成都市第七中学2020届高三一诊文科数学

2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)＝（）1. 复数z＝a+bi(a, b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，则Im(3+i1+iA.−2B.−1C.1D.22. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.3B.−6C.10D.−153. 关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述不正确的是（）A.f(x)的最小正周期为π2B.f(x)是偶函数(k∈Z)对称C.f(x)的图象关于直线x=kπ2)(k∈Z)内单调递增D.f(x)在每一个区间(kπ, kπ+π24. 已知a>0，b>0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.36+12πB.36+16πC.40+12πD.40+16π6. 在约束条件：{x ≤1y ≤2x +y −1≥0 下，目标函数z ＝ax +by(a >0, b >0)的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B.38C.14D.187. 已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=( ) A.152 B.314C.334D.1728. 双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x −3)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A.√3B.2C.3D.69. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x)＝f(4−x)，且其导函数f′(x)满足当x ≠2时，(x −2)f′(x)>0，则当2<a <4时，有（ ） A.f(2a )<f(2)<f(log 2a) B.f(2)<f(2a )<f(log 2a) C.f(log 2a)<f(2a )<f(2) D.f(2)<f(log 2a)<f(2a )10. 对圆(x −1)2+(y −1)2＝1上任意一点P(x, y)，若点P 到直线l 1:3x −4y −9＝0和l 2:3x −4y +a ＝0的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ） A.[6, +∞) B.[−4, 6] C.(−4, 6) D.(−∞, −4]11. 若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ）A.10B.12C.5√3D.6√212. 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1 // 面AMN ，则PA 1的长度范围为（ ） A.[1,√52]B.[3√24,√52]C.[3√24,32]D.[1,32]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为________．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为________．设O 、F 分别是抛物线y 2=2x 的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为________．若实数a ，b ∈(0, 1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，且sin(C −π6)⋅cosC =14． （1）求角C 的大小；（2）若向量m →=(1, sinA)与n →=(2, sinB)共线，求a 、b 的值．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．（1）求证：CD // 平面A1EB；（2）求证：AB1⊥平面A1EB；（3）若AB＝2，求三棱锥A1−B1BE的体积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−√2, 0)，F2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3, 2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．已知函数f(x)＝tx+lnx(t∈R)．（1）当t＝−1时，证明：f(x)≤−1；（2）若对于定义域内任意x，f(x)≤x⋅e x−1恒成立，求t的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系下，知圆O:ρ＝cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0, π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)＝|2x+3|+|2x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|m−1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简3+i1+i，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．【解答】∵3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，又复数z＝a+bi(a, b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，∴Im(3+i1+i)＝−1．2.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求S＝−12+22−32+42，计算可得答案．【解答】由程序框图知，程序的运行功能是求S＝−12+22−32+42−…可得：当i＝5时，不满足条件i<5，程序运行终止，输出S=−12+22−32+42＝10．3.【答案】A【考点】正切函数的图象【解析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．【解答】对于函数f(x)＝|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f(−x)＝|tan(−x)|＝|tanx|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ, kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，即可判断出结论．【解答】∵a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．5.【答案】C【考点】由三视图求体积（组合型）由三视图求体积【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=12π×22×2+12×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2＝12π+40．故选：C．6.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z ＝ax +by(a >0, b >0)，则y =−ab x +zb ，平移直线y =−ab x +zb ，由图象可知当直线y =−ab x +zb 经过点A(1, 2)时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ＝ax +by 得a +2b ＝1． 则1＝a +2b ≥2√2ab ，则ab ≤18当且仅当a ＝2b =12时取等号， ∴ ab 的最大值等于18， 7.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ∗a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】解：由已知得：{a 1q ⋅a 1q 3=1,a 1(1−q 3)1−q =7,q >0,解得a 1=4，q =12， ∴ S 5=a 1(1−q 5)1−q=4×(1−125)1−12=314．故选B . 8.【答案】 A【考点】双曲线的渐近线 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =2，即x ±√2y =0， 圆心(3, 0)到直线的距离d =√(√2)2+1=√3，∴r=√3．故选A．9.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由f(x)＝f(4−x)，可知函数f(x)关于直线x＝2对称，由(x−2)f′(x)>0，可知f(x)在(−∞, 2)与(2, +∞)上的单调性，从而可得答案．【解答】∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4−x)，∴f(x)关于直线x＝2对称；又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x−2)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2, +∞)上的单调递增；同理可得，当x<2时，f(x)在(−∞, 2)单调递减；f(x)的最小值为f(2)∵2<a<4，∴1<log2a<2，∴2<4−log2a<3，又4<2a<16，f(log2a)＝f(4−log2a)，f(x)在(2, +∞)上的单调递增；∴f(log2a)<f(2a)，∴f(2)<f(log2a)<f(2a)，10.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意可得|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m:3x−4y+a＝0与直线l:3x−4y−9＝0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】设z＝|3x−4y+a|+|3x−4y−9|＝5(|3x−4y−9|5+|3x−4y+a|5)，故|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P(x, y)到直线l2:3x−4y+a＝0与直线l1:3x−4y−9＝0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线l1平移时，P点与直线l1，l2的距离之和均为l1，l2的距离，即此时圆在两直线内部，当直线l2的与圆相切时，|3−4+a|5=1，化简得|a−1|＝5，解得a＝6或a＝−4（舍去），∴a≥6．故选：A．11.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可． 【解答】a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)=a →⋅c →−a →⋅b →−b →⋅c →+b →2=2cos <a →,c →>−4cos <a →,b →>−2cos <b →,c →>+4≤12，当且仅当a →,c →同向，a →,b →，反向，b →,c →反向时，取得最大值．12.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ，推导出平面AMN // 平面A 1EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出PA 1的长度范围． 【解答】取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ， ∵ 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴ AM // A 1E ，MN // EF ，∵ AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴ 平面AMN // 平面A 1EF ，∵ 动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1 // 面AMN ， ∴ 点P 的轨迹是线段EF ，∵ A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22，∴ A 1O ⊥EF ，∴ 当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值：A 1O =(√52)(√24)=3√24，当P 与E （或F ）重合时，PA 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴ PA 1的长度范围为[3√24, √52]．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 【答案】∃x 0∈N ，x 02≤1【考点】 命题的否定 【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为∃x 0∈N ，x 02≤1 【答案】 360【考点】频率分布直方图 【解析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数． 【解答】设公差为d ，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d ，0.02+2d ，0.02+3d ，0.02+4d ，0.02+3d ，0.02+2d ，0.02+d ，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d ＝1 解得d =0.8216，∴ 中间一组的频数为：1600×(0.02+4d)＝360． 【答案】2√33． 【考点】 抛物线的求解 【解析】设M(m, n)到抛物线y 2=2x 的准线x =−12的距离等于d ，由抛物线的定义可得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ，利用基本不等式可求得最大值． 【解答】解：焦点F(12, 0)，设M(m, n)，则n 2=2m ，m >0，设M 到准线x =−12的距离等于d ， 则由抛物线的定义得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ， 依题意知，m >0， 若t >0，则m−14m 2+m+14=tt 2+32t+916=1t+916t +32≤13， ∴ t max =13，此时(|MO||MF|)max =√1+13=2√33； 若−14<t <0，y =t +916t+32单调递减，故y <−1，1y ∈(−1, 0)；综上所述，(|MO||MF|)max =2√33． 