正交信号：复数,但不复杂[中译版本]

正交信号：复数的，但不是复杂的by Richard Lyons简介正交信号是基于复数的概念的。

这些数字和它们的诸如j-operator（算符，算子），complex（复数的），imaginary（虚部的），real（实部的），orthogonal（正交的）的术语，可能比其他题目更能给数字信号处理的新手们带来心痛。

如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际（physical）意义，不要感觉糟糕，没关系。

为什么甚至是Karl Gauss（高斯），世界最伟大的数学家之一，曾把j-operator叫做“影子们的影子”。

这里，我们会给这个影子些许光亮，那样，你就再不用打正交信号心理（Psychic Hotline）热线求助了。

正交信号处理被用于科学和工程的很多领域，并且，描述在现代数字通信系统中的处理方法和实现（processing and implementation），正交信号是必须的。

在这次指导课，我们会回顾复数的基础（fundamentals），并且习惯（get comfortable with）他们怎样被用于表示正交信号。

接下来，我们会检查（examine）与正交信号代数符号(algebraic notation)相关的负频率的概念（notion），并且，学习说正交处理的语言（learn to speak the language of）。

另外，我们将用三维的时间和频率域图（plot）来给正交信号一些实际意义。

这次指导课的最后，简要的介绍了怎样通过正交采样（quadrature-sampling）的手段生成正交信号。

为什么关心正交信号？正交信号形式（formats），也被叫做复信号（complex signals），在很多数字信号处理应用中被使用，例如：-数字通信系统-雷达系统-无线电测向系统中的到达时间差处理（time difference of arrival processing in radio direction finding schemes）-相参脉冲测量系统-天线波束形成应用-单边带调制器（single sideband modelators）-等等。

信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

正交频分复用(OFDM)是多载波传输技术之一，近年来受到广泛关注。

目前，这项技术已在许多高速信息传输领域得到应用，并且有可能成为下一代蜂窝移动通信系统的物理层传输技术。

本讲座将分3讲来介绍OFDM技术的基本原理及其应用。

第1讲首先介绍OFDM的基本原理，第2讲介绍OFDM中的相关信号处理技术，第3讲介绍OFDM中的多址方式及其在通信系统中的应用情况。

1 引言近些年来，以正交频分复用(OFDM)为代表的多载波传输技术受到了人们的广泛关注。

多载波传输把数据流分解为若干个独立的子比特流，每个子数据流将具有低得多的比特速率。

用这样低比特率形成的低速率多状态符号去调制相应的子载波，就构成了多个低速率符号并行发送的传输系统。

OFDM是多载波传输方案的实现方式之一，在许多文献中，OFDM 也被称为离散多音(DMT)调制。

OFDM利用逆快速傅立叶变换(IFFT)和快速傅立叶变换(FFT)来分别实现调制和解调，是实现复杂度最低、应用最广的一种多载波传输方案。

除了OFDM方式之外，人们还提出了许多其他的实现多载波调制的方式，如矢量变换方式、基于小波变换的离散小波多音频调制（DWMT）方式等，但这些方式与OFDM相比，实现复杂度相对较高，因而在实际系统中很少采用。

OFDM的思想最早可以追溯到20世纪50年代末期。

60年代，人们对多载波调制作了许多理论上的工作，论证了在存在符号间干扰的带限信道上采用多载波调制可以优化系统的传输性能；1970年1月有关OFDM的专利被首次公开发表；1971年，Weinstein和Ebert在IEEE杂志上发表了用离散傅立叶变换实现多载波调制的方法；80年代，人们对多载波调制在高速调制解调器、数字移动通信等领域中的应用进行了较为深入的研究，但是由于当时技术条件的限制，多载波调制没有得到广泛的应用；90年代，由于数字信号处理技术和大规模集成电路技术的进步，OFDM技术在高速数据传输领域受到了人们的广泛关注。

