高一数学教案：苏教版高一数学向量的概念及表示2

2．1 向量的概念及表示1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．1．向量：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ∥c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1 下列命题中，正确的是________． ①a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等； ②若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同； ④共线的单位向量必是相等向量． 答案 ②解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： ①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对．③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量有：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是________． ①零向量没有大小，没有方向； ②零向量是唯一没有方向的向量； ③零向量的长度为0；④任意两个单位向量方向相同． 答案 ③解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故①②错误，③正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故④错误．2．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中向量是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →3．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量． 解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列正确的是______．①AD →＝BC →；②AC →＝BD →；③PE →＝PF →；④EP →＝PF →. 答案 ④解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 2．下列说法正确的有________．(填相应的序号) ①方向相同的向量叫相等向量； ②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量； ⑤共线向量不一定相等； ⑥平行向量方向相同． 答案 ②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．3．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是________．(填相应的序号) 答案 ③解析 a 任一非零向量，故|a |＞0. 4．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是________． 答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．5．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 6．下列结论中，正确的是________．(填相应的序号) ①若向量AB →，CD →共线，则向量AB →∥CD →； ②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线； ③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →； ④若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形． 答案 ①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列说法正确的是________．(填相应的序号)①向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量长度等于0；④共线向量是在一条直线上的向量． 答案 ③解析 向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以①②④均错． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有____________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________． 答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去． (1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形， 故有n ·(180°－α)＝(n －2)·180°. 即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。

2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 【错解】 以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】 以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确． 【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确． 【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →， 又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】 南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】 正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形． 【答案】 矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】 由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】 如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】 由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1） 向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； （2） 若a b =，则a b =或a b =-； （3） 若a 与b 是平行向量，则a b =； （4） 若//,//a b b c ，则//a c ．（5） 已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形： （1） 把所有单位向量起点平移到原点；（2） 把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点； （3） 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1） 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 （1） 写出与向量相等的向量__________________ （2） 写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级 姓名 得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=． 其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则 （1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向 长度 ．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是 ．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１） 分别写出与,AO BO 相等的向量；（２） 写出与AO 共线的向量； （３） 写出与AO 的模相等的向量； （４） 向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +； （2）BC FE +； （3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+； （2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级 姓名 得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当 （ ） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________． （2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的 方向飞行1500km 到达丙地。

教学设计2.1向量的概念及表示整体设计教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1，图1在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫在B 处向正东方向的D 处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．推进新课新知探究1．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．向量的表示方法(1)字母表示法：如a 、b 、AB →等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．3．零向量长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．4．单位向量模为1个单位长度的向量．5．平行向量方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.规定：0与任一非零向量平行．a 与b 平行，记作a ∥b .6．相等向量长度相等且方向相同的向量，记作a ＝b .7．相反向量长度相等且方向相反的向量．在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，图2在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点、B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，起点要写在终点的前面．已知AB →，线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．用有向线段表示向量的方法是：①起点是A ，终点是B 的有向线段，对应的向量记作：AB →.这里要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．②用字母a ，b ，c ，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a ，书写用 a →)③向量AB →(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a ＞b 就没有意义，而|a |>|b |有意义．注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .如图3.图3又如图4，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．图4这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．应用示例例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.图5因为AB ∥CD ，所以AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好． 例2见课本本节例1.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．对于相反向量，我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量(opposite vectors)，记作－a ，a 与－a 互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－(－a )＝a .例3见课本本节例2.图6在以图中的点为端点的所有向量中，与AG →平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？例4下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，O 是AC 与BD的交点，求证：EO →＝OF →.图7证明：∵AB ∥CD ，∴AO ∶OC ＝BO ∶OD ＝AB ∶CD.又AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，∴AE ∶ED ＝AO ∶OC.∴EO ∥DC.同理，OF ∥DC ，∴E ，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC. ∴EO ＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．备课资料备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量…() A ．都相等 B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图8所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有…( )图8A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．如图9所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图9A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →4．如图10所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图10(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．5．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．如图11，O 为正方形ABCD 的中心．图11(1)AB →与CD →是相等向量吗？(2)AO →与AC →是平行向量吗？(3)AD →的长度与AC →的长度之比为________．7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与GF →相等的向量．图128.(1)如果非零向量a 、b 平行，非零向量b 、c 也平行，则a 、c 是否平行？(2)如果非零向量a 、b 共线，非零向量a 、c 也共线，则向量a 、b 是否共线？ 参考答案：1．D 2.C 3.D4．(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →(因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC)．(2)向量EC →的模等于6.5．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．6．(1)不是 (2)是 (3)1∶ 2评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．7．解：与GF →相等的向量有CG →，MH →，NE →.评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．(设计者：郑吉星)。