故答案为：2√33． 【答案】4+4√23 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 先根据条件消掉b ，将b =14a 代入原式得11−a +8a4a−1，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不等式求其最小值． 【解答】因为ab =14，所以b =14a ， 因此11−a +21−b =11−a +21−14a，=11−a +8a4a−1， =11−a +2(4a−1)+24a−1，=11−a +24a−1+2， ＝2(14a−1+24−4a )+2，=23(14a−1+24−4a )[(4a −1)+(4−4a)]+2， =23[1+2+4−4a4a−1+2(4a−1)4−4a]+2，≥23(3+2√2)+2＝4+4√23，当且仅当a =√24+22，取“＝”，及11−a +21−b 的最小值为4+4√23， 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【答案】sin(C −π6)⋅cosC ＝(sinCcos π6−cosCsin π6)⋅cosC=√3sinCcosC−1cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)＝1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；向量m→=(1, sinA)与n→=(2, sinB)共线，∴2sinA−sinB＝0，∴sinB＝2sinA，即b＝2a①；又c＝3，C=π3，∴c2＝a2+b2−2abcosC＝a2+b2−ab＝9②；由①②联立解得a=√3，b＝2√3．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用三角恒等变换化简sin(C−π6)⋅cosC=14，即可求出C的值；（2）根据向量m→、n→共线，得出sinB＝2sinA，即b＝2a①；由余弦定理得出a2+b2−ab＝9②，①②联立解得a、b的值．【解答】sin(C−π6)⋅cosC＝(sinCcosπ6−cosCsinπ6)⋅cosC=√32sinCcosC−12cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)＝1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；向量m→=(1, sinA)与n→=(2, sinB)共线，∴2sinA−sinB＝0，∴sinB＝2sinA，即b＝2a①；又c＝3，C=π3，∴c2＝a2+b2−2abcosC＝a2+b2−ab＝9②；由①②联立解得a=√3，b＝2√3．【答案】（1）由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ＝1)=C31C22C53=310，P(ξ＝2)=C32C21C53=35，P(ξ＝3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为于是Eξ＝1×310+2×35+3×110=95．【考点】求解线性回归方程【解析】(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】（1）由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ＝1)=C31C22C53=310，P(ξ＝2)=C32C21C53=35，P(ξ＝3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为于是Eξ＝1×310+2×35+3×110=95．【答案】证明：设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD // BB1且OD=12BB1．又E是CC1中点，所以EC // BB1，且EC=12BB1，所以EC // OD且EC＝OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO // CD．又CD平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD // 平面A1BE．证明：因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A1ABB1．由（1）可知EO // CD，所以EO⊥平面A1ABB1．所以EO⊥AB1．因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，所以AB1⊥平面A1BE．由条件求得BE=√5=A1E，A1B=2√2，所以S△A1BE =√6，所以三棱锥A1−B1BE的体积为：V A1−B1BE =V B1−A1BE=13S△A1BE⋅|B1O|=13×√6×√2=2√33．【考点】直线与平面平行直线与平面垂直【解析】（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，推导出四边形ECOD为平行四边形．从而EO // CD．由此能证明CD // 平面A1BE．（2）推导出BB1⊥AB，BB1⊥BC．从而BB1⊥平面ABC，BB1⊥CD，推导出CD⊥AB，从而CD⊥平面A1ABB1．由EO // CD，得EO⊥平面A1ABB1．从而EO⊥AB1．因为侧面是正方形，得AB1⊥A1B．由此能证明AB1⊥平面A1BE．（3）三棱锥A1−B1BE的体积为V A1−B1BE =V B1−A1BE=13S△A1BE⋅|B1O|，由此能求出结果． 【解答】证明：设AB 1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ． 因为O 为A 1B 的中点，D 为AB 的中点，所以OD // BB 1且OD =12BB 1．又E 是CC 1中点，所以EC // BB 1，且EC =12BB 1，所以EC // OD 且EC ＝OD ． 所以，四边形ECOD 为平行四边形．所以EO // CD ．又CD 平面A 1BE ，EO ⊂平面A 1BE ，所以CD // 平面A 1BE ． 证明：因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．所以BB 1⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD ． 由已知得AB ＝BC ＝AC ，所以CD ⊥AB ，所以CD ⊥平面A 1ABB 1．由（1）可知EO // CD ， 所以EO ⊥平面A 1ABB 1．所以EO ⊥AB 1．因为侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B ． 又EO ∩A 1B ＝O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， 所以AB 1⊥平面A 1BE ．由条件求得BE =√5=A 1E ，A 1B =2√2， 所以S △A 1BE =√6，所以三棱锥A 1−B 1BE 的体积为：V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|=13×√6×√2=2√33．【答案】 ∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)， 以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)， ∴ {c =√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得a =√3，b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1 ①x ＝1时，代入椭圆，y ＝±√63，∴ 令A(1, √63)，B(1, −√63)，k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴ k 1+k 2＝2． ②y ＝kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y 1+y 2=6k 33k 3+1−2k =−2k3k 3+1，y 1y 2＝k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2=−2k 23k 2+1，k 1=2−y 13−x 1，k 2=2−y23−x 2，∴ k 1+k 2=6−3y 1−2x 2+x 2y 1+6−3y 2−2x 1+x 1y 2(3−x 1)(3−x 2)=2．【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)，列出方程组，能求出椭圆C 的方程．（2）设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1，x ＝1时，代入椭圆，能求出k 1+k 2＝2；把y ＝kx −k 代入椭圆，得(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0，由此利用韦达定理能求出k 1+k 2＝2． 【解答】 ∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)， ∴ {c =√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得a =√3，b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1 ①x ＝1时，代入椭圆，y ＝±√63，∴ 令A(1, √63)，B(1, −√63)，k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴ k 1+k 2＝2． ②y ＝kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y 1+y 2=6k 33k 3+1−2k =−2k3k 3+1，y 1y 2＝k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2=−2k 23k 2+1，k 1=2−y 13−x 1，k 2=2−y23−x 2，∴ k 1+k 2=6−3y 1−2x 2+x 2y 1+6−3y 2−2x 1+x 1y 2(3−x 1)(3−x 2)=2．【答案】证明：即是证明lnx −x ≤−1，设g(x)＝lnx −x +1，g ′(x)=1−x x，当0<x <1，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x >1，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 所以g(x)在x ＝1处取到最大值，即g(x)≤g(1)＝0，所以lnx −x ≤−1得证； 解法一：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，由（1）可以得到x ≥lnx +1，所以x ⋅e x ≥ln(x ⋅e x )+1＝lnx +x +1， 所以e x ≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x −lnx+1x≥1，当且仅当x ⋅e x ＝1时取＝，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．解法二：设ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立， 因为ℎ(x)=(x +1)e x −t −1x ，而$h"(x) = (x + 2)e^{x} + \frac{1}{x^{2}} > 0$， 所以ℎ′(x)单调递增，又因为x →0时，ℎ′(x)→−∞，当x →+∞时，ℎ′(x)→+∞， 所以ℎ′(x)在(0, +∞)存在唯一零点，设为x 0．所以ℎ(x 0)=(x 0+1)e x 0−t −1x 0=0，所以t =(x 0+1)e x 0−1x 0，且ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x 0)=x 0e x 0−tx 0−lnx 0=−x 02⋅e x 0−lnx 0+1，原题即−x 02⋅e x 0−lnx 0+1≥1，即x 02⋅e x 0+lnx 0≤0，由此式子必然0<x 0<1，x 02⋅e x 0≤−lnx 0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x 0+lnx 0≤ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0≤−lnx 0，所以e x 0≤1x 0，故由t =(x 0+1)e x 0−1x 0，得到t ≤(x 0+1)1x 0−1x 0=1，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)＝x 2e x +lnx ，Q ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0＝ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0＝−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）事实上，只需证明函数g(x)＝lnx −x +1的最大值小于等于0即可； （2）解法一，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，结合（1）的结论即可得证；解法二，直接构造函数ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，证明其大于等于1恒成立即可；解法三，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，求其最小值即可． 【解答】证明：即是证明lnx −x ≤−1，设g(x)＝lnx −x +1，g ′(x)=1−x x，当0<x <1，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x >1，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 所以g(x)在x ＝1处取到最大值，即g(x)≤g(1)＝0，所以lnx −x ≤−1得证； 解法一：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，由（1）可以得到x ≥lnx +1，所以x ⋅e x ≥ln(x ⋅e x )+1＝lnx +x +1， 所以e x ≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x −lnx+1x≥1，当且仅当x ⋅e x ＝1时取＝，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．