压缩感知原理(附程序)1压缩感知引论传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。

图2.1 传统的信号压缩过程在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。

由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。

所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。

该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。

即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。

压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。

核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。

压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。

2压缩感知原理压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。

或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。

压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。

CS理论利用到了许多自然信号在特定的基 上具有紧凑的表示。

即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。

由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。

对于一个实值的有限长一维离散时间信号X ，可以看作为一个N R 空间N ×1的维的列向量，元素为[]n ，n ,=1，2，…N 。

N R 空间的任何信号都可以用N ×1维的基向量{}1i Ni =ψ的线性组合表示。

多进制正交振幅调制技术及其在衰落信道下实现1.背景：在数字通信中．调制解调方式有三种基本方式：振幅键控、频移键控和相位键控。

但单纯的这三种基本方式在实际应用中都存在频谱利用率低、系统容量少等不足。

而在现代通信系统中，通信用户数量不仅在不断增加，人们亦不满足传统通信系统的单一语音服务，希望进行图像、数据等多媒体信息的通信。

因此，传统通信调制解调方式的容量已经越来越不能满足现代通信的要求。

近年来，如何在有限的频率资源中提供高容量、高速率和高质量的多媒体综合业务，是数字通信调制解调领域中一个令人关注的课题。

通过近十多年来的研究，分别针对无线通信信道和有线通信信道的特征，提出了不同的高频谱利用率和高质量的调制解调方案。

其中的QAM调制解调方案为：发送数据在比特／符号编码器内被分成速率各为原来1／2的两路信号，分别与一对正交调制分量相乘，求和后输出。

接收端完成相反过程，解调出两个正交码流．均衡器补偿由信道引起的失真，判决器识别复数信号并映射回二进制信号。

不过．采用QAM调制技术，信道带宽至少要等于码元速率，为了码元同步，还需要另外的带宽，一般要增加15％左右。

2.QAM基本原理：在QAM（正交幅度调制）中，数据信号由相互正交的两个载波的幅度变化表示。

模拟信号的相位调制和数字信号的PSK（相移键控）可以被认为是幅度不变、仅有相位变化的特殊的正交幅度调制。

因此，模拟信号相位调制和数字信号的PSK（相移键控）也可以被认为是QAM的特例，因为其本质上就是相位调制。

QAM是一种矢量调制，将输入比特先映射（一般采用格雷码）到一个复平面（星座）上，形成复数调制符号，然后将符号的I、Q分量（对应复平面的实部和虚部，也就是水平和垂直方向）采用幅度调制，分别对应调制在相互正交（时域正交）的两个载波（coswt和sinwt）上。

这样与幅度调制(AM)相比，其频谱利用率将提高1倍。

QAM是幅度、相位联合调制的技术，它同时利用了载波的幅度和相位来传递信息比特，因此在最小距离相同的条件下可实现更高的频带利用率，QAM最高已达到1024-QAM（1024个样点）。

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

《正交信号：复数，但不复杂》读后心得体会姓名：学号：信号是信息的载体，实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。

正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，比如：数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等等。

实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。

正交信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。

（实部和虚部的称谓是传统的叫法，在我们日常应用中一直被延用。

在通信工程中分别用同相和正交相表示。

）复数具有实部和虚部，实数我们很好理解，对于虚数的难于理解，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像4维以上的空间，难以在脑子里建立其形象的影像一样。

对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。

在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。

但是，对于一个搞通信或是信号处理的人来说，由于quadrature signal 的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。

从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。

欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。

欧拉公式：exp（-jφ）=cos（φ）-j sin（φ）的极坐标表达式非常有用，因为：‐它简化了数学微分和分析：--把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且；--复数的数学运算完全遵循实数的运算法则；‐它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加)；‐最简洁的记法；‐在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观；这也进一步说明了正交信号为什么会被用于数字通信系统。

信号空间：将信号看做空间里的向量内积：（jiang2）内积为0—正交范数：（jiang3）/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4/jsjy/kc/xhyjs/chap6/chap6_1/chap6_1_1.htm第一讲信号的正交分解把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。

一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。

另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。

信号分解的方法有很多。

例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即，式中，。

但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。

另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。

一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。

N可以是有限值也可以是无穷大。

设是由一组向量所张成，即这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。

如果它们线性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。

各自可能是离散的，也可能是连续的，这视而定。

这样，我们可将按这样一组向量作分解，即(6-1-1)式中是分解系数，它们是一组离散值。

因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。

如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交展开（或正交分解）。

分解系数是在各个基向量上的投影。

若N=3，其含意如图6-1-1所示。

图6-1-1 信号的正交分解为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足：（6-1-2）这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有，即：(6-1-3a)或(6-1-3b)(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。

