新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷三一元函数的导数及其应用北师大版(含答案)

解得x0＝－12， a＝8.
【反思感悟】
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值 k＝f ′(x0)． (2)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由yy10＝－fy1x＝1，f ′x1x0－x1 求 解即可． (3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方 程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (4)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．
3．若
f(x)＝exx，则
e2 f′(2)＝______4________.
【解析】 f′(x)＝xexx－2 ex＝exxx－2 1， ∴f′(2)＝e42.
1 4．若曲线 y＝ax2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝_______2_______.
【解析】 y′＝2ax－1x，当 x＝1 时，y′＝2a－1，由题意可知 y′＝0，∴a＝12.
所以 a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)．
由yy＝ ＝2axx－ 2＋1，a＋2x＋1， 消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 解法二：同解法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)． 因为 y′＝2ax＋(a＋2)，所以 y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)． 由2aax02x＋0＋aa＋＋22x0＝＋21，＝2x0－1，
高三大一轮总复习精准备考方案
数 学[新教材版]
高考命题专家倾情巨作

解得 = 3或 = −.因为 > 0，所以3 > −.
当变化时， ,′ 变化情况如下.
0
极大值
-
0
极小值
所以 的单调递增区间为 −∞, − , 3, +∞ ，单调递减区间为 −, 3 .
5 3
的极大值为 − = 1 + ，极小值为 3 = 1 − 93 .
当 ≥ e2 时， = ln + − 2单调递增，
min
= e2 .
当0 < < e2 时， = −ln + + 2，
1

′ = − + 1 =
−1
.

当0 < < 1时，′ < 0， 单调递减；当1 < < e2 时，′ > 0， 单调递
选C.
π
+
4
√
D. =
，即 =
π
−
2
π2
+
2
π
−
2
π2
+ .故
4
4.函数 = 3 + ln 2的极小值点为(
A. = 1
B. = 2
)
C. = e
解：由题意，得 的定义域为 0, +∞ .
1

′ = ln 2 + ⋅ = ln 2 + 1.
令′ < 0，得0 < <
e−4
点 1,2 处有相同的切线，则 + =______
解：由题意，得′ = e − ，′ = 2 + 1.
′ 1 = ′ 1 ,

