浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)

2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={0,1,2}，B={x|1<x≤2}，则A∩B=( )A. {2}B. {1,2}C. {0}D. {0,1,2}2.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78”.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为( )A. 10−00B. 20−00C. 30−00D. 40−004.已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是( )A. 若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则α⊥βB. 若l⊥m，m//α，则l⊥αC. 若α∩β=l，m⊂α，l//m，则m//βD. 若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m5.已知a1，a2，…，a n是单位平面向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N∗)，都有a i⋅a j<12，则n的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2C，当sinA的值最大时，sin2Bsin2C的值为( )A. 2B. 1C. 12D. 147.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=22，AB=BC=2，二面角S−AC−B的正切值是2，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是( )A. 12πB. 4πC. 43ππD. 4338.已知函数f(x)={e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0，则下列结论正确的是( )A. 函数y=f(x)−x有两个零点B. 若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]C. 若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=1)D. 若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。

2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 3．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos2y x=D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π- B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣66．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．22-B ．22C ．55-D ．557．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭2．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>3．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12B ．24C ．48D ．964．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的13，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米 A ．16B ．18C ．9D ．125．为了得到函数y=sin （2x+π4）的图象，只需将函数y=sin2x 图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知直线1:20l ax y a -+=,与2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A ．0B ．0或1C ．1D ．0或1-7．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．若直线和直线互相垂直，则( ) A ．或B ．3或1C ．或1D ．或310．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( ) A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．92．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2B ．23C ．4D ．123．不等式组2,1,0y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人5．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；137．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）. A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 9．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

浙江省杭州第二中学等五校2024届数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图，ABC 中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =（ ）A ．1122AB AC + B ．1233AB AC + C ．1133AB AC +D ．2133AB AC +3．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．94．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（ ）A ．200B ．180C ．128D ．1625．下列结论正确的是（ ）． A ．若，则 B ．若，则 C ．若，，则D ．若，则6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2D ．3log 57．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<8．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A ．23B ．1C ．2D ．639．函数 ()sin 2x f x = 的最小正周期是( ) A ．2π B ．πC ．2πD ．4π10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且33ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．22B ．23C ．4D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．√13D ．3√23．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π124．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得∠ABC 、∠ADC 的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC ＝（ ）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe )x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(eπ，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(e π，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ） 8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x +1，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称C ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）D ．函数f （x ）是减函数10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为1212．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ ．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 ．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 ．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)． （1）求sin α的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cos β的值．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间th 间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k 的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．20．（12分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC．（1）求证：BC＝2CD．（2）若AB＝3CD＝3，且AD•sin∠ADB＝AB•sin60°，求四边形ABCD的面积．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22．（12分）已知函数f(x)=x+1(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．x（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}解：集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x [x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，A ∩B ＝{1，2，3}． 故选：C ．2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2 B ．3 C ．√13 D ．3√2解：因为z =2+3i i =(2+3i)(−i)i(−i)=3−2i ，所以|z|=√32+(−2)2=√13． 故选：C ．3．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12解：因为1密位等于圆周角的16000，所以角α＝1000密位时，α=10006000×2π=π3．故选：C ．4．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设α∩β＝m ，在平面α内作a ⊥m ， 因为平面α⊥平面β，所以a ⊥β， 因为l ⊥β，所以a ∥l ， 因为l ⊄α，a ⊂α， 所以l ∥α，而当平面α⊥平面β，直线l ⊄α，l ∥α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．故选：A．5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适．故选：A．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)解：在△ABD 中，∠BAD ＝∠ADC ﹣∠ABC ＝β﹣α， 由正弦定理可得BD sin∠BAD=AD sin∠ABC，即dsin(β−α)=AD sinα，得AD =dsinαsin(β−α)，由题意可知，AC ⊥BC ，所以AC =ADsin ∠ADC =dsinαsinβsin(β−α)．故选：A ．7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe)x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(e π，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(eπ，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）解：由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故A 错误； 画出两个函数图象：f （e π）＝e 2π+π＞25，g （e π）＝（πe ）e π＜（√2）9＜25，所以f （x ）＝g （x ）的零点x 0＞e π，故BC 错误；由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故D 正确． 故选：D ．8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（）A．1B．3C．5D．7解：由f(−π8)=0，得−π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，由|f(3π8)|=1，得3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，两式作差，得ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z），因为f（x）在区间(−π12，π24)上单调，所以π24+π12≤12⋅2πω，得ω≤8．当ω＝7时，−7π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−π8，所以f(x)=sin(7x−π8 )．x∈(−π12，π24)，7x−π8∈(−1724π，π6)，因为−1724π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝5时，−5π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−3π8，所以f(x)=sin(5x−3π8)．x∈(−π12，π24)，5x−3π8∈(−1924π，−π6)，因为−1924π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝3时，−3π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=3π8，所以f(x)=sin(3x+3π8)．x∈(−π12，π24)，3x+3π8∈(π8，π2)，所以f（x）在区间(−π12，π24)上单调，符合题意，所以ω的最大值是3．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x+1，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于y轴对称C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数f（x）是减函数解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1，则f(−x)=2−x −12−x +1=−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）为奇函数，f （x ）的图象关于原点对称，A 正确，B 错误；f(x)=2x−12x +1=1−22x +1，因为2x +1＞1，所以0＜12x +1＜1，0＜22x +1＜2，所以−1＜1−22x+1＜1，故f （x ）的值域为（﹣1，1），C 正确； 设x 2＞x 1，则f(x 2)−f(x 1)=(1−22x 2+1)−(1−22x1+1) 22x 1+1−22x 2+1=2(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 2＞x 1，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 所以函数f （x ）是增函数，故D 错误， 故选：AC ．10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →解：对于A 中，由AB →−AF →=FB →≠AO →，所以A 不正确；对于B 中，由AC →+AE →=AO →+OC →+AO →+OE →=2AO →+OC →+OE →=2AO →+OD →=3AO →，所以B 不正确； 对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得OA →⋅OC →=1×1×cos120°=−12，OB →⋅OD →=1×1×cos120°=−12，所以OA →⋅OC →=OB →⋅OD →，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD ⊥AB ，可得|AD →|cos∠DAB =|AB →|，所以AD →在向量AB →上的投影向量为|AB →|⋅AB →|AB →|=AB →，所以D 正确．故选：CD ．11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为12解：在1s 末，点B 的坐标为（cos2，sin2），故A 错误；点A 的坐标为(cos(π3+1)，sin(π3+1))；∠AOB =π3−1，扇形AOB 的弧长为π3−1，故B 正确；设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，则2t −t =t =2π+π3=7π3，故在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确；S △AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π2，△AOB 面积的可取得最大值12，故D 正确．故选：BCD ．12．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以△P AB 为等边三角形， 又PB ＝2a ，所以OP =√PB 2−OB 2=√3a ，设球心为G （即为△P AB 的重心）， 所以PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33a ， 即内切球的半径为r 1=OG =√33a ，外接球的半径为r 2=PG =2√33a ， 所以r 2＝2r 1，故A 正确；设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2＝4S 1，故B 错误； 设圆锥的体积为V 1，则V 1=13πa 2×√3a =√33πa 3，内切球的体积V 2，则V 2=43π（√33a ）3=4√327πa 3， 所以V 1V 2=94，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则ST 所对的圆心角为π3（在圆O 上）， 设ST 的中点为D ，则OD ＝a sin π3=√32a ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ， 则PD =√PO 2+OD 2=√15a2，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ，所以GEOD=PG PD，即√32a =2√33a √152a ，解得GE =2√1515a ，所以平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115a 2， 所以截面圆的面积为πr 2=πa 215，故D 正确．故选：ACD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ 14 ．解：当a ＞0时，a 12=12，∴a =14，当a ＜0时，(12)a =12，∴a ＝1（舍）．∴a =14． 故答案为：14．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 π ．解：将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （x +φ）， 因为y ＝sin （x +φ）与y ＝﹣sin x 的图象相同， 所以φ＝π+2k π，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π． 故答案为：π．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 √155；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．解：空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ， 因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，因为BB 1∩AB ＝B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2， 所以CD =√32×2=√3，DB 1=√22+12=√5， 所以tan ∠CB 1D =CD DB 1=35=√155， 所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为√155，空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则EF ∥B 1C ，EF =12B 1C =12×2√2=√2， FG ∥A 1B ，FG =12A 1B =12×2√2=√2，所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG =√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =2+2−52×2×2=−14， 因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]， 所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．故答案为：√155；14．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 [0，14] ．解：因为f(x)=√x −a(a ∈R)是增函数，所以f （f （b ））＝b 等价于f （b ）＝b ，即√b −a =b ， 所以a ＝b ﹣b 2，而a ＝b ﹣b 2在[0，12)上单调递增，在(12，1]上单调递减， 所以a max =14，而当b ＝0时，a ＝0；当b ＝1时，a ＝0，即a min ＝0， 所以a 的取值范围为[0，14]．故答案为：[0，14 ]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sinα的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cosβ的值．解：（1）由角α的终边过点P(35，−45)，得sinα=yr=−45√(35)2+(−45)2=−45．（2）由角α的终边过点P(35，−45)，得cosα=xr=35，由sin(α+β)=√32，得cos(α+β)=√1−sin2(α+β)=±12，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，当cos(α+β)=12时，cosβ=12×35+√32×(−45)=3−4√310；当cos(α+β)=−12时，cosβ=−12×35+√32×(−45)=−3−4√310，综上所述，cosβ=3−4√310或−3−4√310．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．（1）求k的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）．参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609．解：（1）由P=P0e−kt知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0；即0.9P0=P0e−5k，所以k=−15ln0.9，即k=−15ln910=−15×(2ln3−ln10)=−15×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；（2）当P＝0.5P0时，0.5P0=P0e−0.02t，即0.5＝e﹣0.02t，则t＝50ln2≈34.7．故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．（1）证明：因为a →=x 1e 1→+y 1e 2→={x 1，y 1}，b →=x 2e 1→+y 2e 2→={x 2，y 2}，所以a →+b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）+（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1+x 2）e 1→+（y 1+y 2）e 2→={x 1+x 2，y 1+y 2}， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}． （2）解：因为a →={1，2}=e 1→+2e 2→，b→={2，1}＝2e 1→+e 2→，所以a →•b→=（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+e 2→）＝2e 1→2+5e 1→•e 2→+2e 2→2=2+5×cos60°+2=132，|a →|＝|b →|=√1+4+2×2×1×cos60°=√7， 所以向量a →，b →夹角的余弦值为： cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=132√7×√7=1314． 20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．（1）证明：在△ACD 中，由正弦定理得AD •sin ∠ADC ＝AC •sin ∠ACD ，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴AD•sin∠ADC＝AC•sin∠CAB，在△ABC中，由正弦定理得，即AC•sin∠CAB＝BC•sin∠ABC，∴AD•sin∠ADC＝BC•sin∠ABC．又AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC，∴BC•sin∠ABC＝2CD•sin∠ABC，∴BC＝2CD．（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD•sin∠ADB＝AB•sin∠ABD＝AB•sin60°，∴sin∠ABD＝sin60°，∴∠ABD＝60°或120°，①当∠ABD＝60°时，则∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2﹣BD﹣3＝0，又BD＞0，解得BD=1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin60°=√39+√32，②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD﹣3＝0，解得BD=−1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin120°=√39−√32．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？解：（1）证明：连接LI，EH，在长方体中，LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，则B1H＝LD1＝10cm，B1E＝ID1＝20cm，所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，所以LE＝IH，LI＝EH，所以四边形LEHI是平行四边形，∴LE∥IH，又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF，∴LE∥平面IHG；又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI＝1，∴LE∥l；又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，∴l∥平面A1B1C1D1，又∵l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD；（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2＝140cm；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度， 因为FB ＝F ′B ″，所以FF ′=BB ″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm ， 所以彩绳的最短长度为100cm ．22．（12分）已知函数f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)． （1）直接写出|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集；（2）若f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3），其中x 1＜x 2，求f （x 1+x 2）+g （x 3）的取值范围；（3）已知x 为正整数，求h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x （m ∈N *）的最小值（用m 表示）． 解：（1）∵f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)， ∴|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|，即为|1x |＜|1−1x|，又因为x ＞0，所以有1x＜|1−1x |，当0＜x ≤1时，1−1x ≤0，故1x＜1x −1，显然不成立；当x ＞1时，1−1x＞0，故1x＜1−1x，即2x＜1，解得x ＞2，综上所述，|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集为（2，+∞）； （2）设f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3）＝t ，则x 3＝t ， 令x +1x=t ，整理得：x 2﹣tx +1＝0， 故x 1+x 2＝t ，且Δ＝t 2﹣4＞0，得t ＞2，∴f （x 1+x 2）+g （x 3）＝2t +1t 在（2，+∞） 上单调递增， 所以2t +1t ＞2×2+12=92， 即f （x 1+x 2）+g （x 3）∈（92，+∞）；（3）因为h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x ＝（m +1）（x −m 2+1m+1）−(m 2+1)2m+1，因为m 2+1m+1=m ﹣1+2m+1， m ∈N *，m ﹣1∈N *，2m+1≤1，①当m ＝1时，m ﹣1+2m+1=1，所以h （x ）min ＝h （1）＝﹣2；②当m ＝2时，m ﹣1+2m+1=53，所以h （x ）min ＝h （2）＝﹣8；③当m ＝3时，m ﹣1+2m+1=52，所以h （x ）min ＝h （2）＝h （3）＝﹣24；④当m ＞3时，2m+1＜12，m ﹣1＜m ﹣1+2m+1＜m ﹣1+12，所以h （x ）min ＝h （m ﹣1）＝﹣m 3+m 2﹣3m +3；综上所述，h （x ）min ={−2，m =1−8，m =2−24，m =3−m 3+m 2−3m +3，m ＞3．。