§22 向量的概念及表示一、教学目标：1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念二、教学重难点：向量、相等向量、共线向量的概念;向量概念的理解及向量的几何表示.三、新课导航：1、下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a 千克；（4）11月1日的4级偏南风的风速。

2、上述的物理量中有什么区别吗？3、概念辨析（1）向量的定义：既有 又有 的量称为向量。

（2）向量的表示：（3）向量的模：（4）零向量：（5）单位向量：4、关系探究（1）平行向量：（2）相等向量：（3）相反向量：（4）共线向量：（5）共线向量与平行向量关系：5、预习自测：1. 在下列结论中，正确的有（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）若a 和b 都是单位向量，则b a =；（4）两个相等向量的模相等。

2.判断①→--AB 与→--BA 是否同一向量（ ）； ② 单位向量都相等 （ ）3.平面直角坐标系内， 起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是 图形？四、合作探究活动1 已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中：（1）与向量→--FE 长度相等的向量有多少个？（2）是否存在与向量→--FE 长度相等、方向相反的向量？（3）与向量→--FE 共线的向量有哪些？活动2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？活动3 在4⨯5方格纸中有一个向量AB ,分别以图中格点为起点和终点作向量，其中 与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）思考：如图，以13⨯方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？五、知识网点:六、反思：§22 向量的概念及表示作业班级 姓名 学号 日期 得分1.下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有 （填入正确的序号）2.下列说法正确的是________ (1)b a b a =⇒=； （2）b a b a >⇒>;（3）00=⇒=a a ; （4)任一向量与它相反向量不相等.3. 平行向量的方向 ； 与任意向量都平行.4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .5.已知|AB |=1,|AC |=2,若∠BAC=90°,则|BC |=6.在四边形ABCD 中, AB =DC ,且|AB |=|AD |,则四边形ABCD 是7、下列各命题中正确的有 （填序号）（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段；（7）单位向量都相等；(8)若a b ，b c ，则a c .8.如图（1）中ABCD 为正方形，（2）中l 为直线，分别找出下列两组非零向量中的平行向量。

[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念数学中，我们把既有________，又有________的量叫做向量，而把那些___________________的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考 已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________________，是向量的有________________．知识点二 向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：________、________、________，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…，表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．(3)向量AB →的大小：也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作________．________________的向量叫做零向量，记作________；________________________的向量，叫做单位向量．思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．知识点三 相等向量、共线向量与相反向量(1)相等向量：________________且________________的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向________________的________向量叫做平行向量．①记法：向量a 平行于b ，记作________．②规定：零向量与________________平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以________向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．(4)相反向量：长度________，方向________的向量叫做相反向量．思考 向量平行具备传递性吗？题型一 向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A.B.C.D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .反思与感悟 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A.B.C.D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．题型二 向量的表示及应用例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？题型三 平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E.F 、D 分别是AC.AB.BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．例4 下列说法正确的个数是________．①向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．错解 向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案 4错因分析 对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解 事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，否则，不妨设a 为零向量，则a 与b 共线，与a 与b 不共线矛盾，从而③正确． 答案 1点评 正确理解共线向量、相等向量以及非零向量的概念及其性质是关键．1．下列说法错误的是________．(填序号)①若a ＝0，则|a |＝0；②零向量是没有方向的；③零向量与任一向量平行；④零向量的方向是任意的．2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题正确的是________．(填序号)①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O .(1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°.5.如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，求证：四边形DNBM 是平行四边形．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．同时要注意理解以下几个概念：(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量都是平行向量．(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上．(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．(4)相反向量：长度相等、方向相反的向量叫做相反向量．规定：零向量的相反向量仍是零向量．答案精析知识梳理知识点一大小 方向 只有大小，没有方向思考 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧知识点二(1)方向 起点 方向 长度(3)|AB →| 长度为0 0 长度等于1个单位长度思考 单位圆知识点三(1)长度相等 方向相同 (2)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量 (3)平行 (4)相等 相反思考 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，A.c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.题型探究例1 解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确.②AB →＝DC →，A.B.C.D 四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确.若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立；b ≠0时，a ∥c 成立，故⑥不正确.跟踪训练1 (3)解析 (1)错误.由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A.B.C.D 不一定在同一条直线上.(3)正确.向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量.(4)错误.单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同.例2 解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示.(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形.∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练2 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略).例3 解 (1)因为E.F 分别是AC.AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.跟踪训练3 解 (1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量.(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.当堂检测1.②解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以②是错误的.2.①③④解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，故①④正确；AC ＝BD ，但AC →与BD →方向不相同，故②不正确；AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →方向相反，故③正确.3.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.4.解 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：5.证明 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等.又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形.。