第4讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作□01⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －anf (ξi ).这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf (x )d x ＝□02k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝□03⎠⎛abf 1(x )d x ±⎠⎛abf 2（x ）d x； (3)□04⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝□05F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成□06F (x )|ba ，即⎠⎛abf （x ）d x ＝□07F （x ）|b a ＝F (b )－F (a ).1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.1.⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)|10＝e ，故选C.2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋l n 2(a ＞1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋l n x )|a 1＝a 2＋l n a －1＝3＋l n 2，解得a ＝2.3．(2021·云南昭通模拟) (1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D 解析4．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 ∵S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2|10＝16，正方形的面积为1，∴所求概率为16.5．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A ．43B ．2C ．83D ．1623 答案 C解析 由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1).如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1），1x，x ∈[1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为 ．答案 43解析 ⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝13x 3|10＋l n x |e 1＝13＋1＝43.考向一 定积分的计算 例1 计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛122xd x ；(3)⎠⎛02|1－x |d x ；(4)⎠⎛011－（x －1）2d x .解 (1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )|3－1＝24.(2)因为(l n x )′＝1x，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2l n x |21＝2(l n 2－l n 1)＝2l n 2.(3)若1－x ≥0，则x ≤1，若1－x ＜0，则x ＞1，于是⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝1.(4)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，故⎠⎛011－（x －1）2d x＝π4. 求定积分时应注意的几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (6)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．1.计算下列定积分：(1)⎠⎛011－x 2d x ；(2)⎠⎛0πcos3x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x .解 (1)令y ＝1－x 2，∴x 2＋y 2＝1，y ≥0. ∴⎠⎛011－x 2d x 的几何意义为14个圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.(2)∵(si n x )′＝cos x ，∴⎠⎛0πcos3x d x ＝13si n 3x |π0＝13(si n 3π－si n 0)＝0.(3)∵(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2，∴⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝223.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 利用定积分求图形的面积 角度求曲线围成平面图形的面积例2 (2021·榆林模拟)曲线y ＝si n x 与直线y ＝2πx 围成的封闭图形的面积为( )A ．1－π4B ．2－π2C ．π2D ．2＋π2答案 B解析 当x ＝π2时，si n π2＝1，2π×π2＝1，故曲线y ＝si n x 与直线y ＝2πx 在第一象限的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，根据对称性，曲线y ＝si nx 与直线y ＝2πx 在第三象限的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，故所求封闭图形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫si n x －2πx d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫－cos x －x 2π＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4－（－1）＝2－π2.被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算．2.(2021·河南省八市联合测评)由曲线y ＝x ，直线y ＝2－x ，y ＝－13x所围成的图形的面积为 ．答案136解析 解法一：解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，－1)，所围成的图形如图中阴影部分所示，所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.解法二：如图，所求阴影部分的面积就是△OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01(2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －12x 2－23x 32|10＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－23＝136.角度已知曲线围成图形的面积求参数例3 (2021·贵阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为 ．答案 －3解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ⇒f ′(0)＝b ⇒b ＝0，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝－a (a ＜0)，274＝S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛0－a（x 3＋ax 2）d x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 4＋13ax 3|－a 0＝a 412⇒a ＝－3. 已知曲线围成图形的面积求参数的方法求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．3.已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3|k 0＝92，即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.角度与概率的交汇问题例4 如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝si n x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．答案4π3 解析 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsi n x d x ＝2(－cos x )|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3. 与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．4．如图所示，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝si n x (x ∈[0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6答案 B解析 阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a si n x d x ＝(－cos x )|a0＝－cos a －(－cos 0)＝1－cosa ．∵点落在阴影部分的概率为P ＝14＝1－cos a 6，∴cos a ＝－12，又a ∈(0，π)，∴a ＝2π3.故选B.考向三 定积分在物理中的应用例5 物体A 以速度(单位：米/秒)v ＝3t 2＋1在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5米处，同时以速度(单位：米/秒)v ＝10t 与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (单位：秒)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10t d t ，(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t0＝t 3＋t －5t2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .5.列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？解 已知列车速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ， 列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4 m/s 2. 设列车开始制动到经过t s 后的速度为v ，则v ＝v 0＋at ＝20－0.4t ，令v ＝0，得t ＝50 s.设列车由开始制动到停止时所走的路程是s ，则s ＝⎠⎛050v (t )d t ＝⎠⎛050(20－0.4t )d t ＝500m.所以列车应在进站前50 s 以及离车站500 m 处开始制动.1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28C ．563 D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2．(2021·山西晋中模拟)已知⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23 C ．－1 D ．－2答案 B解析 根据题意有⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋12mx 2|10＝13＋12m ＝0，解得m ＝－23.故选B.3.⎠⎛02(2＋4－x 2)d x ＝( )A ．4＋πB ．4＋2πC ．4＋4πD ．2＋π 答案 A解析 原式＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛024－x 2d x ，⎠⎛022d x ＝2x |20＝4，⎠⎛024－x 2d x 表示以2为半径的圆面积的14，所以原式＝4＋14π×22＝4＋π.4．(2021·安徽合肥模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 答案 D解析 ⎠⎛－66f (x )d x ＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即其图象关于y 轴对称，所以对应的面积相等，即⎠⎛－60f (x )d x ＝⎠⎛06f (x )dx ，故所求为8×2＝16.5．如图，在矩形ABCD 中的曲线是y ＝si n x ，y ＝cos x 的一部分，点A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，D (0，1)，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．4π(3－1) B ．4π(2－1) C ．4(3－1)π D ．4(2－1)π答案 B解析 S 阴影＝(cos x －si n x )d x ＝2(si n x ＋cos x ) ＝2(2－1)，S 矩形ABCD ＝π2×1＝π2，由几何概型的计算公式可得，此点取自阴影部分的概率是P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝2（2－1）π2＝4π(2－1).故选B. 6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1 答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝l n x |21＝l n 2＜l n e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.7．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A ．12gB ．gC ．32g D ．2g 答案 C解析 由题意知电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g .8．(2021·四川广元诊断考试) si n 2x2d x ＝( )A ．0B ．π4－12C ．π4－14D ．π2－1答案 B解析 si n 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12si n x ＝π4－12.故选B. 9．(2021·江西上饶模拟)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A ．23 B ．13 C ．12 D ．14答案 D解析10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A ．34B ．45C ．56 D ．不存在答案 C解析 如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.故选C.11．(2021·甘肃兰州模拟)若(si n x －m cos x )d x ＝m ，则实数m ＝ ．答案 12 解析(si n x －m cos x )d x ＝(－cos x －m si n x )| ＝(0－m )－(－1－0)＝m ，解得m ＝12. 12．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ．答案 4＋25l n 5解析 由v (t )＝0，得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32t 2＋7t ＋25l n （1＋t ）|40＝4＋25l n 5. 13.2x1＋x 2d x ＝ ．答案 4 解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)－12·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x 1＋x2， ∴2x1＋x2d x ＝2x 1＋x 2d x ＝21＋x 2|2 20＝2×(1＋8－1)＝4.14．过点(－1，0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．答案 13解析 因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋1）－x d x ＋12×1×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 2＋12x －23x 32|10＋14＝13.。

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【拆解】
分类
第一问
第二问
参考赋分
6分
6分
难易
中上
难
返回至目录
续表
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考
查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨
审题
要点
论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当 > 1时，
所以函数 在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减， 的最大值为 1 = 1.
所以 ≤ 1，即实数的取值范围是(−∞, 1]．
返回至目录
考点三 利用导数研究函数零点
例3 已知函数 = − e + ,讨论函数 零点的个数.
解：′ = 1 − e .
返回至目录
第一问
在基础性的层次上考查
数学运算学科素养，和
.
2
e −1
恒成立.

