多元函数的极值及其应用(精)

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证 由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证 由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以 在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解 令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>， 由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之， 得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结 语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. 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多元函数极值判定及应用多元函数的极值判定是求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值的问题。

在数学分析中，通常利用求导和二阶导数的方法来判定多元函数的极值。

下面将详细介绍多元函数极值判定以及其应用。

一、多元函数的极值判定方法：1. 首先，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要找到其取得极值的条件。

由于计算多元函数的极值需要对每个自变量求偏导，所以要求多元函数在定义域内函数有定义并且可偏导。

2. 其次，求取多元函数的一阶偏导数并令其等于零，得到方程组。

设f 的极值点为(x1*, x2*, ..., xn*)，则方程组为：∂f/∂x1 = 0, ∂f/∂x2 = 0, ..., ∂f/∂xn = 0。

3. 解方程组，求得极值点(x1*, x2*, ..., xn*)。

4. 接下来，根据二阶求导的结果来判定极值类型：（1）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素大于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极小值；（2）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素小于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极大值；（3）若二阶偏导数的行列式小于零，则多元函数在该点处不存在极值。

二、多元函数极值的应用：多元函数的极值判定在经济学、物理学、工程学等各个领域都有重要的应用。

下面以几个具体例子来介绍多元函数极值的应用。

1. 最小二乘法：在统计学中，我们常用最小二乘法来拟合数据，即通过拟合直线或曲线来描述数据的趋势。

最小二乘法的基本思想是选择一个合适的函数模型，使得模型与实际数据之间的残差平方和最小。

这就可以看作是一个多元函数极值的问题，利用极值点来确定最佳拟合曲线。

2. 生产优化问题：在工程学中，我们常遇到生产优化的问题，即如何在有限的资源条件下获得最大的产出。

这个问题可以用多元函数的极值来解决。

我们设生产函数为f(x1, x2, ..., xn)，表示产出与各个生产因素之间的关系，然后根据生产约束条件求函数的最大值或最小值，得到生产过程中的最优方案。

多元函数的极值概念及其应用在微积分领域中，极值是函数理论中一个重要的概念。

当我们研究多元函数时，我们也需要理解多元函数的极值概念以及应用。

本文将介绍多元函数的极值概念，并探讨其在实际问题中的应用。

一个多元函数可以定义为一个以多个变量为自变量的函数，通常表示为f(x₁, x₂, ..., xn)。

多元函数的极值概念是指函数取得的最大值或最小值。

对于单变量函数，我们可以使用导数来判断其极值点；而对于多元函数，我们可以利用偏导数和二阶偏导数来判断其极值。

在多元函数的极值问题中，我们首先要找到函数的临界点。

临界点是函数的偏导数等于零或者不存在的点。

对于一个具有n个自变量的多元函数，我们需要计算出这n个自变量的偏导数，然后令其等于零来求解各个自变量的值。

只有在这些值处取得的函数值才有可能是极值。

接下来，我们需要对求解得到的临界点进行判断，以确定是否为极值点。

我们可以使用二阶偏导数来判断这些点的性质。

如果所有二阶偏导数都存在且满足一定条件，我们可以通过计算二阶偏导数的行列式（即海森矩阵）来判断这些点是极小值、极大值还是鞍点。

除了求解多元函数的极值点，我们还可以利用极值概念来解决一些实际问题。

例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值概念来最大化或最小化一个经济指标。

假设我们有一个多元函数表示一个企业的成本，我们可以通过求解该函数的最小值来确定最佳生产策略。

类似地，我们也可以利用多元函数的极值概念来解决最优控制问题、最优化问题等多个领域的实际问题。

此外，在物理学和工程学中，多元函数的极值概念也具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过求解多元函数的最小值来确定物体在重力作用下的平衡位置；在工程学中，我们可以利用多元函数的极大值来确定最优设计方案。

总之，多元函数的极值概念在数学和其他学科中都具有广泛的应用。

通过理解多元函数的极值概念，我们可以更好地解决实际问题，并优化我们的决策和设计。

因此，对于任何研究多元函数的学生或研究人员来说，深入理解和应用多元函数的极值概念是非常重要的。

多元函数的极值及其应用
多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

在多元函数中，每个自变量都有自己的变化范围，在此范围内寻找极值就是多元函数的求极过程。

多元函数的求极过程在实际应用中有着广泛的应用，例如寻找最大收益、最小成本等问题。

多元函数的极值求解大致可以分为以下几个步骤：
1. 求出函数的偏导数；
2. 解出偏导数为0的自变量取值；
3. 对于每个自变量取值，求出函数的极值；
4. 比较所有极值，得出最大值或最小值。

下面以一个简单的例子来说明求多元函数的极值的过程。

例题：求函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6x-4y+7在平面区域D: 2≤x≤4, 1≤y≤3上的极值。

