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二维傅立叶变换的复数形式，即
F ( u, v ) R( u, v ) jI ( u, v )
式子中R(u,v)和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。 二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即
| F ( u) | R 2 ( u) I 2 ( u)
二维傅立叶变换的相位谱，即
I ( u) ( u) arctan R ( u)
等间隔量化：采样值灰度范围等间隔分割 非等间隔量化：采样值灰度范围不等间隔分割 1.（等间隔量化）均匀量化 设原图像灰度变化范围从 r0 到 rk,r0 最暗 ,rk 最亮。 把这 灰度动态范围均匀分为 k 等份 , 每一层赋予一 个固定码字 :q0 到 qk-1 。量化过程就是把图像像素 样本灰度值与各层灰度判决值相比较 ,凡落在相邻 两层之间像素赋予该层的值。
式子中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 通常傅立叶变换也可为指数形式，即
F ( u) | F ( u) | e j ( u )
其中： | F ( u) |
R ( u) I ( u)
2 2
I ( u) ( u) arctan R ( u) 通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，(u) 为f(x)的相位谱。
量化为图像信号的值域离散化。
注意：
① 由于 f (i, j) 代表该点图像的光强度，而光是能量 的一种形式，故 f (i, j) 必须大于零，且为有限值， 即： 0＜ f (i, j) ＜∞。 ② 数字化采样一般是按正方形点阵取样的， 除此 之外还有三角形点阵、正六角形点阵取样。
正方形网格
正六边形网格
(c)图表示旋转45度 角后图像； (d)图表示旋转后图 像傅立叶频谱
④ 线性
F [a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y)] a1F [ f1 ( x, y)] a2F [ f 2 ( x, y)]
⑤ 共轭对称性
f ( x, y) F (u, v)
*
f ( x, y) F (u,v)
一维Fourier变换
另一种形式
令 2u 则
F ( ) f ( x)e
jx
dx
1 f ( x) 2
F ( )e jx d
F ( ) F ( ) e j ( )是一个复数， F ( ) 称为 f ( x) 的 Fourier谱， ( ) 称为相位谱。
图像的空间采样间隔为 x y
图像频谱截止频率为 U m
2 v 2 图像的采样频率为 u y x
二维采样定理为（Nyguist 准则）
u 2U m v 2Vm x / U m y / Vm
Vm
x y 选择适当,使u v大
低通滤波器的冲激响应为
则从取样图像恢复原图像
恢复图象应该等于取样图象和低通滤波器 h(x,y)的卷积.
2.1.3 图像的量化
采样后所得各像素的连续灰度值的离散化称为量化。 量化误差：若连续浓淡（灰度）值用z表示，则对 于满足zi≤z≤zi+1的z值都量化为整数值qi。qi称为 像素的灰度值。而z与qi的差称为量化误差。 以有限个离散值近 似表示无穷多个连 续量，一定会产生 量化误差。由此产 生量化失真。
e
u0 x v0 y j 2 ( ) M N ，再进行
离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点(0,0)
移动到图像中心(M/2,N/2)处。
j 2 ( xu0 yv 0 ) M N
f ( x , y )e
F ( u u0 , v v 0 )
j 2 ( xu0 yv 0 ) M N
1 F [ F ( u, v )] f ( x , y ) F ( u, v )e MN u0 v 0
1 M 1 N 1
j 2 (
ux vy ) M N
那么对于正变换式子可分成下面两个式子：
F ( x, v )
N 1 y0
f ( x , y )e
x 0
Fourier谱： F (u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v) 相位谱：
I (u, v) (u, v) arctan R(u, v)
2.2.1 一维离散傅立叶变换
设对1个连续信号f(x)等间隔采样得1个离散序列， 设共采了N个样，则这个离散序列可表示为 {f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x为离散实变量，u为离 散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义