− 1 + 1 > 0 ，所以′ = e ⋅ > 0，所以 在 0, +∞ 上单调
递增.
所以 > 0 = 0，所以ℎ′ > 0，所以ℎ 在 0, +∞ 上单调递增．
由洛必达法则，知 lim+ ℎ =
→0
e −1
lim
→0+
e − = 的解的个数、 − ln = 的解的个数均为2，构建新函数
= − ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 , 的
大小关系，根据存在直线 = 与曲线 = ， = 有三个不同的交点

1
(1)解 由题设,知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= -1,

令f'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明 由(1)知 f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0.
则当 x≠1 时,ln x<x-1.
求实数λ的取值范围.
e
1
1
解 同例题过程,得 +x+>λ 在区间 2 ,6 上有解,
e
1
令 g(x)= +x+,则需 λ<g(x)max.
1
由例题解答过程可知,g(x)在区间 2 ,1 上单调递减,
1
1
5
e6 37
1
在区间[1,6]上单调递增,且 g 2 =2e2 + 2,g(6)= 6 + 6 >g 2
1
当

1
0,
1
0<x< ;令

f'(x)>0,得
上单调递减,在区间
1
x> ,

1
,+∞

上单调递增.
≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数 f(x)在区间[1,2]上
的最小值为 f(1)=1;
1
当

≥2,即 0<a≤
1
时,函数
2
上的最小值为 f(2)=aln
f(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数 f(x)在区间[1,2]

解析
(1)由
(2)y=2x
2-1
y=
,得
+2
y'=
5
(+2)
2 ,则在点(-1,-3)处的切线的斜率为
5,43;2=0.
(2)设切点坐标为(x0,y0).
对 y=ln x+x+1 求导可得
1
y'=+1(x>0).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
第四章
第一节 导数的概念、几何意义及运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于
瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与
思想,体会极限思想.
1.导数的运 数学抽象
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
算
3.能够根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,
x0=e,则
1
k= =e.
0
(2)设点 P 为(x0,03 -2x0),因为 f'(x)=3x2-2,所以 f'(x0)=302 -2.因为曲线在点
P 处的切线平行于直线 x-y-2=0,所以 f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.
当 x0=1 时,点 P 为(1,-1),则切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0,与所给直线
重合,不合题意;当 x0=-1 时,点 P 为(-1,1),则切线方程为 y-1=x+1,即
x-y+2=0,与所给直线平行.故点 P 的坐标为(-1,1).

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y .f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x＋1x在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x，则f ′(x )＝________.答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x)′＝2x ＋e xC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2答案 AD解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，故B 错误；⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确． (2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，则f (2021)－f (0)等于( ) A ．e 2021cos2021 B ．e2021sin2021C.e 2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， 所以f (x )＝e xsin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2021)－f (0)＝e2021sin2021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1， 则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2x ＋2－2x －1x ＋22＝5x ＋22，所以y ′|x ＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x， 由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x(a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x(2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2， ∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3； 当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tanπ4＝1对于任意的x >0恒成立， 即1x＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝ex －2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)， 代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1， 因为直线l与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x+， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x +-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e24.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞. 延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,x x x y x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2B ．5C ．1D ．0 答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x，∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln10)′＝0，∴C 错； (e 2x)′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( ) A ．0B ．πC．－2D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0， 又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x－f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x－x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e xcos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________. 答案 2 解析 f ′(x )＝－ax －1′ax －12＋e x cos x －e xsin x ＝－a ax －12＋e xcos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x，故f ′(x )＝(x 2)′2e x＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)ex －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f 1－f 01－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以ec －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点， 所以ec －1＝11＋c，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1. 14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则( ) A ．e b<a B ．e a<b C ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x x 0－a ，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x(1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a(1－a ＋a )＝e a， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x(1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a.方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3B.π2C.2π3D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x＝14sin2x ＋32×1＋cos2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝ex ＋m，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m +＝2x 2k 1>0，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1x 2－x 1＝x 22－1ex m+，故k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，21 故f (k )max ＝f (4)＝ln4－44－1＝2ln2－2， 所以只需满足m <2ln2－2即可．。