解法二：设ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立， 因为ℎ(x)=(x +1)e x −t −1x ，而$h"(x) = (x + 2)e^{x} + \frac{1}{x^{2}} > 0$， 所以ℎ′(x)单调递增，又因为x →0时，ℎ′(x)→−∞，当x →+∞时，ℎ′(x)→+∞， 所以ℎ′(x)在(0, +∞)存在唯一零点，设为x 0．所以ℎ(x 0)=(x 0+1)e x 0−t −1x 0=0，所以t =(x 0+1)e x 0−1x 0，且ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x 0)=x 0e x 0−tx 0−lnx 0=−x 02⋅e x 0−lnx 0+1，原题即−x 02⋅e x 0−lnx 0+1≥1，即x 02⋅e x 0+lnx 0≤0，由此式子必然0<x 0<1，x 02⋅e x 0≤−lnx 0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x 0+lnx 0≤ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0≤−lnx 0，所以e x 0≤1x 0，故由t =(x 0+1)e x 0−1x 0，得到t ≤(x 0+1)1x 0−1x 0=1，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)＝x 2e x +lnx ，Q ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0＝ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0＝−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】圆O:ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y ＝0， 直线l:ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1＝0．由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0 ，解得{x =0y =1 ． 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0, 1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）圆O 的极坐标方程化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 【解答】圆O:ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y ＝0， 直线l:ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1＝0． 由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0 ，解得{x =0y =1 ． 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0, 1)， 转化为极坐标为(1,π2)．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 【答案】（1）原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12；当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．（2）由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12 ，可得函数y ＝f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)零点分段求解不等式即可；(Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】（1）原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12； 当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．（2）由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12 ，可得函数y ＝f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3．。

2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，则Im(3+i1+i)=()A. −2B. −1C. 1D. 2【答案】B【解析】解：∵3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，又复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，∴Im(3+i1+i)=−1．故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简3+i1+i，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 3B. −6C. 10D. −15【答案】C【解析】解：由程序框图知，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42−⋯可得：当i=5时，不满足条件i<5，程序运行终止，输出S═−12+22−32+42=10．故选：C．根据程序框图判断，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42，计算可得答案．本题考查了循环结构的程序框图，解答此类问题的关键是判断程序框图的功能．3.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)是偶函数C. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增【答案】A【解析】【分析】本题考查了正切函数的图象与性质，是基础题．根据正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对选项中的结论进行判断即可．【解答】解：对于函数f(x)=|tanx|，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为π，A错误；又f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象与性质知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象与性质知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．故选：A．4.已知a>0，b>0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．故选：A．a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 36+12πB. 36+16πC. 40+12πD. 40+16π【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=12π×22×2+12×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选：C．几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6.在约束条件：{x≤1y≤2x+y−1≥0下，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于()A. 12B. 38C. 14D. 18【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)，由z=ax+by(a>0,b>0)，则y=−ab x+zb，平移直线y=−ab x+zb，由图象可知当直线y=−abx+zb经过点A(1,2)时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z=ax+by得a+2b=1．则1=a+2b≥2√2ab，则ab≤18当且仅当a=2b=12时取等号，∴ab 的最大值等于18，故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7. 已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=( )A. 152B. 314C. 334D. 172【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．8. 双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x −3)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A. √3B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，属于基础题．求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =√2，即x ±√2y =0， 圆心(3,0)到直线的距离d =√(√2)2+1=√3，∴r =√3． 故选：A ．9. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x)=f(4−x)，且其导函数f′(x)满足当x ≠2时，(x −2)f′(x)>0，则当2<a <4时，有( )A. f(2a)<f(2)<f(log2a)B. f(2)<f(2a)<f(log2a)C. f(log2a)<f(2a)<f(2)D. f(2)<f(log2a)<f(2a)【答案】D【解析】解：∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4−x)，∴f(x)关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x−2)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；同理可得，当x<2时，f(x)在(−∞,2)单调递减；f(x)的最小值为f(2)∵2<a<4，∴1<log2a<2，∴2<4−log2a<3，又4<2a<16，f(log2a)=f(4−log2a)，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；∴f(log2a)<f(2a)，∴f(2)<f(log2a)<f(2a)，故选：D．由f(x)=f(4−x)，可知函数f(x)关于直线x=2对称，由(x−2)f′(x)>0，可知f(x)在(−∞,2)与(2,+∞)上的单调性，从而可得答案．本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．10.对圆(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点P(x,y)，若点P到直线l1：3x−4y−9=0和l2：3x−4y+a=0的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为()A. [6,+∞)B. [−4,6]C. (−4,6)D. (−∞,−4]【答案】A【解析】解：设z=|3x−4y+a|+|3x−4y−9|=5(|3x−4y−9|+5|3x−4y+a|)，5故|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P(x,y)到直线l2：3x−4y+a=0与直线l1：3x−4y−9=0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线l1平移时，P点与直线l1，l2的距离之和均为l1，l2的距离，即此时圆在两直线内部，=1，当直线l2的与圆相切时，|3−4+a|5化简得|a−1|=5，解得a=6或a=−4(舍去)，∴a≥6．故选：A．由题意可得|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m：3x−4y+a=0与直线l：3x−4y−9=0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可．本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．11. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )的最大值为( ) A. 10 B. 12 C. 5√3 D. 6√2 【答案】B【解析】解：a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2， 则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ ⋅c ⃗ −a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ 2=2cos <a ⃗ ,c ⃗ >−4cos <a ⃗ ,b⃗ >−2cos <b ⃗ ,c ⃗ >+4≤12， 当且仅当a ⃗ ,c ⃗ 同向，a ⃗ ,b ⃗ ，反向，b ⃗ ,c ⃗ 反向时，取得最大值．故选：B ．利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可．本题考查了向量的数量积的运算，数量积的模的最值的求法，属于基础题．12. 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A. [1,√52]B. [3√24,√52]C. [3√24,32]D. [1,32]【答案】B【解析】解：取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ， ∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM//A 1E ，MN//EF ，∵AM ∩MN =M ，A 1E ∩EF =E ， ∴平面AMN//平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ， ∵A 1E =A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值：A 1O =√(√52)2+(√24)2=3√24，当P 与E(或F)重合时，PA 1的长度取最大值：A 1E =A 1F =√52．