平方根与立方根知识点小结及练习
一、知识要点 1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2
)3(-； （3）49151； ⑷ 2
1(3)-； （5）100； （6）25
121
（7）0.25
例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）25
9； （4）2
)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）49
25
±（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10
227
-； ⑶ 0.729；（4） 343 ；（5） 2168-；（6）-0.0064；（7）-729
二、巧用被开方数的非负性求值.
当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x
的立方根.
练习：1、已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
2、已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
3、已知互为相反数，求a ，b 的值。
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.
练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
六、实数
1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
①按属性分类： ②按符号分类
2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．
3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、
等．
思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）
是一个无理数，那么
－1在哪两个整数之间？
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)下列各数：3
3
5，π，0.28，04，3.14159，0.121121112L ，3-，
22
7
．其中无理数有（ ）个
七、实数大小比较的方法
一、平方法 比较
2
3
和3的大小
二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
1
5-和1的大小
四、求商法 比较53
4
和11的大小
练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和5
4
3；
④7-
和－2.45。
八、解答题 1、当2
1
≤a 时，化简|12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，化简b a ++2
)1(+-b a
3、已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值.
4、已知b a ,为有理数，且3)323(2
b a +=-，求b a +的平方根
【课堂练习】
1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数. 2．如果102
=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 . 3．64的平方根是 ，立方根是 . 4．51-的相反数是 ，绝对值是 . 5．若==
x x 则6 .
6．当_______x 时，32-x 有意义； 7．当_______x 时，
x
-11有意义；
8．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 9．当10≤≤x 时，化简__________12
=-+x x ; 10．b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）. A 、b a + B 、b a -
C 、ab
D 、a b - 11．全体小数所在的集合是（ ）.
A 、分数集合
B 、有理数集合
C 、无理数集合
D 、实数集合
12．等式1112-=
+⋅-x x x 成立的条件是（ ）.
A 、1≥x
B 、1-≥x
C 、11≤≤-x
D 、11≥-≤或x
13．若64
61
1)23(3
=
-+x ，则x 等于（ ）. A 、21 B 、41 C 、4
1-
D 、49-
14、0.25的平方根是 ；125的立方根是 ； 15．计算：4
12
=＿＿＿；383
3-=
＿＿＿；1.4的绝对值等于 ．
a
b
o