专题4.5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为 （ ）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)2．（2009·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）4．（2009·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-25．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（ ） A ．的图像关于点中心对称B ．的图像关于直线对称C ．的最大值为()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=()f xD ．既是奇函数，又是周期函数7．（2007·海南·高考真题（理））曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e8．（2013·浙江·高考真题（理））已知e 为自然对数的底数,设函数,则（ ）．A ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值B ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值C ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值D ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=10．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数，且()0g x ≠，则下列各函数一定在R 上单调递增的是（ ） A ．()()f x g x ⋅B ．()()f x g x +C ．3[()]f xD ．()()f xg x -11．（2022·福建泉州·模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（ ） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >>D ．1a b >>12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016·天津·高考真题（文））已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.14．（2017·天津·高考真题（文））已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .15．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的()f x ()()()()e 1?11,2kxf x x k =--=切线，则实数a 的取值范围是_________16．（2017·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ① ② ③ ④ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2011·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大18．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax =+-在2x =-时取得极值．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值．19．（2016·全国·高考真题（文））已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.20．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a ； (2)求a 的取值范围．21．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1x f x x <+-.22．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a 的取值范围．()xy e f x = 2.71828...e =（）()f x ()f x =2x f x -（）=3x f x -（）3=f x x （）2=2f x x +（）32(),()f x x x g x x a =-=+()y f x =()()11,x f x ()y g x =11x =-1()(1)ln f x ax a x x=--+0a =()f x ()f x专题4.5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为 （ ）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【答案】C 【解析】 【详解】()242'220,0,x x f x x x x--=-->>()()0,210,2x x x x >∴-+>∴>2．（2009·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．4．（2009·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】B 【解析】 【详解】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．5．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <0x <<C ，故选D.6．（2013·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（ ） A ．的图像关于点中心对称B ．的图像关于直线对称()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=C ．D ．既是奇函数，又是周期函数【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而，故正确； 对于选项，，故是奇函数，有，故周期是，故正确； 对于选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C 错误. 7．（2007·海南·高考真题（理））曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e【答案】D 【解析】 【详解】因为曲线12x y e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2）∴f′（x ）|x=4=12e 2，∴切线方程为：y -e 2=12 e 2（x -4），令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），()f x ()f x A (2)()0f x f x π-+=(2)()cos(2)sin 2(2)cos sin 2cos sin 2cos sin 20f x f x x x x x x x x x πππ-+=--+=-+=A B ()()f x f x π-=()cos()sin 2()cos (sin 2)cos sin 2()f x x x x x x x f x πππ-=--=--==B D ()cos()sin 2()cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-()f x (2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==2πD C 223()cos sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin (1sin )2sin 2sin f x x x x x x x x x x x x ==⋅==-=-+sin ,[1,1]t x t =∈-322y t t =-+2'26y t =-'0y >322y t t =-+33[]3[1,)-3(1t =-0y =3t =43y∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2. 故选D ．8．（2013·浙江·高考真题（理））已知e 为自然对数的底数,设函数,则（ ）．A ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值B ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值C ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值D ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值【答案】C 【解析】 【详解】当k =1时，函数f (x )=(ex −1)(x −1).求导函数可得f ′(x )=ex (x −1)+(ex −1)=(xex −1) f ′(1)=e −1≠0，f ′(2)=2e 2−1≠0，则f (x )在在x =1处与在x =2处均取不到极值， 当k =2时，函数f (x )=(ex −1)(x −1)2.求导函数可得f ′(x )=ex (x −1)2+2(ex −1)(x −1)=(x −1)(xex +ex −2)∴当x =1，f ′(x )=0，且当x >1时，f ′(x )>0，当x 0<x <1时(x 0为极大值点)，f ′(x )<0，故函数f (x )在(1,+∞)上是增函数；在(x 0,1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值．对照选项．故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）()()()()e 1?11,2kxf x x k =--=A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.10．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数，且()0g x ≠，则下列各函数一定在R 上单调递增的是（ ） A ．()()f x g x ⋅ B ．()()f x g x + C ．3[()]f xD ．()()f xg x -【答案】BC 【解析】 【分析】根据反例可判断AD 的正误，根据单调性的定义可判断BC 的正误. 【详解】取(),()e x f x x g x ==，故()()e x f x g x x ⋅=，设()e xF x x =，则()()1e xF x x '=+，在(),1∞--上，()0F x '<，故()F x 在(),1∞--上为减函数，故A 错误. 而()()e x f x x g x -=-，设()e x x G x =-，则()1ex x G x -'=， 在(),1-∞上，()0G x '<，故()G x 在(),1-∞上为减函数，故D 错误. 设()()()S x f x g x =+，()[]3()U x f x =，任意12x x <，则()()()()()()121212S x S x f x f x g x g x -=-+-， 因为(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数， 故()()()()1212,f x f x g x g x <<，所以()()120S x S x -<即()()12S x S x <，故()S x 是R 上的单调递增函数.而()()()()()()()2212121211324U x U x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()f x 是定义在R 上的单调递增函数，故()()12f x f x <，且()()()2212113024f x f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以()()120U x U x -<即()()12U x U x <，故()U x 是R 上的单调递增函数. 故BC 正确. 故选：BC11．（2022·福建泉州·模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（ ） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >>D ．1a b >>【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数()ln f x x x =+，0x >，得到其单调性且零点情况，分a b >与a b <两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】令()ln f x x x =+，0x > 则()110f x x=+>'恒成立，所以()ln f x x x =+单调递增， 其中1110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110f =>，则存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =①当a b >时，2ln ln ln a a a b b a a +=+<+ 即()()1ln 0a a a -+<，若1a ≥，则ln 0a a +>，且10a -≥，则()()1ln 0a a a -+≥， 不满足()()1ln 0a a a -+<，故1a <，且()0f a >， 所以01x a <<又因为a b >，所以1a b >>，D 正确； ②当a b <时，2ln ln ln a a a b b a a +=+>+，即()()1ln 0a a a -+>（1）当1a >时，10a ->，ln 0a a +>，则()()1ln 0a a a -+>成立，故1b a >>，B 正确； （2）当1a <时，10a -<，若()()1ln 0a a a -+>，则ln 0a a +<， 因为()00f x =，且()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增， 所以当00a x <<时，ln 0a a +<，则2ln 0a a a +<，所以ln 0b b +<，所以1b <，又因为a b <，所以1b a >>，选项C 正确. 