2024届浙江省杭州市示范名校高一数学第二学期期末监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin sin B A ＝1cos cos BA-，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．452+ 2．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ） A ．3B ．932C ．332D ．334．已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A ．1(,6)2- B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4) 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆3则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π7．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7168．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b 32，A ＝4π，则B ＝（ ） A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π9．在区间[0,9]随机取一个实数x ，则[0,3]x ∈的概率为( ) A ．29B ．310C ．13D ．2510．与π6-角终边相同的角是 A ．π6 B ．π3C ．11π6D ．4π3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

【新结构】浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数是虚数单位，，则()A.1B.C.D.2.已知向量，若，则实数()A.3B.C.3或D.3.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，()A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知，R，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，若，，，则()A. B. C. D.6.为了得到函数的图象，可以把的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过个小时才会“药物失效”．参考数据：A.4B.5C.6D.78.已知，是方程的两个实根，则()A.4B.3C.2D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则()A.B.C.D.10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则()A.每一个直角三角形的面积为1B.C. D.11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义函数，则()A.是函数的一条对称轴B.函数是周期为的函数C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合，若，则实数__________.13.已知，则的最小值为__________.14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2024届杭州高级中学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数4()2x xaf x +=是奇函数，若(21)(2)0f m f m -+-≥，则m 的取值范围是（ ） A ．1m B ．1m <C ．m 1≥D ．1m2．等比数列中，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．128D ．或3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．33C ．22D ．664．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且21nn S =+，则3a 的值是（ ）A ．4B ．8C ．2D ．95．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，1AB BC ==，120ABC ∠=.若四面体ABCD 3） A ．50081πB ．4πC ．259πD ．1009π6．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤7．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）8．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论中正确的是 （ ）A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B ．若,,m n m n αγβγ⋂=⋂=，则αβ∥C ．若,m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αλαβ⊥⊥，则βγ⊥9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，222CD AB AP AD ===，则直线PB 与平面PCD 所成角的大小为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 10．若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．-1B ．12C ．-1或12D ．12-或14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