∴PA 1的长度范围为[3√24,√52]. 故选：B ．取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ，推导出平面AMN//平面A 1EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出PA 1的长度范围． 本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈N，x2>1”的否定为______ ．【答案】∃x0∈N，x02≤1【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2>1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组(即第五组)的频数为______．【答案】360【解析】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1解得d=0.8216，∴中间一组的频数为：1600×(0.02+4d)=360．故答案为：360．设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．15.设O、F分别是抛物线y2=2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为______．【答案】2√33．【解析】解：焦点F(12,0)，设M(m,n)，则n2=2m，m>0，设M到准线x=−12的距离等于d，则由抛物线的定义得|MO||MF|=√m2+n2m+12=√1+m−14m2+m+14，令m−14=t，依题意知，m>0，若t>0，则m−14m2+m+14=tt2+32t+916=1t+916t+32≤13，∴t max =13，此时(|MO||MF|)max =√1+13=2√33；若−14<t <0，y =t +916t+32单调递减，故y <−1，1y ∈(−1,0)； 综上所述，(|MO||MF|)max =2√33． 故答案为：2√33． 设M(m,n)到抛物线y 2=2x 的准线x =−12的距离等于d ，由抛物线的定义可得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ，利用基本不等式可求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，属于难题．16. 若实数a ，b ∈(0,1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为______． 【答案】4+4√23【解析】解：因为ab =14，所以b =14a ， 因此11−a +21−b =11−a +21−14a，=11−a +8a4a−1， =11−a +2(4a−1)+24a−1，=11−a +24a−1+2，=2(14a−1+24−4a )+2，=23(14a−1+24−4a )[(4a −1)+(4−4a)]+2， =23[1+2+4−4a4a−1+2(4a−1)4−4a]+2，≥23(3+2√2)+2=4+4√23， 当且仅当a =√24+22，取“=”， 及11−a +21−b 的最小值为4+4√23， 故答案为：4+4√23， 先根据条件消掉b ，将b =14a 代入原式得11−a +8a4a−1，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不等式求其最小值．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3，且sin(C−π6)⋅cosC=14．(1)求角C的大小；(2)若向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，求a、b的值．【答案】解：(1)sin(C−π6)⋅cosC=(sinCcosπ6−cosCsinπ6)⋅cosC =√32sinCcosC−12cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)=1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；(2)向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，∴2sinA−sinB=0，∴sinB=2sinA，即b=2a①；又c=3，C=π3，∴c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab=9②；由①②联立解得a=√3，b=2√3．【解析】(1)利用三角恒等变换化简sin(C−π6)⋅cosC=14，即可求出C的值；(2)根据向量m⃗⃗⃗ 、n⃗共线，得出sinB=2sinA，即b=2a①；由余弦定理得出a2+b2−ab=9②，①②联立解得a、b的值．本题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：P(K2≥k0)0.500.400.250.050.0250.010 k00.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】解：(Ⅰ)由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人，(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ=1)=C31C22C53=310，P(ξ=2)=C32C21C53=35，P(ξ=3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为ξ123P 31035110于是Eξ=1×310+2×35+3×110=95．【解析】本题考查独立性检验知识的运用，考查随机变量ξ的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3.求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(1)求证：CD//平面A1EB；(2)求证：AB1⊥平面A1EB；(3)若AB=2，求三棱锥A1−B1BE的体积．【答案】解：(1)证明：设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD//BB1且OD=12BB1.又E是CC1中点，所以EC//BB1，且EC=12BB1，所以EC//OD且EC=OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO//CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD//平面A1BE．(2)证明：因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．所以BB 1⊥平面ABC.因为CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD ． 由已知得AB =BC =AC ，所以CD ⊥AB ， 所以CD ⊥平面A 1ABB 1.由(1)可知EO//CD ， 所以EO ⊥平面A 1ABB 1．所以EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B .又EO ∩A 1B =O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， 所以AB 1⊥平面A 1BE ．(3)解：由条件求得BE =√5=A 1E ，A 1B =2√2， 所以S △A 1BE =√6，所以三棱锥A 1−B 1BE 的体积为：V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|=13×√6×√2=2√33． 【解析】(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，推导出四边形ECOD 为平行四边形．从而EO//CD.由此能证明CD//平面A 1BE ．(2)推导出BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.从而BB 1⊥平面ABC ，BB 1⊥CD ，推导出CD ⊥AB ，从而CD ⊥平面A 1ABB 1.由EO//CD ，得EO ⊥平面A 1ABB 1.从而EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，得AB 1⊥A 1B .由此能证明AB 1⊥平面A 1BE ．(3)三棱锥A 1−B 1BE 的体积为V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|，由此能求出结果． 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N(3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论． 【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)， ∴{c =√2b =1a 2=b 2+c 2，解得a =√3，b =1，∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．(2)k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y =k(x −1)=kx −k 或者x =1 ①x =1时，代入椭圆，y =±√63，∴令A(1,√63)，B(1,−√63)， k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴k 1+k 2=2． ②y =kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y1+y2=6k33k3+1−2k=−2k3k3+1，y1y2=k2x1x2−k2(x1+x2)+k2=−2k23k2+1，k1=2−y13−x1，k2=2−y23−x2，∴k1+k2=6−3y1−2x2+x2y1+6−3y2−2x1+x1x2(3−x1)(3−x2)=2．【解析】(1)由椭圆的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)，列出方程组，能求出椭圆C的方程．(2)设过M的直线：y=k(x−1)=kx−k或者x=1，x=1时，代入椭圆，能求出k1+ k2=2；把y=kx−k代入椭圆，得(3k2+1)x2−6k2x+(3k2−3)=0，由此利用韦达定理能求出k1+k2=2．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.已知函数f(x)=tx+lnx(t∈R)．(1)当t=−1时，证明：f(x)≤−1；(2)若对于定义域内任意x，f(x)≤x⋅e x−1恒成立，求t的范围？【答案】解：(1)证明：即是证明lnx−x≤−1，设g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−xx，当0<x<1，0'/>，g(x)单调递增；当x>1，，g(x)单调递减；所以g(x)在x=1处取到最大值，即g(x)≤g(1)=0，所以lnx−x≤−1得证；(2)解法一：原式子恒成立即t≤e x−lnx+1x在(0,+∞)恒成立，由(1)可以得到x≥lnx+1，所以x⋅e x≥ln(x⋅e x)+1=lnx+x+1，所以e x≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x−lnx+1x≥1，当且仅当x⋅e x=1时取=，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法二：设ℎ(x)=xe x−tx−lnx(x>0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立，因为ℎ′(x)=(x+1)e x−t−1x ，而ℎ″(x)=(x+2)e x+1x2>0，所以单调递增，又因为x→0时，，当x→+∞时，，所以在(0,+∞)存在唯一零点，设为x0.所以ℎ′(x0)=(x0+1)e x0−t−1x=0，所以t=(x0+1)e x0−1x，且ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)=x0e x0−tx0−lnx0=−x02⋅e x0−lnx0+1，原题即−x02⋅e x0−lnx0+1≥1，即x02⋅e x0+lnx0≤0，由此式子必然0<x0<1，x02⋅e x0≤−lnx0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x0+lnx0≤ln(−lnx0)+(−lnx0)，易证明函数y=x+lnx是增函数，所以得x0≤−lnx0，所以e x0≤1x，故由t=(x0+1)e x0−1x0，得到t≤(x0+1)1x−1x0=1，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)=x 2e x +lnx ，Q′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0=ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y =x +lnx 是增函数，所以得x 0=−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)事实上，只需证明函数g(x)=lnx −x +1的最大值小于等于0即可； (2)解法一，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，结合(1)的结论即可得证；解法二，直接构造函数ℎ(x)=xe x −tx −lnx(x >0)，证明其大于等于1恒成立即可；解法三，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，求其最小值即可．本题考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，以及不等式的恒成立问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．22. 在极坐标系下，知圆O ：ρ=cosθ+sinθ和直线l ：ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．【答案】解：(1)圆O ：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y =0， 直线l ：ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1=0．(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0，解得{x =0y =1．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【解析】(1)圆O 的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ=1，由此能求出直线l 的直角坐标方程． (2)圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数f(x)=|2x +3|+|2x −1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|m −1|的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12； 当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．(Ⅱ)由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12，可得函数y =f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3．【解析】(Ⅰ)零点分段求解不等式即可；(Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。