故选：BCD 12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e【答案】AB 【解析】 【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数， 因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=；()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t 的取值范围为()2e,⎡+∞⎣；6e 与(2e 均在区间()2e,⎡+∞⎣内， (2e 与2e 均不在区间()2e,⎡+∞⎣内； 故选：AB ．第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016·天津·高考真题（文））已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】3【解析】 【详解】 试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f =∴'='14．（2017·天津·高考真题（文））已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ . 【答案】1 【解析】 【详解】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-，切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)，l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.15．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(),0-∞ 【解析】 【详解】由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x'=+．因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x'=+存在零点． 解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x=存在交点．当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞.解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x +=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x=-∈-∞ 16．（2017·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【解析】 【详解】()xy e f x = 2.71828...e =（）()f x ()f x =2x f x -（）=3x f x -（）3=f x x （）2=2f x x +（）①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2011·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大 【答案】(1) 2； (2)当时，利润最大42.答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】 (1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()2x f x -=M ()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()xf x -=3M ()3x x e f x e x =⋅()3xg x e x =⋅()()32232x x xg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+∴2x >-()0g x '>2x <-()0g x '<∴()3x x e f x e x =⋅(),2-∞-()2,-+∞()3f x x =M ()()22x x e f x e x =+()()22x g x e x =+()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦∴()()22x x e f x e x =+R ()22f x x =+M所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.18．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax =+-在2x =-时取得极值．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值． 【答案】(1)97y x =-(2)min ()2f x =-，()max 18f x =； 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意(2)0f '-=，即可求出a ，再求出切点坐标与切线的斜率，即可求出切线方程；（2）由（1）可得函数的单调性，再计算出区间端点的函数值，即可求出函数的最值． (1)解：32()2f x x ax =+-，所以2()32f x x ax '=+，(2)1240a f -=-'=∴，解得3a =，32()32x x f x =+-∴，2()363(2)f x x x x x '∴=+=+，当20x -<<时()0f x '<，当0x >或2x <-时()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 在2x =-处取得极大值，符合题意，又()19f '=，()12f =，即切点为()1,2，切线的斜率9k =， ()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为()291y x -=-，即97y x =-；(2)解：因为[]1,2x ∈-，由（1）可知()f x 在(]0,2上单调递增，在[]1,0-上单调递减， min ()(0)2f x f ∴==-，(1)0f -=、()218f =，()()max 218f x f ∴==．19．（2016·全国·高考真题（文））已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞ 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时， 1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=， （i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >；（ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <. 综上，a 的取值范围是(],2.-∞20．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a ； (2)求a 的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【解析】 【分析】32(),()f x x x g x x a =-=+()y f x =()()11,x f x ()y g x =11x =-[)1,-+∞（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. (1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； (2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：则的值域为，故的取值范围为.21．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.()f x ()g x a ()g x ()f x ()g x a a (1)1(1)0f -=---=2()31x f x '=-(1)312f '-=-=()y f x =()1,0-2(1)y x =+22y x =+()g x ()22,()x g x ()2g x x '=22()22g x x '==21x =(1)122g a =+=+3a =2()31x f x '=-()y f x =()11(),x f x ()()32111131()y x x x x x --=--()2311312y x x x =--()g x ()22,()x g x ()2g x x '=22()2g x x '=()22222()y x a x x x -+=-2222y x x x a =-+21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭432931()2424h x x x x =--+32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-()0h x '>103x -<<1x >()0h x '<13x <-01x <<x (),()h x h x '()h x [)1,-+∞a [)1,-+∞(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1xf x x <+-.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得()()ln 1f x x '=+，再分0a >和0a <两种情况讨论即可；（2）当01x <≤根据函数的正负证明，当1x >时，转证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导分析单调性与最值即可(1)依题意知()0,x ∈+∞，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+， 令()0f x '=得1ex =，当0a >时，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <时，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，要证ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0x x ≤，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即证：ln sin 1e 0x x x x --+<，令()()e ln sin 11x h x x x x x =--+>，则()e ln cos 1xh x x x '=--+，()e 1sin 0xh x x x''=-+<， ∴()h x '在()1,+∞单调递减，∴()()11e cos10h x h ''<=--<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，∴()()11e sin10h x h <=--<，即ln sin 1e 0xx x x --+<，故原不等式成立.22．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)1()(1)ln f x ax a x x=--+0a =()f x ()f x 1-(2) 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. (1)当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以； (2)，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以当时，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，()0,+∞()()()211ax x f x x --'=0a ≤01a <<1a >0a =()1ln ,0f x x x x =-->()22111xf x x x x-'=-=()0,1∈x 0fx()f x ()1,x ∈+∞0fx()f x ()()max 11f x f ==-()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=0a ≤10-≤ax ()0,1∈x 0f x()f x ()1,x ∈+∞0fx()f x ()()max 110f x f a ==-<01a <<11a >()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0f x()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭0f x()f x ()110f a =-<1ln 1x x +≥1ln 1x x ≥-ln x x x <<1x >11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x=--+>--+>-+2312m a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()0f m >()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a =()()2210x f x x-'=≥()f x ()110f a =-=所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，， 此时存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为.()f x 1a >11a<()10,,1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0fx()f x 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭0f x()f x ()110f a =->01x <<1ln 1x x>-1ln 21x ⎛> ⎝11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax a x x x ⎛=--+<--+-< ⎝2114(1)n a a =<+()0f n <()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()0,+∞。

