2020年高考物理一轮复习专题5.3 机械能守恒定律(精讲)(解析版)

2020年高考物理专题精准突破专题机械能守恒定律的理解及应用【专题诠释】一、机械能守恒的理解与判断1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化．2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．利用能量转化来判断：若物体或系统只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．二．机械能守恒定律的表达式三、多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．(1)轻绳模型三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．①用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．①对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．(2)轻杆模型三大特点①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．①对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．(3)轻弹簧模型“四点”注意①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．①含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．①弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．①由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．【高考领航】【2019·新课标全国Ⅱ卷】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能E k与重力势能E p之和。

取地面为重力势能零点，该物体的E总和E p随它离开地面的高度h的变化如图所示。

板块三限时规范特训时间：45分钟满分：100分一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。

其中1～6为单选，7～10为多选)1．关于弹性势能，下列说法中正确的是()A．当弹簧变长时弹性势能一定增大B．当弹簧变短时弹性势能一定减小C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧的弹性势能越大D．弹簧在拉伸时弹性势能一定大于压缩时的弹性势能答案 C解析当弹簧处于压缩状态时，弹簧变长时弹力做正功，弹性势能减小。

弹簧变短时，弹力做负功，弹性势能增加，故A、B错误。

当拉伸长度相同时，k越大的弹簧的弹性势能越大，故C正确。

当k 相同时，伸长量与压缩量相同的弹簧，弹性势能也相同，故D错误。

2．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB 和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是()A．M球的机械能守恒B．M球的机械能增大C．M和N组成的系统机械能守恒D．绳的拉力对N做负功答案 C解析细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。

3. [2017·福建福州模拟]如图所示，竖立在水平面上的轻弹簧，下端固定，将一个金属球放在弹簧顶端(球与弹簧不连接)，用力向下压球，使弹簧被压缩，并用细线把小球和地面拴牢如图甲所示。

烧断细线后，发现球被弹起且脱离弹簧后还能继续向上运动如图乙所示。

那么该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中，(不计空气阻力)下列说法正确的是()A．弹簧、小球所构成的系统机械能守恒B．球刚脱离弹簧时动能最大C．球所受合力的最大值等于重力D．小球所受合外力为零时速度最小答案 A解析烧断细线后，小球受重力和弹力作用，故弹簧、小球所构成的系统机械能守恒，A正确；小球受到重力和向上的弹力两个力，弹簧的弹力先大于重力，小球加速上升，后弹力小于重力，小球减速上升，所以球的动能先增大后减小，当加速度等于零时，此时所受的合力为零，即小球受到的弹簧的弹力等于小球的重力时速度最大，动能最大，此时弹簧尚处于压缩状态，故B、D错误；小球脱离弹簧后还能继续向上运动，由简谐运动的对称性可知，小球所受合力的最大值(在最低点)大于重力，C错误。

第2节　机械能守恒定律素养提升基础知识一、重力做功与重力势能1.重力做功的特点基础过关 紧扣教材·自主落实(1)重力做功与 无关,只与始末位置的 有关.(2)重力做功不引起物体 的变化.路径高度差机械能2.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能 ;重力对物体做负功,重力势能 .减小增大减少量(2)定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的 ,即W G = = .(3)重力势能的变化量是绝对的,与参考平面的选取 .-(E p2-E p1)无关mgh mgh相同无关mgh 减少-ΔE p二、弹性势能1.定义:发生 的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能.弹性形变2.重力势能和弹性势能的比较内容重力势能弹性势能概念物体由于 而具有的能物体由于发生 而具有的能大小Ep=___________与形变量及 有关相对性大小与所选取的参考平面______一般选弹簧形变量为零的状态为 零点被举高弹性形变mgh劲度系数有关弹性势能三、机械能守恒定律1.机械能: 和 之和称为机械能,其中势能包括 和 .动能势能弹性势能重力势能 2.机械能守恒定律重力势能 E k2-E k1E p1-E p2(1)内容:在只有像重力那类力做功的情况下,物体的 与 可相互转化,机械能的总量 .(2)条件:只有 做功.动能势能保持不变重力或弹力(3)三种守恒表达式.①E 1=E 2(E 1,E 2分别表示系统初、末状态时的总机械能).②ΔE k = 或ΔE k增= (表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量).③ΔE A = 或ΔE A增= (表示系统只有A,B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能).-ΔE p ΔE p减-ΔE B ΔE B减E 1=E 2m 2gh-m 1gh ΔE k增=ΔE p减ΔE1增=ΔE2减(1)克服重力做功,物体的重力势能一定增加.( )过关巧练√1.思考判断(2)弹簧弹力做负功时,弹性势能减少.( )(3)物体所受合外力为零时,物体的机械能一定守恒.( )(4)物体受摩擦力作用时,物体的机械能一定要变化.( )(5)若弹簧的弹力和重力均对物体做功,物体的机械能一定守恒.( )(6)只有弹簧在研究的系统内,弹力做功才不影响系统的机械能.( )×××√×2.(多选)下列关于机械能是否守恒的叙述中正确的是( )BDA.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做匀变速运动的物体机械能可能守恒C.外力对物体做功为零时,物体的机械能一定守恒D.系统内只有重力和弹簧的弹力做功时,系统的机械能一定守恒解析:做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒,比如降落伞匀速下降,机械能减小,选项A错误;做匀变速直线运动的物体机械能可能守恒,比如自由落体运动,选项B正确;起重机把重物匀速吊起的过程中,合外力对物体做功为零,但机械能增加,选项C错误;系统内只有重力和弹簧的弹力做功,则系统机械能守恒,选项D正确.3. (多选)如图所示,在地面上以速度v抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上.若以地面为零势能面,而且不计空气阻力,则下列说法正确的是( )ADD考点研析 核心探究·重难突破考点一　机械能守恒的判断1.机械能守恒的条件只有重力或弹力做功,可以从以下四个方面进行理解:(1)物体只受重力或弹力作用.(2)存在其他力作用,但其他力不做功,只有重力或弹力做功.(3)其他力做功,但做功的代数和为零.(4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化,无其他形式能量的转化.2.机械能守恒的判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断):分析动能和势能的和是否变化.(2)用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械能守恒.(3)用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒.CD 【典例1】(多选)如图所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )A.(甲)图中,物体A将弹簧压缩的过程中,A机械能守恒B.(乙)图中,A置于光滑水平面上,物体B沿光滑斜面下滑,物体B机械能守恒C.(丙)图中,不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程中,A,B 系统机械能守恒D.(丁)图中,小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时,小球的机械能守恒解析:(甲)图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A 机械能不守恒,选项A错误;(乙)图中物体B除受重力外,还受弹力,弹力对B做负功,物体B机械能不守恒,选项B错误;(丙)图中绳子张力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A,B系统机械能守恒,选项C正确;(丁)图中小球的动能不变,势能不变,机械能守恒,选项D正确.【针对训练】如图所示,P,Q两球质量相等,开始两球静止,将P上方的细绳烧断,在Q落地之前,下列说法正确的是(不计空气阻力)( )A.在任一时刻,两球动能相等B.在任一时刻,两球加速度相等C.在任一时刻,两球与弹簧组成的系统动能和重力势能之和保持不变D.在任一时刻,两球与弹簧组成的系统机械能是不变的D解析:细绳烧断后,由于弹簧处于伸长状态,通过对P,Q两球受力分析可知a P>a Q,在任一时刻,两球的动能不一定相等,选项A,B错误;系统内有弹力做功,弹性势能发生变化,系统的动能和重力势能之和发生变化,选项C错误;Q落地前,两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功,整个系统的机械能守恒,选项D正确.考点二　单物体机械能守恒问题应用机械能守恒定律的基本思路(1)选取研究对象——物体.(2)根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒.(3)恰当地选取参考平面,确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能.(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,ΔEk=-ΔEp)进行求解.提示:所谓单物体应用机械能守恒定律,实质上是物体与地球组成的系统机械能守恒.(1)求小球在B,A两点的动能之比;答案:(1)5(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.答案:(2)见解析【针对训练1】一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为R,圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍,小球的质量为m,若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( )CA.2mgB.3mgC.4mgD.5mg【针对训练2】 (多选)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切,一小球以初速度v沿直轨道ab向右运动,如图所示,小球进入半圆形轨道后刚好能通过最高点c.则( )A.R越大,v越大B.R越大,小球经过b点后的瞬间对轨道的压力越大C.m越大,v越大D.m与R同时增大,初动能Ek0增大AD考点三　多物体机械能守恒问题1.轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等.②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系.③对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒.2.轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等.②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒.③对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒.【典例3】如图所示,光滑圆柱被固定在水平平台上,细绳跨过圆柱体与两小球m1,m2相连(m1,m2分别为它们的质量),开始时让m1放在平台上,两边绳绷直,两球从静止开始m1上升,m2下降,当m1上升到圆柱的最高点时,绳子突然断裂,发现m1恰能做平抛运动,求m2应为m1的多少倍?〚审题指导〛反思总结绳连接的物体系统机械能守恒的突破方法(1)由于二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化.(2)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk =-ΔEp的形式.(3)注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功.【典例4】 (多选)将质量分别为m和2m的两个小球A和B,用长为2L的轻杆相连,如图所示,在杆的中点O处有一固定水平转动轴,把杆置于水平位置后由静止自由释放,在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )BC反思总结杆连接的物体系统机械能守恒的突破方法(1)由于二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,确定系统重力势能的变化.(2)根据ΔEk =-ΔEp列出机械能守恒的方程求解.(3)注意的是轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另一物体做了负功,并且绝对值相等.题组训练1.[绳连接]有一竖直放置的“T”形架,表面光滑,滑块A,B分别套在水平杆与竖直杆上,A,B用一不可伸长的轻细绳相连,A,B质量相等,且可看做质点,如图所示,开始时细绳水平伸直,A,B静止.由静止释放B后,已知当细绳与竖直方向A的夹角为60°时,滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v,则连接A,B的绳长为(　　)2. [杆连接](2015·全国Ⅱ卷,21)(多选)如图,滑块a,b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上.a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动.不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g.则( )BD考点四　含弹簧类机械能守恒问题　对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中:(1)在能量方面,由于弹簧的形变会具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功,系统机械能守恒.若还有其他外力和内力做功,这些力做功之和等于系统机械能改变量.做功之和为正,系统总机械能增加,反之减少.(2)在相互作用过程特征方面,弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大.如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零,当弹簧为自然长度时,系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放).A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M,N两点的重力势能差BCD解析:因为在M,N两点处弹簧弹力大小相等,且OM<ON,所以M处弹簧处于压缩状态,N处弹簧处于伸长状态.如图所示的A,B两处分别为弹簧最短与原长的位置,可知小球从M 运动到A处的过程,弹力对小球做负功;小球从A运动到B处的过程中,弹力对小球做正功,小球从B运动到N处的过程,弹力对小球做负功.选项A错误;小球受到竖直向下的重力、水平方向的杆的支持力、弹簧弹力三个力作用,由牛顿第二定律知,当弹簧对小球的弹力在竖直方向的分力为零时,小球的加速度等于重力加速度,可知小球在A,B两处时加速度等于重力加速度,选项B正确;弹簧最短即小球在A处时,弹力方向与小球速度方向垂直,故弹力对小球做功的功率为零,选项C正确;在M,N两点处,弹簧弹力大小相等,则弹簧的形变量相等,所以弹簧弹性势能的大小相等,小球从M运动到N的过程中,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,则有EpM -EpN=EkN-0,选项D正确.【针对训练1】 (多选)如图所示,固定于水平面上的光滑斜面足够长,一轻质弹簧的一端与固定在斜面上的木板P相连,另一端与盒子A相连,A内放有光滑球B,B恰与盒子前、后壁接触,现用力推A使弹簧处于压缩状态,然后由静BD止释放,则从释放盒子A到其获得最大速度的过程中,下列说法正确的是( )A.弹簧的弹性势能一直减少到零B.A对B做的功等于B机械能的增加量C.弹簧弹性势能的减少量等于A的机械能的增加量D.A所受弹簧弹力和重力做的功的代数和大于A的动能的增加量。