文献综述题目：OFDM技术在低压电力线载波通信中的重要性OFDM技术在低压电力线载波通信中的重要性沈阳农业大学学士学位论文文献综述摘要：电力线载波通信，作为一种新的家庭宽带接入手段，近几年引起了人们极大的关注，宽带电力线正在成为走入家庭的第三条宽带线。

低压电力线载波通信技术由于涉及家庭自动化和家庭上网的良好前景而倍受瞩目。

但是电力线信道固有的噪声干扰、频率选择性衰减和多径传播特性大大影响了其通信性能。

而正交频分复用（OFDM）技术被认为是目前在具有频率选择性衰减特性通信环境中实现高速信号传输的主流技术，因此，基于OFDM技术的低压电力线载波通信是一个很有价值的研究课题。

本文在通过介绍OFDM技术的基本原理和实现的基础上，针对OFDM技术在低压电力线载波通信中的技术优势，以及如何利用以OFDM技术为主的交织编码技术来提高通信安全性的问题来阐述OFDM技术的重要性。

关键词：电力线载波通信；正交频分复用（OFDM）；应用；重要性电力线载波是电力系统特有的通信方式，电力线载波通讯是指利用现有电力线，通过载波方式将模拟或数字信号进行高速传输的技术[1]。

最大特点是不需要重新架设网络，只要有电线，就能进行数据传递。

所以对于像我国这样幅员辽阔的国家来说，发展电力线电力线载波技术的意义非常重大。

随着信号处理等技术的发展，低压配电网载波通信被广泛认为是楼宇自动化、保安监控、办公自动化、远程抄表等领域替代专用网络的一种重要的数字通信方式[2]。

低压电力线载波通信在德、英、日等国家已取得了突破性的进展。

最早提出低压电力线载波通信概念并进行可行性研究的是英国曼彻斯特NORWEB供电公司，他们在完成世界上首次配电网上的25 个终端用户的电话与数据通信试验后（1992－1993）,已开发出 2MHz 带宽内速率为1Mbps的系统.随后英国SWEB公司在电力线上开发提供包括水、天然气、电能自动抄表功能的系统[3]。

目前，美国Intellon公司开发出了基于扩频通信的SSC P300/P400系列芯片。

信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier定义: 在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 区间的两个函数φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t )\varphi_2(t) φ2(t), 若满足∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , (两函数的内积为0)\int_{t_1}^{t_2} \varphi_1(t) \varphi_2^* (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0,(两函数的内积为0)则称φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) 和φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t) 在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 内正交•实函数正交∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) d t =0 , (两函数的内积为0) \int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t) \varphi_2 (t)d t = 0, \, \text{(两函数的内积为0)} ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0,(两函数的内积为0)•正交函数集: 若 n n n 个函数φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯ , φ n ( t ) \varphi_1(t), \varphi_2(t), \cdots , \varphi_n(t) φ1(t),φ2(t),⋯,φn(t) 构成一个函数集,当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 内满足∫ t i t j φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 , i ≠ j K j ≠ 0 , i = j\begin{aligned}\int_{t_i}^{t_j} \varphi_1(t)\varphi_2^* (t)d t ={\begin{cases} 0,\, & i\neq j \\K_j \neq 0 , \, & i=j \end{cases}}\end{aligned} ∫titj φ1(t)φ2∗(t)dt={0,Kj=0,i=ji=j则称此函数为函数集在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2) 上的正交函数集。

