第二章-机械优化设计复习过程

一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。

5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。

7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。

14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k XX d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。

15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。

1、优化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。

2、机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子3、外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间4、数值迭代法的公式：X k+1=X K+αk·S k5、若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)T Gd1=0，则d0、d1之间存在__共轭____关系与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。

6、外点；内点的判别7、那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法9、拉格朗日乘子法是升维法 P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种二、解答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。

这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、在变尺度法中，为使变尺度矩阵H与1 k G近似，并具有容易计算的特点，k Hk必须附加哪些条件？（1）必须是对称正定的（2）要求有简单的迭代形式（3）必须满足拟牛顿条件3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系课本P904、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数∑∑==++=mj lk k j x h H r x g G r x f r r x 112121)]([)]([)(),,(φ求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解三、计算题： 极值法求解：例2-3 求函数 的极值。

主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1 概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。

（三级减速器，V降低23%）1.2 优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。

第二节优化设计的数学模型2.1 例子。

设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S= a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。

法二：做图法2.2 优化设计的数学模型统一形式描述：min f(x) x=[x1,x2,………x n]Ts.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..mh j(x)=o j=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3 优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。

（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。

（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。

（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。

2. 优化设计问题的迭代思路3. 终止准则准则1-点距准则4. 1往往采用两个准则来判别4.2 往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0 概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。

3.1 方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法(a). 直接法，包括黄金分割法和对分法(b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3. 一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2 进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

机械优化设计流程机械优化设计是指在已有产品基础上，通过分析、设计和改进，提高产品的性能、功能和质量，以满足市场需求和客户需求的过程。

机械优化设计需要综合考虑各种因素，如设计需求、成本约束、制造工艺、材料选择等，以达到优化设计的目的。

下面我们将介绍机械优化设计的流程和方法。

一、需求分析阶段在机械优化设计的开始阶段，首先需要明确产品的需求和目标，包括功能需求、性能需求、质量需求、成本需求等。

在此阶段，设计师需要与客户、市场部门和生产部门等进行沟通，了解产品的使用环境、工作条件、使用要求等。

通过需求分析，设计师可以明确产品的设计方向，为后续的设计提供指导。

二、概念设计阶段在需求分析阶段完成后，设计团队开始进行概念设计。

概念设计是指根据产品的需求和目标，生成多种设计方案，并评估各种设计方案的优缺点，选择最合适的设计方案。

在概念设计阶段，设计团队可以使用各种设计工具和方法，如手绘、3D建模、原型制作等，快速生成设计方案，并与相关部门进行讨论和评审，以确定最终的设计方向。

三、详细设计阶段在概念设计阶段确定最终的设计方案后，设计团队开始进行详细设计。

详细设计是对概念设计进行细化和优化，包括确定材料、尺寸、结构、工艺等方面的具体内容。

在详细设计阶段，设计团队需要考虑产品的生产工艺、装配性、易维护性等因素，以确保产品的设计是可生产、可装配和易维护的。

四、仿真分析阶段在详细设计阶段完成后，设计团队可以进行仿真分析，对产品的性能、强度、刚度、振动等方面进行评估和优化。

通过仿真分析，设计团队可以发现产品存在的问题和不足之处，及时进行调整和改进，提高产品的性能和质量。

五、样机制作阶段在仿真分析完成后，设计团队可以制作样机进行测试验证。

通过样机测试，设计团队可以验证产品的设计是否符合需求和目标，发现并解决潜在问题，最终确定产品的设计方案。

在样机制作阶段，设计团队需要与生产部门密切合作，确保样机的制作和测试顺利进行。

六、优化改进阶段在完成样机测试后，设计团队可以根据测试结果对产品进行优化改进。

机械优化设计复习总结1. 优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。

解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述，用数学解析方法的求解方法。

解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。

数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。

数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题。

但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。

数值解法的基本思路：先确定极小点所在的搜索区间，然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。

2. 优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。

3. 机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。

优化准则法：1k k k x c x +=（为一对角矩阵）数学规划法：1k k k k x x d α+=+（\k k d α分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4. 机械优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。

重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件。

5. 对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。

001||cos n x x i i if f d x θ=∂∂=∂∂∑ 函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。

梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。

6. 多元函数的泰勒展开。

()()()()()[]00002221112101222221221221212T T x f x f x f x x x G x x f f x x x x x f f f x x x x x x x f f x x x =+∇∆+∆∆⎡⎤∂∂⎢⎥∆∂∂∂∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥=++∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 海赛矩阵：()0G x =222112222122f f x x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦（对称方阵） 7. 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件。

机械优化设计实验指导书实验一用外推法求解一维优化问题的搜索区间一、实验目的：1、加深对外推法（进退法）的基本理论和算法步骤的理解。

2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。

3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。

二、主要设备及软件配置硬件：计算机（1台/人）软件：VC6.0（Turbo C）三、算法程序框图及算法步骤图1-1 外推法（进退法）程序框图算法程序框图：如图1-1所示。

算法步骤：（1）选定初始点a1=0, 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， a2=a1＋h,y2＝f(a2)。

（2）比较y1和y2:（a）如y1≤y2, 向右前进；，转（3）；（b）如y2＞y1, 向左后退；h＝－h，将a1与a2，y1与y2的值互换。

转（3）向后探测；(3）产生新的探测点a3＝a2＋h，y3＝f(a3);(4) 比较函数值 y2和y3：（a）如y2>y3, 加大步长 h＝2h ，a1=a2, a2=a3,转（3）继续探测。