基础复习课第三讲机械能守恒定律及其应用[小题快练]1．判断题(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．( √ )(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( √ )(3)弹力做正功，弹性势能一定增加．( × )(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × )(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小．( √ )(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒．( √ ) 2．关于重力势能，下列说法中正确的是( D )A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( D )A．弹簧的弹性势能逐渐减少B．物体的机械能不变C．弹簧的弹性势能先增加后减少D．弹簧的弹性势能先减少后增加4．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒考点一机械能守恒的判断(自主学习)1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒．(2)利用守恒条件判断．(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒．1－1.[机械能守恒的判断]在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A机械能守恒C．丙图中小球机械能守恒D．丁图中小球机械能守恒解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A 的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C 错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误．答案：A1－2.[机械能守恒的判断]把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．忽略弹簧的质量和空气阻力．则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是()A．经过位置B时小球的加速度为0B．经过位置B时小球的速度最大C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小答案：C考点二单个物体的机械能守恒(师生共研)1．机械能守恒定律的表达式2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象——物体．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解．[典例]如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道全高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)．[审题指导]第一步：抓关键点(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达B 点，则剩余部分将做匀速直线运动．(2)在轨道的C 点，根据F N ＋mg ＝m v 2CR 求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C 点的速度v C .(3)滑块由D 点到P 点做平抛运动，故滑块在P 点的速度v P 在水平方向的分速度与在D 点的速度相等，即v D ＝v P sin θ.解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得 μmg ＝ma 得a ＝μg ＝3 m/s 2加速到与传送带共速所需要的时间t 1＝v 0a ＝2 s 前2 s 内的位移x 1＝12at 21＝6 m之后滑块做匀速运动的位移x 2＝L －x 1＝6 m 时间t 2＝x 2v 0＝1 s故t ＝t 1＋t 2＝3 s.(2)滑块由B 到C 运动，由机械能守恒定律得 －mgH ＝12m v 2C－12m v 2在C 点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v 2CR 解得F N ＝90 N.(3)滑块由B 到D 运动的过程中，由机械能守恒定律得12m v 20＝12m v 2D ＋mg (H －2R ) 滑块由D 到P 运动的过程中，由机械能守恒定律得12m v 2P＝12m v 2D ＋mgh 又v D ＝v P sin 45°由以上三式可解得h ＝1.4 m. 答案：(1)3 s (2)90 N (3)1.4 m [反思总结]应用机械能守恒定律的两点注意事项1．列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同. 2．应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同．2－1.[与平抛运动相结合] (2015·海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab 和抛物线bc 组成，圆弧半径Oa 水平，b 点为抛物线顶点．已知h ＝2 m ，s ＝ 2 m ．取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.(1)一小环套在轨道上从a 点由静止滑下，当其在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c 点时速度的水平分量的大小． 解析：(1)一小环套在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b 点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc 重合，故有s ＝v b t ，h ＝12gt 2， 从ab 滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2b ，联立三式可得R ＝s 24h ＝0.25 m. (2)环由b 处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c 点的速度大小为v ，有mgh ＝12m v 2 环在c 点的速度水平分量为v x ＝v cos θ式中，θ为环在c 点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c 点的速度方向和以初速度v b 做平抛运动的物体在c 点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为v x ′＝v b ，竖直分量v y ′为v y ′＝2gh 因为cos θ＝v bv 2b ＋v y ′2 联立可得v x ＝2103 m/s.答案：(1)0.25 m (2)2103 m/s2－2.[与圆周运动相结合] (2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示．物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g .(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围．解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l 时的弹性势能为 E p ＝5mgl ①设P 的质量为M ，到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得 E p ＝12M v 2B ＋μMg ·4l ② 联立①②式，取M ＝m 并代入题给数据得 v B ＝6gl ③若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足 m v 2l －mg ≥0④设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得 12m v 2B ＝12m v 2D ＋mg ·2l ⑤联立③⑤式得 v D ＝2gl ⑥v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出．设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为 s ＝v D t ⑧ 联立⑥⑦⑧式得 s ＝22l ⑨(2)为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零．由①②式可知 5mgl >μMg ·4l ⑩要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C .由机械能守恒定律有 12M v 2B ≤Mgl ⑪ 联立①②⑩⑪式得 53m ≤M <52m .答案：(1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m考点三 多个物体的机械能守恒 (自主学习)1．多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒． (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系． (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式． 2．多物体机械能守恒问题的三点注意 (1)正确选取研究对象． (2)合理选取物理过程．(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．3－1.[弹簧连接] (2015·天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案：B3－2.[轻杆连接](多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为2ghC．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案：BD3－3.[轻绳连接](多选)(2018·康杰中学模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．环与重物组成的系统机械能守恒B．小环到达B处时，重物上升的高度也为dC．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2 2D．小环在B处时的速度为(3－22)gd解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故A项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度h＝(2－1)d，故B项错误；将小环在B处的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则v物＝v环cos45°，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为2∶1 ，故C项错误；小环和重物系统机械能守恒，则mgd－2mgh＝12m v2环＋122m v2物，且v物＝v环cos 45°，解得：v环＝(3－22)gd，故D正确．答案：AD1. (2018·聊城一中检测)如右图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心O等高的位置．若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为R的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接．换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为180°、120°、90°和60°.仍将小球从原半圆轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与O点等高的高度( C )解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与O点等高的高度，则速度为零；图A中到达O点的速度至少为gr，则A错误；B中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则B错误；C图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则C正确；D图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则D错误．2. (多选)(2019·阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置．由静止释放，则( BC )A．A球的最大速度为2glB．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度为8(2－1)gl3D．A、B两球的最大速度之比v A∶v B＝3∶1解析：由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为v A∶v B＝ω·2l∶ω·l＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2l cos θ－2mg·l(1－sin θ)＝12m v2A＋12·2m v2B，解得：v2A＝83gl(sin θ＋cos θ)－83gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为：v A＝8(2－1)gl3，所以A错误，C正确．3. (2018·海南矿区中学模拟)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m 的跳台上以v0＝5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高．取g ＝10m /s2，求：(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；(2)运动员起跳时的动能；(3)运动员入水时的速度大小．解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是E p＝mgh＝5 000 J；(2)由动能的公式得：E k＝12m v2＝625 J；(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒mgh＝12m v2－12m v2，解得v＝15 m/s .答案：(1)5 000 J(2)625 J(3)15 m/s[A组·基础题]1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则跳伞者( A )A．机械能一直减小B．机械能一直增大C．动能一直减小D．重力势能一直增大2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接．若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )A．0B．mgR sin θC．2mgR sin θD．2mgR3. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( C )A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度4．如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )A．A B．BC ．CD ．D5．(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O 点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m 的物体从O 点正上方的A 点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B 后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g ，则以下说法正确的是( CD )A ．物体落到O 点后，立即做减速运动B ．物体从O 点运动到B 点，物体机械能守恒C ．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒D ．物体在最低点时的加速度大于g6．(多选) (2019·景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当b 球第一次经过最低点时，a 球对地面压力刚好为零．下列结论正确的是( BD )A ．a 球的质量为2mB ．a 球的质量为3mC ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大D ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小解析：b 球在摆动过程中，a 球不动，b 球做圆周运动，则绳子拉力对b 球不做功，b 球的机械能守恒，则有：m b gL ＝12m b v 2；当b 球摆过的角度为90°时，a 球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：T ＝m a g ；b 通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：m a g －m b g ＝m b v 2L ，解得：m a ＝3m b ，故A 错误、B 正确．在开始时b 球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小，选项C 错误，D正确．7．(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动．他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P点以水平初速度v0跳出．他运动到图中a点时弹性轻绳刚好拉直，此时速度与竖直方向的夹角为θ，轻绳与竖直方向的夹角为β，b为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( BD )A．极限运动爱好者从P点到b点的运动过程中机械能守恒B．极限运动爱好者从P点到a点时间的表达式为t＝v0 g tan θC．极限运动爱好者到达a点时，tan θ＝tan βD．弹性轻绳原长的表达式为l＝v20g sin β tan θ[B组·能力题]8．(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m＝ 2 kg的滑块A.半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m＝ 2 kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g＝10m /s2.现给滑块A一个水平向右的恒力F＝60 N，则( ABC )A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为24 JB．小球B运动到C处时滑块A的速度大小为0C．小球B被拉到与滑块A速度大小相等时，sin∠OPB＝3 4D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J解析：设PO＝H.由几何知识得，PB＝H2＋R2＝0.42＋0.32＝0.5 m，PC＝H－R＝0.1 m．F 做的功为W＝F(PB－PC)＝40×(0.5－0.1)＝24 J，A正确；当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，选项B正确；当绳与轨道相切时滑块A与B球速度相等，由几何知识得：sin ∠OPB＝RH＝34，C正确．由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加量为ΔE＝W＝24 J，D错误．9．(多选) (2018·深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( CD )A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0C．弹簧劲度系数大于3mg 2x0D．弹簧最大弹性势能为332mgx0解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为E k＝2mgx0 sin 60°＝3mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于3mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有mg sin 60°＝kx，得k＝3mg2x，因为x＜x0，所以k＞3mg2x0，C正确；对小球从A到B的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能E pm＝3mgx0sin 60°＝332mgx0，D正确．10．(多选) (2019·江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D点．a、b、c三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R.设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为t a、t b、t c，三个物体到达地面的动能分别为E a、E b、E c，则下面判断正确的是( AC )A．E a＜E b B．E b＞E cC．t b＝t c D．t a＝t b解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2R＝12gt2，则得：t＝4Rg，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg＝m v2R，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v＝gR，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：x＝v t＝2R，由题知：AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，a没有到达最高点，则知t b＝t c＝4Rg，t a≠t b＝t c；对于a、b两物块，通过D点时，a的速度比b的小，由机械能守恒可得：E a＜E b.对于b、c两物块，由x＝v t 知，t相同，c的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，E c＞E b，故选项A、C正确．11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D点到水平线AB的高度h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能E p.解析：(1)小球由C 到D ，由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 21解得v 1＝2gL ①在D 点，由牛顿第二定律得F －mg ＝m v 21L ②由①②解得F ＝30 N由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.(2)由D 到A ，小球做平抛运动有v 2y ＝2gh ③tan 53°＝v y v 1④ 联立解得h ＝16 cm.(3)小球从C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即E p ＝mg (L ＋h ＋x sin 53°)，代入数据解得E p ＝2.9 J.答案：(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J。