成都七中高2020届一诊模拟数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150分,考试时间 120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、复数),(R b a bi a z ∈+=的虚部记作b z =)Im(，则3Im()1i i ++=()(A)-1(B)0(C)1(D)22、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为()(A)3(B)-6(C)10(D)-153、关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不．正确的是()(A))(x f 的最小正周期为2π(B))(x f 是偶函数(C))(x f 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称(D))(x f 在每一个区间(,),2k k k Z πππ+∈内单调递增4、已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A)π1236+(B)π1636+(C)π1240+(D)π1640+6、在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤01,2,1:y x y x 下，目标函数z ax by =+(0,0a b >>)的最大值为1，则ab 的最大值等于()(A)21(B)83(C)41(D)81三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3=c ，且sin(2)16C π-=.（1）求角C 的大小；（2）若向量)sin ,1(A =与)sin ,2(B =共线，求b a ,的值．18、学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表：（1）根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++参考数据：19、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ；（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）若2=AB ，求三棱锥BE B A 11-体积古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计564410020()P K k ≥0.5000.4000.2500.0500.0250.0100k 0.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635DB CE B 1C 1A A 120、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设点(3,2)N ，记直线BN AN ,的斜率分别为12,k k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论.21、已知函数()ln ()f x tx x t R =+∈（1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-（2）若对于定义域内任意x ，1)(-⋅≤xe x xf 恒成立，求t 的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答。

成都七中高2020届一诊模拟数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、复数),(R b a bi a z 的虚部记作 b z )Im(，则3 Im()1i i =()(A)-1(B)0(C)1(D)22、执行如图所示的程序框图，输出的S值为() (A)3(B)-6(C)10(D)-153、关于函数 ()tan f x x 的性质，下列叙述不．正确的是()(A))(x f 的最小正周期为2(B))(x f 是偶函数(C))(x f 的图象关于直线 ()2kx k Z 对称(D))(x f 在每一个区间 (,),2k k k Z内单调递增4、已知 0,0a b ，则“ 1a 且 1b ”是“ 2a b 且 1ab ”的 ()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A) π1236 (B) π1636 (C) π1240 (D)π1640 6、在约束条件01,2,1:y x y x 下，目标函数 z ax by ( 0,0a b )的最大值为1，则ab的最大值等于()(A)21(B)83(C)41(D)81三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、设ABC 的内角 C B A ,,的对边分别为 c b a ,,，已知3 c ，且 sin(2)16C .（1）求角C 的大小；（2）若向量 )sin ,1(A m 与 )sin ,2(B n 共线，求b a ,的值．18、学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生 各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表：（1）根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取 的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；参考公式：22(), ()()()() n ad bc K a b c d a c b d 其中 n a b c d 参考数据：19、如图，在三棱柱 111 ABC A B C 中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1 A EB ；（Ⅱ）求证：1 AB 平面1 A EB ；（Ⅲ）若2 AB ，求三棱锥BE B A 11 体积古文迷非古文迷合计男生262450女生302050 合计564410020 ()P K k0.5000.4000.2500.0500.0250.0100k 0.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635DB CEB 1C 1AA 120、已知椭圆 2222 :1(0) x y C a b a b的两个焦点分别为1 (2,0)F ，2 (2,0)F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设点 (3,2)N ，记直线BN AN ,的斜率分别为12 ,k k ，问： 12 k k 是否为定值？并证明你的结论.21、已知函数()ln ()f x tx x t R （1）当1t 时，证明： ()1f x （2）若对于定义域内任意x ， 1)( xe x xf 恒成立，求t 的范围？ 请考生在第22、23两题中任选一题作答。

届四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设是虚数单位，则复数A．B．C．D．2．设集合，，则A．B．C．D．3．函数的图象大致是A．B．C．D．4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A．B．C．D．5．执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A．B．C．D．6．设实数满足，则的最大值是A．1 B．C．1 D．7．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知向量，，则在方向上的投影为A．2 B．2 C．D．9．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值A．B．2 C．D．310．设分别是的内角的对边，已知，则的大小为A．B．C．D．11．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为 A ．18 B ．12 C ． D ．12．已知函数（其中）的最小正周期为，函数，若对，都有，则的最小正值为 A ． B ． C ． D ．二、填空题13．某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为.14．已知圆与轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线所得的弦长为2，则圆的标准方程是.15．已知均为锐角，且，则的最小值是.16．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．三、解答题17．正项等比数列中，已知，. 求的通项公式； 设为的前项和，，求.18．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）.亩产量\降雨量合计 <600 2 1 合计100.50 0.40 0.25 0.15 0.100.4550.7081.3232.0722.703（参考公式：，其中）19．已知椭圆的离心率为，且经过点.求椭圆的标准方程；过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值.。

2020-2021学年四川省成都市高三（上）一诊数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|340}A x x x =--<，{||1|3B x x =-<，}x N ∈，则(A B = ) A ．{1，2，3} B ．{0，1，2，3} C ．{|14}x x -<<D ．{|24}x x -<<2．复数12(iz i i+=为虚数单位）的共轭复数为( ) A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i -- 3．若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，则6(a = )A ．32-B ．8-C ．8D ．641x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，1S 、2S 分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( ) A ．1212,x x S S => B ．1212,x x S S >> C ．1212,x x S S <> D ．1212,x x S S ><5．若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，0)(4⋃，)+∞B ．(-∞，8)(0-⋃，)+∞C ．[0，4]D ．(8,0)-6．若向量a ，b 满足||2a =，||1b =，(2)6a b a +⋅=，则cos a <，(b >= )A B ．12C ．12-D ．7．设2020log a =20202021b ln =，120202021c =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若α、β、γ是空间中三个不同的平面，l αβ=，m αγ=，n γβ=，则//l m是//n m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，||4PQ a =，(3PQO O π∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为( )AB C D10．已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=．若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象，则可以将函数1sin 22y x =的图象( )A ．向左平移712π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，7(0,)2P -．若PB AB ⊥，则||(AF = )A ．32B ．2C ．52D ．312．已知函数()f x x lnx =+，()g x xlnx =．若1()f x lnt =，2()g x t =，则12x x lnt 的最小值为( ) A ．21eB ．2eC ．1e-D ．21e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()217f x x =-，则(f f = ．14．若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则23z x y =-的最小值为 ．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n n a S +=，数列{}n b 满足2113(3)(*)2n b n n a a n N ++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为 ．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1PA AB ==，AC =棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为 ；若点M 是ABC ∆的重心，则过点M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，点M 在边AC 上，3CM MA =，tan ABM ∠=，tan BMC ∠=， （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若BM =，求ABC ∆的面积．