令 g(x)＝1x＋lnx，则 g′(x)＝－x12＋1x＝x－x21， g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增，且 g(1)＝1，可得 a≥1，故 a 的取值范围是[1，＋∞).
(2)证明：f(x)＝12，则12－ax＋xlnx＝0，等价于21x－a＋lnx＝0，依题意有， 21x1－a＋lnx1＝0，21x2－a＋lnx2＝0，两式相减得 21x1－21x2＋lnx1－lnx2＝0，lnxx12＝x21x－1xx22，即 x1x2＝x21l－nxxx122，可得 x1＝xx212l－nxx112 ，x2＝12－lnxxxx1221.
所以 f(x1)<fπ2－x1成立，故 x1＋x2>π2成立.
＝(cosx－sinx)·
，
【点拨】 极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解， 常见步骤如下：①构造奇函数 F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对 F(x)求导，判断 F′(x)的符 号，确定 F(x)的单调性；③结合 F(0)＝0，得到 f(x0－x)>f(x0＋x)(或 f(x0－x)<f(x0＋x))； ④由 f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得 f(x1)>(或<)f(2x0－x2)； ⑤结合 f(x)的单调性，得 x1>(或<)2x0－x2，得 x1＋x2>(或<)2x0. 其中也可考虑构造 F(x) ＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”.
综上，a 的取值范围是1e，＋∞.
【点拨】 根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在 的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化 为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴3k≥xsin
x－cos x2
xmax，
令
F(x)＝xsin
x－cos x2
x，F′(x)＝x2cos
x＋2cos x3
x>0，x∈0，π2，
∴F(x)在0，π2上单调递增，F(x)<Fπ2＝2π，
值点”的个数为
A.3 √B.2
C.1
D.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数f(x)＝x3－3x， 则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3， 由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)， 得f′(c)＝1，即3c2－3＝1， 解得 c＝±233∈[－2,2]， 所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)x－2n＋3 m， 若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m<2n＋3 m，则 n>m，即mn <1； 若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m>2n＋3 m，则 n<m，即mn <1， 综上，mn <1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈0，1e时，y′<0，函数 单调递减，当 x∈1e，＋∞时，y′>0，函数单调递增，所以函数 y＝ xln x 在 x＝1e处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x 在R上单调递减，没有极值点.

