出口截面外的环境压强保持不变，而喷管进口截面的滞止压强可变。当总压变化时，喷管出口截面上的气体压强随之变化。根据和的相对大小，气体在喷管中的流动状态分为以下三种情况。
(1) 最佳膨胀状态
气体在喷管中得到了完全膨胀，这就是喷管的最佳膨胀状态，又称为设计状态，如图3所示。这种流动的主要特点是：
①喷管喉部达到了临界状态，出口流动为超声速，即Me>1； ②流体流出喷管后，既不膨胀，也不压缩，而是一平行射流； ③由于管内流动为超声速，当外界环境发生微小扰动时，扰动的传播速度（即声速）小于流动速度，扰动不能传进喷管内部，即喷管中的流动觉察不到外界反压的变化。
图3 时的喷管流动
(2) 欠膨胀状态
如果在最佳膨胀状态下提高喷管进口总压
，则出口同时增大，有。气体没有得到完全膨胀，其能量未充分发挥，即气体热能没有最大限度地转变成定向流动动能。这种流动称为欠膨胀状态或膨胀不足状态，如图4所示。欠膨胀状态流动主要特点是： ①喷管喉部达到了临界状态，出口仍为超声速M>1；
②气体在喷管外继续膨胀，直到压强等于时为止，因此喷管出口处有一系列膨胀波；
③喷管外的压强扰动也不能逆向传入喷管。
(3) 过膨胀状态
如果在最佳膨胀状态下减小喷管进口总压
，则喷管出口的气体压强也将减小，即
。气体在喷管中作了过分的膨胀。这种流动称过膨胀状态。根据小于
的程度大小，气体在喷管中的流动状态
又可分为下述四种情况。
①稍小于
喷管出口的气体流动为超声速。在喷管外气体由于受到反压的突然压缩而产生不连续的压强增加，形成激波。因为稍小于，激波
p t P e =p a
p e
p e
p e >p a Ma e >1 p t p a
进口截面 出口截面