（b）如y2≤y3,则初始区间得到：a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间为[a， b] 。

四、实验内容与结果分析1、根据算法程序框图和算法步骤编写计算机程序;2、求解函数f(x)=3x2-8x+9的搜索区间，初始点a1=0,初始步长h0=0.1;3、如果初始点a1=1.8,初始步长h0=0.1,结果又如何？4、试分析初始点和初始步长的选择对搜索计算的影响。

实验二用黄金分割法求解一维搜索问题一、实验目的：1、加深对黄金分割法的基本理论和算法步骤的理解。

2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。

3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。

二、主要设备及软件配置硬件：计算机（1台/人）软件：VC6.0（Turbo C）三、算法程序框图及算法步骤图1-2 黄金分割法程序框图算法程序框图：如图1-2所示。

成人高等教育《机械优化设计》复习资料知识讲解可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。

设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合可靠度产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率.黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。

可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。

维修度：在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完毕的概率设计变量：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）目标函数：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或用设计变量来表达所追求目标的函数）设计约束：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或对设计变量取值限制的附加设计条件）最优点、最优值和最优解：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。

相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。

一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。

把最优点和最优值的总和通称为最优解。

或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即minf(x)=f(x*)x∈Ｒn s.t.ｇu（ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m；ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。

最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解共轭梯度法需要求海赛矩阵。

内点惩罚函数法可用于求解只含有不等式约束的优化问题优化问题。

《优化设计》知识要点1) 机械优化设计的一般步骤。

2) 优化设计问题的数学模型的三要素。

数学模型的一般形式。

会对简单的优化设计问题建立数学模型。

3) 求解优化问题的数学规划法的迭代公式和算法核心。

4) 多元函数的方向导数及梯度的求法及其意义。

5) 会判断函数的凸性判别函数2212121212(,)2f x x x x x x x x =+-++是否为凸集D 上的凸函数。

已知：{}123(0 , 0 , 0 )D x x x x =≥≥≥6) 无约束优化问题的极值条件（充分条件和必要条件）7) 何为库恩－塔克条件？其几何意义是什么？会用库恩－塔克条件判定某迭代点是否为约束极值点。

1）什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？2）对于如下优化问题：22121221*********(,)(2)(1).. (,)0(,)20minf x x x x s t g x x x x g x x x x =-+-=-≤=+-≤试用库恩－塔克条件检验点[1,1]k T X =是否为约束极值点。

8) 何为一维搜索？简述一维搜索的一般过程及基本方法。

9) 掌握黄金分割法的迭代公式及迭代过程。

用黄金分割法求2()54f X x x =-+的最优解，给定初始区间为[1,5]，试给出经两次迭代后的搜索区间10) 分析比较最速下降法、共轭梯度法的特点。

11) 何为优化设计方法的二次收敛性？列举具有二次收敛性的无约束优化方法。

12) 在求解无约束优化问题时，如何选择适当的优化方法（或选择方法时应该考虑的因素有哪些，如何协调处理？）13) 约束优化问题与无约束优化问题的区别？14) 在可行方向法中，可行方向kd 的应满足的条件？15) 复合形法中改变复合形形状的策略。

16) 内点法和外点法是如何构造其惩罚函数的？各自的应用范围、对初始点的要求以及惩罚因子的取值要求 对于约束优化问题：min 2221)(x x X f +=st g X x x 11220()=-≤21()10g X x =-≤用外点惩罚法写出惩罚函数的一般表达形式并且确定一个初始点0X。

《机械优化设计》讲义绪言优化设计是1960年代初发展起来的一门新学科，它是以电子计算机为工具，使用最优化理论寻求最优设计方案的一种现代设计方法。

最优化理论是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及如何找出最优方案。

这类问题普遍存在于各个领域中。

运筹学（Operations Research）用它研究生产、管理、商业、军事、决策等领域中的问题。

优化设计（Optimal Design）用它处理工程设计领域中的设计问题。

在机械设计领域，传统的设计过程通常按下面步骤进行：1、在调查分析的基础上，通过估算、经验类比或者实验来选择初始设计参数。

2、对尺寸、强度、刚度、稳定性……等各项设计要求进行计算和检查。

3、如果设计要求得不到全部满足，设计人员将调整修改某些设计参数，然后转第2步。

如此反复，直到所有的设计要求都得到满足为止。

由此可见，传统的机械设计过程本质上是人工反复试凑的过程。

用这种方法找到的设计方案，只是众多可行方案中的一个，一般都有再改进的余地。

使用优化设计方法进行机械设计，即用电子计算机的优化计算取代传统设计的人工试凑，不仅能够实现设计计算的自动化，把设计人员从反复检查、反复修改的繁琐计算中解放出来，而且能够获得人工试凑难以得到的、众多可行方案中最优的方案。

一个机械优化设计问题包括两方面内容：1、把实际的设计问题化为数学规划问题，即建立数学模型。

建立数学模型时，需要应用专业知识来确定设计的限制条件和追求的目标，以确立各设计变量之间的相互关系。

2、求解这个数学规划问题。

根据数学模型的特点，应用优化设计的理论，选择适当的优化算法，使用计算机求解。

第1章 优化设计的数学模型1.1 一个简单的优化设计问题例1.1 试设计一个用钢板焊接而成的密封圆筒形容器（图1.1）。

要求其容积为 2 m 3，能承受内部 p = 3MPa 的蒸汽压力。

受安装空间限制，要求其外部直径和高度分别为 1 m ≤ d ≤ 3 m 和 1 m ≤ h ≤ 3 m 。