隐零点与极值点偏移问题题型一 隐零点问题导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．例1 (2022·扬州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明不等式ex －2－ax >f (x )恒成立．(1)解 f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减． (2)证明 设函数φ(x )＝e x －2－ln x (x >0)，则φ′(x )＝ex －2－1x，可知φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x 0，且1<x 0<2， 则φ′(x 0)＝02e x -－1x 0＝0，即02ex -＝1x 0.当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )≥φ(x 0)＝02e x -－ln x 0，结合02ex -＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x )≥φ(x 0)＝1x 0＋x 0－2＝x 20－2x 0＋1x 0＝x 0－12x 0>0，则φ(x )＝e x －2－ln x >0，即不等式ex －2－ax >f (x )恒成立．思维升华 零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x 0)＝0，并结合f ′(x )的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f ′(x )的正负，进而得到f (x )的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．跟踪训练1 (2022·淄博模拟)已知函数f (x )＝1ax 2＋ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1a x (a ≠0)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)令F (x )＝af (x )－x 2，若F (x )<1－2ax 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a 的最大值⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：ln3<43，ln4>54. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝2x 2＋ln x －4x ，则f ′(x )＝4x ＋1x－4，可得f ′(1)＝1，且f (1)＝2＋ln1－4＝－2， 即函数f (x )在点(1，－2)处的切线斜率k ＝1，所以函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)由F (x )＝af (x )－x 2＝a ln x －(2a ＋1)x ， 因为F (x )<1－2ax 在(1，＋∞)上恒成立， 即a ln x －(2a ＋1)x <1－2ax 在(1，＋∞)上恒成立， 即a <x ＋1ln x在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝x ＋1ln x，x >1，可得h ′(x )＝ln x －1x－1ln 2x ， 令t (x )＝ln x －1x－1(x >1)，可得t (x )在(1，＋∞)上单调递增， 且t (3)<0，t (4)>0， 所以存在x 0∈(3,4)， 使得t (x 0)＝ln x 0－1x 0－1＝0，从而h (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0＋1ln x 0＝x 0＋11x 0＋1 ＝x 0∈(3,4)， 因为a <x ＋1ln x在(1，＋∞)上恒成立， 所以a <h (x )min ＝x 0， 所以整数a 的最大值为3.题型二 极值点偏移问题极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 例2 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x (1－ln x )． (1)讨论f (x )的单调性；[切入点：导函数的正负判定](2)设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a －a ln b ＝a －b ，证明：2<1a ＋1b<e.[关键点：利用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 转化]思维升华极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x 1＋x 2>(<)2x 0型，构造函数F (x )＝f (x )－f (2x 0－x )；对结论x 1x 2>(<)x 20型，构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20x ，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t ＝x 1x 2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．跟踪训练2 (2022·启东模拟)已知函数f (x )＝a e x－x ，a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1，x 2.证明：x 1＋x 2>2.证明 由f (x )＝a e x－x ＝0，得xe x －a ＝0，令g (x )＝xe x －a ，则g ′(x )＝1－xex ，由g ′(x )＝1－xe x >0，得x <1；由g ′(x )＝1－xe x <0，得x >1.所以g (x )在(－∞，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减，由于x 1，x 2是方程g (x )＝0的实根， 不妨设x 1<1<x 2，方法一 (对称化构造函数法)要证x 1＋x 2>2， 只要证x 2>2－x 1>1.由于g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g (x 2)<g (2－x 1)， 由于g (x 1)＝g (x 2)＝0， 故只要证g (x 1)<g (2－x 1)，令H (x )＝g (x )－g (2－x )＝x e x －2－xe2－x (x <1)，则H ′(x )＝1－x e x －1－x e2－x ＝e2－x－ex1－xe2，因为x <1，所以1－x >0,2－x >x ， 所以e2－x>e x ，即e2－x－e x>0，所以H ′(x )>0，所以H (x )在(－∞，1)上单调递增． 所以H (x 1)<H (1)＝0， 即有g (x 1)<g (2－x 1)成立，所以x 1＋x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2， 由g (x 1)＝g (x 2)， 得1212ee x x x x --=，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln tt －1. 所以x 1＋x 2＝t ＋1ln t t －1>2⇔ln t －2t －1t ＋1>0，设g (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，所以g ′(t )＝1t－2t ＋1－2t －1t ＋12＝t －12t t ＋12>0，所以当t >1时，g (t )单调递增， 所以g (t )>g (1)＝0， 所以ln t －2t －1t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.课时精练1．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝ln x x ＋1x＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)都有a e x≥f (x )，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， 由已知f ′(x )＝1－ln x x 2－1x 2＝－ln xx2， 当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．(2)因为对任意x ∈(0，＋∞)都有a e x≥f (x )， 即a ≥ln x ＋x ＋1x e x 恒成立．令g (x )＝ln x ＋x ＋1x e x，则g ′(x )＝－x ＋1ln x ＋xx 2e x.令h (x )＝x ＋ln x ，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e －1<0，h (1)＝1>0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1， 使得h (x 0)＝x 0＋ln x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 所以g (x )max ＝g (x 0)＝000ln 1e x x x x ++，由x 0＋ln x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0. 则0e x＝1x 0，所以g (x )max ＝g (x 0)＝000ln 1e x x x x ++＝1，又a ≥ln x ＋x ＋1x e x 恒成立，所以a ≥1.综上所述，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．2．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2a－2ln x (a ∈R ，a ≠0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，且a ＝4，证明：x 1＋x 2>4. (1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x a －2x ＝2x 2－2aax.当a <0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上无极值； 当a >0时，若x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上单调递减．若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，故当x ＝a 时，f (x )在(0，＋∞)上的极小值为f (a )＝1－2ln a ＝1－ln a ，无极大值．(2)证明 当a ＝4时，f (x )＝x 24－2ln x ，由(1)知，f (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，x ＝2是极值点， 又x 1，x 2为函数f (x )的零点， ∴0<x 1<2<x 2，要证x 1＋x 2>4，只需证x 2>4－x 1. ∵f (4－x 1)＝4－x 124－2ln(4－x 1)＝x 214－2x 1＋4－2ln(4－x 1)， f (x 1)＝x 214－2ln x 1＝0，∴f (4－x 1)＝2ln x 1－2x 1＋4－2ln(4－x 1)， 令h (x )＝2ln x －2x ＋4－2ln(4－x )(0<x <2)， 则h ′(x )＝2x －2＋24－x ＝2x －22x 4－x >0，∴h (x )在(0,2)上单调递增，∴h (x )<h (2)＝0，∴f (4－x 1)<0＝f (x 2)， ∴4－x 1<x 2，即x 1＋x 2>4得证．3．(2022·湛江模拟)已知函数f (x )＝a e x－2x ，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，求证：f (x )＋x 2－218x ＋1>0.(1)解 ∵f ′(x )＝a e x－2，若a ≤0，则a e x－2<0恒成立，f (x )单调递减．若a >0，当a e x －2<0，e x <2a，即x <ln 2a 时，f (x )单调递减；当x >ln 2a时，f (x )单调递增． ∴当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减； 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 2a上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫ln 2a，＋∞上单调递增．(2)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x－2x . 设g (x )＝f (x )＋x 2－218x ＋1＝e x －2x ＋x 2－218x ＋1＝e x ＋x 2－378x ＋1，则g ′(x )＝e x＋2x －378，令h (x )＝g ′(x )＝e x＋2x －378， 则h ′(x )＝e x＋2>0， ∴h (x )在R 上单调递增， 又h (0)<0，h (1)>0， ∴存在唯一零点x 0∈(0,1)， 使h (x 0)＝0e x＋2x 0－378＝0，①当x ∈(－∞，x 0)时，h (x )<0， 即g ′(x )<0，g (x )单调递减， 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0， 即g ′(x )>0，g (x )单调递增，故g (x )在x ＝x 0处取得极小值，也是最小值．g (x )min ＝g (x 0)＝0e x ＋x 20－378x 0＋1， 将①式代入，则g (x )min ＝g (x 0)＝378－2x 0＋x 20－378x 0＋1＝x 20－538x 0＋458， ∵二次函数y ＝x 2－538x ＋458在(0,1)上单调递减，∴当x ＝1时，y 有最小值y min ＝12－538＋458＝0，∴g (x )min >0，∴f (x )＋x 2－218x ＋1>0.4．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2－x ，m ∈R .(1)若g (x )＝f ′(x )(f ′(x )为f (x )的导函数)，求函数g (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，求证：x 1x 2>e 2. (1)解 因为g (x )＝ln x －mx ，g ′(x )＝1－mxx，①当m ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以g ′(x )>0， 所以函数g (x )在[1，e]上单调递增， 则g (x )max ＝g (e)＝1－m e ；②当1m ≥e，即0<m ≤1e 时，x ∈[1，e]，g ′(x )≥0，所以函数g (x )在[1，e]上单调递增， 则g (x )max ＝g (e)＝1－m e ；③当1<1m <e ，即1e <m <1时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，e 上单调递减， 则g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝－ln m －1；④当0<1m≤1，即m ≥1时，x ∈[1，e]，g ′(x )≤0， 函数g (x )在[1，e]上单调递减， 则g (x )max ＝g (1)＝－m .综上，当m ≤1e 时，g (x )max ＝g (e)＝1－m e ；当1e <m <1时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝－ln m －1； 当m ≥1时，g (x )max ＝g (1)＝－m .(2)证明 要证x 1x 2>e 2，只需证ln x 1＋ln x 2>2，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，即函数f ′(x )有两个变号零点， 又f ′(x )＝ln x －mx ，所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不同的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0，解得m ＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2，另一方面，由⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0，得ln x 2－ln x 1＝m (x 2－x 1)，11 从而可得ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2，于是ln x 1＋ln x 2＝lnx 2－ln x 1x 2＋x 1x 2－x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2x 1ln x 2x 1x 2x 1－1.不妨设0<x 1<x 2，设t ＝x 2x 1，则t >1.因此ln x 1＋ln x 2＝1＋t ln tt －1，t >1.要证ln x 1＋ln x 2>2，即证t ＋1ln tt －1>2，t >1，即当t >1时，有ln t >2t －1t ＋1，设函数h (t )＝ln t －2t －1t ＋1，t >1，则h ′(t )＝1t －2t ＋1－2t －1t ＋12＝t －12t t ＋12>0，所以h (t )在(1，＋∞)上单调递增．又h (1)＝0， 因此h (t )>h (1)＝0.于是当t >1时，有ln t >2t －1t ＋1.所以ln x 1＋ln x 2>2成立，即x 1x 2>e 2得证．。