第3讲　机械能守恒定律一、重力做功与重力势能的关系1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关．(2)重力做功不引起物体机械能的变化．2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh.(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p.自测1　关于重力势能，下列说法中正确的是( )A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案　D二、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔE p.自测2　(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关答案　AB三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式：mgh 1＋mv ＝mgh 2＋mv .121212223．条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．自测3　(多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )图1A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 机械能守恒B ．乙图中，物体A 固定，物体B 沿斜面匀速下滑，物体B 的机械能守恒C ．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械能守恒D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案　CD自测4　(多选)如图2所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )图2A ．重力对物体做的功为mghB ．物体在海平面上的重力势能为mghC ．物体在海平面上的动能为mv －mgh 1202D ．物体在海平面上的机械能为mv 1202答案　AD命题点一　机械能守恒的判断1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等．2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．4．除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面向下的拉力F 的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒．例1　(多选)(2018·苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不计)( )A ．抛出的篮球在空中运动B ．物体沿粗糙斜面匀速下滑C ．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动D ．系统只有重力或弹簧弹力做功的过程答案　ACD解析　空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故A 正确；物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故B 错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C 正确；系统只有重力或弹簧弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故D 正确．变式1　一轻质弹簧，固定于天花板上的O 点处，原长为L ，如图3所示，一个质量为m 的物块从A 点竖直向上抛出，以速度v 与弹簧在B 点相接触，然后向上压缩弹簧，到C 点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒答案　D命题点二　单个物体的机械能守恒1．表达式2．一般步骤3．选用技巧在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．例2　(2018·盐城市期中)如图4甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来．我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高h的弧形轨道下端与半径为R的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动．不计一切阻力，重力加速度为g.(1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；(2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时h 的取值范围．答案　(1)　(2)0＜h ≤R 或h ≥R 2gh R 52解析　(1)对小球从静止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得：mgh ＝mv 2，所以v ＝，则角速度ω＝＝；122gh v R 2gh R(2)小球在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度H ＝2R 或0＜H ≤R ；当H ＝2R 时，设在最高点的速度为v ′，则由牛顿第二定律可得：mg ≤；对小球从静止mv ′2R到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得：mg (h －2R )＝mv ′2≥mgR ，所以h ≥R ；121252当0＜H ≤R 时，设在最高点的速度为0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理可得：mg (h －H )＝0，所以h ＝H ，即0＜h ≤R ；故小球在圆形轨道上运动而不脱离，h 的取值范围为0＜h ≤R 或h ≥R .52变式2　(多选)(2018·无锡市期中)物体做自由落体运动，E k 代表动能，E p 代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )答案　BD解析　自由落体运动的速度v ＝gt ，则动能E k ＝mv 2＝mg 2t 2，故E k 与t 、v 均成二次函数关1212系，物体的重力势能：E p ＝E －E k ＝E －mv 2＝E －mg 2t 2，故E p 与t 、v 均成二次函数关系，开1212口的方向均向下，故A 错误，B 正确．因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以E k ＋E p ＝C (常量)，所以E p ＝C －E k ，E p 与E k 成一次函数关系，故C 错误，由动能定理，E k ＝mgh ，则E p ＝C －mgh ，E p 与h 成一次函数关系，D 正确．命题点三　连接体的机械能守恒1．多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：判断是否只有动能与重力势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与．或判断：有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象．2．绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系．3．“链条”“液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度．4．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式．例3　(2018·江苏单科·14)如图5所示，钉子A 、B 相距5l ，处于同一高度．细线的一端系有质量为M 的小物块，另一端绕过A 固定于B .质量为m 的小球固定在细线上C 点，B 、C 间的线长为3l .用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC 与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A 、B 相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g ，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：图5(1)小球受到手的拉力大小F ；(2)物块和小球的质量之比M ∶m ；(3)小球向下运动到最低点时，物块M 所受的拉力大小T .答案　(1)Mg －mg (2)6∶553(3)8mMg 5(m ＋M )(4855mg 或811Mg )解析　(1)对小球受力分析，如图所示，设小球受AC 、BC 的拉力分别为F 1、F 2在水平方向：F 1sin53°＝F 2cos53°①在竖直方向：F ＋mg ＝F 1cos53°＋F 2sin53°②且F 1＝Mg ③由①②③式解得F ＝Mg －mg ④53(2)小球运动到与A 、B 相同高度过程中由几何关系得小球上升高度h 1＝3l sin53°⑤物块下降高度h 2＝2l ⑥物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律mgh 1＝Mgh 2⑦由⑤⑥⑦式解得＝⑧M m 65(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC 方向的加速度大小为a ，物块受到的拉力为T对物块由牛顿第二定律得Mg －T ＝Ma ⑨根据牛顿第三定律，小球受AC 的拉力T ′＝T ⑩对小球，在沿AC 方向，由牛顿第二定律得T ′－mg cos53°＝ma ⑪解得T ＝(结合⑧式，也可得到T ＝mg 或T ＝Mg )⑫8mMg5(m ＋M )4855811变式3　(多选)(2018·沛县中学调研)如图6所示，质量相等的两个物块A 和B 用跨过滑轮的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力，B 物块套在光滑的竖直杆上，在B 下落的过程中，下列说法正确的是( )图6A ．物块B 减少的机械能等于物块A 增加的机械能B ．物块B 减少的重力势能等于物块A 和B 增加的动能之和C ．绳拉力对A 做的功等于B 克服绳拉力做的功D ．物块A 和B 的速度大小相等答案　AC解析　A 、B 两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则A 增加的机械能与B 减小的机械能相等，故A 正确．因为系统机械能守恒，则A 、B 系统重力势能的减小量等于物块A 、B 增加的动能之和，故B 错误．绳子拉力对A 做的功等于A 的机械能增加量，B 克服绳子拉力做的功等于B 机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对A 做的功等于B 克服绳拉力做的功，故C 正确．物块B 速度在沿绳子方向的分速度等于A 的速度，可知B 的速度大于A 的速度，故D 错误．命题点四　含弹簧类机械能守恒问题1．由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放)．例4　(多选)(2018·南京市三模)如图7所示，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与可视为质点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的A 点，此时弹簧恰好水平，将滑块从A 点由静止释放，经B 点到达位于O 点正下方的C 点，当滑块运动到B 点时弹簧与斜面垂直，运动到C 点时弹簧恰好处于原长，已知OC 的距离为L ，斜面倾角为θ＝30°，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g .则滑块由A 运动到C 的过程中( )图7A ．滑块的加速度一直减小B ．滑块经过B 点时的速度一定最大C ．滑块经过C 点的速度大于2gLD ．滑块的加速度大小等于的位置一共有三处g 2答案　CD变式4　(多选)(2018·南通市等七市三模)如图8所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B 点．一小物块紧靠弹簧放置，在外力作用下将弹簧压缩至A 点．物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C ，然后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止．则( )图8A ．物块最终会停在A 、B 之间的某位置B ．物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同C ．整个运动过程中产生的内能小于弹簧的最大弹性势能D ．物块从A 上滑到C 过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变答案　ACD1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图9所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80m，体重60kg，参加学校运动会成功地越过了1.90m的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( )图9A．500JB．600JC．800JD．2000J答案　C2．(多选)(2018·南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图10所示，A、B为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用v、E、E k、P分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图象中不正确的是( )图10答案　ABC3．(多选)(2018·南通等六市一调)如图11所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到A点时速度最大，下降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙，从距O点高为h 的C点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则上述过程中( )图11A．弹簧最大弹性势能为MghB．乙的最大速度为2ghC．乙在B点加速度大小为2gD ．乙运动到O 点下方处速度最大h 4答案　AD解析　对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到B 点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化即Mgh ，物块乙也刚好将弹簧压缩到B 点，所以弹簧最大弹性势能为Mgh ，故A 正确；当乙下落到O 点时，根据动能定理：mgh ＝mv 2，解得：v ＝，此时开始122gh 压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以乙的最大速度大于，故B 错误；根据机械能守恒有Mgh ＝mg ·2h ，则m ＝M ，在B 点对M 2gh 12根据牛顿第二定律有：F －Mg ＝Mg ，对m 根据牛顿第二定律有：F －mg ＝ma ，联立可得：a ＝3g ，故C 错误；设弹簧劲度系数为k ，在最低点有：kh ＝2Mg ＝4mg ，即k ＝mg ，可得乙运动到O h 4点下方处速度最大，故D 正确．h 44．(2018·扬州中学5月模拟)如图12所示，小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB 滑下，从B 端水平飞出，撞击到一个与地面呈θ＝37°的斜面上，撞击点为C .已知斜面上端与曲面末端B 相连，A 、B 间的高度差为h ，B 、C 间的高度差为H ，不计空气阻力，则h 与H 的比值为( )h H图12A. B. C. D.34439449答案　D5．(多选)(2018·苏锡常镇二模)如图13所示，用铰链将三个质量均为m 的小球A 、B 、C 与两根长为L 的轻杆相连，B 、C 置于水平地面上．在轻杆竖直时，将A 由静止释放，B 、C 在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g .则此过程中( )图13A ．球A 的机械能一直减小B ．球A 落地的瞬时速度为2gLC ．球B 对地面的压力始终等于mg 32D ．球B 对地面的压力可小于mg答案　BD1．(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( )A ．物体沿斜面匀速下滑B ．物体做自由落体运动C ．跳伞运动员在空中匀速下降D ．木块沿光滑曲面自由下滑答案　BD解析　物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小的情况，因此机械能不守恒，A 、C 错误；物体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以B 、D 正确．2.(2018·常熟市模拟)半径分别为r 和R (r <R )的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图1所示，质量相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放，在下滑过程中两物体( )图1A ．机械能均逐渐减小B ．经最低点时动能相等C ．机械能总是相等的D ．两物体在最低点时加速度大小不相等答案　C3．(2018·阜宁中学调研)如图2所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，CD 段为平滑的弯管．一小球从管口D 处由静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上．则管口D 距离地面的高度必须满足的条件是( )图2A ．等于2RB ．大于2RC ．大于2R 且小于RD ．大于R 5252答案　B解析　细管轨道可以提供支持力，所以小球到达A 点的速度大于零即可，即mgH －mg ·2R >0，解得H >2R .故选B.4．(多选)(2018·无锡市期中)如图3所示，一物体从光滑斜面AB 底端A 点以初速度v 0上滑，沿斜面上升的最大高度为h .假设下列情境中物体从A 点上滑的初速度仍为v 0，则下列说法中正确的是( )图3A ．若把斜面CB 部分截去，物体冲过C 点后上升的最大高度仍为hB ．若把斜面弯成圆弧D ，物体仍沿圆弧升高hC ．若把斜面AB 变成曲面AEB ，物体沿此曲面上升仍能到达B 点D ．若把斜面从C 点以上部分弯成与C 相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h 答案　CD解析　若把斜面CB 部分截去，物体冲过C 点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h 高处，故A 错误；若把斜面弯成圆弧D ，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h 高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h 高处，故B 错误；若把斜面AB 变成曲面AEB ，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B 点，故C 正确；若把斜面从C 点以上部分弯成与C 相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于h 高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h ，故D 正确．5．(2018·江苏百校12月大联考)一小球在空中从t ＝0时刻开始做自由落体运动，如图4所示．以地面为参考平面，关于小球速率v 、重力的瞬时功率P 、小球的动能E k 和重力势能E p 随时间t 变化的图象正确的是( )图4答案　B6．(2018·宿迁市上学期期末)如图5所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图5A ．2R B. C. D.5R 34R 32R 3答案　C解析　设B 球质量为m ，A 球刚落地时两球速度大小为v ，根据机械能守恒定律得2mgR －mgR ＝(2m ＋m )v 2，得v 2＝gR ，B 球继续上升的高度h ＝＝，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝R ，1223v 22g R 343故选C.7．(多选)(2018·淮安市、宿迁市等期中)如图6所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，竖直轻质弹簧与A 、B 物块相连，A 、C 物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接．初始时刻，C 在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B 放置在水平面上，A 静止．现撤去外力，物块C 沿斜面向下运动，当C 运动到最低点时，B 刚好离开地面．已知A 、B 的质量均为m ，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )图6A ．C 的质量m C 可能小于mB ．C 的速度最大时，A 的加速度为零C ．C 的速度最大时，弹簧弹性势能最小D ．A 、B 、C 组成的系统的机械能先变小后变大答案　BC解析　C 的速度最大时，加速度为零，因A 的加速度等于C 的加速度，则此时A 的加速度也为零，选项B 正确；设弹簧的劲度系数为k ，开始时弹簧压缩量为Δx 1＝，因当C 运动到mg k 最低点时，B 刚好离开地面，此时弹簧伸长量为Δx 2＝，根据对称性可知，当A 的加速度mg k为零时，弹簧处于原长状态，则此时弹簧弹性势能为零，设斜面倾角为θ，此时有m C g sin θ＝mg ，则C 的质量m C 一定大于m ，选项A 错误，C 正确；因只有重力和弹力做功，则A 、B 、C 及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则A 、B 、C 系统的机械能先变大后变小，选项D 错误．8．(多选)(2018·南京市、盐城市一模)如图7所示，光滑细杆上套有两个质量均为m 的小球，两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为L ，用长为2L 的细线连接两球．现将质量为M 的物块用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动．则物块( )图7A ．运动到最低点时，小球的动能为零B ．速度最大时，弹簧的弹性势能最大C ．速度最大时，杆对两球的支持力为(M ＋2m )gD ．运动到最低点时，杆对两球的支持力小于(M ＋2m )g答案　AC解析　物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故A 正确；根据系统机械能守恒可知，物块M 减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的动能，当物块运动到最低点时，即速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故B 错误；速度最大时，即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力(M ＋2m )g 和杆对两球的支持力二力平衡，故C 正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球的支持力大于(M ＋2m )g ，故D 错误．9．(2018·扬州中学月考)如图8所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O 1、O 2和质量为m 的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m 的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C 点与两定滑轮均在同一高度，C 点到定滑轮O 1的距离为L ，重力加速度为g ，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C 点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L 时(图中D 处)，求：图8(1)小球下降的最大距离；(2)小物块在D 处的速度大小．答案　见解析解析　(1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知，Δh ＝L －L sin 60°＝L (1－)；32(2)设小物块下滑距离为L 时的速度大小为v ，此时小球的速度大小为v 1，则v 1＝v cos θ对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有：mgL sin θ＝mv ＋mv 2121212解得v ＝.253gL 510．(2018·南京市三模)如图9所示，物块A 、B 、C 的质量分别为2m 、2m 、m ，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块A 置于地面，物块B 与C 、C 到地面的距离均是L ，现将三个物块由静止释放．若C 与地面、B 与C 相碰后速度立即减为零，A 距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g .求：图9(1)刚释放时A 的加速度大小及轻绳对A 的拉力大小；(2)物块A 由最初位置上升的最大高度；(3)若改变A 的质量使系统由静止释放后物块C 能落地且物块B 与C 不相碰，则A 的质量应满足的条件．答案　见解析解析　(1)设刚释放时A 、B 、C 的加速度大小为a ，绳子对A 的拉力大小为F由受力分析可知对于A 有F －2mg ＝2ma对于B 、C 整体有3mg －F ＝3ma联立解得a ＝，F ＝mg ＝2.4mg g 5125(2)C 下落L 后落地，由v 2＝2ax 可知此时的速度v ＝25gL由h ＝得h ＝0.2L v 22g则物块由最初位置上升的最大高度H ＝2.2L(3)若改变A 的质量使系统由静止释放后物块C 能落地，则A 的质量需满足m A <3m同时使得B 与C 不相碰，即C 落地后B 减速下降到地面时速度为0，从释放到C 落地的过程中运用系统机械能守恒定律得 3mgL －m A gL ＝(3m ＋m A )v 212解得v ＝2(3m －m A )gL 3m ＋m A从C 落地到B 减速到速度为0的过程中运用机械能守恒定律得2mgL ＋(2m ＋m A )v 2＝m A gL 12解得m A ＝m6即A 的质量满足m <m A <3m ，系统由静止释放后物块C 能落地且物块B 与C 不相碰．611．(2019·海安中学月考)如图10所示，长为L 的轻杆一端连着质量为m 的小球，另一端与固定于水平地面上O 点的铰链相连，初始时小球静止于地面上，边长为L 、质量为M 的正方体左侧紧靠O 点．现在杆中点处施加一个方向始终垂直杆、大小不变的拉力，当杆转过θ＝45°时撤去此拉力，小球恰好能到达最高点，不计一切摩擦，重力加速度为g .求：图10(1)拉力做的功W 和拉力的大小F ；。