18．（12分）一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联表：网红乡土直播员 乡土直播达人合计男 10 40 50 女 20 30 50 合计3070100 （Ⅰ）根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？ （Ⅱ）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，求这两人中恰有一男一女的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，14AA =，点E 、F 、M 、N 分别为棱1CC 、BC 、1BB 、1AA 的中点． （Ⅰ）求三棱锥E AFM -的体积； （Ⅱ）求证：平面11B D E ⊥平面1C MN ．20．（12分）已知函数2()(2)2x af x x e x ax =--+，a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x <时，不等式2()(1)202x af x x e x ax a +++-+>恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且直线1x y a b+=与圆222x y +=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且|||OP OM =．求ABO ∆的面积．请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1sin cos (2sin cos x y ααααα=++⎧⎨=+-⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(0,2)P ，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||||||PA PB -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|3|||(2)f x x x m m =-+->的最小值为1． （Ⅰ）求不等式()||2f x x m +->的解集；（Ⅱ）若2223232a b c m ++=，求2ac bc +的最大值．2020-2021学年四川省成都市高三（上）一诊数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|340}A x x x =--<，{||1|3B x x =-<，}x N ∈，则(A B = ) A ．{1，2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{|14}x x -<<D ．{|24}x x -<<【思路分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解析】：{|14}A x x =-<<，{|24B x x =-<<，}{0x N ∈=，1，2，3}，{0AB ∴=，1，2，3}．故选：B ．【归纳总结】本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题． 2．复数12(iz i i+=为虚数单位）的共轭复数为( ) A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i --【思路分析】利用复数的运算法则即可得出．【解析】：复数12(12)2i i i z i i i i+-+===-+-⋅． ∴2z i =+．故选：B ．【归纳总结】本题考查了复数的运算法则，属于基础题． 3．若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，则6(a = ) A ．32-B ．8-C ．8D ．64【思路分析】由题意可得则21131126a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2q =-，11a =，根据通项公式可得6a 的值．【解析】：设等比数列{}n a 公比为q ，由232a a +=，246a a -=，则21131126a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得2q =-，11a =，5561(2)32a a q ∴==-=-，故选：A ．【归纳总结】本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题．1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，1S 、2S 分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( ) A ．1212,x x S S => B ．1212,x x S S >> C ．1212,x x S S <> D ．1212,x x S S ><【思路分析】利用平均数和方差的定义分别求出甲乙两台机床同时生产一种零件的平均数和方差可得答案．【解析】：根据题意1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，1S 、2S 分别表示甲乙两组数据的方差， 则11(010*******) 1.510x =+++++++++=， 21(2211121101) 1.210x =+++++++++=， 222222222211[(0 1.5)(1 1.5)(0 1.5)(2 1.5)(2 1.5)(0 1.5)(3 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(4 1.5)] 1.6510S =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=，222222222221[(2 1.2)(2 1.2)(1 1.2)(1 1.2)(1 1.2)(2 1.2)(1 1.2)(1 1.2)(0 1.2)(1 1.2)]0.3610S =-+-++-+-+-+-+-+-+-+-=，∴1212,x x S S >>．故选：B ．【归纳总结】本题考查平均数和方差的定义和计算，是基础题，解题时要注意平均数和方差的合理运用．5．若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，0)(4⋃，)+∞ B ．(-∞，8)(0-⋃，)+∞ C ．[0，4]D ．(8,0)-【思路分析】求出函数的导数，列表，即可得到函数的极值；根据函数的极值的关系，即可求出a 的范围． 【解析】：（1）2()36f x x x '=-， 令()0f x '=解得10x =，22x =，∴当0x =取得极大值(0)f a =，当2x =，取得极小值f（1）4a =-；当极大值(0)0f a =<，或极小值f （1）40a =->，4a >时函数只有一个零点， 综上，0a <或4a >．故选：A ．【归纳总结】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，转化思想，考查函数的零点问题，是一道综合题．6．若向量a ，b 满足||2a =，||1b =，(2)6a b a +⋅=，则cos a <，(b >= )A B ．12C ．12-D ．【思路分析】直接利用向量的数量积转化求解即可． 【解析】：向量a ，b 满足||2a =，||1b =，(2)6a b a +⋅=， 可得226a a b +⋅=，所以1a b ⋅=， 则cos a <，11212||||a b b a b ⋅>===⨯．故选：B ． 【归纳总结】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 7．设2020log a =20202021b ln =，120202021c =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【思路分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解析】：20202020120201log log log <=，01a ∴<<，2020102021lnln <=，0b ∴<， 102020202020201>=，1c ∴>，c a b ∴>>，故选：C ．【归纳总结】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8．若α、β、γ是空间中三个不同的平面，l αβ=，m αγ=，n γβ=，则//l m是//n m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据题意，由线面平行的判定定理和充分必要条件的定义，直接分析可得结论．【解析】：根据题意，如图，若//l m ，则//m 平面β，则有//m n ，则//l m 是//n m 的充分条件，反之：若//n m ，则//m 平面β，则有//l m ，则//l m 是//n m 的必要条件， 故//l m 是//n m 的充要条件，故选：C ．【归纳总结】本题考查线面平行的判断以及性质的应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．9．已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，||4PQ a =，(3PQO O π∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为( ) A ．62 B ．52C ．6D ．5【思路分析】由题意画出图形，求得Q 点坐标，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．【解析】：如图，不妨设直线在x 轴上方，交双曲线左、右支分别为P 、Q ， 由||4PQ a =，3PQO π∠=，得(2,23)Q a a ，代入双曲线方程，可得22224121a a a b-=，又222b c a =-，225c a ∴=，1e >，5e ∴=，即双曲线的离心率为5．故选：D ．【归纳总结】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的解题思想，是中档题． 10．已知锐角ϕ3cos 1ϕϕ-=．若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象，则可以将函数1sin 22y x =的图象( )A ．向左平移712π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【思路分析】由题意先求得ϕ，再利用三角恒等变换化简()f x ，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【解析】：已知锐角ϕcos 2sin()16πϕϕϕ-=-=，则1sin()62πϕ-=，∴锐角3πϕ=．函数221112()sin ()sin ()cos(2)22323f x x x x ππϕ=-+=-+=+117sin(2)sin(2)2626x x ππ=-+=+的图象， 则可以将函数1sin 22y x =的图象向左平移712π个单位长度，故选：A ．【归纳总结】本题主要考查三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，7(0,)2P -．若PB AB ⊥，则||(AF = )A ．32B ．2C ．52D ．3【思路分析】设A ，B 两点的坐标，根据题意可得0BF PB ⋅=，由此可得422226560x x +-=，求得2x ，再根据抛物线的性质可得1x =+的定义即可得解．【解析】：设221212(,),(,),(0,1)44x x A x B x F ，则2222227(,),(,1)424x x PB x BF x =+=--，又PB AB ⊥，且A ，B ，F 三点共线， 则由0AB PB ⋅=，可得0BF PB ⋅=，∴2222227()(1)0424x x x -++-=，∴422226560x x +-=，解得2222,x x ==又2124x x p =-=-，∴12x =+21124x y ==，∴1||2132pAF y =+=+=．故选：D ．【归纳总结】本题考查抛物线的定义及其性质，数量积的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．12．已知函数()f x x lnx =+，()g x xlnx =．若1()f x lnt =，2()g x t =，则12x x lnt 的最小值为( )A ．21e B ．2eC ．1e-D ．21e -【思路分析】求出12x x t =，得到12x x lnt tlnt =，令()h t tlnt =，(0)t >，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可． 【解析】：111()f x x lnx lnt =+=，11x t e x ∴=⋅①，又222()g x x lnx t ==，22lnx t e lnx ∴=⋅②∴由①②得：1212x lnx e x e lnx ⋅=⋅，x y xe =在[0，)+∞递增， 12x lnx ∴=，则12x x t =， 12x x lnt tlnt ∴=，令()h t tlnt =，(0)t >，则()1h t lnt '=+，令()0h t '>，解得：1t e>，令()0h t '<，解得：10t e<<， 故()h t 在1(0,)e 递减，在1(e ，)+∞递增， 故11()()minh t h e e==-，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()217f x x =-，则(f f =1- ．【思路分析】根据题意，由函数的解析式可得3f =-，结合函数的奇偶性可得(3)f f -=-（3），结合函数的解析式计算可得答案．【解析】：根据题意，当0x >时，2()217f x x =-，27173f =⨯-=-， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(3)f f -=-（3）(2917)1=-⨯-=-，则((3)1f f f =-=-【归纳总结】本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．14．若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则23z x y =-的最小值为 5- ．