浙江省杭州市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1．复数z 满足(1)2z i i +=-，则复数z 为( ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +〖解 析〗因为复数z 满足(1)2z i i +=-，方程的两边同乘1i -， 即(1)(1)2(1)z i i i i +-=--，所以，222z i =--，1z i ∴=--． 〖答 案〗A2．已知a ，b R ∈，则“0ab =”是“220a b +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件〖解 析〗2200a b a +=⇔=且0b =，00ab a =⇔=或0b =，∴ “0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件．〖答 案〗B3．设(0,1)m ∈，若a lgm =，2b lgm =，2()c lgm =，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>〖解 析〗01m <<，201m m ∴<<<，210lgm lgm lg ∴<<=，0b a ∴<<， 又2()0lgm >，0c ∴>，c a b ∴>>． 〖答 案〗C4．函数(0)a y x x =和函数(0)x y a x =在同一坐标系下的图像可能是( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗当1a >时，指数函数x y a =在[0，)+∞上单调递增，且过定点(0,1)（凹函数），幂函数a y x =在[0，)+∞上单调递增（凹函数）；当01a <<时，指数函数x y a =在[0，)+∞上单调递增，且过定点(0,1)（凹函数），幂函数a y x =在[0，)+∞上单调递增（凸函数）；所以只有C 选项满足． 〖答 案〗C5．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y （单位：)mg 随时间x （单位：)h 的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为1()(8x a y a -=为常数），则( )A ．当0.2x >时，0.11()8x y -=B ．当00.2x 时，5y x =C ．1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下D ．2315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.0625mg 以下 〖解 析〗0.2x 时，把(0.2,1)代入1()8x a y -=，得0.21()18a -=，0.2a =，A 错；00.2x 时，设y kx =，10.2k =，所以5k =，即有5y x =，B 正确；令0.21()0.258a -<，3(0.2)211()()22x -<，3(0.2)2x ->，1315x >，C 正确；2315x >时，2340.20.241531111()()()()0.06258882x --<===，D 正确． 〖答 案〗BCD6．已知1a ，2a ，⋯，n a 是单位平面向量，若对任意的*1()i j n n N <∈，都有12i j a a <，则n 的最大值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6〖解 析〗依题意，设单位向量,i j a a 的夹角为θ， 因为12i j a a ⋅<，所以11||||cos ,cos 22i j i j a a a a θθ⋅=<<，所以3πθπ<， 根据题意，正整数n 的最大值为2153ππ-=．〖答 案〗C7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、AC ，已知以直角边AC 、AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC θ∠=，则sin 2cos cos sin θθθθ-+的值为( )A ．1-B ．2-C ．0D ．1〖解 析〗以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：22221()1()(),()228228AC AC AB AB ππππ⋅⋅⨯⨯=⨯⨯=， 由面积之比为14，得22()1()4AC AB =，即12AC AB =， 在Rt ABC ∆中，1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==，则12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++． 〖答 案〗A8．设函数()(0)y f x x =≠，对于任意正数1x ，212()x x x ≠，都33211212()()0x f x x f x x x ->-．已知函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-成中心对称，若f （1）1=，则3()f x x 的解集为( ) A ．[1-，0)(0⋃，1]B ．(-∞，1](0-⋃，1]C ．(-∞，1][1-，)+∞D ．[1-，0)[1，)+∞〖解 析〗函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-成中心对称，故函数()y f x =的图象关于点(0,0)成中心对称，记()y f x =是奇函数，记33()()(),()()()f x f x g x g x g x x x -=-==-，所以()g x 是偶函数， 对于任意正数1x ，212()x x x ≠，都33211212()()0x f x x f x x x ->-， 即123333121212()()0f x f x x x x x x x -⨯>-，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，且g （1）1=，()g x 是偶函数，故()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)1g -=，当0x >时，3()()1f x x g x g ⇔=（1）01x ⇒<， 当0x <时，3()()1(1)1f x x g x g x ⇔=-⇒-， 故3()f x x 的解集为(-∞，1](0-⋃，1]． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|32}x x -<<，下列说法正确的是( ) A ．0a <B ．0a b c ++>C ．不等式0bx c +>的解集为{|6}x x >D ．不等式20cx bx a ++<的解集为11|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭〖解 析〗根据已知条件可知03232a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，可得b a =，6c a =-，所以40a b c a ++=->，故A ，B 选项正确；对于C 选项0bx c +>，化简可得6x <，故C 选项错误；对于D 选项20cx bx a ++<，化简可得2610x x --<，解得1132x -<<，故D 选项正确．〖答 案〗ABD10．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形是( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，对于A ，//MN AC ，//NP BC ，MNNP N =，ACBC C =，∴平面//MNP 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，//AB ∴平面MNP ，故A 正确；对于B ，如图，//AD MN ，//AC NP ，ADAC A =，NMNP N =，∴平面//ACD 平面MNP ，AB ⋂平面ACD A =，AB ∴与平面MNP 相交，故B 错误；对于C ，如图，取正方体所在棱的中点C ，连结PC ，则//PC AB ，PC ⋂平面MNP P =，AB ∴与平面MNP 相交，故C 错误；对于D ，//AB PM ，AB ⊂/平面MNP ，PM ⊂平面MNP ，//AB ∴平面MNP ，故D 正确．〖答 案〗Ad11．已知a ，b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4πD ．||1a b -=〖解 析〗因为(1,1)a b +=-，所以2||1(a b +=+A 错误；222()22a b a b a b +=++⋅=，因为a ，b 是单位向量，所以22||1a a ==，22||1b b ==，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥，故B 正确；22222||()22a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=+=，故D 错误；因为2()1a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以cos a <，()12||||2a ab a b a a b ⋅-->===-，所以a 与a b -的夹角为4π，故C 正确，D 错误． 〖答 案〗BC12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，( ) A ．若sin sin a bB A=，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A=，则ABC ∆为等腰三角形 C ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=D ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC ∆为钝角三角形 〖解 析〗对于A ，若sin sin a bB A=，则sin sin a A b B =，由正弦定理可得22a b =，即a b =，则ABC ∆为等腰三角形，A 正确， 对于B ，若cos cos a bB A=，则cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin2sin2A B =，即A B =或2A B π+=，则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误，对于C ，若sin cos a b C c B =+，则有sin sin sin cos sin B C C B A +=，在ABC ∆中，sin sin()sin()A B C B C π=--=+，又sin()sin cos cos sin B C B C B C +=+， 故sin sin sin cos sin cos cos sin B C C B B C B C +=+，则有sin sin sin cos B C B C =， 在ABC ∆中，sin 0B ≠，则sin cos C C =，即tan 1C =，又(0,)C π∈，则4C π=，C 正确，对于D ，若tan tan tan 0A B C ++<，则tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B A B C ++=+-+tan tan tan tan tan tan tan tan 0C C A B C A B C =-++=<，必有tan A 、tan B 、tan C 必有一个小于0，即A 、B 、C 有一个是钝角，ABC ∆为钝三角形，D 正确． 〖答 案〗ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设3log 4a =，则23a = ．〖解 析〗3log 4a =，3422223(3)(3)416log a a ∴====． 〖答 案〗1614．函数2cos()cos cos 2y x x x π=+-的最小正周期为 ．〖解 析〗由函数2211cos2cos()cos cos sin cos cos sin 2222xy x x x x x x x π+=+-=-=-11111sin 2cos2(22))2222222242x x x x x π=--=--=--， ∴函数2cos()cos cos 2y x x x π=+-的最小正周期为22T ππ==．〖答 案〗π15．“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2)．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4:π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为 ．〖解 析〗正方体的体积为328=， 其内切球的体积为344133ππ⋅=，由条件可知牟合方盖的体积为441633ππ⨯=，故正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为168833-=． 〖答 案〗8316．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 以每秒2π的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒3π的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O ，则上述过程中动点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数表达式为 ．〖解 析〗当P 在大圆上半圆上运动时，2POA t π∠=，02t ，由任意角的三角函数的定义，可得P 的纵坐标为2sin 2y t π=，02t ；当点P 在小圆下半圆上运动时，(2)3POB t ππ∠=+-，25t <，可得P 点纵坐标为sin[(2)]sin[(2)]33y t t πππ=+-=--，25t <． ∴动点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数表达式为2sin ,022sin[(2)],253t t y t t ππ⎧⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩．〖答 案〗2sin ,022sin[(2)],253t t y t t ππ⎧⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为4m ，轴心O 距离水面2m ，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P 从水中浮现时（图中点0)P 开始计算时间．（1）将点P 距离水面的距离z （单位：M ．在水面下，z 为负数）表示为时间t （单位：分钟）的函数；（2）已知盛水筒Q 与盛水筒P 相邻，Q 位于P 的逆时针方向一侧．若盛水筒P 和Q 在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间t ．解：（1）以O 为原点，平行于水面向右作为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，则P 距离水面的距离2z y =+，sin yrα=，α为Ox 为始边，OP 为终边的角， 由O 到水面距离为2，半径4r =，可得06P Ox π∠=，由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知022P OP t t ππ∠=⨯=， 则6t παπ=-，则sin 4sin()6y r t παπ==-，故4sin()2(0)6z t t ππ=-+． （2）筒车上均匀分布了12个盛水筒，所以6POQ π∠=，设(Q Q x ，)Q y ，则sin()6Qy r πα=+，4sin()4sin 66Q y t t ππππ=-+=，由P 点纵坐标4sin()6y t ππ=-，P 和Q 在水面上方，且距离水面的高度相等可得，sin sin()6t t πππ=-，则26t t k ππππ=-+或()26t t k πππππ=--+，解得7()12t k k Z =+∈， 由盛水筒P 和Q 在水面上方，则4sin 2t π>-，即1sin 2t π>-，故722()66k t k k Z πππππ-<<+∈，则72()12t k k Z =+∈， 由0t >得，72()12t k k N =+∈． 18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )b a C C =+． （1）求A ；（2）在（1）2a =，（2）3B π=，（3）c =这三个条件中，选出其中的两个条件，使得ABC ∆唯一确定．并解答之．若 ______，______，求ABC ∆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）(sin cos )b a C C =+， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin (sin cos )B A C C =+， 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C A C A C ∴+=+，cos sin A A ∴=，tan 1A ∴=， 0A π<<，4A π∴=，（2）方案一：选条件①和②．由正弦定理sin sin a bA B=，得2sin sin a B b A === 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得，2164222c c =+-⨯⨯，解得1c =， ABC ∴∆的面积11sin 1)22S ac B ==⨯=． 方案二：选条件①和③．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222422b b b =+-，则24b =，所以2b =．c ∴=222a b c ∴+=，ABC ∆为直角三角形， ABC ∴∆的面积12222S =⨯⨯=，方案三：选条件②和③，4A π=，3B π=，则43C πππ=--，sin sin()43C ππ∴=+=由sin sin sin a b c A B C ===，b ∴==1c ==，c ∴≠， 此时三角形不存在．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒．（1）求B ；（2）已知点D 在AB 边上，AD AB λ=，点E 在CB 边上，BE BC λ=，是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）根据题意，在ABC ∆中，已知1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒，则2222cos603AB CA CB CA CB =+-⨯⨯︒=，则AB222cos 2AB BC AC B AB BC +-==⨯，则30B =︒， （2）根据题意，假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥，由（1）的结论，1CA =，2CB =，AB =，易得90CAB ∠=︒，则有0AC AB ⋅=，()(1)AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+， CD AD AC AB AC λ=-=-，若AE CD ⊥，则22[(1)]()(1)0AE CD AB AC AB AC AB AC λλλλλλ⋅=-+⋅-=--=， 解可得：23λ=或0（舍)， 故存在非零实数23λ=，符合题意．20．（12分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈．（1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）解关于x 的方程()(1)4x f x a =-⋅．解：（1）令2log x t =即2t x =，则2()(2)221t t f t a a =⋅-⋅+-，即2()2221x x f x a a =⋅-⋅+-，x R ∈．（2）由()(1)4x f x a =-⋅得：22221(1)4x x x a a a ⋅-⋅+-=-⋅， 化简得，222210x x a -⋅+-=，即2(21)x a -=，当0a <时，方程无解；当0a 时，解得21x =01a <，则2log (1x =，若1a ，则2log (1x =+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =CD =，1AD =，在等腰梯形CDEF中，EF =DE =，将等腰梯形CDEF 沿CD 所在的直线翻折，使得E ，F 在平面ABCD 上的射影恰好与A ，B 重合．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）求直线BE 与平面ADE 所成角的正弦值．（1）证明：E 在平面ABCD 上的射影为A ，AE ∴⊥平面ABCD ；又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知平面ADE ⊥平面ABCD ．分别延长AD ，BC 交于点G ，连接EG ，2AB =CD ，1AD =，过C ，D 分别作BA 的垂线，可得MN CD ==等腰梯形ABCD 中，AM BN ∴==，又1AD =， 45BAD ∴∠=︒，45ABC ∴∠=︒，90AGB ∴∠=︒，AD BC ∴⊥． ∴平面ADE ⋂平面ABCD AD =，BG ∴⊥平面ADE ，所以直线BE 与平面ADE 所成角为BEG ∠，2BG BE ==sin BEG ∴∠=，故直线BE 与平面ADE ． 22．（12分）数学家发现：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中n ！123n =⨯⨯⨯⋯⨯．利用该公式可以得到：当(0,)2x π∈时，sin x x <，35sin 3!5!x x x x >-+；⋯，（1）证明：当(0,)2x π∈时，sin 12x x >； （2）设()sin f x m x =，当()f x 的定义域为[a ，]b 时，值域也为[a ，]b ，则称[a ，]b 为()f x 的“和谐区间”．当2m =-时，()f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．（1）证明：由已知当(0,)2x π∈时，3sin 3!x x x >-， 得222()sin 1211166242x x x ππ>->-=->，所以当(0,)2x π∈时，sin 12x x >； （2）解：2m =-时，假设存在，则由2()2f x -知22a b -<， 若a ，0b ，则由[a ，][0b ⊆，)π，知()0f x ，与值域是[a ，][0b ⊆，)π矛盾， 故不存在和谐区间，同理，a ，0b 时，也不存在， 下面讨论0a b ， 若2b π，则[0，][2a π⊆，]b ，故()f x 最小值为2-，于是2a =-， 所以[?2π，][2a π⊆，]b ，所以()f x 最大值为2，故2b =， 此时()f x 的定义域为[2-，2]，值域为[2-，2]，符合题意． 若2b π<，当2a π-时，同理可得2a =-，2b =，舍去，当2a π>-时，()f x 在[a ，]b 上单调递减，所以2sin 2sin a b b a =-⎧⎨=-⎩，于是2(a b +=-sin sin )a b +， 若b a >-即0a b +>，则sin sin()b a >-，故sin sin 0b a +>，2(-sin sin )0a b +<， 与2(sin sin )a b a b +=-+矛盾；若b a <-，同理，矛盾，所以b a >-，即sin 2b b =，由（1）知当(0,)2x π∈时，sin 2x x >， 因为[0,)2b π∈，所以0b =，从而，0a =，从而a b =，矛盾， 综上所述，()f x 有唯一的和谐区间[2-，2]．。