§向量的概念及表示【教学目标】1、知识与技能1通过教学，使学生了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和几何表示；2通过教学，使学生理解数学文化（向量的发展史、向量的类型），进一步激发学习兴趣；3通过教学，使学生理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念；4通过教学，使学生理解平行（共线）向量、相等向量、相反向量之间的关系2、过程与方法经历向量学习的过程,能体会出向量来自客观现实，领会到数学与物理学的联系，培养概括的能力3、情感、态度与价值观通过对向量和数量的比较，培养认识客观事物的数学本质的能力，体现数形结合、类比、分类讨论、建模的数学思想，体会数学的价值，激发学习数学兴趣【重点难点】重点:理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示；难点:对向量、共线向量的概念的理解【教学方法】引导发现与讨论相结合设计问题引导学生积极主动探究；讲练结合，加深对概念的理解；师生讨论，辨析概念【教学过程】一、问题情境问题情境1脑筋急转弯:高速公路上，警察开着速度可达250公里/小时的宝马，逃犯开着一辆时速不超过12021/小时的破桑塔纳，为什么警察没有能抓到逃犯？问题情境2湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移位移和距离这两个量有什么不同？问题情境3请给下面的量分类，分类标准自定:面积 距离 位移 身高 速度 质量 加速度 体积 力 密度 路程问题引入 二、问题引入那么我们用什么样的数学模型来刻画位移、速度、加速度、力这样的量？ （介绍数学文化：向量的发展史） 三、建构数学 1．向量的定义： 2．向量的表示方法：（1）几何表示： （2）字母表示： 3．向量的长度（或称为模）:（1）表示： （2）两个特殊向量： 反思1:1向量可以用有向线段来表示,向量和有向线段有区别吗？ 2向量能比较大小吗？向量的模可以比较大小吗？ 合作探究:1平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形？ 2两个不重合的点能确定几个非零向量？ 4、向量之间的关系：（1）平行向量（ 向量）： （2）相等向量： （3）相反向量： 反思2:1-(-)a 的意义是什么？2 将一向量平移后所得的向量与原向量有什么关系？ （介绍数学文化：向量的三种类型） 练习:1在下列结论中,正确的是____1若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合； 2模相等的两个平行向量是相等的向量； 3若与a b 都是单位向量,则a b；4两个相等向量的模相等是正ABC 的中心,则向量,,AO BO CO 是（ ） A 相等向量 B 模相等的向量 C 平行向量 D 共起点的向量 3三个不重合的点能确定 个非零向量？ 概念辨析:1若//AB CD ,则//AB CD 2若//AB CD ,则//AB CD3非零向量与a b 平行,则向量与a b 的方向相同或者相反 4两个向量共线,若起点不同,则终点也不同 5若与a b 共线,与b c 共线,则与a c 也共线6向量与AB CD 是共线向量,则点A 、B 、C 、D 一定共线 7任一向量与它的相反向量都不相等 8长度相等的共线向量,是相等向量四、例题讲解的中心, 在图中所标出的向量中:1试找出与FE 共线的向量； 2确定FE 与相等的向量；3OA 与BC 相等吗？变式训练:OA 与BC 什么关系例2在如图的4×5方格纸中有一个向量AB , 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与AB 相等的向量有多少个 与AB 长度相等的共线向量有多少个 AB 除外变式探究:如图,以1×3方格纸中（设小正方形的边长为1）的格点为起点和终点的所有非零向量中,有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？反思小结：五、课堂小结：1、本节课你学习了哪些新知识？1向量的概念：定义、模、零向量、单位向量、表示方法（四个定义,两种表示）2向量的关系：平行向量共线向量、相等向量、相反向量（三个关系）2、本节课你体会到了哪些数学思想方法？1数学建模2数形结合3类比4分类讨论六、结束语：与大家共勉：不忘初心,砥砺前行七、课后作业：P62 练习3，4，5，8。