【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩作出可行域如图，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -，化目标函数23z x y =-为233zy x =-，由图可知，当直线233zy x =-过A 时，z 有最小值为2(1)35⨯--=-．故答案为：5-．【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n n a S +=，数列{}n b 满足2113(3)(*)2n b n n a a n N ++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为 65 ．【思路分析】运用数列的递推式，求得数列{}n a 的首项，再将n 换为1n -，两式相减可得11323n n n a a ---=⨯，进而可得1n b n =+，再由等差数列的求和公式，可得所求和．【解析】：由23n n n a S +=，可得1n =时111233a S a +==，即11a =，2n 时，11123n n n a S ---+=，又23n n n a S +=，两式相减可得1112233n n n n n n a S a S ---+--=-， 化为11323n n n a a ---=⨯， 则121323n n n a a +++-=⨯， 所以12113(3)32nb n n n a a +++=-=，则1n b n =+，可得数列{}n b 的前10项和为12341110(211)652=++⋯+=⨯⨯+=． 故答案为：65．【归纳总结】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1PA AB ==，2AC =．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为32；若点M 是ABC ∆的重心，则过点M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为 ．【思路分析】由题意画出图形，把三棱锥P ABC -放置在棱长为1的正方体中，求出正方体的对角线长，可得三棱锥外接球的半径；求出球心O 到M 的距离，再由勾股定理求出过点M 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求． 【解析】：如图，把三棱锥P ABC -放置在棱长为1的正方体中， 则正方体的对角线长为三棱锥P ABC -的外接球的直径， 设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则22221113R =++=，32R ∴=； ABC ∆的重心为M ，连接BM 并延长，交AC 于D ，连接OD ，则OD ⊥平面ABC ，1AB BC ==，1236DM BD ∴==， 又12OD =，∴2221211()()2636OM =+=，则过点M 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为23112()2363r =-=， ∴过点M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为224()39ππ⨯=．故答案为：32；49π．【归纳总结】本题考查多面体外接球半径的求法，考查球截面面积最小值的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，点M 在边AC 上，3CM MA =，3tan ABM ∠=，tan BMC ∠=， （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若BM =，求ABC ∆的面积．【思路分析】（Ⅰ）由已知利用两角和的正切公式可求tan A 的值，结合范围0A π<<，可得A 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin BMA ∠，sin ABM ∠的值，在ABM ∆中，由正弦定理可求得AB 的值，利用三角形的面积公式可求ABM S ∆，由已知即可计算得解4ABC ABM S S ∆∆=．【解析】：（Ⅰ）因为tan BMC ∠=，tan BMA ∠ 因为tan tan()tan()A ABM BMA ABM BMA π=-∠-∠=-∠+∠，所以tan tan tan 1tan tan ABM BMA A ABM BMA ∠+∠=-==-∠⋅∠， 因为0A π<<，所以2A π=．（Ⅱ）因为tan BMA ∠=，tan ABM ∠=所以sin 7BMA ∠=，sin 14ABM ∠=，在ABM ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BMBMA A=∠，所以sin sin BM BMA AB A ⋅∠===， 所以ABM∆的面积11sin 22ABM S BM AB ABM ∆=⋅⋅∠==因为点M 在边AC 上，3CM MA =，所以ABC ∆的面积4ABC ABM S S ∆∆==． 【归纳总结】本题主要考查了两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联95%与性别有关系？ （Ⅱ）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，求这两人中恰有一男一女的概率．附：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．20)k 0.15 02.072【思路分析】（Ⅰ）根据联表和公式即可求解；（Ⅱ）先求出抽取的女性和男性人数，根据概率公式即可取出．【解析】：（Ⅰ）由题中22⨯列联表可的22100(10302040) 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．（Ⅱ）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为106230⨯=人，记为A ，B ，女性人数为4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人的所有可能情况为AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种，其中一男一女的有Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共8种，∴这两人中恰有一男一女的概率为815． 【归纳总结】本题考查独立性检验，以及分层抽样，概率计算，属于中档题． 19．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，14AA =，点E 、F 、M 、N 分别为棱1CC 、BC 、1BB 、1AA 的中点． （Ⅰ）求三棱锥E AFM -的体积； （Ⅱ）求证：平面11B D E ⊥平面1C MN ．【思路分析】（Ⅰ）根据三棱锥的体积公式计算即可． （Ⅱ）利用线面垂直和面面垂直的判定定理，证明即可． 【解析】：（Ⅰ）因为AB ⊥侧面11BCC B ，所以AB ⊥平面EFM ， 又因为M 、E 分别为1BB 、1CC 的中点， 所以四边形MBCE 为正方形，所以MEF ∆的面积为1122222MEF S ME MB ∆=⋅=⨯⨯=．所以三棱锥A EFM -的体积为11422333MEF A EFM V S AB ∆-=⋅=⨯⨯=三棱锥， 所以三棱锥E AFM -的体积为43E AFM A EFMV V --==三棱锥三棱锥． （Ⅱ）证明：长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 是矩形， 因为E 、M 分别为棱1CC 、1BB 的中点，且14BB =，112B C =， 所以四边形11MEC B 是正方形，所以11C M B E ⊥，又N 、M 分别为棱1AA 、1BB 的中点，所以NM ⊥平面11BCC B ， 又1B E ⊂平面11BCC B ，所以1NM B E ⊥， 又因为1NMC M M =，NM ，1C M ⊂平面1C MN ，所以1B E ⊥平面1C MN ，又1B E ⊂平面11B D E ，所以平面11B D E ⊥平面1C MN ．【归纳总结】本题考查了三棱锥体积计算问题，也考查了空间中的线面垂直和面面垂直的证明问题，是中档题．20．（12分）已知函数2()(2)2x a f x x e x ax =--+，a R ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x <时，不等式2()(1)202x a f x x e x ax a +++-+>恒成立，求a 的取值范围． 【思路分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）将问题转化为(21)1x x e a x -<-时，设函数(21)()1x x e g x x -=-；当(21)1x x e a x ->-，设函数(21)()1xx eh x x -=-，根据条件，求出a 的范围即可．【解析】：（Ⅰ）2()(2)2x af x x e x ax =--+，a R ∈，()(1)(1)()x x f x x e ax a x e a ∴'=--+=--，①当0a 时，令()0f x '<，得1x <，故()f x 在(,1)-∞上单调递减， 令()0f x '>，得1x >，故()f x 在(1,)+∞上单调递增；②当0a e <<时，令()0f x '<，得1lna x <<，()f x ∴在(,1)lna 上单调递减， 令()0f x '>，得x lna <或1x >，故()f x 在(,)lna -∞，(1,)+∞上单调递增； ③当a e =时，()0f x '在x R ∈时恒成立，故()f x 在R 单调递增； ④当a e >时，令()0f x '<，得1x lna <<，故()f x 在(1,)lna 单调递减， 令()0f x '>，得x lna >或1x <，故()f x 在(,1)-∞和(,)lna +∞上单调递增； 综上：当0a 时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(,1)lna 上单调递减，在(,)lna -∞，(1,)+∞上单调递增； 当a e =时，()f x 在R 单调递增；当a e >时，()f x 在(1,)lna 单调递减，在(,1)-∞和(,)lna +∞上单调递增．（Ⅱ）不等式2()(1)202x a f x x e x ax a +++-+>恒成立等价于(21)(1)x x e a x ->-恒成立，①当1x =时，0e <，则a R ∈，②当(1,)x ∈+∞时，(21)1xx e a x -<-，设函数(21)()1x x e g x x -=-，则2(23)()(1)xx x e g x x -'=-，当3(1,)2x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减，当3(2x ∈，)+∞时，()0g x '>，此时()g x 单调递增，故323()()42min g x g e ==，故324a e <；③当(,1)x ∈-∞时，(21)1xx e a x ->-，设函数(21)()1x x e h x x -=-，则2(23)()(1)xx x e h x x -'=-， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减， 当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增， 故()(0)1max h x h ==，故1a >， 综上，a 的取值范围是(1，324)e ．【归纳总结】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且直线1x ya b+=与圆222x y +=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P，且|||OP OM =．求ABO ∆的面积． 【思路分析】（Ⅰ）由离心率和直线与圆相切及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得线段AB 的中点M 的坐标，求出射线OM 所在的直线的方程，与椭圆联立求出P的值，再由|||OP OM =，可得参数的关系，代入面积公式可得为定值．【解析】：（Ⅰ）由题意可得222c e a a b c⎧==⎪⎪==+⎩26a =，23b =，所以椭圆的方程为：22163x y +=；（Ⅱ）()i 当直线l 的斜率不存在时，设直线l的方程为(x n n =<，因为|||OP OM =，所以|n = 可得225n =，所以|ABOS n ∆==；()ii 当直线的斜率存在时，设直线的方程为(0)y kx m m =+≠，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(12)4260k x kmx m +++-=，△2222168(12)(3)0k m k m =-+->，可得：2236m k <+，122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，121222()212my y k x x m k +=++=+， 所以直线AB 的中点M 的坐标22(12km k -+，2)12mk +，当0k =时，因为|||OP OM =，|m =，解得215m =，所以||ABOS m ∆==当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-， 由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：2221212p k x k =+，22312p y k =+，所以||||||||M P y OM OP y ===， 所以22512m k =+，经检验满足△0>成立， 设点O 到直线l 的距离为d，则d =，121|2AOB S x x ∆=-===，综上所述：ABO ∆．【归纳总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形面积的公式的应用，属于中档题．请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1sin cos (2sin cos x y ααααα=++⎧⎨=+-⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(0,2)P ，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||||||PA PB -的值． 【思路分析】（Ⅰ）根据条件，将参数方程转化为普通方程和极坐标方程转化为直角坐标方程即可；（Ⅱ）设直线l的参数方程为(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，)t R ∈，将直线l 的参数方程代人曲线C 的普通方程，得到关于t 的方程，再根据t 的几何意义，进一步得到||||||PA PB -的值．