《信号与系统》专业术语中英文对照表第 1 章绪论信号（signal）系统（system）电压（voltage）电流（current）信息（information）电路（circuit）网络（network）确定性信号（determinate signal）随机信号（random signal）一维信号（one–dimensional signal）多维信号（multi–dimensional signal）连续时间信号（continuous time signal）离散时间信号（discrete time signal）取样信号（sampling signal）数字信号（digital signal）周期信号（periodic signal）非周期信号（nonperiodic（aperiodic） signal）能量（energy）功率（power）能量信号（energy signal）功率信号（power signal）平均功率（average power）平均能量（average energy）指数信号（exponential signal）时间常数（time constant）正弦信号（sine signal）余弦信号（cosine signal）振幅（amplitude）角频率（angular frequency）初相位（initial phase）周期（period）频率（frequency）欧拉公式（Euler’s formula）复指数信号（complex exponential signal）复频率（complex frequency）实部（real part）虚部（imaginary part）抽样函数 Sa(t)（sampling（Sa） function）偶函数（even function）奇异函数（singularity function）奇异信号（singularity signal）单位斜变信号（unit ramp signal）斜率（slope）单位阶跃信号（unit step signal）符号函数（signum function）单位冲激信号（unit impulse signal）广义函数（generalized function）取样特性（sampling property）冲激偶信号（impulse doublet signal）奇函数（odd function）偶分量（even component）奇分量（odd component）正交函数（orthogonal function）正交函数集（set of orthogonal function）数学模型（mathematics model）电压源（voltage source）基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law（KVL））电流源（current source）连续时间系统（continuous time system）离散时间系统（discrete time system）微分方程（differential function）差分方程（difference function）线性系统（linear system）非线性系统（nonlinear system）时变系统（time–varying system）时不变系统（time–invariant system）集总参数系统（lumped–parameter system）分布参数系统（distributed–parameter system）偏微分方程（partial differential function）因果系统（causal system）非因果系统（noncausal system）因果信号（causal signal）叠加性（superposition property）均匀性（homogeneity）积分（integral）输入–输出描述法（input–output analysis）状态变量描述法（state variable analysis）单输入单输出系统（single–input and single–output system）状态方程（state equation）输出方程（output equation）多输入多输出系统（multi–input and multi–output system）时域分析法（time domain method）变换域分析法（transform domain method）卷积（convolution）傅里叶变换（Fourier transform）拉普拉斯变换（Laplace transform）第 2 章连续时间系统的时域分析齐次解（homogeneous solution）特解（particular solution）特征方程（characteristic function）特征根（characteristic root）固有（自由）解（natural solution）强迫解（forced solution）起始条件（original condition）初始条件（initial condition）自由响应（natural response）强迫响应（forced response）零输入响应（zero-input response）零状态响应（zero-state response）冲激响应（impulse response）阶跃响应（step response）卷积积分（convolution integral）交换律（exchange law）分配律（distribute law）结合律（combine law）第3 章傅里叶变换频谱（frequency spectrum）频域（frequency domain）三角形式的傅里叶级数（trigonomitric Fourier series）指数形式的傅里叶级数（exponential Fourier series）傅里叶系数（Fourier coefficient）直流分量（direct composition）基波分量（fundamental composition） n 次谐波分量（nth harmonic component）复振幅（complex amplitude）频谱图（spectrum plot（diagram））幅度谱（amplitude spectrum）相位谱（phase spectrum）包络（envelop）离散性（discrete property）谐波性（harmonic property）收敛性（convergence property）奇谐函数（odd harmonic function）吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）周期矩形脉冲信号（periodic rectangular pulse signal）周期锯齿脉冲信号（periodic sawtooth pulse signal）周期三角脉冲信号（periodic triangular pulse signal）周期半波余弦信号（periodic half–cosine signal）周期全波余弦信号（periodic full–cosine signal）傅里叶逆变换（inverse Fourier transform）频谱密度函数（spectrum density function）单边指数信号（single–sided exponential signal）双边指数信号（two–sided exponential signal）对称矩形脉冲信号（symmetry rectangular pulse signal）线性（linearity）对称性（symmetry）对偶性（duality）位移特性（shifting）时移特性（time–shifting）频移特性（frequency–shifting）调制定理（modulation theorem）调制（modulation）解调（demodulation）变频（frequency conversion）尺度变换特性（scaling）微分与积分特性（differentiation and integration）时域微分特性（differentiation in the time domain）时域积分特性（integration in the time domain）频域微分特性（differentiation in the frequency domain）频域积分特性（integration in the frequency domain）卷积定理（convolution theorem）时域卷积定理（convolution theorem in the time domain）频域卷积定理（convolution theorem in the frequency domain）取样信号（sampling signal）矩形脉冲取样（rectangular pulse sampling）自然取样（nature sampling）冲激取样（impulse