2024届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．33C ．22D ．662．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ） A ．2019 B ．1010C ．2018D ．10114．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增5．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ） A ．12019B ．12C ．12020D ．201920206．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．42C ．6D ．2108．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．8-D ．89．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cos g x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④10．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名､姓名､试场号､座位号､准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}21,2,3,4,230AB xx x ==−−≤∣，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}1【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集.【详解】由2230x x −−≤，得(1)(3)0x x +−≤，解得13x −≤≤， 所以{}13B x x =−≤≤，因为{}1,2,3,4A =，所以A B = {}1,2,3， 故选：B2. 若i 23i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 2B. 3C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先求得32i z =−，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为()()()23i i 23i32i ii i z +−+===−−，所以z =.故选：C3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，.若角1000α=密位，则α=（ ） A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C 【解析】【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，10002π6000α=×，从而可得解． 【详解】因为1密位等于圆周角的16000， 所以角1000α=密位时，1000π2π60003α=×=， 故选：C ．4. 已知平面α⊥平面β，直线l α⊄，则“l β⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设m αβ= ，在平面α内作a m ⊥， 因为平面α⊥平面β，所以a β⊥， 因为l β⊥，所以a ∥l ， 因为l α⊄，a α⊂， 所以//l α，而当平面α⊥平面β，直线l α⊄，//l α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“l β⊥”是“//l α”的充分而不必要条件， 故选：A5. 杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A 选项较为合适. 故选：A.6. 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得ABC ∠、ADC ∠的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC =（ ）A. ()sin sin sin d αββα−B. ()sin sin cos d αββα−C.()tan tan tan d αββα− D. ()sin cos sin d αββα−【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可求得AD ，进而可得出sin AC AD β=，即为所求. 【详解】在ABD △中，BAD ADC ABC βα∠=∠−∠=−，由正弦定理可得sin sin BD AD BAD ABC=∠∠，即()sin sin d AD βαα=−，得()sin sin d AD αβα=−， 由题意可知，AC BC ⊥，所以，()sin sin sin sin d AC AD ADC αββα=∠=−.故选：A.7. 已知函数()()πe π,e xf x xg x =+=（e 为自然对数的底数），则（ ） A. ()()()0,,x f x g x ∞∀∈+> B. 0e ,e ππx∃∈，当0x x =时，()()f x g x = C. ()()e ,e π,πx f x g x∀∈<D. ()2π0e ,x ∞∃∈+，当0x x >时，()()f x g x <【答案】D 【解析】【分析】观察到()(),f x g x 分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可.【详解】由题，假设当1x x =时，()()f x g x =，作出示意图如图所示：则1(0,)x x ∈时，()()f x g x >， 当1(,)x x ∈+∞时，()()f x g x <，则A 选项错误；因为e 1e π9π<<<，()()π1e π,1e f g =+=，()()11f g >，故C 选项错误，且()()()()()39393π99e π10e,9 1.299128,e .2f g f g=+>=<><<=，则结合图像可知，当ee ππx <<时，()()f x g x >恒成立，故B 选项错误； 对于D 选项，x →+∞时，由图可知()()f x g x <，则D 选项正确.故选：D.8. 设函数()()ππ3πsin 0,,0,1288f x x f f ωϕωϕ=+><−==，且()f x 在区间π,1224π− 上单调，则ω的最大值为（ ） A. 1 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据π08f−= 与3π18f =可得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，再根据单调性可得8ω≤，验证7ω=， 5ω=与3ω=即可.【详解】由π08f −=,得()11ππ8k k ωϕ−+=∈Z ， 由3π18f=，得()223πππ82k k ωϕ+=+∈Z ， 两式作差，得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，因为()f x 在区间π,1224π−上单调，所以π12π2412π2ω+≤⋅，得8ω≤.当7ω=时，()117ππ8k k ϕ−+=∈Z ,因为π2ϕ<,所以π8ϕ=−, 所以()πsin 78f x x=−. 24ππ,12x∈−，π17π7π,8246x −∈− ,因为17ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当5ω=时，()115ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因π2ϕ<,所以3π8ϕ=−， 所以()3πsin 58f x x=−.24ππ,12x∈−，3π19π5π,8246x −∈−− ,因为19ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当3ω=时，()113ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因为π2ϕ<,所以3π8ϕ=,所以()3πsin 38f x x=+. 24ππ,12x∈−，3πππ3,882x +∈ ，所以()f x 在区间π,1224π−上单调，符合题意，所以ω的最大值是3. 故选:B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知函数()2121x x f x −=+，则（ ）为A. 函数()f x 的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于y 轴对称C. 函数()f x 的值域为()1,1−D. 函数()f x 是减函数【答案】AC 【解析】【分析】求函数()f x 的奇偶性可判断AB ；分离参数可得()2121xf x =−+，根据指数函数的值域可判断C ；根据单调性的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为R ，()2121x x f x −=+，则()()21212121x x x x f x f x −−−−−==−=−++，所以()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称,A 正确，B 错误；()21212121x x xf x −==−++，因为211x +>,所以10121x <<+,20221x <<+， 所以211121x −<−<+,故()f x 的值域为()1,1−,C 正确； 设21x x >,则()()212122112121x x f x f x−=−−− ++()()()2112122222221212121x x x x x x −−=++++, 因为21x x >，所以2112220,210,210x x x x −>+>+>， 所以()()210f x f x −>,即()()21f x f x >， 所以函数()f x 是增函数，故D 错误， 故选:AC.10. 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A. AB AF AO −=B. 3AC AE AD +=C. OA OC OB OD ⋅=⋅D. AD 在AB上的投影向量为AB【答案】CD 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A 、B 不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C 正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D 正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得： 对于A 中，由B F AO FB A A =−≠，所以A 不正确；对于B 中，由232AO OC AO OE A AC AE O OC OE AO O A D O =+++=+=+++，所以B 不正确；对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得111cos1202OA OC ⋅=××=− ，111cos1202OB OD ⋅=××=− ，所以OA OC OB OD ⋅=⋅ ，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD AB ⊥，可得cos AD DAB AB ∠=，所以AD 在向量AB 上的投影向量为AB AB AB AB⋅= ，所以D 正确. 故选：CD.11. 如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针作匀速圆周运动.若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为12 ，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为()1,0，则（ ）A. 在1s 末，点B 的坐标为()sin2,cos2B. 在1s 末，扇形AOB 的弧长为π13− C. 在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合 D. AOB 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】【分析】求出1s 末点A 和B 的坐标可判断选项AB;求出7πs 3末点A 和B 的坐标，结合诱导公式可判断C ；根据三角形面积公式可判断D.【详解】在1s 末,点B 的坐标为()sin2,cos2，点A 的坐标为ππcos 1,sin 133 ++；π13AOB ∠=−，扇形AOB 的弧长为π13−；设在s t 末，点,A B 在单位圆上第二次重合， 则π7π22π33t t t −==+=，故在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合； 1sin 2AOB S AOB =∠△,经过5π6s 后，可得π2AOB ∠=，AOB 面积的可取得最大值12. 故选:BCD.12. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A. 设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B. 设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C. 设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V =D. 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为2π15a【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB 为等边三角形，设球心为G （即为PAB 的重心），即可求出PAB 的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB 为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB 的重心），所以23PGPO a ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==，所以212r r =，故A 正确；设内切球表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则3121ππ3V a a ， 内切球的体积为2V，则3324π3V a a ==，所以1249V V =，故C 正确； 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则 ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），的设ST的中点为D，则πsin3OD a a==，不妨设D为OB上的点，连接PD，则PD过点G作GE PD⊥交PD于点E，则PEG POD∽，所以GE PGOD PD=，即=，解得GE=，所以平面PST截内切球截面圆的半径r，所以截面圆的面积为22π15πar=，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 设函数()12,01,02xx xf xx>=<，若()12f a=，则=a__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.【详解】当0a>时，1212a=，14a∴=，当a<0时，1122a=，1a∴=(舍)．14a∴=．故答案为：14. 14. 将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到函数sin y x =−的图象，则ϕ的最小值为__________. 【答案】π 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果.