第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。

平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。

本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。

2、平面向量的坐标运算 先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。

教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。

二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。

苏教版高中数学向量教案年级：高中教学目标：1. 了解向量的基本概念和性质；2. 掌握向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 能够解决与向量相关的实际问题；4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学内容：1. 向量的定义和表示；2. 向量的加法、减法和数量乘法；3. 向量的线性运算；4. 向量的模长和方向角；5. 向量的数量积和夹角余弦公式；6. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量等。

教学重点：1. 向量的基本概念和性质；2. 向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 向量的数量积和夹角余弦公式。

教学难点：1. 向量的线性运算；2. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量。

教学准备：1. 电子白板、投影仪等教学设备；2. 教学PPT或教学板书；3. 相关教学资源和练习题；4. 实例题目和解析。

教学过程：第一步：导入新知识（5分钟）教师向学生介绍向量的概念，并通过实际例子引导学生了解向量的表示和性质。

第二步：向量的基本运算（15分钟）1. 向量的加法和减法规则；2. 向量的数量乘法规则；3. 向量的线性运算。

第三步：向量的模长和方向角（10分钟）学生学习如何计算向量的模长和方向角，并通过实例进行练习。

第四步：向量的数量积和夹角余弦公式（15分钟）1. 向量的数量积定义和性质；2. 向量的夹角余弦公式；3. 实例演练。

第五步：向量的应用（15分钟）1. 平面向量的坐标表示；2. 空间直角坐标系中的向量表示；3. 实际问题解析。

第六步：课堂练习和反馈（10分钟）教师出示相关练习题，学生进行课堂练习，并及时进行讲解和答疑。

第七步：总结复习（5分钟）教师对今天学习的内容进行总结，并强调重点和难点，为下节课的学习做好铺垫。

教学反思：通过本节课的教学，学生对向量的基本概念和运算规则有了更深入的了解，能够应用到实际问题中解决。

同时，课堂练习和实例演练有助于巩固学生的学习成果，培养其解决问题的能力。

高中数学-打印版精心校对 2.1 向量的概念及表示知识梳理1.向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.向量可用字母a ,b ,c , …等表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB (其中A 为起点,B 为终点).2.向量的长度(模):向量的大小,也就是向量的长度,记作|a |或||.3.零向量、单位向量、平行向量及相等向量零向量:长度为0的向量,记作0,零向量的方向是任意的.单位向量:长度等于一个单位长度的向量,显然向量||a a 是与向量a 平行且同向的单位向量. 平行向量:方向相同或相反的非零向量,平行向量也叫共线向量.规定零向量与任何向量都共线.相等向量:方向相同且长度相等的向量.由相等向量的概念可得,向量可根据需要进行平移. 知识导学本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.要学好本节内容，可与已有的位移、力等物理概念进行对比学习，加强向量与数量的识别能力训练，了解向量丰富的实际背景，并用有向线段来描述向量.把向量和生活实际、几何图形联系起来，掌握向量的模、零向量、单位向量等概念.结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.疑难突破1.向量不能比较大小.剖析：向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由A 向西北逃窜，如果猫由A 向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向，方向没有大小之分,两个向量不能比较大小.2.为什么说数学中的向量是自由向量?剖析：(1)两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等.(2)任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量.物理中的位移有三个要素，在数学中不考虑起点(力的作用点).例如：五个人站成一排，同时向前走一步(每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量.(3)对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的.因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上.。

§2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。

3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法：采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。