步骤1：求偏导数。

∂f/∂x = 2x+2y+6
步骤2：解出偏导数为0的自变量取值。

由∂f/∂y = 0得 2x+2y-4 = 0，即 x+y=2。

解得x=-1,y=-2和x=3,y=-6。

步骤3：求出函数的极值。

对于(x,y)=(-1,-2)，f(-1,-2)=(-1)^2+2*(-1)*(-2)+(-2)^2+6*(-1)-4*(-2)+7=10。

步骤4：比较所有极值，得出最大值或最小值。

多元函数求极值在实际应用中非常常见，例如经济学中的最大收益模型、工程学中的最小能量模型等。

通过求解多元函数的极值，可以得到最优解，进而优化实际问题的解决方案，提高效率和效益。

多元函数极值的应用在数学中，多元函数是指具有多个自变量和一个因变量的函数。

与一元函数不同，多元函数的极值问题更加复杂而且应用广泛。

本文将探讨多元函数极值的应用，并通过实例来说明其解决实际问题的能力。

一、多元函数极值的概念多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

这些极值点通常是函数的拐点或转折点，对函数的形状和性质有重要影响。

找到多元函数的极值点，有助于我们了解函数的最优解以及优化问题的解决。

二、多元函数极值的求解方法1. 极值的判断要判断一个函数的极值，可以通过它的偏导数来分析。

如果一个多元函数的偏导数为零，那么函数在该点可能取得极值。

为了确定极值的性质，可以进一步通过求解二阶偏导数来判断是极大值还是极小值。

2. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数约束条件下极值的方法。

该方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件与目标函数结合，从而获得关于自变量和拉格朗日乘子的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以找到函数在约束条件下的极值点。

三、多元函数极值的应用实例1. 线性规划线性规划是一类优化问题，涉及线性约束条件下的最优解。

通过建立多元函数模型，并利用多元函数极值的求解方法，我们可以求出线性规划问题的最优解。

例如，在资源有限的情况下，如何分配资源以最大化利益就是一个线性规划问题。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种用于估计参数的统计方法。

它通过最小化观测值与函数预测值之间的差异，来拟合一个多元函数模型。

通过求解多元函数的极值问题，我们可以得到最小二乘法的解。

最小二乘法在数据拟合、回归分析等领域有广泛的应用。

3. 策略优化在经济学和管理学中，我们经常遇到需要优化决策策略的问题。

通过建立多元函数模型，将决策变量作为自变量，目标函数作为因变量，将约束条件和目标函数结合，利用多元函数极值的求解方法，我们可以找到最优的决策策略。

四、多元函数极值的局限性虽然多元函数极值的应用有很多优势，但是它也有一些局限性。

多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme problemto explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singularKeywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i j nx x n i j i j g f x x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理 3.3[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C ===224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点 因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,i kLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi ii k k k lL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c -+-+-=化简,得 0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1Lx yz x a L y xz yb L z xy zc x y z a b c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===min 2V V abc ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法. 4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值. 解 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a au αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++22222()33a a αβαβ=++++≥等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .4.4 不等式法[4] 4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值.解 0,0,0,x y z >>> (,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z x y z=++++4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有 21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,n a a a 与1,2,nb b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进 而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值. 解 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立；即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =. 4.5 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值. 解 因为 1(2)2y x z f =+-, 代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥ 即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤+-≤≤ (2)或211f z z ≥--≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥, 即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3. 4.6 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 容易解出2x y == 根据题意,22 ⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一 数形结合法[7]解 设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=， 即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二 消元法解 设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+ 故当sin 21θ=，即x y ==22383x y +=达到最小值. 当sin 21θ=-，即x y =-=时，2238x y +=达到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤ 当且仅当x y =时等号成立 因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-， 当且仅当x y =时等号成立即 223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值 由于222x u xu +≤， 所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+=即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1）（4）若0,0x y <>，则问题转化为（2）解法四 拉格朗日乘数法解 设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190F x x y x F y y x y F x xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=； 若 x y =-，则219x =，x y =-=x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.二.多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图）， CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α， 光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值.作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+--解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y=+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为1402025255510x y S x y π=-=+-++ 且 25x y +=设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x-⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Me c c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件 00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。

多元函数极值及其应用内容摘要从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题。

其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函数极值运用线性函数的理论加以讨论，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性。

文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。

关键词：多元函数极值正定矩阵稳定点极值判定应用序言多元函数的极值问题在近年来研究已经慢慢地完善起来，相关理论的完善也慢慢地越来越多，多元函数机制问题的应用也逐渐广泛。

然而，在常用书刊之中，与一元函数比较起来，多元函数极值问题的理论相对比较少。

但是，多元函数的应用却是比较广泛的。

在实际的生活之中，我们往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题。

然而，多元函数的最大值、最小值与多元函数的极大值、极小值有着密切的联系。

求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决。

同时，与一元函数相似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值，最小值。

但是由于自变量个数的增加，计算也相对复杂。

函数极值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中占有重要的地位。

尤其是在当今日益发展的社会生活中，工农业生产、自然科学和工程技术等发展带来了大量的问题，其实质都是函数极值问题。

多元函数极值则通过现在经济学中的热点问题——利润最大化和消费者效用最大化来体现。

一、 多元函数极值的定义定义1：设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的领域C 有定义，在P 处给出自变量的增量(,)P h k ∆=，相应有函数增量(,)(,)f a h b k f a b ∆=++-。

若f ∆0≤（0f ∆≥），则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。

在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。

本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。

一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。

对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。

寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。

偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。

具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。

再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。

1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。

寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。

驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。

根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。

二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。