采样间隔效果示意图Fra bibliotek取样图像的数学表示：
设fi(x,y)为原图像信号，fp(x,y)为采样图像信号， 二维图像信号用冲激函数阵列采样
则有采样图像信号为
问题：如何从取样图像恢复原图像？
构造一个理想的低通滤波器为
1 | u | U m和 | v | Vm H (u , v) otherwise 0
Fourier变换
二维Fourier变换
二维函数
f ( x, y若满足绝对可积条件，那么二维 )
Fourier变换对存在。
F ( u, v )
f ( x , y )e j 2 ( ux vy )dxdy
f ( x, y )
F ( u , v )e j 2 ( ux vy )dxdy
于或等于原图像覆盖频率 间隔U mVm 两倍时，则采样 不出现重叠现象。
图像满足二维采样定理则采样不会出现重叠现象。
亚取样和混叠效应 u 2U m
亚采样：
v 2Vm
混叠效应：指取样图像频谱的各次谐波发生重叠
亚采样易造成图像信号的频谱的混叠效应。
采样时的注意点：采样间隔的选取。采样间隔取得不 合适除了画面出现马赛克之外，还会发生频率的混叠 现象。
采样：即取样或抽样，对连续变化的图像在空间 坐标上作离散化的过程，选取的采样点为像素；在 采样点上的函数值(或亮度值)为采样值或样值。
采样为图像信号的定义域离散化。
量化：原图像经采样后离散化为像素阵形,但每个 像素的亮度值仍为连续量，将这些连续的无穷多个像 素值离散化为有限个整数值(常用2n表示)的近似表示 的操作称为量化。
2. 二维DFT的性质 ① 可分离性---二维离散傅立叶变换的实现：
即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解 成两次一维离散傅立叶变换运算：
F [ f ( x , y )] F ( u, v ) f ( x , y )e
x 0 y 0
M 1 N 1
j 2 (
ux vy ) M N
定义
设 f ( x) 为x的函数，若满足 下列二式成立：
f ( x) dx ，那么，
F (u) f ( x)e
j 2ux
dx
f ( x) F (u)e
j 2ux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称为 Fourier变换对。
Fourier变换
F [ f ( x )] F ( u) f ( x )e
x 0
N 1
j 2
ux N
1 1 F [ F ( u)] f ( x ) N
N 1 u 0
F (u)e
j 2
ux N
式中x,u=0,1,…,N-1
通常傅立叶变换为复数形式，即
F ( u) R( u) jI ( u)
f ( x x0 , y y0 ) F ( u, v )e
③ 旋转不变性 表明如果时域中离散函数旋转角度，则在变换 域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。
f (r , ) F ( , )
下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图
(a)图表示原图像；
(b)图表示原图像傅 立叶频谱；
2.2
离散傅立叶变换DFT
DFT的优势：
① 建立了离散时域（或空间域）与离散频域间关 系。
f ( f ) A( f ), ( f )
逆变换
正变换
② DFT大大减少计算量，提高处理速度。提供的 FFT算法，彻底改变难以实时处理的局面。
时域（或空间域）卷积或相关运算
频率域相乘运算
一维Fourier变换
ux vy ) M N
ux vy M 1 N 1 j 2 ( ) 1 F 1[ F ( u, v )] f ( x , y ) F ( u, v )e M N MN u0 v 0
式中 x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。 x, y为时域变量， u ,v为频域变量。
第二章 图像分析与正交变换
中国矿业大学 信电学院
主要内容
2.1 图像信号的数字化
2.2 离散傅立叶变换DFT
2.3 离散余弦变换DCT 2.6 图像的统计特性
2.1
图像信号的数字化
数字图像处理的前提：连续图像离散化数字图像。
图像的数字化的过程：①采样；②量化。
所谓图象的数字化指将代表图像的连续模 拟信号转变为离散数字信号的变换过程。包括 图像像素空间坐标(x,y)的网格化(即离散化采 样)和光强度(即灰度)I的量化。
非等间隔量化效果示意图
充分考虑到人眼的识别能力之后，目前非特殊 用途的图像均为8bit量化，即用0～255描述 “黑～白”。
在3bit以下的量化，会出现伪轮廓现象。
低bit量化的伪轮廓现象示意图
图像信号的正交变换
主要有DFT、DCT、DWT 、 DHT等。
