理论力学之动量矩定理

z
l/2 l/2
C
x
x
dx
单位长度质量为 , m l dm dx
Jz
l/2
l / 2
x dm
2
l/2
l / 2
x 2 dx
1 3 1 l ml 2 12 12
1 2 3 z l l 12 6
1 J z ml 2 12
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
质点在有心力作用下的运动
若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动 （这属于动量矩定理中的那一种情况？）。 （行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。 力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点 的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
1 2 LO J O ω mr 2
y

vO
vO rω
r
O
x
O1
rO1O
rO1O mvO mr 2ω
LO1 3 mr 2 ω 2
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m1 的均质曲
柄 OA 带动齿轮 II 在固定齿轮 I 上纯滚动。齿轮 II 的质 量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴 O的动量矩。 解: v A ( r 1 r 2 ) O r 22
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x

(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
m x

yi2 2dyi d 2

2
mi ( x i2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
mi yi myC 0
J z J zC md
（1）简单—查表 转动惯量的计算： （2）规则形状组合—叠加 （3）形状复杂—实验 例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘 的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对 经过悬挂点o的水平轴的转动惯量。 解：
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
4.定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定义很容易得：
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。 解： vC rC l sin vD 质点C对点O的动量矩为：
M o (mv) mvCl ml sin
2
方向垂直CD
第三章 动力学普遍定理： 动量矩定理
动量定理描述了外力 系主矢量引起质心运动的 变化，反映了质点系随质 心平动的动力学规律。 但是, 它不能完全描述 质点系的运动状态。如一 均质的圆轮绕不动的质心 转动时, 无论圆轮转动的快 慢如何 , 无论转动状态有什 么变化,它的动量恒等于0。
M
C
动量矩定理会描述外力系主矩引起质点系如何运动?
Jz

m
0
R 2 dm mR2
z R
J z mR
2
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
J z r 2 dm r 2 2rdr

m 式中： A 2 π R R
mi 2π ri dri A

0
1 1 4 1 2 J mR 2 2 R MR z 2 4 2
过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。
解： J z J OA J AB
1 m 2 J OA ( a )a 3 a b
O a
C A
2 1 m mb b J AB ( b) b 2 ( )( a 2 ) 12 a b ab 4
b
B
5.质点系对固定点O的动量矩的另一种表示 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
C 为原点，建立平动坐标系 Cx y z , 质点系对固定
点O的动量矩为
z z' A vr v vC y'
LO rC mvC LC
LC (rri mi vri )
x
rC
C x'
rr
O
vC
y
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩 上式即平面运动刚体对固定点O的动量矩计算公式
J o ( J o1 J o 2 )
1 l 2 2 [ m1l m1 ( ) ] 12 2
1 d 2 d 2 [ m2 ( ) m2 ( l ) ] 2 2 2 1 3 2 2 2 m1l m2 ( d l ld ) 3 8
匀质曲杆OAB如图所示 。已知质量是m，求曲杆对通
§3-1 动 量 矩 §3-2 动量矩定理 §3-3 刚体的定轴转动微分方程 §3-4 相对于质心的动量矩定理 §3-5 刚体的平面运动微分方程
动 量 矩 定 理
§3-1 动量矩
1.质点动量矩的计算) r ( mv )
◆质点对轴的动量矩
M x (m v) [ M O (m v)]x y (m vz ) z (m vy ) M y (m v) [ M O (m v)]y z (m vx ) x(m vz ) M z (m v) [ M O (m v)]z x(m vy ) y (m vx )
◆质点系对轴的动量矩
Lx Ly Lz
M M M
x ( mi vi ) y ( mi vi ) z ( mi vi )
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
E 转动惯量的平行轴定理
J zC mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
2 J z mi ri2 mi ( x'2 y i i )
xi xi , yi yi d
J z mi x i2 ( yi d ) 2
i 2 i
例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。
把单摆看成一个在圆弧上运动 解： 的质点 A ， 设其质量为 m ，摆线长 l 。
O
又设在任一瞬时质点A具有速度v ，
摆线OA与铅垂线的夹角是 。 取通过悬点 O而垂直于运动平面的 固定轴 z ，对此轴应用质点的动量 矩定理

l
F
A
mg
A
v
d [ M z (mv )] M z ( Fi ( e ) ) dt d M z (mv ) mvl m(l )l ml 2 d 2 d dt (ml ) mgl sin dt dt M ( F ( e ) ) mgl sin
0
O
C
vC
y'
则上式可以写为
y x
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
思考题
如图所示一半径为 r的匀质圆盘在水平面上纯滚动 , 已 知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点 的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。 解: LO1 LO rO1O mvO
LO
(r
C
mi vi )
C
(r
i C
ri mi v C )
z
(r
z' A rr x' vC
ri mi v ri )
(r m v ) r m v (r m v ) (m r ) v
C i i
vr v
ri
i C
i ri
C
0
rC
z i
d 2 g sin 0 2 dt l
2. 质点系动量矩定理
A 对固定点 d M O (mi vi ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) i 1,...,n dt n n n d (i ) (e) M ( m v ) M ( F ) M ( F ) O i i O i O i i 1 dt i 1 i 1
即：质点对点的动量矩是矢量，大小为 DOMD 面 积的两倍，矢量从矩心 O 画出，其方位垂直于质点 矢径 r 和动量 mv 所组成的平面，指向按右手规则确 定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相 应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。