sampling）理想取样（ideal sampling）取样定理（sampling theorem）调制信号（modulation signal）载波信号（carrier signal）已调制信号（modulated signal）模拟调制（analog modulation）数字调制（digital modulation）连续波调制（continuous wave modulation）脉冲调制（pulse modulation）幅度调制（amplitude modulation）频率调制（frequency modulation）相位调制（phase modulation）角度调制（angle modulation）频分多路复用（frequency–division multiplex（FDM））时分多路复用（time–division multiplex （TDM））相干（同步）解调（synchronous detection）本地载波（local carrier）系统函数（system function）网络函数（network function）频响特性（frequency response）幅频特性（amplitude frequency response）相频特性（phase frequency response）无失真传输（distortionless transmission）理想低通滤波器（ideal low–pass filter）截止频率（cutoff frequency）正弦积分（sine integral）上升时间（rise time）窗函数（window function）理想带通滤波器（ideal band–pass filter）第 4 章拉普拉斯变换代数方程（algebraic equation）双边拉普拉斯变换（two-sided Laplace transform）双边拉普拉斯逆变换（inverse two-sided Laplace transform）单边拉普拉斯变换（single-sided Laplace transform）拉普拉斯逆变换（inverse Laplace transform）收敛域（region of convergence（ROC））延时特性（time delay）s 域平移特性（shifting in the s-domain）s 域微分特性（differentiation in the s-domain） s 域积分特性（integration in the s-domain）初值定理（initial-value theorem）终值定理（expiration-value）复频域卷积定理（convolution theorem in the complex frequency domain）部分分式展开法（partial fraction expansion）留数法（residue method）第 5 章策动点函数（driving function）转移函数（transfer function）极点（pole）零点（zero）零极点图（zero-pole plot）暂态响应（transient response）稳态响应（stable response）稳定系统（stable system）一阶系统（first order system）高通滤波网络（high-low filter）低通滤波网络（low-pass filter）二阶系统（second system）最小相移系统（minimum-phase system）维纳滤波器（Winner filter）卡尔曼滤波器（Kalman filter）低通（low-pass）高通（high-pass）带通（band-pass）带阻（band-stop）有源（active）无源（passive）模拟（analog）数字（digital）通带（pass-band）阻带（stop-band）佩利－维纳准则（Paley-Winner criterion）最佳逼近（optimum approximation）过渡带（transition-band）通带公差带（tolerance band）巴特沃兹滤波器（Butterworth filter）切比雪夫滤波器（Chebyshew filter）方框图（block diagram）信号流图（signal flow graph）节点（node）支路（branch）输入节点（source node）输出节点（sink node）混合节点（mix node）通路（path）开通路（open path）闭通路（close path）环路（loop）自环路（self-loop）环路增益（loop gain）不接触环路（disconnect loop）前向通路（forward path）前向通路增益（forward path gain）梅森公式（Mason formula）劳斯准则（Routh criterion）第 6 章数字系统（digital system）数字信号处理（digital signal processing）差分方程（difference equation）单位样值响应（unit sample response）卷积和（convolution sum）Z 变换（Z transform）序列（sequence）样值（sample）单位样值信号（unit sample signal）单位阶跃序列（unit step sequence）矩形序列 (rectangular sequence)单边实指数序列（single sided real exponential sequence）单边正弦序列（single sided exponential sequence）斜边序列（ramp sequence）复指数序列（complex exponential sequence）线性时不变离散系统（linear time-invariant discrete-time system）常系数线性差分方程（linear constant-coefficient difference equation）后向差分方程（backward difference equation）前向差分方程（forward difference equation）海诺塔（Tower of Hanoi）菲波纳西（Fibonacci）冲激函数串（impulse train）第 7 章数字滤波器（digital filter）单边 Z 变换（single-sided Z transform）双边 Z 变换(two-sided (bilateral) Z transform) 幂级数（power series）收敛（convergence）有界序列（limitary-amplitude sequence）正项级数（positive series）有限长序列（limitary-duration sequence）右边序列（right-sided sequence）左边序列（left-sided sequence）双边序列（two-sided sequence） Z 逆变换（inverse Z transform）围线积分法（contour integral method）幂级数展开法（power series expansion） z 域微分（differentiation in the z-domain）序列指数加权（multiplication by an exponential sequence） z 域卷积定理（z-domain convolution theorem）帕斯瓦尔定理（Parseval theorem）传输函数（transfer function）序列的傅里叶变换（discrete-time Fourier transform：DTFT）序列的傅里叶逆变换（inverse discrete-time Fourier transform：IDTFT）幅度响应（magnitude response）相位响应（phase response）量化（quantization）编码（coding）模数变换（A/D 变换：analog-to-digital conversion）数模变换（D/A 变换：digital-to- analog conversion）第 8 章端口分析法（port analysis）状态变量（state variable）无记忆系统（memoryless system）有记忆系统（memory system）矢量矩阵（vector-matrix ）常量矩阵（constant matrix ）输入矢量（input vector）输出矢量（output vector）直接法（direct method）间接法（indirect method）状态转移矩阵（state transition matrix）系统函数矩阵（system function matrix）冲激响应矩阵（impulse response matrix）朱里准则（July criterion）。