实验探究课实验六 验证机械能守恒定律[实验目的]利用自由落体运动验证只有重力作用下的物体机械能守恒．[实验原理]1．在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，但总的机械能保持不变．若物体某时刻瞬时速度为v ，下落高度为h ，则重力势能的减少量为mgh ，动能的增加量为12m v 2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等则验证了机械能守恒定律．2．计算打第n 个点速度的方法：测出第n 个点与相邻前后点间的距离x n 和x n ＋1，由公式v n ＝x n ＋x n ＋12T或v n ＝h n ＋1－h n －12T算出，如图所示．[实验器材]铁架台(含铁夹)，打点计时器，学生电源，纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，重物(带纸带夹)．[实验步骤]1．安装置：按图将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路．2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方．先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落．更换纸带重复做3～5次实验．3．选纸带：分两种情况说明(1)用12m v 2n ＝mgh n 验证时，应选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm 的纸带．若1、2两点间的距离大于2 mm ，这是由于先释放纸带，后接通电源造成的．这样，第1个点就不是运动的起始点了，这样的纸带不能选．(2)用12m v 2B －12m v 2A ＝mg Δh 验证时，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm 就无关紧要了，所以只要后面的点迹清晰就可选用．[数据处理]方法一：利用起始点和第n 点计算．代入gh n 和12v 2n ，如果在实验误差允许的情况下，gh n ＝12v 2n，则验证了机械能守恒定律． 方法二：任取两点计算．(1)任取两点A 、B ，测出h AB ，算出gh AB ；(2)算出12v 2B －12v 2A 的值；(3)在实验误差允许的情况下，若gh AB ＝12v 2B －12v 2A ，则验证了机械能守恒定律． 方法三：图象法．从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h ，并计算各点速度的二次方v 2，然后以12v 2为纵轴，以h 为横轴，根据实验数据绘出12v 2－h 图线．若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g 的直线，则验证了机械能守恒定律．[误差分析]1．本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量ΔE k 稍小于重力势能的减少量ΔE p ，即ΔE k <ΔE p ，这属于系统误差．改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力．2．本实验的另一个误差来源于长度的测量，属偶然误差．减小误差的办法是测下落距离时都从0点量起，一次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值来减小误差．[注意事项]1．安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上以减少摩擦阻力．2．重物应选用质量大、体积小、密度大的材料．3．应先接通电源，让打点计时器正常工作后，再松开纸带让重物下落．4．纸带长度应选用60 cm 左右为宜，应选用点迹清晰的纸带进行测量．5．速度不能用v n ＝gt n 或v n ＝2gh n 计算，因为只要认为加速度为g ，机械能当然守恒，即相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律，况且用v n ＝gt n 计算出的速度比实际值大，会得出机械能增加的结论，而因为摩擦阻力的影响，机械能应该减小，所以速度应从纸带上直接测量计算．同样的道理，重物下落的高度h ，也只能用刻度尺直接测量，而不能用h n ＝12gt 2n 或h n ＝v 2n 2g 计算得到．[实验改进]1．物体的速度可以用光电计时器测量，以减小由于测量和计算带来的误差．2．整个实验装置可以放在真空环境中操作，如用牛顿管和频闪照相进行验证，以消除由于空气阻力作用而带来的误差．3．可以利用气垫导轨来设计该实验，以减小由于摩擦带来的误差．4．为防止重物被释放时的初速度不为零，可将装置改成如图所示形式，剪断纸带最上端，让重物从静止开始下落．热点一 实验原理和实验步骤[典例1] 某课外活动小组用竖直上抛运动验证机械能守恒定律．(1)某同学用20分度游标卡尺测量小球的直径，读数如图甲所示，小球直径为mm.(2)图乙所示弹射装置将小球竖直向上抛出，先后通过光电门A 、B ，计时装置测出小球通过A 的时间为2.55×10－3 s ，小球通过B 的时间为5.15×10－3 s ，由此可知小球通过光电门A 、B 时的速度分别为v A 、v B ，其中v A ＝ m/s(保留两位有效数字)．(3)用刻度尺测出光电门A 、B 间的距离h ，已知当地的重力加速度为g ，只需比较和 是否相等，就可以验证机械能是否守恒(用题目中给出的物理量符号表示)．解析：(1)游标卡尺的读数为d＝10 mm＋4×120mm＝10.20 mm.(2)由于光电门非常窄，所以小球通过光电门的平均速度可近似等于通过其的瞬时速度，故有v A＝dt A＝10.20×10－3 m2.55×10－3 s＝4.0 m/s.(3)如果机械能守恒，则有－mgh＝12m v2B－12m v2A，即－gh＝12v2B－12v2A，所以只需要比较gh和12v2A－12v2B是否相等．答案：(1)10.20(2)4.0(3)gh v2A2－v2B21. 如图甲所示为验证机械能守恒定律的实验装置示意图．现有的器材为：带铁夹的铁架台、打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平．回答下列问题．甲(1)为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材是．A．刻度尺B．秒表C．多用电表D．交流电源(2)下面列举了该实验的几个操作步骤中，其中操作不当的步骤是．A．用天平测出重锤的质量B．按照图示的装置安装器件C．先释放纸带，后接通电源D．测量纸带上某些点间的距离(3)利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值．根据打出的纸带，选取纸带上连续的五个点A、B、C、D、E，测出各点之间的距离如图乙所示．使用交流电的频率为f，则计算重锤下落的加速度的表达式a＝(用x1、x2、x3、x4及f表示)．乙解析：(1)为完成此实验，除了所给的器材外，测量需要刻度尺、交流电源．(2)该实验不需要测量重锤的质量，应先接通电源，后释放纸带，故选A、C.(3)由Δx＝aT2得：a＝(x3＋x4－x1－x2)4T2＝(x3＋x4－x1－x2)f24.答案：(1)AD(2)AC(3)(x3＋x4－x1－x2)f24热点二数据处理及误差分析[典例2](2018·江苏天一中学高考考前热身卷)(1)某同学想利用图甲所示装置，验证滑块与钩码组成的系统机械能守恒，该同学认为只要将摩擦力平衡掉就可以了．你认为该同学的想法(填“正确”或“不正确”)，理由是：.(2)另一同学用一倾斜的固定气垫导轨来验证机械能守恒定律．如图乙所示，质量为m1的滑块(带遮光条)放在A处，由跨过轻质定滑轮的细绳与质量为m2的钩码相连，导轨B处有一光电门，用L表示遮光条的宽度，x表示A、B两点间的距离，θ表示气垫导轨的倾角，g表示当地重力加速度．①气泵正常工作后，将滑块由A点静止释放，运动至B，测出遮光条经过光电门的时间t，该过程滑块与钩码组成的系统重力势能的减小量表示为，动能的增加量表示为；若系统机械能守恒，则1t2与x的关系式为1t2＝(用题中已知量表示)．②实验时测得m1＝475 g，m2＝55 g，遮光条宽度L＝4 mm，sin θ＝0.1，改变光电门的位置，滑块每次均从A点释放，测量相应的x与t的值，以1t2为纵轴，x为横轴，作出的图象如图丙所示，则根据图象可求得重力加速度g0为m /s2(计算结果保留两位有效数字)，若g0与当地重力加速度g近似相等，则可验证系统机械能守恒．解析：(1)机械能守恒的条件只有重力或弹力做功，平衡摩擦力时，是用重力的分力等于摩擦力，但此时系统受到摩擦力，故摩擦力对系统做功，机械能不守恒；故该同学的想法不正确；(2)①滑块由A 到B 的过程中，系统重力势能的减小量为：ΔE p ＝m 2gx －m 1gx sin θ；经过光电门时的速度为：v ＝L t ；则动能的增加量为：ΔE k ＝12(m 1＋m 2)v 2＝12(m 1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫L t 2 若机械能守恒，则有：ΔE p ＝ΔE k联立解得：1t 2＝2(m 2－m 1sin θ)gx (m 1＋m 2)L 2； ②由上述公式可得，图象中的斜率表示2(m 2－m 1sin θ)g (m 1＋m 2)L 2＝k ； 代入数据解得：g ＝9.4 m/s 2.答案：(1)不正确 有摩擦力做功，不满足机械能守恒的条件 (2)①(m 2－m 1sin θ)gx 12(m 1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫L t 2 2(m 2－m 1sin θ)gx (m 1＋m 2)L 2②9.42．(1)关于“验证机械能守恒定律”的实验中，以下说法中正确的是 ．A ．实验时需要称出重物的质量B ．实验中摩擦是不可避免的，因此纸带越短越好，因为纸带越短，克服摩擦做的功就少，误差就小C ．纸带上打下的第1、2点间距超过2 mm ，则无论怎样处理数据，实验误差都会很大D ．实验处理数据时，可直接利用打下的实际点迹，而不必采用“计数点”的方法(2)若正确的操作完成实验，正确的选出纸带进行测量，量得连续三点A 、B 、C 到第一个点O 的距离如图所示(相邻计数点时间间隔为0.02 s)，当地重力加速度的值为9.8 m/s 2，那么(结果均保留两位有效数字)．①纸带的 端与重物相连．②打下计数点B 时，重物的速度v B ＝ m /s.③在从起点O 到打下计数点B 的过程中，测得重物重力势能的减少量ΔE p 略大于动能的增加量ΔE k ，这是因为 ．解析：(1)实验时动能的增加量与重力势能的减少量，均含有质量，因此不需称出重物的质量，故A 错误；实验中摩擦是不可避免的，因此纸带短点好，因为纸带越短，克服摩擦力做的功就越少，但要通过测量长度来求出变化的高度与瞬时速度，因此太短导致误差就越大，故B 错误；若纸带上第1、2两点间距大于2 mm ，可在后面选取两个点用表达式mg ·Δh ＝12m v 22－12m v 21依然可以来验证机械能守恒定律，故C 错误；处理打点的纸带时，可以直接利用打点计时器打出的实际点迹，而不必采用“计数点”的方法，若采用计数点，是使测量长度变长，从而减小测量长度的误差，故D 正确．