【详解】将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得sin()y x ϕ=+， 因为sin()y x ϕ=+与sin y x =−的图象相同， 所以π2π,k k ϕ=+∈Z ， 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π， 故答案为：π15. 已知正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为__________；直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 14##0.25【解析】【分析】空1：取AB 中点D ，连接1,CD B D ，则可得1CB D ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，然后在1CB D 中求解即可；空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则可得EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角，然后在EFG 中求解即可. 【详解】空1：取AB 的中点D ，连接1,CD B D ， 因为ABC 为等边三角形，所以CD AB ⊥， 因为1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1BB CD ⊥，因为1BB AB B ∩=，1,BB AB ⊂平面11AA B B ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，的所以1CB D ∠直线1CB 与平面11AA B B 所成角， 因为正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，所以12CD DB ===所以11tan CD CB D DB ∠=， 所以直线1CB 与平面11AA B B空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则EF ∥1B C，11122EF B C ==×， FG ∥1A B，11122FG A B ==×，所以EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角， 连接,DG DE，则EG =，在EFG 中，由余弦定理得2221cos 24EF FG EG EFG EF FG +−∠==−⋅， 因为异面直线所成的角的范围为0,2π，所以直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为14，14.为16. 对于函数()()yf x x I ∈，若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”.若存在0x I ∈，使得()()0ff x x=，则称0x 为函数()y f x =的“稳定点”.记函数()y f x =的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即(){}()(){}|,|A x f x x B x f f x x ====.经研究发现：若函数()f x 为增函数，则A B =.设函数())R f x a ∈，若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则a 的取值范围是__________. 【答案】10,4【解析】【分析】先判断())R f x a ∈是增函数，再根据题意可得()f b b =，代入可得2a b b =−，再结合二次函数的性质即可求解a 的取值范围.【详解】因为())R f x a ∈是增函数，所以()()ff b b =等价于()f b b =b =，所以2a b b =−，而2a b b =−在10,2上单调递增，在1,12上单调递减， 所以max 14a =，而当0b =时，0a =；当1b =时，0a =，即min 0a =， 所以a 的取值范围为10,4.故答案为：10,4三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P−． （1）求sin α的值；（2）若角β满足()sin αβ+，求cos β的值．【答案】（1）45−（2【解析】【分析】（1）根据某个角正弦的定义，直接求解即可；（2）首先由同角的三角函数的平方关系求出()cos αβ+，根据()cos cos βαβα =+− 及两角差的余弦公式，代入计算即可． 【小问1详解】由角α的终边过点34,55P −，得4sin 5yr α===−．【小问2详解】由角α的终边过点34,55P− ，得3cos 5x r α==，由()sin αβ+()1cos 2αβ+=±， ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα =+−=+++ ，当()1cos 2αβ+=时，134cos 255β =×−=当()1cos 2αβ+=−时，134cos 255β =−×+−综上所述，cos β=．18. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg /L P 与时间h t 间的关系为0e kt P P −=（其中0,P k 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.（1）求k 的值（精称到0.01）； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）？参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609===. 【答案】（1）0.02 （2）34.7【解析】【分析】（1）由题意可得5000.9e kP P −=，求解即可；（2）由题意可得0.02000.5e tP P −=，求解即可.【小问1详解】 由0ektP P −=知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%PP =−；即5000.9ekP P −=，所以1ln0.95k =−，即()()1911ln 2ln3ln102ln3ln2ln50.0251055k =−=−×−=−×−−≈； 【小问2详解】当00.5P P =时，0.02000.5e tP P −=，即0.020.5e t −=，则50ln234.7t≈.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h .19. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴,Ox Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，21,e e分别为,Ox Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则把实数对(),x y 叫做向量OP的“@未来坐标”，记{,}OP x y = .已知{}{}1122,,,x y x y 分别为向是,a b的@未来坐标.（1）证明：{}{}{}11221212,,,x y x y x x y y +=++；（2）若向量,a b 的“@未来坐标”分别为{}1,2，{}2,1，求向量,a b的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）1314【解析】【分析】（1）因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+，则{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++计算即可证明；（2）由题意可得12122,2b e a e e e =+=+，根据向量夹角公式即可求解.因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+， 所以{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++()()211122x x y y e e =+++{}1212,x x y y =++【小问2详解】12122,2b e a e e e =+=+ ，()()221212121213222252a b e e e e e e e e ⋅+⋅+++⋅ ，122a e e =+=== ，212b e e =+===，所以13cos ,14a b a ba b⋅==. 20. 在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：2BC CD =.（2）若33AB CD ==，且sin sin60AD ADB AB ∠°⋅=⋅，求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）证明见解析（2）若60ABD ∠= ，则四边形ABCD， 若120ABD ∠= ，则四边形ABCD【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理证明sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求ABD ∠，由余弦定理求BD ，结合三角形面积公式求结论.在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ADC AC ACD ∠⋅∠⋅，因为AB CD ，所以ACD CAB ∠=∠， 所以sin sin AD ADC AC CAB ∠⋅∠⋅， ABC 中，由正弦定理得，即sin sin AC CAB BC ABC ∠⋅=⋅∠， 所以sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠. 又sin 2sin AD ADC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以sin 2sin BC ABC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以2BC CD =.【小问2详解】在ABD △中，由正弦定理得sin sin sin60AD ADB AB ABD AB ∠∠⋅=⋅=⋅ ， 所以sin sin60ABD ∠= ， 所以60ABD ∠= 或120 ，①当60ABD ∠= 时，则60BDC ∠= ，在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD −−=，又0BD >，解得BD =， 此时四边形ABCD 的面积()1S sin602AB CD BD =+××= ， ②当120ABD ∠= 时，则120BDC ∠= ， 在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD +−=，解得BD =，在此时四边形ABCD 的面积()1sin1202S AB CD BD =+××=. 21. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长AB ，宽BC ，高1AA 分别为30cm,20cm,10cm .（1）在方案(2)中，若111110cm LA A E IC C H FB BG ======，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm ？ 【答案】（1）证明见解析 （2）方案(2)，最短绳长为100cm 【解析】【分析】（1）先证明LE IH ∥，从而可证LE 平面IHG ，进而得LE l ∥，从而可证l 平面1111D C B A ，从而可证//l 平面ABCD ；（2）方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，从而可计算最短绳长. 【小问1详解】连接,LI EH ，在长方体中，111110cm LA A E IC C H FB BG ======， 则111110cm,20cm B LD B E ID H ====，所以LE IHLI EH ==，所以LE IH =，LI EH =，所以四边形LEHI 是平行四边形，LE IH ∴∥，又LE ⊄ 平面,IHG LE ⊂平面LEF LE ∴ 平面IHG ； 又LE ⊂ 平面LEF ，平面LEF ∩平面,GHI l LE l =∴∥； 又l ⊄ 平面1111,A B C D LE ⊂平面1111,A B C D l ∴ 平面1111D C B A ， 又l ⊄ 平面,ABCD l ∴ 平面ABCD ； 【小问2详解】方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度，因为FB F B =′′′，所以100cm FF BB ′′′===，所以彩绳的最短长度为100cm .22. 已知函数()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>. （1）直接写出()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集；（2）若()()()123f x f x g x ==，其中12x x <，求()()123f x x g x ++的取值范围；（3）已知x 为正整数，求()()()()22121h x m x m x m ∗=+−+∈N的最小值（用m 表示）.【答案】（1）()2,+∞； （2）()()12392f x xg x ++>；（3）()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= ∈ −=−+−+> N . 【解析】【分析】（1）转化为求解()1110x x x<−>，分01x <≤与1x >讨论即可求解； （2）根据韦达定理得()122t x x t +=>，再根据对勾函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】∵()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>， ∴()()()()1f x g x g x f x −<−+即为()1110x x x <−>, 当01x <≤时，110x −≤，故()1110x x x<−>，显然不成立； 当1x >时，110x −>，故()1110x x x <−>，即()210x x<>,解得2x >. 综上所述，()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集为()2,+∞.【小问2详解】设()()()123f x f x g x t ===，则3x t =， 令1x t x+=，整理得：210x tx −+=， 故12x x t +=，且2Δ40t =−>，得2t >. ∴()()12312f x x g x t t ++=+在2+)∞（， 上单调递增， 所以11922222t t +>×+=， 即()()12392f x xg x ++>. 【小问3详解】 ()()()()()222222111211,11m m h x m x m x m x m m + +=+−+=+−− ++2121,11m m m m +=−+++ ()2,111m m m ∗∗∈∴−∈≤+N N ，， ①1m =时，()min 211,()121m h x h m −+=∴==−+； ②2m =时，()min 251,()2813m h x h m −+=∴==−+； ③3m =时，()()min 251,()232412m h x h h m −+=∴===−+； ④3m >时，2121,1111212m m m m m <−<−+<−+++， ∴()32min ()133h x h m m m m =−=−+−+. 综上所述，()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= =∈ −=−+−+> N。