OFDM技术背景发展及现状1背景及意义正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）多载波系统采用了正交频分信道，能够在不需要复杂的均衡技术情况下支持高速无线数据传输，并具有很强的抗衰落和抗符号间干扰的能力，现在OFDM已经在欧洲的数字音视频广播，欧洲和北美的高速无线局域网系统，高比特数字用户线以及电力载波通信中得到了广泛应用。

由于OFDM信号在时域上是由N个子载波信号叠加而成，当这些子载波信号相位一致时峰值叠加会产生最大峰值，导致较高的峰均功率比（Peak–to-Average power Ratio，PAPR），当放大器以及A/D转换器的线性动态范围不能满足信号的变化，就会引起信号失真，产生子载波之间的互调干扰和带外辐射，破坏子载波间的正交性，降低系统效率。

为此，降低信号的峰均比值显得尤为重要[1]。

2 OFDM技术的发展及现状正交频分复用是一种把高速率的串行数据通过频分复用来实现并行传输的多载波传输技术，其思想早在20世纪60年代就己经提出了，但由于并行传输系统需要基带成形捧波器阵列，正弦波载波发生器阵列及相干解调阵列，采用传统的模拟的方法实现是相当复杂的、昂贵的，因而早期并没有得到实际应用。

1971年，Weistein和Ebert提出了用离散傅立叶变换(DFT)来实现多载波调制，人们开始研究并行传输的多载波系统的数字化实现方法，将DFT运用到OFDM的调制解调中，为OFDM的实用化奠定了基础，大大简化了多载波技术的实现。

运用DFT实现的OFDM系统的发送端不需要多套的正弦发生器，而接收端也不需要用多个带通滤波器来检测各路子载波，但由于当时的数字信号处理技术的限制，OFDM技术并没有得到广泛应用。

80年代，人们对多载波调制在高速调制解调器、数字移动通信等领域中的应用进行了较为深入的研究，L.J.Cimini首先分析了OFDM在移动通信中应用中存在的问题和解决方法，从此以后，OFDM在无线移动通信领域中的应用得到了迅猛的发展。

正交信号：复数的，但不是复杂的by Richard Lyons简介正交信号是基于复数的概念的。

这些数字和它们的诸如j-operator（算符，算子），complex（复数的），imaginary（虚部的），real（实部的），orthogonal（正交的）的术语，可能比其他题目更能给数字信号处理的新手们带来心痛。

如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际（physical）意义，不要感觉糟糕，没关系。

为什么甚至是Karl Gauss（高斯），世界最伟大的数学家之一，曾把j-operator叫做“影子们的影子”。

这里，我们会给这个影子些许光亮，那样，你就再不用打正交信号心理（Psychic Hotline）热线求助了。

正交信号处理被用于科学和工程的很多领域，并且，描述在现代数字通信系统中的处理方法和实现（processing and implementation），正交信号是必须的。

在这次指导课，我们会回顾复数的基础（fundamentals），并且习惯（get comfortable with）他们怎样被用于表示正交信号。

接下来，我们会检查（examine）与正交信号代数符号(algebraic notation)相关的负频率的概念（notion），并且，学习说正交处理的语言（learn to speak the language of）。

另外，我们将用三维的时间和频率域图（plot）来给正交信号一些实际意义。

这次指导课的最后，简要的介绍了怎样通过正交采样（quadrature-sampling）的手段生成正交信号。

为什么关心正交信号？正交信号形式（formats），也被叫做复信号（complex signals），在很多数字信号处理应用中被使用，例如：-数字通信系统-雷达系统-无线电测向系统中的到达时间差处理（time difference of arrival processing in radio direction finding schemes）-相参脉冲测量系统-天线波束形成应用-单边带调制器（single sideband modelators）-等等。