(2)①重物在开始下落时速度较慢，在纸带上打的点较密，越往后，物体下落得越快，纸带上的点越稀，所以纸带上靠近重物的一端的点较密，因此纸带的左端与重物相连．②根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度有：v B ＝x AC 2T ＝(7.06－3.14)×10－22×0.02m/s ＝0.98 m/s. ③ΔE p ＞ΔE k 说明有部分重力势能变成了其他能，是因为下落过程中存在摩擦阻力和空气阻力的影响． 答案：(1)D (2)①左 ②0.98 ③下落过程中存在摩擦阻力和空气阻力的影响热点三 实验的改进与创新1．实验器材、装置的改进2．速度测量方法的改进由光电门计算速度――→替代测量纸带上各点速度3．实验方案的改进利用自由落体运动的闪光照片验证机械能守恒定律．创新点一 实验方案的改进——频闪照片[典例3] (2019·南宁三中月考)如图甲所示，在“验证机械能守恒定律”的实验中，小明同学利用传感器设计实验：将质量为m 、直径为d 的金属小球在一定高度h 由静止释放，小球正下方固定一台红外线计时器，能自动记录小球挡住红外线的时间t ，改变小球下落高度h ，进行多次重复实验．此方案验证机械能守恒定律方便快捷．(1)用螺旋测微器测小球的直径如图乙所示，则小球的直径d＝mm；(2)为直观判断小球下落过程中机械能是否守恒，应作下列哪一个图象；A．h－t图象B．h－1t图象C．h－t2图象D．h－1t2图象(3)若(2)问中的图象斜率为k，则当地的重力加速度为(用“d”“k”表示，忽略空气阻力)．解析：(1)螺旋测微器的固定刻度为17.5 mm，可动刻度为30.5×0.01 mm＝0.305 mm，所以最终读数为17.5 mm＋0.305 mm＝17.805 mm.(2)已知经过光电门时的时间小球的直径；则可以由平均速度表示经过光电门时的速度；所以V＝d t，若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒；mgh＝12m v2，整理得h＝d22g⎝⎛⎭⎪⎫1t2，为直观判断小球下落过程中机械能是否守恒，所以应作h－1t2图象．故选D.(3)根据函数h＝d22g⎝⎛⎭⎪⎫1t2可知正比例函数的斜率k＝d22g，故重力加速度g＝d22k.答案：(1)17.806(2)D(3)d2 2k创新点二实验测量方法的改进——光电门测速法[典例4]如图甲所示，一位同学利用光电计时器等器材做“验证机械能守恒定律”的实验．有一直径为d、质量为m的金属小球由A处由静止释放，下落过程中能通过A处正下方、固定于B处的光电门，测得A、B间的距离为H(H≫d)，光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g.则：(1)如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径d＝m m.(2)小球经过光电门B时的速度表达式为．(3)多次改变高度H，重复上述实验，作出1t2随H的变化图象如图丙所示，当图中已知量t0、H0和重力加速度g及小球的直径d满足表达式时，可判断小球下落过程中机械能守恒．(4)实验中发现动能增加量ΔE k总是稍小于重力势能减少量ΔE p，增加下落高度后，则ΔE p－ΔE k将(填“增加”“减小”或“不变”)．解析：(1)由图可知，主尺刻度为7 mm，游标对齐的刻度为5，故读数为：7 mm＋5×0.05 mm＝7.25 mm.(2)已知经过光电门时的时间和小球的直径；则可以由平均速度表示经过光电门时的速度，故v＝d t.(3)若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒：mgH＝12m v2，解得：gH＝d22t20(4)由于该过程中有阻力做功，而高度越高，阻力做功越多．故增加下落高度后，ΔE p－ΔE k将增大．答案：(1)7.25 mm(2)dt(3)gH0＝d22t20(4)增大创新点三实验装置的改进[典例5]如图甲所示的装置叫作阿特伍德机，是英国数学家和物理学家阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律．某同学对该装置加以改进后用来验证机械能守恒定律，如图乙所示．(1)实验时，该同学进行了如下操作：①将质量均为M(A的含挡光片，B的含挂钩)的重物用绳连接后，跨放在定滑轮上，处于静止状态．测量出(填“A的上表面”“A的下表面”或“挡光片中心”)到光电门中心的竖直距离h.②在B的下端挂上质量为m的物块C，让系统(重物A、B以及物块C)中的物体由静止开始运动，光电门记录挡光片挡光的时间为Δt.③测出挡光片的宽度d，计算有关物理量，验证机械能守恒定律．(2)如果系统(重物A、B以及物块C)的机械能守恒，应满足的关系式为(已知重力加速度为g)．(3)引起该实验系统误差的原因有(写一条即可)．(4)验证实验结束后，该同学突发奇想：如果系统(重物A、B以及物块C)的机械能守恒，不断增大物块C的质量m，重物B的加速度a也将不断增大，那么a与m之间有怎样的定量关系？a随m增大会趋于一个什么值？请你帮该同学解决：①写出a与m之间的关系式：(还要用到M和g)．②a的值会趋于．解析：(1)①实验时，测量出挡光片中心到光电门中心的竖直距离h；(2)重物A经过光电门时的速度为v＝dΔt.则如果系统(重物A、B以及物块C)的机械能守恒，应满足的关系式为mgh＝12(2M＋m)(dΔt)2；(3)引起该实验系统误差的原因：绳子有一定的质量、滑轮与绳子之间有摩擦、重物运动受到空气阻力等．(4)①根据牛顿第二定律可知mg＝(m＋2M)a，解得：a＝mg2M＋m＝g2Mm＋1；②当m增大时，式子的分母趋近于1，则a的值会趋于重力加速度g.答案：(1)①挡光片中心(2)mgh＝12(2M＋m)(dΔt)2(3)绳子有一定的质量、滑轮与绳子之间有摩擦、重物运动受到空气阻力等(4)①a＝g2Mm＋1②重力加速度g1．某同学利用“验证机械能守恒定律”的实验装置测定当地重力加速度．(1)接通电源释放重物时，装置如图甲所示，该同学操作中存在明显不当的一处是；(2)该同学经正确操作后得到如图乙所示的纸带，取连续的六个点A、B、C、D、E、F为计数点，测得点A到B、C、D、E、F的距离分别为：h1、h2、h3、h4、h5.若电源的频率为f，则打E点时重物速度的表达式v E＝；(3)分析计算出各计数点对应的速度值，并画出速度的二次方(v2)与距离(h)的关系图线，如图丙所示，则测得的重力加速度大小为m /s2(保留三位有效数字)．解析：(1)接通电源释放重物时，该同学操作中存在明显不当的一处是释放时重物离打点计时器太远；(2)打E 点时重物速度的表达式v E ＝(h 5－h 3)2T ＝(h 5－h 3)f 2； (3)根据mgh ＝12m v 2，解得v 2＝2gh ，则由图象可知：2g ＝8.4－3.60.25＝19.2，解得g ＝9.60 m/s 2.答案：(1)释放时重物离打点计时器太远 (2)v E ＝(h 5－h 3)f 2(3)9.60 2．某活动小组利用图甲装置验证机械能守恒定律．钢球自由下落过程中，先后通过光电门A 、B ，计时装置测出钢球通过A 、B 的时间分别为t A 、t B .用钢球通过光电门的平均速度表示钢球球心通过光电门的瞬时速度．测出两光电门间的距离为h ，钢球直径为D ，当地的重力加速度为g .(1)用20分度的游标卡尺测量钢球的直径，读数如图乙所示，钢球直径为D ＝cm.(2)要验证机械能守恒，只要比较 ．A ．D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2A －1t 2B 与gh 是否相等 B ．D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2A －1t 2B 与2gh 是否相等 C ．D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2B －1t 2A 与gh 是否相等 D ．D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2B －1t 2A 与2gh 是否相等(3)钢球通过光电门的平均速度 (填“>”或“<”)钢球球心通过光电门的瞬时速度，由此产生的误差 (填“能”或“不能”)通过增加实验次数减小．解析：(1)钢球直径为D ＝0.9 cm ＋0.05×9 mm ＝0.945 cm.(2)小球通过两个光电门的速度分别为D t A 和D t B；要验证的关系是mgh ＝12m v 2B －12m v 2A ，即2gh ＝v 2B －v 2A ＝D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2B －1t 2A ，故要验证机械能守恒，只要比较D 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2B －1t 2A 与2gh 是否相等，故选D. (3)根据匀变速直线运动的规律得钢球通过光电门的平均速度等于这个过程中中间时刻速度，钢球通过光电门的平均速度小于钢球球心通过光电门的瞬时速度，此误差属于系统误差，由此产生的误差不能通过增加实验次数减小．答案：(1)0.945 (2)D (3)＜ 不能3．(2019·哈尔滨三中调研)利用如图装置进行验证机械能守恒定律的实验，(1)实验中若改用电火花计时器，工作电压是交流 V(2)需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v 和下落的高度h ，某同学对实验得到的纸带设计了以下几种测量的方案，正确的是A ．由刻度尺测出物体下落的高度h ，用打点间隔算出下落时间t ，通过v ＝gt 计算出瞬时速度B ．由刻度尺测出物体下落的高度h ，通过v ＝2gh 计算出瞬时速度C ．由刻度尺测出物体下落的高度h ，根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，计算出瞬时速度D ．根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，计算出瞬时速度v ，并通过h ＝v 22g 计算得出高度(3)在实验中，有几个注意的事项，下列正确的是A ．为减小摩擦阻力，需要调整打点计时器的限位孔，应该与纸带在同一竖直线上B ．可以选用质量很大的物体，先用手托住，等计时器通电之后再释放C ．实验结果如果正确合理，得到的动能增加量应略大于重力势能的减少量D ．只有选第1、2两点之间的间隔约等于2 mm 的纸带才代表第1 点的速度为0解析：(1)电火花计时器使用的是220 V的交流电；(2)物体由静止开始自由下落过程中受到空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力作用，不是自由落体运动，v＝gt，v＝2gh，h＝v22g都是自由落体运动的公式．若用这些公式进行分析，就不需要验证了，相当于用机械能守恒验证机械能守恒．下落的高度用刻度尺测量，瞬时速度用平均速度的方法计算，故C正确．(3)为减小摩擦阻力，需要调整打点计时器的限位孔，使它在同一竖直线上，A正确；应选择质量大，体积小的重锤，减小实验的误差，B错误；因为存在阻力作用，知动能的增加量略小于重力势能的减小量，C错误；根据h＝12gt2＝12×10×0.022 m＝0.002 m＝2 mm知，只有选第1、第2两打点间隔约2mm的纸带才代表打第1点时的速度为零，D正确．答案：(1)220(2)C(3)AD。