【解析】：()I 由曲线C的参数方程，得2222(1)(2)(sin cos )(sin cos )x y αααα-+-=++-， 22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(2)2x y -+-=．由sin()4πρθ-sin cos 2ρθρθ-=．cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．()II 设直线l的参数方程为2(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，)t R ∈． 将直线l 的参数方程代人曲线C 的普通方程，整理得210(*)t -=⋅⋯△0>，设1t ，2t 是方程(*)的两个实数根，∴12121t t t t +=-，∴1212|||||||||||||PA PB t t t t -=-=+=【归纳总结】本题考查了参数方程转化为普通方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程中参数的几何意义，考查了转化思想，属中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|3|||(2)f x x x m m =-+->的最小值为1． （Ⅰ）求不等式()||2f x x m +->的解集；（Ⅱ）若2223232a b c m ++=，求2ac bc +的最大值．【思路分析】（Ⅰ）根据条件利用绝对值三角不等式，求出()f x 的最小值，然后得到关于m 的方程，求出m 的值，再利用零点分段法解不等式即可；（Ⅱ）根据条件，得到2222222232()2(2)a b c a c b c ac bc ++=++++，然后求出2ac bc +的最大值．【解析】：()|3??||3||3|I x x m x x m m -+--+-=-， 当且仅当(3)()0x x m --时，()f x 取得最小值|3|m -． 又()|3|||f x x x m =-+-的最小值为1，|3|1m ∴-=．2m >，4m ∴=，()||2f x x m ∴+->，等价于|3|2|4|2x x -+->．当3x 时，不等式等价于3112x -+>，解得3x <，符合题意； 当34x <<时，不等式等价于52x -+>，解得3x <，与条件矛盾； 当4x 时，不等式等价于3112x ->，解得133x >，符合题意． 综上，不等式的解集为13(,3)(,)3-∞+∞．()4II m =，∴22232362a b c m ++==，22222226232()2(2)a b c a c b c ac bc ∴=++=++++，23ac bc ∴+，当且仅当1a b c ===±时，2ac bc ∴+取得最大值3．【归纳总结】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

四川省成都市第七中学2020届高三第一学期一诊模拟试题 数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A. 3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错； ()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A.考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3612π+B. 3616π+C. 4012π+D. 4016π+【答案】C 【解析】 【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【详解】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积21122442424224222124022S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a z y x b b =-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法． 7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0，∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.双曲线22163-=x y 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )3 B. 2 C. 3 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r 223023212±⨯-=⎛⎫±+ ⎪⎝⎭答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.9.定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x -'>，则当24a <<时，有（ ） A. ()()()222log af f f a <<B. ()()()222log af f f a <<C. ()()()22log 2af f a f <<D. ()()()2log 22af a f f <<【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意都有，∴函数()f x 的对称轴为，∵导函数满足()()20x f x -'>，∴函数()f x 在上单调递增，上单调递减，∵，∴，∵函数()f x 的对称轴为，∴，∵，∴∴∴，∴，∴()()()22log 2af f a f <<，故选C.考点：（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离之和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D. (,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由点到线的距离公式表示出点到直线1l 与2l 的距离之和，取值与x ，y 无关，即这个距离之和与P 无关，可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线2l 恰与圆相切，即可求出a 的取值范围. 【详解】解：点P 到直线1349:0l x y --=与直线2:340l x y a -+=距离之和22223434d +=+ 取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示：可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，当直线2l 22134=+，化简得|1|5a -=，解得6a =或4a =-（舍去），6a ∴故选：A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题 11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C. 53D. 62【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B（包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A. 52⎡⎢⎣⎦B. 325,42⎡⎢⎣⎦C. 32342⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】解：如下图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，1//MN BC ∴，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， //MN ∴平面AEF ；1//AA NE ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， 1//A N AE ∴，又1A N ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF ，P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △11A B M 中，2221111151()2A M A B B M =++=，同理，在Rt △11A B N 中，求得152A N =， ∴△1A MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=， 115A M A N ==， 所以线段1A P 长度的取值范围是32[，5]． 故选：B ．【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>021123111399333216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MO MF 的最大值为23.考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】4243+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,3a b == 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）21313sin cos cos ,2cos 21222C C C C C -=∴-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,3{3a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 5644100参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥ 0.500 0.400 0.250 0.050 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635（1）根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数； 【答案】（1）没有 （2）3人和2人 【解析】 【分析】（1）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论；（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；【详解】解：（1）由列联表得22100(26203024)0.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关. （2）调查50名女生按分层抽取5人，其中古文迷有305350⨯=人，非古文迷有205250⨯=人，即所抽取的5人中，古文迷和非古文迷的人数分别为3人和2人.【点睛】本题考查独立性检验知识的运用，分层抽样各层人数的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（1）求证：CD ∥平面1A EB ； （2）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（3）若2AB =，求三棱锥11A B BE -的体积. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （323【解析】 【分析】（1）设1AB 和1A B 的交点为O ，根据//EC OD ，且EC OD =，得到四边形ECOD 为平行四边形，故//EO CD ，//CD 平面1A BE ．（2）证明CD ⊥平面11A ABB ，可得EO ⊥平面11A ABB ，故有1EO AB ⊥，由正方形的两对角线的性质可得11AB A B ⊥，从而证得1AB ⊥平面1A BE ．（3）利用等体积法将11A B BE V -转化为求11B A BE V -可得.【详解】证明：（1）设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD .因为O 为1A B 的中点，D 为AB 的中点，所以1OD BB ∥且112OD BB =.又E 是1CC 中点， 所以1EC BB ∥，且112EC BB =，所以EC OD ∥且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO CD ∥.又CD ⊂/平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ，则CD ∥平面1A BE . （2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥，所以CD ⊥平面11A ABB .由（1）可知EO CD ∥，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以1EO AB ⊥.因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥. 又1EO A B O ⋂=，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ， 所以1AB ⊥平面1A BE .（3）解：由条件求得15BE A E==，122A B =16A BES =所以111111112362333A B BE B A BE A BE V V S B O --==⋅=⨯= 【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M .(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到2c =1b OM ==，所以3a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，2c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==， ∴3a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，6y =设6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，则12662233222k k +=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值． 21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R .（1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证； （2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭ （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。