为什么信号处理理论中要引入虚数的概念问题来源：物理世界中的信号都是实信号，为什么信号处理理论要引入复信号？探讨：1、在信号处理中采用复信号表示法主要是为了数学处理的方便，因为若采用实信号表示法，当对信号进行处理时，将会产生大量的“交叉项”，这会给系统的分析带来一定的复杂性，而这个问题通过采用复信号表示法可以得到减轻，而且由于复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路（I）和正交支路（Q）相对应，所以在系统中采用复信号表示法就是很自然的事。

实信号的频谱是双边对称的，也就是说存在着负的频率，但是实际上负频率也是不存在的，而解析的复信号的频谱恰恰就是只有正频率的。

为了得到与某个实信号相对应的复信号，可以通过将实信号的正频率谱加倍，并令负频率谱等于零而得到，而这个过程的实际工程实现是通过希尔伯特变换进行的，这样的复信号是解析的。

有关这个问题的进一步的详细解释可以参考:Richard L. Mitchell所著的Radar Signal Simulation. Artech House,INC.1976 或者其中译本：陈训达译. 雷达系统模拟. 北京：国防工业出版社，1982参考张贤达，保铮的《通信信号处理》2、从信号与系统的角度，我认为这样理解也不错：•求系统的响应必须要要输入信号与系统进行卷积;•为了简化和便于数值处理，人们就需要寻找一类特殊的基本单元信号，这类特殊的信号有两大特点:（1）,可表达普遍的信号，（2）,此类信号的响应较为简单;•经过寻找，发现指数形式的信号很适合做这类基本单元信号;它的响应是常值与指数的积;并且，此类信号可表示大量的信号;•关键是要把普通的实信号表示成为指数形式，也需要引入虚数的概念（Euler公式）。

3、将实信号通过希尔伯特变换变换成复信号，一方面去掉了原实信号的负频率项，但并不会损失信息，因为正负频率项是对称的。

另一方面，这种只保留正频率项的做法有利于消除信号运算中产生的大量“交叉项”。

交流信号的s域表达式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：交流信号是指在信号的传输中，随着时间的变化而变化的信号。

在工程学中，交流信号通常用s域表达式来表示。

s域表达式是用复数s来表示信号的频率和相位信息，它可以帮助工程师更好地分析和设计复杂的信号系统。

在s域表达式中，s是一个复数，通常写成s = σ + jω，其中σ表示实部，ω表示虚部。

s域表达式通常用于描述信号的频谱特性，它是拉普拉斯变换的一种表示形式。

在信号处理领域中，s域表达式常常被用于分析信号的频率响应。

对于一个线性时不变系统，可以通过s域表达式来计算系统的传递函数，并进一步分析系统的稳定性和性能。

s域表达式的形式多种多样，常见的形式包括传递函数、状态空间方程和频域函数等。

通过s域表达式，工程师可以方便地对信号系统进行建模、分析和设计。

在实际工程中，s域表达式在控制系统设计、通信系统设计、信号处理等领域都有着重要的应用。

通过对信号的s域表达式进行分析，工程师可以更好地理解信号系统的特性，从而为系统的优化和改进提供有力支持。

第二篇示例：信号在通信系统中起着至关重要的作用，它们通过各种方式传递信息和数据。

在信号处理中，s域表达式是一种常用的数学工具，用于描述信号的频域特性。

s域表达式可以帮助工程师分析、设计和优化信号处理系统，使系统的性能得到改喡。

本文将介绍交流信号的s域表达式，解释其原理和应用，希望能帮助读者更好地理解和应用这一重要概念。

s域表达式可以描述连续时间信号和离散时间信号。

对于连续时间信号，s域表达式通常表示为s=σ+jω，其中σ表示实部，ω表示虚部。

对于离散时间信号，s域表达式通常表示为s=z+1，其中z表示离散时间域坐标。

s域表达式可以帮助工程师对信号在频域上的传输特性进行分析。

通过s域表达式，他们可以计算信号在不同频率下的响应、增益、相位等参数，帮助他们设计和优化信号处理系统。

s域表达式在信号处理中有着广泛的应用。

在滤波器设计中，工程师可以使用s域表达式来设计和优化滤波器的频率特性。