2024届浙江省杭州市余杭高级中学高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，若51238a a =，则当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．183．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（ ）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-4．执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A ．()(],22,5-∞⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞⋃+∞D ．()(],11,5-∞-⋃5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c a C =，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+7．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( ) A ．2a ba b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ．2a ba ab b +<<< D ．2a bab a b +<<< 8．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A ．B ．C ．D ．9．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切10．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个白球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★考试结束前2023学年第二学期期末高一数学试题（答案在最后）命题：考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟：2､答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I 卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2210,1,2,3,4A x x B =<<=∣，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得.【详解】由2210x <<解得(A =⋃，所以{}2,3A B =I .故选：B2.若()2i 5i z +⋅=，则z 的虚部为（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z ,再根据虚部的概念进行选择.【详解】由()2i 5i z +⋅=⇒()()()5i 2i 5i 2i 2i 2i z ⋅-==++-510i12i 5+==+.所以复数z 的虚部为：2.故选：D3.已知()e ex xxf x a -=+是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由()()f x f x -=，列出方程，求出a 的值，再检验定义域是否关于原点对称即可.【详解】由()()f x f x -=得：e e e e x x x xx xa a ---=++，解得，1a =-.当1a =-时，()e e x xxf x -=-，定义域为()()00-∞∞ ，，+关于原点对称，故1a =-符合题意，故选：B.4.已知a ，R b ∈，p ：a b <，q ：()22a b a b >-，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据q 解出a b ≠，再利用充分性和必要性即可判断.【详解】解：因为a ，R b ∈，q ：()22a b a b >-即2220a ab b -+>，即2)0a b ->（，则a b ≠，而p ：a b <，所以，p 是q 的充分不必要条件，故选：A .5.如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件,A B ，其中()()()()Ω30,15,10,20n n A n B n A B ===⋃=，则()P AB =（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.【详解】()()()()Ω30,15,10,20n n A n B n A B ===⋃=，则()302010n AB =-=,则()()()101Ω303n ABP AB n ===.故选：B6.如图，计划在两个山顶,M N 间架设一条索道.为测量,M N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高MC NB ==，在BC 同一水平面上选一点A ，在A 处测得山顶,M N 的仰角分别为60o 和30o ，且测得45MAN ∠= ，则,M N 间的距离为（）A.100mB.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，在直角ACM △和直角ABN 中，分别求得200AM =和AN =再在AMN 中，利用余弦定理，即可求解MN .【详解】由题意，可得60,30,45MAC NAB MC NB MAN ∠=∠===∠= ，且90MCA NBA ∠=∠= ，在Rt ACM 中，可得200m sin 60MCAM ==，在Rt ABN △中，可得sin 30NBAN ==，在AMN 中，由余弦定理得2222cos MN AM AN AM AN MAN=+-⋅∠222100222200002⎡=+-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，所以MN=.故选：C.7.已知函数()()sin,0f x xωω=>，将()f x图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x=的图象，若函数()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A.(]0,4B.(]0,2C.30,2⎛⎤⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】C【解析】【分析】由已知()πsin6g x xωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ππ62πππ662ωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求得ω的取值范围.【详解】因为函数()()sin,0f x xωω=>，将()f x图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数=的图象，则()πsin6g x xωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为函数()g x在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，结合各选项，只需πππ,622xωω⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦即可，所以ππ62πππ662ωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即332ωω≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩，又因为0ω>，所以32ω<≤.故选：C.8.已知正四面体ABCD 中，E 是棱AC 上一点，过E 作平面α，满足AB //,CD α//α，若AB CD ､到平面α的距离分别是3和9，则正四面体ABCD 的外接球被平面α截得的截面面积为（）A.99πB.100πC.103πD.108π【答案】A 【解析】【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解.【详解】将正四面体补形成正方体，如图，因为//AB α，//IJ AB ，所以//IJ α，又//,,CD CD IJ α是平面CIDJ 内的相交直线，所以平面//CIDJ 平面α，因为AB CD ､到平面α的距离分别是3和9，所以正方体棱长为12，结合正方体对称性可知，球心O 到平面α的距离为3，记正四面体的外接球的半径为R ，则224312R =⨯，解得R =则外接球被平面α截得的截面半径r ==，所以，截面面积为2π99πr =.故选：A二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间[]2,6上存在零点的是（）A.()14f x x =- B.()ln 26f x x x =+-C.()2(3)f x x x =- D.()sincos 22x x f x =+【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，利用函数的零点的定义，以及函数的单调性，结合零点的存在定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()14f x x =-，可得函数()f x 的值域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以函数()f x 在定义域(,4)(4,)-∞+∞ 没有零点，所以函数()14f x x =-不可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()ln 26f x x x =+-的定义域为(0,)+∞，且在定义域上为单调递增函数，因为()()2ln220,6ln660f f =-=+，所以()()260f f ⋅<，由零点的存在定理，可得函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以B 符合题意；对于C 中，函数()2(3)f x x x =-，令()0f x =，解得0x =或3x =，而()()222,66354f f ==⨯=，此时()()260f f ⋅>，所以函数()2(3)f x x x =-不可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以C 不符合题意；对于D 中，函数()πsin cos sin()2224x x x f x =+=+，当[]2,6x ∈，可得ππππ3π1,3,244422x ⎡⎤⎛⎫+∈++⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以函数()πsin()24x f x =+在区间[]26,上为单调递减函数，因为()()π2sin1cos10,604f f =+>=+<，即()()260f f ⋅<，所以函数()sin cos 22x xf x =+可以用零点存在定理判断函数()f x 在区间[]26,上存在零点，所以D 符合题意.故选：BD.10.下列命题正确的是（）A.若事件,,A B C 两两互斥，则()()()()P A B C P A P B P C =++∪∪成立.B.若事件,,A B C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =成立.C.若事件,A B 相互独立，则A 与B 也相互独立.D.若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥不能同时成立.【答案】ACD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A ；举反例判断选项B ；利用事件相互独立的判定公式判断选项C ，利用事件的独立性质和互斥判断选项D.【详解】对于A 选项，若事件,,A B C 两两互斥，则A B 与C 互斥，所以，()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ⋃⋃=⋃+=++，因此A 正确；对于B ，考虑投掷两个骰子，记事件A ：第一个骰子的点数为奇数，事件B ：第二个骰子点数为奇数，事件C ：两个骰子的点数之和为奇数，于是有()()()12P A P B P C ===，()()()14P AB P BC P AC ===，()0P ABC =，可以看出事件,,A B C 两两独立，但,,A B C 不互相独立，所以()()()()P ABC P A P B P C ≠，因此B 错误；对于C ，若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，又()()1P A P A =-，()()1P B P B =-，则()()()()()11P AB P A B P A P B P AB =-+=--+()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，因此C 正确；对于D ，若()()0,0P A P B >>，事件,A B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，若,A B 互斥，则()0P AB =，因此D 正确.故选：ACD.11.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R 的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为0123,,,V V V V .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为0123,,,S S S S ，则以下关系正确的是（）A.001123V S V S == B.0022V S V S >C.0033V S V S > D.03V V 的最大值为12【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，由已知结合球和圆柱的体积公式、表面积公式即可依次求出0V 、1V 、0S 、1S ，从而得解；对于B ，设圆台上下底面的半径和母线长分别为12,,r r l ，由三角形全等得12l BP DP r r =+=+，求证CDO AOB ∠=∠得21122r R R r r R r =⇒=，进而由台体体积公式计算得()2221π3V R l R =-，由台体表面积公式得()2222πS l R=-，从而得02V V 和02S S 即可得解；对于C ，设圆锥的底面半径、高和母线长为r 、h 和1l ，由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得1l R rh rR =-①，由1LQ l r =-和1tan R rOLM l r h∠==-，得21l r Rh r =+②，进而得2222Rr h r R=-和32122r R r l r R +=-，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V 和3S ，从而得0033V S V S =；对于D ，由C 结合基本不等式即为03V V 的最大值.【详解】对于A ，由题得304π3V R =，231π22πV R R R =⋅=，204πS R =，2212π2π2=6πS R R R R =+⋅，所以320032114π24π23,2π36π3R V S R V R S R ====，所以001123V S V S ==，故A 正确；对于B ，设圆台上下底面的半径和母线长分别为12,,r r l ，圆台容球的轴截面如图所示，因为π,,,2OA OP OC R OB OB OD OD OAB OPB OPD OCD =====∠=∠=∠=∠=，所以,OAB OPB OPD OCD ≌≌，所以,AOB POB COD POD θ∠=∠=∠=∠，且12l BP DP r r =+=+，所以π+=2POB POD AOB COD ∠+∠=∠∠，又π+=2CDO COD ∠∠，所以CDO θ∠=，所以21122tan r R R r r R r θ==⇒=，所以(()22222221212121211ππππ2π33V r r r r R R r r r r =+⋅⋅=++()()222121211ππ33R r r r r R l R ⎡⎤=+-=-⎣⎦，()()()22222222121212121212ππππ2πS r r r r l r r r r r r r r ⎡⎤=+++=+++=++⎣⎦()()22212122π2πr r r r l R ⎡⎤=+-=-⎣⎦，所以()()32220022222222224π44π23,12ππ3R V S R R R V l R S l R l R R l R ====----，所以0022V S V S >，故B 正确；对于C ，设圆锥的底面半径、高和母线长为r 、h 和1l，圆锥容球的轴截面如图所示，则由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得111111222222rh l R l R rR ⨯=⨯+⨯+⨯，整理得1rh l R rR =+即1l R rh rR =-①，因为π,,2OG OQ OM OM OGM OQM ==∠=∠=,所以QM GM r ==，故1LQ l r =-，所以1tan R rOLM l r h∠==-，所以()211Rh r l r l r r =-=-即21l r Rh r =+②，由①②得2R rh rR r Rh r -=+即2222R h Rr r h r R +=-，整理得2222Rr h r R =-，所以由①得2332221222222Rr r rR r r R r r R l r R r R r R ⨯-+-==-=--，所以()24232222122ππ33Rr Rr V r r R r R =⨯=--，324223122222πππππr R r r S r rl r r r R r R+=+=+⨯=--，所以()()()222222222232003444333224π,4π32π2πr R R r R R r R V S r RR R V Rr r S r r----=⨯==⨯=，所以0033V S V S =，故C 错误；对于D ，由题意可知r R >，所以由C 得()22222224432222R r R R r R V V r r⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=≤=，当且仅当222R r R =-即r =时等号成立，故03V V 的最大值为2，故D 错误.