专题强化一 动力学和能量观点的综合应用命题点一 多运动组合问题1．抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程，将物理过程分解成几个简单的子过程．2．两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带，也是解题的关键．很多情况下平抛运动的末速度的方向是解题的重要突破口．例1 (2017·浙江4月选考·20)图1中给出了一段“S ”形单行盘山公路的示意图．弯道1、弯道2可看做两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O 1、O 2，弯道中心线半径分别为r 1＝10 m 、r 2＝20 m ，弯道2比弯道1高h ＝12 m ，有一直道与两弯道圆弧相切．质量m ＝1 200 kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g ＝10 m/s 2)图1(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v 1；(2)汽车以v 1进入直道，以P ＝30 kW 的恒定功率直线行驶了t ＝8.0 s 进入弯道2，此时速度恰为通过弯道中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；(3)汽车从弯道1的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道．设路宽d ＝10 m ，求此最短时间(A 、B 两点都在轨道中心线上，计算时视汽车为质点)． 答案 见解析解析 (1)汽车在沿弯道1中心线行驶时， 由牛顿第二定律得，kmg ＝m v 12r 1解得v 1＝kgr 1＝5 5 m/s.(2)设在弯道2沿中心线行驶的最大速度为v 2由牛顿第二定律得，kmg ＝m v 22r 2解得v 2＝kgr 2＝510 m/s 在直道上由动能定理有 Pt －mgh ＋W f ＝12m v 22－12m v 12代入数据可得W f ＝－2.1×104 J.(3)沿如图所示内切的路线行驶时间最短，由图可得r ′2＝r 12＋[r ′－(r 1－d2)]2代入数据可得r ′＝12.5 m设汽车沿该路线行驶的最大速度为v ′ 则kmg ＝m v ′2r ′得v ′＝kgr ′＝12.5 m/s 由sin θ＝r 1r ′＝0.8则对应的圆心角为2θ＝106° 路线长度s ＝106°360°×2πr ′≈23.1 m最短时间t ′＝sv ′≈1.8 s.变式1 (2016·浙江4月选考·20)如图2所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成．其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB 与粗糙直轨道BC 平滑连接，高度差分别是h 1＝0.20 m 、h 2＝0.10 m ，BC 水平距离L ＝1.00 m ．轨道Ⅱ由AE 、螺旋圆形EFG 和GB 三段光滑轨道平滑连接而成，且A 点与F 点等高．当弹簧压缩量为d 时，恰能使质量m ＝0.05 kg 的滑块沿轨道Ⅰ上升到B 点；当弹簧压缩量为2d 时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C 点．(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g ＝10 m/s 2)图2(1)当弹簧压缩量为d 时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小； (2)求滑块与轨道BC 间的动摩擦因数；(3)当弹簧压缩量为d 时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B 点？请通过计算说明理由． 答案 (1)0.1 J 2 m/s (2)0.5 (3)见解析 解析 (1)由机械能守恒定律可得E 弹＝ΔE k ＝ΔE p ＝mgh 1＝0.05×10×0.20 J ＝0.1 J 由ΔE k ＝12m v 02，可得v 0＝2 m/s.(2)由E 弹∝d 2，可得当弹簧压缩量为2d 时， ΔE k ′＝E 弹′＝4E 弹＝4mgh 1由动能定理可得－mg (h 1＋h 2)－μmgL ＝－ΔE k ′ 解得μ＝3h 1－h 2L＝0.5.(3)滑块恰能通过螺旋圆形轨道最高点需满足的条件是 mg ＝m v 2R m由机械能守恒定律有v ＝v 0＝2 m/s 解得R m ＝0.4 m当R >0.4 m 时，滑块会脱离螺旋圆形轨道，不能上升到B 点； 当R ≤0.4 m 时，滑块能上升到B 点． 题型1 平抛运动＋圆周运动的组合例2 (2013·浙江理综·23)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图3.图中A 、B 、C 、D 均为石头的边缘点，O 为青藤的固定点，h 1＝1.8 m ，h 2＝4.0 m ，x 1＝4.8 m ，x 2＝8.0 m ．开始时，质量分别为M ＝10 kg 和m ＝2 kg 的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A 点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C 点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D 点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图3(1)大猴从A 点水平跳离时速度的最小值； (2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小； (3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小． 答案 (1)8 m/s (2)4 5 m/s (3)216 N解析 (1)设猴子从A 点水平跳离时速度的最小值为v min ，根据平抛运动规律，有 h 1＝12gt 2①x 1＝v min t ② 联立①②式，得 v min ＝8 m/s.③(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为v C ，有 (M ＋m )gh 2＝12(M ＋m )v C 2④v C ＝2gh 2＝4 5 m/s.⑤(3)设拉力为F T ，青藤的长度为L ，在最低点由牛顿第二定律得 F T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )v C 2L ⑥由几何关系 (L －h 2)2＋x 22＝L 2⑦ 得：L ＝10 m ⑧联立⑤⑥⑧式并代入数据解得： F T ＝(M ＋m )g ＋(M ＋m )v C 2L＝216 N.题型2 直线运动＋圆周运动＋平抛运动的组合例3 (2019届湖州市模拟)某校科技节举行车模大赛，其规定的赛道如图4所示，某小车以额定功率18 W 由静止开始从A 点出发，加速2 s 后进入光滑的竖直圆轨道BC ，恰好能经过圆轨道最高点C ，然后经过光滑曲线轨道BE 后，从E 处水平飞出，最后落入沙坑中，已知圆半径R ＝1.2 m ，沙坑距离BD 平面高度h 2＝1 m ，小车的总质量为1 kg ，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：图4(1)小车在B 点对轨道的压力大小；(2)小车在AB 段克服摩擦力做的功；(3)末端平抛高台h 1为多少时，能让小车落入沙坑的水平位移最大？最大值是多少？ 答案 (1)60 N (2)6 J (3)1 m 4 m解析 (1)由于小车恰好经过圆轨道最高点C ，即mg ＝m v C 2R由B →C ，根据动能定理可得－2mgR ＝12m v C 2－12m v B 2在B 点由牛顿第二定律有，F N －mg ＝m v B 2R ，联立解得F N ＝60 N ，由牛顿第三定律得在B 点小车对轨道的压力为60 N ，方向竖直向下．(2)由A →B ，根据动能定理：Pt ＋W f ＝12m v B 2，解得W f ＝－6 J ，即小车在AB 段克服摩擦力做的功为6 J.(3)由B →E ，根据动能定理得－mgh 1＝12m v E 2－12m v B 2，飞出后，小车做平抛运动，所以h 1＋h 2＝12gt 2水平位移x ＝v E t ，化简得x ＝v B 2－2gh 12(h 1＋h 2)g，即x ＝ (60－20h 1)h 1＋15，当h 1＝1 m 时，水平距离最大，x max ＝4 m. 命题点二 传送带模型问题 传送带问题的分析流程和技巧 1．分析流程2．相对位移一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q ＝F f ·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x 相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x 相对为两物体对地位移大小之和． 3．功能关系(1)功能关系分析：W F ＝ΔE k ＋ΔE p ＋Q . (2)对W F 和Q 的理解： ①传送带的功：W F ＝Fx 传； ②产生的内能Q ＝F f ·x 相对． 模型1 水平传送带模型例4 倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6 m /s 的速度运动，运动方向如图5所示．一个质量为2 kg 的物体(可视为质点)，从h ＝3.2 m 高处由静止沿斜面下滑，物体经过A 点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端A 、B 连线的中点处，重力加速度g 取10 m/s 2，求：图5(1)传送带左、右两端A 、B 间的距离L ；(2)上述过程中物体与传送带组成的系统因摩擦产生的热量； (3)物体随传送带向右运动，最后沿斜面上滑的最大高度h ′. 答案 (1)12.8 m (2)160 J (3)1.8 m解析 (1)物体从静止开始到在传送带上的速度等于0的过程中，由动能定理得：mgh －μmgL 2＝0－0，解得L＝12.8 m.(2)在此过程中，物体与传送带间的相对位移x 相＝L 2＋v 带·t ，又L 2＝12μgt 2，而摩擦产生的热量Q ＝μmg ·x 相，联立得Q ＝160 J.(3)物体随传送带向右匀加速运动，设当速度为v 带＝6 m/s 时，向右运动的位移为x ，则μmgx ＝12m v 带2，得x＝3.6 m ＜L2，即物体在到达A 点前速度与传送带速度相等，最后以v 带＝6 m/s 的速度冲上斜面，由动能定理得12m v 带2＝mgh ′，解得h ′＝1.8 m. 模型2 倾斜传送带模型例5 如图6所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A 、B 两端间距L ＝16 m ，传送带以速度v ＝10 m /s ，沿顺时针方向运动，物体质量m ＝1 kg ，无初速度地放置于A 端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：图6(1)物体由A 端运动到B 端的时间．(2)系统因摩擦产生的热量． 答案 (1)2 s (2)24 J解析 (1)物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力和重力，由牛顿第二定律得：mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，设物体经时间t 1，加速到与传送带同速， 则v ＝a 1t 1，x 1＝12a 1t 12解得：a 1＝10 m/s 2 t 1＝1 s x 1＝5 m<L因mg sin θ>μmg cos θ，故当物体与传送带同速后，物体将继续加速 由mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2 L －x 1＝v t 2＋12a 2t 22解得：t 2＝1 s故物体由A 端运动到B 端的时间t ＝t 1＋t 2＝2 s. (2)物体与传送带间的相对位移 x 相＝(v t 1－x 1)＋(L －x 1－v t 2)＝6 m 故Q ＝μmg cos θ·x 相＝24 J.1.如图1所示，皮带的速度是3 m /s ，两轮圆心间距离s ＝4.5 m ，现将m ＝1 kg 的小物体(可视为质点)轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.15，皮带不打滑，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，(取g ＝10 m/s 2)求：图1(1)小物体获得的动能E k ； (2)这一过程中摩擦产生的热量Q ； (3)这一过程中电动机多消耗的电能E . 答案 (1)4.5 J (2)4.5 J (3)9 J解析 (1)物体开始做匀加速运动， 加速度a ＝μg ＝1.5 m/s 2，当物体与皮带速度相同时，有μmgx ＝12m v 2.解得物体加速阶段运动的位移x ＝3 m ＜4.5 m ， 则小物体获得的动能 E k ＝12m v 2＝12×1×32 J ＝4.5 J.(2)v ＝at ，解得t ＝2 s ， Q ＝μmg ·x 相对＝μmg (v t －x ) ＝0.15×1×10×(6－3) J ＝4.5 J. (3)E ＝E k ＋Q ＝4.5 J ＋4.5 J ＝9 J.2．2008年北京奥运会场地自行车赛安排在老山自行车馆举行．老山自行车赛场采用的是250 m 椭圆赛道，赛道宽度为7.7 m ．赛道形如马鞍形，由直线段、过渡曲线段以及圆弧段组成，按国际自盟UCI 赛道标准的要求，圆弧段倾角为45°，如图2所示(因直线段倾角较小，故计算时不计直线段的倾角)．赛道使用松木地板，为运动员提供最好的比赛环境．目前，比赛用车采用最新的碳素材料设计，质量为9 kg.比赛时，运动员从直线段的中点出发绕场骑行，若已知赛道的每条直线段长80 m ，圆弧段内半径为14.4 m ，运动员质量为51 kg ，设直线段运动员和自行车所受阻力为接触面压力的0.75倍(不计圆弧段摩擦，圆弧段上运动近似为匀速圆周运动，不计空气阻力，计算时运动员和自行车可近似为质点，g 取10 m/s 2)．求：图2(1)运动员在圆弧段内侧赛道上允许的最佳安全速度是多大？(2)为在进入弯道前达到(1)所述的最佳安全速度，运动员和自行车在直线段加速时所受的平均动力至少为多大？(3)若某运动员在以(1)所述的最佳安全速度进入圆弧轨道时，因技术失误进入了最外侧轨道，则他的速度降为多少？若他在外道运动绕过的圆心角为90°，则这一失误至少损失了多少时间？(在圆弧轨道骑行时不给自行车施加推进力)答案 (1)12 m /s (2)558 N (3)6 m/s 3.3 s解析 (1)运动员以最大允许速度在圆弧段内侧赛道骑行时，重力与支持力的合力沿水平方向，充当圆周运动的向心力，由牛顿第二定律： mg tan 45°＝m v 2R，则v ＝gR ＝12 m/s(2)运动员在直线段加速距离x ＝40 m ，v 2＝2ax 由牛顿第二定律：F －μmg ＝ma ，解得F ＝558 N (3)进入最外侧轨道后，高度增加了Δh ＝d sin 45°≈5.4 m 半径增加了ΔR ＝d cos 45°≈5.4 m由机械能守恒定律得：12m v 2＝mg Δh ＋12m v 12解得v 1＝v 2－2g Δh ＝6 m/s在内侧赛道上运动绕过圆心角90°所需时间：t 1＝πR2v ≈1.88 s在外侧赛道上运动绕过圆心角90°所需时间：t 2＝π(R ＋ΔR )2v 1≈5.18 s至少损失时间：Δt ＝t 2－t 1＝3.3 s.3．(2018·杭州市五校联考)如图3所示，质量为m ＝1 kg 的小滑块(视为质点)在半径为R ＝0.4 m 的14圆弧A 端由静止开始释放，它运动到B 点时速度为v ＝2 m/s.当滑块经过B 点后立即将圆弧轨道撤去．滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C 点过渡到倾角为θ＝37°、长s ＝1 m 的斜面CD 上，CD 之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ≤1.5之间调节．斜面底部D 点与光滑水平地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O 点，自然状态下另一端恰好在D 点．认为滑块通过C 和D 前后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力．图3(1)求滑块对B 点的压力大小以及在AB 上克服阻力所做的功； (2)若设置μ＝0，求滑块从C 运动到D 的时间； (3)若最终滑块停在D 点，求μ的取值范围．答案 (1)20 N 2 J (2)13s (3)0.125 ≤μ<0.75或μ＝1解析 (1)在B 点，F －mg ＝m v 2R解得F ＝20 N由牛顿第三定律，滑块对B 点的压力F ′＝20 N 从A 到B ，由动能定理，mgR －W ＝12m v 2得到W ＝2 J.(2)若设置μ＝0，滑块在CD 间运动，有mg sin θ＝ma 加速度a ＝g sin θ＝6 m/s 2根据匀变速运动规律s ＝v t ＋12at 2，得t ＝13 s.(3)最终滑块停在D 点有两种可能： a ．滑块恰好能从C 下滑到D .则有mg sin θ·s －μmg cos θ·s ＝0－12m v 2，得到μ＝1b ．滑块在斜面CD 和水平地面间多次反复运动，最终静止于D 点． 当滑块恰好能返回C ：－μ1mg cos θ·2s ＝0－12m v 2得到μ1＝0.125当滑块恰好能静止在斜面上，则有 mg sin θ＝μ2mg cos θ，得到μ2＝0.75所以，当0.125≤μ<0.75，滑块在CD 和水平地面间多次反复运动，最终静止于D 点． 综上所述，μ的取值范围是0.125≤μ<0.75或μ＝1.4．(2019届金华市模拟)某同学设计了一款益智类的儿童弹射玩具，模型如图4所示，AB 段是长度连续可调的竖直伸缩杆，BCD 段是半径为R 的四分之三圆弧弯杆，DE 段是长度为2R 的水平杆，与AB 杆稍稍错开．竖直杆内装有下端固定且劲度系数较大的轻质弹簧，在弹簧上端放置质量为m 的小球．每次将弹簧的长度压缩至P 点后锁定，设PB 的高度差为h ；解除锁定后弹簧可将小球弹出．在弹射器的右侧装有可左右移动的宽为2R 的盒子用于接收小球，盒子的左端最高点Q 和P 点等高，且与E 的水平距离为x ，已知弹簧锁定时的弹性势能E p ＝9mgR ，小球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.5，与其他部分的摩擦不计，不计小球受到的空气阻力及解除锁定时的弹性势能损失，不考虑伸缩竖直杆粗细变化对小球的影响且杆的粗细远小于圆的半径，重力加速度为g .求：图4(1)当h ＝3R 时，小球到达弯杆的最高点C 处时的速度大小v C ；(2)在(1)问中小球运动到最高点C 时对弯杆作用力的大小；(3)若h 连续可调，要使该小球能掉入盒中，求x 的最大值．答案 (1)10gR (2)9mg (3)8R解析 (1)小球从P 点运动至C 点的过程中，机械能守恒，则有E p ＝mg (h ＋R )＋12m v C 2， 解得v C ＝10gR .(2)设小球在C 点时受到弯杆的作用力向下，大小为F ，则F ＋mg ＝m v C 2R，解得F ＝9mg ， 根据牛顿第三定律，小球对弯杆的作用力大小为9mg .(3)从P 到E 的过程中，由能量守恒得E p －mg (h －R )－μmg ·2R ＝12m v E 2－0， 要使小球落入盒中且x 取最大值的临界情况是正好从Q 点掉入盒中，由E 到Q 做平抛运动得h －R ＝12gt 2，x ＝v E t ， 联立得x ＝2－(h －5R )2＋16R 2，故当h ＝5R 时，有x max ＝8R .判断：该情况小球能通过最高点C ，结果成立．。

[A组·基础题]1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则跳伞者( A )A．机械能一直减小B．机械能一直增大C．动能一直减小D．重力势能一直增大2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接．若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )A．0B．mgR sin θC．2mgR sin θD．2mgR3. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( C )A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度4．如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )A．A B．BC ．CD ．D5．(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O 点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m 的物体从O 点正上方的A 点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B 后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g ，则以下说法正确的是( CD )A ．物体落到O 点后，立即做减速运动B ．物体从O 点运动到B 点，物体机械能守恒C ．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒D ．物体在最低点时的加速度大于g6．(多选) (2019·景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当b 球第一次经过最低点时，a 球对地面压力刚好为零．下列结论正确的是( BD )A ．a 球的质量为2mB ．a 球的质量为3mC ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大D ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小解析：b 球在摆动过程中，a 球不动，b 球做圆周运动，则绳子拉力对b 球不做功，b 球的机械能守恒，则有：m b gL ＝12m b v 2；当b 球摆过的角度为90°时，a 球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：T ＝m a g ；b 通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：m a g －m b g ＝m b v 2L ，解得：m a ＝3m b ，故A 错误、B 正确．在开始时b 球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小，选项C 错误，D 正确．7．(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动．他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P 点以水平初速度v 0跳出．他运动到图中a 点时弹性轻绳刚好拉直，此时速度与竖直方向的夹角为θ，轻绳与竖直方向的夹角为β，b 为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( BD )A ．极限运动爱好者从P 点到b 点的运动过程中机械能守恒B ．极限运动爱好者从P 点到a 点时间的表达式为t ＝v 0g tan θC ．极限运动爱好者到达a 点时，tan θ＝tan βD ．弹性轻绳原长的表达式为l ＝v 20g sin β tan θ[B 组·能力题]8．(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m 处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m ＝ 2 kg 的滑块A .半径R ＝0.3 m 的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量m ＝ 2 kg 的小球B .用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g ＝10 m/s 2.现给滑块A 一个水平向右的恒力F ＝ 60 N ，则( ABC )A ．把小球B 从地面拉到P 的正下方时力F 做功为24 JB ．小球B 运动到C 处时滑块A 的速度大小为0C ．小球B 被拉到与滑块A 速度大小相等时，sin ∠OPB ＝34D ．把小球B 从地面拉到P 的正下方时小球B 的机械能增加了6 J解析：设PO ＝H .由几何知识得，PB ＝H 2＋R 2＝0.42＋0.32＝0.5 m ，PC ＝H －R ＝0.1 m ．F 做的功为W ＝F (PB －PC )＝40×(0.5－0.1)＝24 J ，A 正确；当B 球到达C 处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A 的速度为零，选项B 正确；当绳与轨道相切时滑块A 与B球速度相等，由几何知识得：sin ∠OPB ＝R H ＝34，C 正确．由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C 处时小球B 的机械能增加量为ΔE ＝W ＝24 J ，D 错误．9．(多选) (2018·深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m 的小球套在杆上，从距离弹簧上端O 点2x 0的A 点静止释放，将弹簧压至最低点B ，压缩量为x 0 ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( CD )A ．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B 的过程中，其加速度一直减小B ．小球运动过程中最大动能可能为mgx 0C ．弹簧劲度系数大于3mg 2x 0D ．弹簧最大弹性势能为332mgx 0解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B 的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A 错误；小球滑到O 点时的动能为E k ＝2mgx 0 sin 60°＝3mgx 0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O 点下方，所以小球运动过程中最大动能大于3mgx 0，不可能为mgx 0，B 错误；在速度最大的位置有 mg sin 60°＝kx ，得 k ＝3mg 2x ，因为x ＜x 0，所以k ＞3mg 2x 0，C 正确；对小球从A 到B 的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能 E pm ＝3mgx 0 sin 60°＝332mgx 0，D 正确．10．(多选) (2019·江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R 的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D 点．a 、b 、c 三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D 的距离依次为AD ＜2R ，BD ＝2R ，CD ＞2R .设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为t a 、t b 、t c ，三个物体到达地面的动能分别为E a 、E b 、E c ，则下面判断正确的是( AC )A ．E a ＜E bB ．E b ＞E cC ．t b ＝t cD ．t a ＝t b解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2R ＝12gt 2，则得：t ＝4Rg ，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg ＝m v 2R ，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v ＝gR ，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：x ＝v t ＝2R ，由题知：AD ＜2R ，BD ＝2R ，CD ＞2R ，说明b 、c 通过最高点做平抛运动，a 没有到达最高点，则知t b ＝t c ＝4Rg ，t a ≠t b ＝t c ；对于a 、b 两物块，通过D 点时，a 的速度比b 的小，由机械能守恒可得：E a ＜E b .对于b 、c 两物块，由x ＝v t 知，t 相同，c 的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，E c ＞E b ，故选项A 、C 正确．11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L ＝9 cm 的轻质细绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝1 kg 的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C 由静止释放，小球到达最低点D 时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x ＝5 cm.(g 取10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D 点到水平线AB 的高度h ；(3)弹簧所获得的最大弹性势能E p .解析：(1)小球由C 到D ，由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 21解得v 1＝2gL ①在D 点，由牛顿第二定律得F －mg ＝m v 21L ②由①②解得F ＝30 N由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.(2)由D 到A ，小球做平抛运动有v 2y ＝2gh ③tan 53°＝v y v 1④ 联立解得h ＝16 cm.(3)小球从C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即E p ＝mg (L ＋h ＋x sin 53°)，代入数据解得E p ＝2.9 J.答案：(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J。