故选：AB.【点睛】思路点睛：对于圆台的体积2V 和表面积2S ，先由三角形全等得12l r r =+，接着由CDO AOB∠=∠得212R r r =，进而由台体体积公式和表面积公式计算求出2V 和2S 即可得02V V 和02S S ；对于圆锥的体积3V 和表面积3S ，先由LHM LOM LOH HOM S S S S =++ 得1l R rh rR =-①，接着由1LQ l r =-和1tan R rOLM l r h ∠==-得21l r Rh r =+②，从而由①②得2222Rr h r R =-和32122r R r l r R +=-，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出3V 和3S ，进而得0033V S V S =.第II 卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.lg83lg5++=______.【答案】9【解析】【分析】根据根式的化简与对数的运算法则计算即可.()3lg23lg563lg 2lg59+=++=.故答案为：913.已知()()3sin cos cos sin ,5αβααβαβ---=是第三象限角，则5πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】10【解析】【分析】利用正弦的差角公式先计算()sin β-，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可.【详解】因为()()()()3sin cos cos sin sin sin 5αβααβααβαβ⎡⎤---=--=-=⎣⎦，且β为第三象限角，所以34sin ,cos 55ββ=-=-，所以5π5π5πsin sin cos cos sin 444βββ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭34525210⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1014.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______.【答案】37【解析】【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可．【详解】由题意知，总样本的平均数为203017016016420302030⨯+⨯=++，总样本的方差为()()2220301017016415160164375050⎡⎤⎡⎤⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦.故答案为：37四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知,a b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且6a b == .（1）求a 在b 方向上的投影向量；（2）求23a b - .【答案】（1）12b r（2）【解析】【分析】（1）根据条件得到18a b ⋅=，再利用投影向量的定义，即可求出结果；（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.【小问1详解】因为()a a b ⊥- ，所以()20a a b a a b ⋅-=-⋅= ，又a = ，得到18a b ⋅= ，又6b = ，所以a 在b 方向上的投影向量为181362a b b b b b b ⋅⋅== .【小问2详解】由（1）18a b ⋅=，所以2222341294181218936180a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯+⨯= ，得到23a b -= .16.为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到(C)P 的估计值为0.30．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）求甲离子残留百分比的第75百分位数；（3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）【答案】（1）0.35a =，0.10b =，（2）5.0（3）6.00【解析】【分析】（1）根据直方图()P C 的估计值，可列出式子求出a ,因为()1P U =(U 为全集)，即可列出式子求出b ;（2）设甲离子残留百分比的第75百分位数为x ，根据条件，建立方程0.150.200.30( 4.5)0.200.75x +++-⨯=，即可求解；（3）将各个区间的中间值乘该组数据的频率，相加，再乘组距，即可求出乙离子残留百分比的平均值.【小问1详解】由已知得0.30=0.050.15b ++，解得0.10b =，所以10.200.150.300.35a =---=．【小问2详解】根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间[)4.5,5.5，设为x ，则0.150.200.30( 4.5)0.200.75x +++-⨯=，解得 5.0x =，所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0.【小问3详解】乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00⨯+⨯⨯⨯⨯⨯．17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知ABC V 的外接圆半径14R =，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=.（1）求角C ；（2）求2a b +的取值范围.【答案】（1）2π3（2）,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由外接圆半径可得2sin c C =，结合正弦定理可得222a b ab c ++=，由余弦定理可求出角C ;（2）将结合外接圆半径将边,a b 用角A,B 表示，再由（1）可知π3A B +=，进而2a b +用角B 来表示，结合三角函数的图象与性质即可求出范围.【小问1详解】由ABC 的外接圆半径14R =,则12sin 2c R C ==,可得2sin c C =,222sin sin sin sin sin A B A B C ∴++=.由正弦定理得222a b ab c ++=.由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,()0,πC ∈ ，2π3C ∴=.【小问2详解】由(1)可得π3A B +=,1π1222sin 2sin sin sin sin sin 232a b R A R B A B B B ⎛⎫∴+=⨯⨯+⨯=+=-+ ⎪⎝⎭,cos 2B =，π0,,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos ,12B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,即242a b ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18.三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，面11ABB A ⊥面11ACC A ，11112,4AA A C CC AC ====，且1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5.（1）求证：AB ⊥面11ACC A ；（2）求三棱台111ABC A B C -的体积；（3）问侧棱1BB 上是否存在点M ，使二面角M AC B --成π6？若存在，求出1BM BB 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见详解（2）3（3）存在，12【解析】【分析】（1）连接1AC ，过1A 作11//A G CC 交AC 于G ，由已知可得11A C AA ⊥，又平面11ABB A ⊥平面11ACC A ，则1A C ⊥平面11ABB A ，可得1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，则可得AB ⊥平面11ACC A .（2）由已知可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，过1A 作1A N AC ⊥，连接BN ，可得1A N ⊥平面ABC ，求得1A N =，如图，延长侧棱交于点O ，作OH AC ⊥于H ，连接BH ，可求得2AB =，又因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，可求得1BB =.（3）如图，作//MG OH 交BH 于G ，过G 作GK AC ⊥于K ，则//GK AB ，由（2），可得MG ⊥平面ABC ，则MKG ∠即为二面角M AC B --的平面角，设BM =，则BG =，MG =，由//GK AB ，可得()21KG x =-，若π6MKG ∠=，可得14x =，即M 为1BB 中点，即侧棱1BB 上是存在点M ，使二面角M AC B --成π6，则112BM BB =.【小问1详解】连接1AC，在梯形11ACC A 中，过1A 作11//A G CC 交AC 于G ，由11112,4AA A C CC AC ====，则1A AG 为等边三角形,则60A ∠=︒，四边形11A GCC 为菱形，则130GA C ∠=︒，所以190AA C ∠=︒，即11A C AA ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面11ACC A ，平面11ABB A 平面111ACC A AA =，1A C ⊂平面11ACC A ，所以1A C ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以1A C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=，1AC A C ⊂、平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A .【小问2详解】因为AB ⊥平面11ACC A ，AB ⊂平面ABC ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC，过1A 作1A N AC ⊥，连接BN ，1A N ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，则1A N ⊥平面ABC ，故几何体的高为1A N =如图，延长侧棱交于点O ，作OH AC ⊥于H ，连接BH ，由已知H 为AC 中点，2AH =，由（1）得，OH ⊥平面ABC ，因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，则余弦值为5，12OH A N ==5OB ==BH =，4OA ==，由（1）得AB OA ⊥，则2AB ==，又因为1BB 与底面ABC所成角的正弦值为5，所以1155BB ==，故三棱台体积为1111724242432483V ⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭.【小问3详解】如图，作//MG OH 交BH 于G ，过G 作GK AC ⊥于K ，则//GK AB，由（2）可得，MG ⊥平面ABC ，则MKG ∠即为二面角M AC B --的平面角，又BH ⊂平面ABC ，则MG BH ⊥，设BM =，则55BM BG ==⨯=，则MG =，由//GKAB ，得AB BH =，又)1HG BH BG x =-=-，所以()221KG x -==-，若π6MKG ∠=，则()tan 213MKG x ∠==-，解得14x =，所以52BM =，即M 为1BB 中点，即侧棱1BB 上是存在点M ，使二面角M ACB --成π6，则1122BM BB ==.19.对于012,,z z z ∈C ，记1020z z k z z -=-为12,z z 关于0z 的“差比模”.若取遍()00z r r =>，记12,z z 关于0z r =的“差比模”的最大值为max k ，最小值为min k ，若max min 2k k +=，则称12,z z 关于r 的“差比模”是协调的.（1）若0121i,1,122z z z =+==-，求12,z z 关于0z 的“差比模”；（2）若1211z z ==，是否存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由；（3）若12,i,,z a z b a b ==∈R 且,a b r >，若12,z z 关于r 的“差比模”是协调的，求222b a r-的值.【答案】（1）33（2）不存在，理由见解析（3）2【解析】【分析】（1）由“差比模”定义代入复数0121i,1,122z z z =+==-，由复数的代数运算及求模可得；（2）由12z z =，利用共轭复数的性质与模的性质可得max min 1k k ⋅=，利用基本不等式可得max min 2k k +>可知不存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的；（3）设()0cos isin z r θθ=+，由k =平方整理再结合辅助角公式可得22222()())a r b r k θϕ+-+=+，利用三角函数有界性可得关于2k 的不等式，由此可解得2[,]k m n ∈，结合韦达定理与题意12,z z 关于r 的“差比模”是协调的，化简可求222b a r -.【小问1详解】由题意得0011z k z -==--3===，故12,z z 关于0z 的“差比模”为3.【小问2详解】先证明共轭复数有如下性质：若任意12,C z z ∈，则11121222,z z z z z z z z ⎛⎫±=±= ⎪⎝⎭.证明：设12i(,),i(,)z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ，则()()12i i i z z a b c d a c b d ±=+±+=±-±，而()()12i i i z z a b c d a c b d ±=-±-=±-±，故1212z z z z ±=±.1222222222i i i i z a b ac bd bc ad ac bd bc ad z c d c dc d c d c d ⎛⎫++-+-⎛⎫==+=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭；1222222222i i i i z a b ac bd ad bc ac bd bc ad c d c d c d c d c d z -+-+-==+=--++++；故1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，共轭复数的性质11121222,z z z z z z z z ⎛⎫±=±= ⎪⎝⎭得证.记当“差比模”取最大值max k 时的复数0z 为max z ，即1max max 2max z z k z z -=-.由已知12,11z z ==发现12z z =，由已证明共轭复数的性质与复数模的性质z z =可得因为1max 2max 2max 2max 2max 1max 1max max 2max 1max 1max 1z z z z z z z z z z z z z z k z z z z z z ⎛⎫-----===== ⎪-----⎝⎭，所以若当0max z z =时取得max k ，则0max z z =时取到min k ，故可知max min 1k k ⋅=，由取遍()00z r r =>，k =不恒为常数，则max min k k ≠，故由基本不等式可得max min 2k k +>，故不存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的.【小问3详解】12,i,,z a z b a b ==∈R 且,a b r >，设()0cos isin z r θθ=+，则()cos i sin cos sin ia r r k rb r θθθθ--==-+-，平方整理可得：222222()()2cos 2sin )a r b r k ar brk θθθϕ+-+=-=+所以sin()1θϕ+=≤，即22222222224()()44a r b r k a r b r k ⎡⎤+-+≤+⎣⎦，平方整理得：222422222222()2()()()0b r k a r b r k a r --+++-≤，令2t k =，设方程22222222222()2()()()0b r t a r b r t a r --+++-=，则()()2222222222224222Δ2()()4()()160a r b r b r a r a b r a b r ⎡⎤⎡⎤=++---=++>⎣⎦⎣⎦，故方程有两个不等的实数根，设为,m n ，不妨设m n <.由题意知0,0a r b r >>>>，22220,0a r b r ->->，则222222202()()()a r b r m n b r ++=->+，且2222220()()m a r b r n =->-，故方程22222222222()2()()()0b r t a r b r t a r --+++-=有两不等的正实数根,m n ，由关于2k 的不等式222422222222()2()()()0b r k a r b r k a r --+++-≤，解得2[,]k m n ∈，则max k =min k =由已知12,z z 关于r 的“差比模”2=，所以4m n ++=，利用韦达定理，222222222222()()()24()()a rb r a r b r b r ++-+=--，则有222222222222()()2()()4()a r b r a r b r b r +++--=-，化简可得2222a b r =-，故2222b a r-=．【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有：（1）任意12,C z z ∈，则111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅== ⎪⎝⎭；（2）任意C z ∈，则2,z z z z z =⋅=.。