第3讲机械能守恒定律及其应用1 重力做功与重力势能(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与初、末位置的高度差有关。

(2)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增加。

②定量关系:物体从位置A到位置B的过程中,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即W G=-ΔE p。

③重力势能的变化量是绝对的,与参考面的选取无关。

湖南长沙雅礼中学月考)(多选)质量为m的物体,从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度,下列说法正确的是()。

A.物体的重力势能减少2mghB.物体的机械能保持不变C.物体的动能增加2mghD.物体的机械能增加mgh【答案】CD2 弹性势能(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。

(2)大小:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式可表示为W=-ΔE p。

【温馨提示】弹性势能是由物体的相对位置决定的。

同一根弹簧的伸长量和压缩量相同时,弹簧的弹性势能相同。

(2018江苏南京10月模拟)如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端固定连接一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是()。

A.弹簧的弹性势能逐渐减少B.弹簧的弹性势能逐渐增加C.弹簧的弹性势能先增加再减少D.弹簧的弹性势能先减少再增加【答案】D3 机械能守恒定律(1)内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。

(2)机械能守恒定律的三种表达形式及应用①守恒观点:a.表达式,E k1+E p1=E k2+E p2或E1=E2。

b.意义,系统初状态的机械能等于末状态的机械能。

专题5.3 机械能守恒定律1．掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算。

2．掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒。

3．掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用。

知识点一重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力势能(1)公式：E p＝mgh。

(2)特性：①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。

②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。

③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。

重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。

即W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

知识点二弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W ＝－ΔE P.知识点三机械能守恒定律及其应用1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能.2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.(2)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功．(3)常用的三种表达式：①守恒式：E1＝E2或E k1＋E P1＝E k2＋E P2.(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)②转化式：ΔE k＝－ΔE P或ΔE k增＝ΔE P减.(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)③转移式：ΔE A＝－ΔE B或ΔE A增＝ΔE B减.(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)考点一机械能守恒的理解与判断【典例1】（2019·浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法不正确的是（）A．加速助跑过程中，运动员的动能增加B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加【举一反三】(2019·天津新华中学模拟)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是()A．子弹射入物块B的过程B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程【方法技巧】1．利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．【变式1】(2019·辽宁沈阳二中质检)(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动．现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中，下列说法正确的是()A．A球的机械能增加B．杆对A球始终不做功C．B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量D．A球和B球组成系统的总机械能守恒考点二单物体的机械能守恒【典例2】(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()A．v216g B．v28gC ．v 24g D ．v 22g【方法技巧】求解单个物体机械能守恒问题的基本思路1.选取研究对象——物体。

机械能守恒定律及其应用主干梳理 对点激活知识点 重力势能 Ⅱ1．定义物体由于被举高而具有的能量，叫做重力势能。

2．表达式E p ＝□01mgh ，其中h 是相对于参考平面的高度。

3．特点(1)系统性：重力势能是物体与□02地球所共有的。

(2)相对性：重力势能的大小与所选□03参考平面有关。

(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。

4．重力做功的特点(1)重力做功与□04路径无关，只与始末位置的□05高度差有关。

(2)重力做功不引起物体□06机械能的变化。

5．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就□07减小，重力对物体做负功，重力势能就□08增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的□09减少量，即W G ＝□10E p1－E p2＝□11－(E p2－E p1)＝－ΔE p 。

(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取□12无关。

知识点 弹性势能 Ⅰ 1．定义发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。

2．大小：弹簧弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，形变量□01越大，劲度系数□02越大，弹性势能就越大。

3．弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W ＝□03－ΔE p 。

知识点机械能守恒定律 Ⅱ 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，□01动能和□02势能可以相互转化，而总的机械能□03保持不变。

2．常用的三种表达式(1)守恒式：□04E 1＝E 2或□05E k1＋E p1＝E k2＋E p2。

E 1、E 2分别表示系统初末状态时的总机械能。

(2)转化式：ΔE k ＝□06－ΔE p 或ΔE k 增＝□07ΔE p 减。

表示系统势能的减少量等于动能的增加量。

(3)转移式：ΔE A＝□08－ΔE B或ΔE A增＝□09ΔE B减。