2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线31ax y +=的倾斜角为30，则a =（ ）A ．33-B ．3-C ．33D ．32．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若324a c C π===，则角A的大小为（ ） A ．4π或34πB ．3π或23π C ．3πD ．4π 4．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．23π 6．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）A ．棱台B ．圆台C ．圆柱D ．圆锥7．在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A ．不完全归纳法B ．数学归纳法C ．综合法D ．分析法8．已知函数21()cos sin 2f x x x =++，下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[],0π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 9．若函数()()sin 3R f x x x x ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A ．13 B ．32C ．43D ．2310．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +43423ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3-C ．6-D 53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

杭州市高一下学期期末数学试卷及答案
一、选择题（每题2分，共40分）
1.一个商品原价980元，现在打八五折，打折后的折后价是多少？ A.
176 元 B. 890 元 C. 675 元 D. 833 元正确答案：B
2.某个数的35%是56，这个数本身是多少？ A. 25 B. 160 C. 40 D. 140
正确答案：D
……
二、填空题（每空2分，共20分）
1.一辆汽车开了120公里，耗油8升，它百公里的油耗是______升。

答
案：6.67
2.解方程3x - 7 = 5，得到的解为x = ______。

答案：4
……
三、计算题（每题10分，共30分）
1.已知正比例函数y = 3x，当x取值为2时求y的值。

答案：6
2.某数增加了30%之后得到70，这个数是多少？答案：50
……
四、综合题（共10分）
小明和小李在一次数学竞赛中获得的成绩分别是85分和92分，他们两人的平均成绩是多少？答案：88.5
五、简答题（共20分）
1.「直角三角形」的定义是什么？答：一个三角形如果有一个角是90
度角，那么它就是直角三角形。

2.什么是「因数」？答：一个数能被其他数整除，这些数就叫做这个
数的因数。

……
六、作文题（30分）
请以杭州市的建设和发展为背景，结合数学知识，谈谈数学在城市发展中的重
要性（不少于200字）。

以上是杭州市高一下学期期末数学试卷及答案，请同学们认真审题，仔细作答。

祝各位同学取得优异的成绩！。

杭州市2021-2022学年高一下学期教学质量检测数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.1.若复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =（）A.1i-- B.1i-+ C.1i-- D.1i+2.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设()0,1m ∈，若22lg ,lg ,(lg )a m b m c m ===，则（）A.a b c >> B.b c a >>C.c a b >> D.c b a>>4.函数()0ay xx =和()0x y a x = 在同一坐标系下的图象可能是（）A. B.C. D.5.为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为1(8x ay a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数），则（）A.当00.2x时，4y x =B.当0.2x >时，0.118x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg 以下D.1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25mg 以下6.已知12,,,n a a a ⋯是单位平面向量，若对任意的()*1i j n n <∈N，都有12i j <a a ，则n 的最大值为（）A.3B.4C.5D.67.古希腊数学家希波克拉底研究了如图所示的几何图形.该图由三个半圆构成，直径分别为Rt ABC 的斜边BC ，直角边AB 和AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，设ABC ∠θ=，则sin 2cos cos sin θθθθ-=+（）A.1-B.2- C.0 D.18.设函数()()0y f x x =≠，对于任意正数()1212,x x x x ≠，都()()332112120x f x x f x x x ->-.已知函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-成中心对称，若()11f =，则()3f x x 的解集为（）A.[)(]1,00,1-⋃B.(](],10,1∞--⋃C.][(),11,∞∞--⋃+ D.[)[)1,01,∞-⋃+二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{32}xx -<<∣，则（）A.0a <B.0a b c ++>C.不等式0bx c +>的解集为{6}xx >∣D.不等式20cx bx a ++<的解集为1132xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣10.下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（）A. B.C. D.11.已知,a b是单位向量，且()1,1a b +=- ，则（）A.2a b += B.a 与b垂直C.a 与a b - 的夹角为4π D.1a b -= 12.在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，（）A.若sin sin a bB A =，则ABC 为等腰三角形B.若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C.若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=D.若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.。

浙江省杭州市六校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}2210,1,2,3,4A xx B =<<=∣，则A B =I （ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42．若()2i 5i z +⋅=，则z 的虚部为（ ） A ．2i - B ．2iC ．2-D ．23．已知()e e x xxf x a -=+是偶函数，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知a ，R b ∈，p ：a b <，q ：()22a b a b >-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件,A B ，其中()()()()Ω30,15,10,20n n A n B n A B ===⋃=，则()P AB =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．236．如图，计划在两个山顶,M N 间架设一条索道.为测量,M N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高MC NB ==，在BC 同一水平面上选一点A ，在A 处测得山顶,M N 的仰角分别为60o 和30o ，且测得45MAN ∠=o ，则,M N 间的距离为（ ）A ．100mB ．C ．D ．7．已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,18．已知正四面体ABCD 中，E 是棱AC 上一点，过E 作平面α，满足AB //,CD α//α，若AB CD ､到平面α的距离分别是3和9，则正四面体ABCD 的外接球被平面α截得的截面面积为（ ） A ．99πB ．100πC ．103πD ．108π二、多选题9．下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间[]2,6上存在零点的是（ ） A ．()14f x x =- B ．()ln 26f x x x =+- C ．()2(3)f x x x =-D ．()sin cos 22x xf x =+10．下列命题正确的是（ ）A ．若事件,,ABC 两两互斥，则()()()()P A B C P A P B P C =++∪∪成立. B ．若事件,,A B C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =成立. C ．若事件,A B 相互独立，则A 与B 也相互独立.D ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥不能同时成立.11．“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R 的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为0123,,,V V V V .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为0123,,,S S S S ，则以下关系正确的是（ ）A ．001123V S V S == B ．0022V S V S >C ．0033V S V S > D ．03V V 的最大值为12三、填空题12lg83lg5+=.13．已知()()3sin cos cos sin ,5αβααβαβ---=是第三象限角，则5πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为.四、解答题15．已知,a b rr 是非零向量，()a ab ⊥-r r r，且6a b ==r r .(1)求a r在b r方向上的投影向量； (2)求23a b -r r.16．为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到(C)P 的估计值为0.30．(1)求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值； (2)求甲离子残留百分比的第75百分位数；(3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知ABC V 的外接圆半径14R =，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=.(1)求角C ；(2)求2a b +的取值范围.18．三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，面11ABB A ⊥面11ACC A ，11112,4AA AC CC AC ====，且1BB 与底面ABC(1)求证：AB ⊥面11ACC A ； (2)求三棱台111ABC A B C -的体积；(3)问侧棱1BB 上是否存在点M ，使二面角M AC B --成π6？若存在，求出1BM BB 的值；若不存在，说明理由.19．对于012,,z z z ∈C ，记1020z z k z z -=-为12,z z 关于0z 的“差比模”.若取遍()00z r r =>，记12,zz关于0z r =的“差比模”的最大值为max k ，最小值为min k ，若m a x m i n 2k k +=，则称12,z z 关于r 的“差比模”是协调的.(1)若01211,12z z z ===-，求12,z z 关于0z 的“差比模”；(2)若1211z z ==，是否存在2r <，使得12,z z 关于r 的“差比模”是协调的？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由；(3)若12,i,,z a z b a b ==∈R 且,a b r >，若12,z z 关于r 的“差比模”是协调的，求222b ar-的值.。