第三章：一元函数的导数及其应用（模块综合调研卷）（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （）A ．2-B ．1C ．1-D ．e2．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ∞⎧-∈⎪=⎨-∈+⎪⎩则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=3．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为327cm 的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（）A ．34cm B ．38cm C ．312cm D ．316cm 4．已知17611ln ,567a b c ===则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b >>5．若函数ln ()x xf x x m=-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．(0,e)B ．(e,)+∞C ．(0,2e)D ．(2e,)+∞6．已知定义在()0,∞+上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（）A ．()()1122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭7．已知函数()f x 与()g x 是定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x '和()g x '，且满足()()()()62,35f x f x f x g x +-==--，且()()()12,31f x g x f --=''=-'，则()12024k g k ='∑=（）A ．1012B ．2024C ．1012-D ．2024-8．设函数()()ln 2f x x =-，点()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中122x x <<，且121112x x +=，则直线AB 斜率的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

第五章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.下列求导正确的是()A.'=B.(e x x2)'=e x x2·(1+2x2)C.(6cos x)'=6sin xD.(+ln x)'=答案:D2.设f(x)在x=x0处可导,则=()A.f'(x0)B.f'(x0)C.f'(x0)D.2f'(x0)解析:==f'(x0).答案:A3.曲线y=x在点(1,1)处的切线的斜率等于 ()A.2eB.eC.2D.1解析:y'=e x1+x e x1=(x+1)e x1,故曲线在点(1,1)处的切线的斜率为y'|x=1=2.答案:C4.函数f(x)=的大致图象是()解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)===f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B,D.因为当x∈(0,+∞)时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以选A.答案:A5.函数f(x)=x2ln(2x)的单调递减区间是() A.B.,C.,D.答案:A6.某底面为正方形的长方体箱子的容积V与底面边长x之间的关系为V(x)=x2·(0<x<60),则当箱子的容积V最大时,箱子底面边长x为 (解析:V(x)=x3+30x2,所以V'(x)=x2+60x=x(x40).令V'(x)=0,得x=0或x=40,所以当0<x<40时,V'(x)>0,当40<x<60时,V'(x)<0.所以V(x)在区间(0,40)内单调递增,在区间(40,60)内单调递减,所以x=40是V(x)的极大值点,也是最大值点.答案:B7.设函数f(x)的导函数是f'(x),若f(x)=f'cos x sin x,则f'=()A. B. C. D.解析:f(x)=f'cos x sin x,则f'(x)=f'sin x cos x,所以f'=f'sin cos,所以f'=0,所以f(x)=sin x,所以f'(x)=cos x,所以f'=,故选A.答案:A8.已知f(x)为定义在区间(0,+∞)上的可导函数,若f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x2f f(x)>0的解集为() A.(0,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞) 解析:令F(x)=(x>0),则F'(x)=.因为f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0,即F(x)在区间(0,+∞)上为减函数.由不等式x2f f(x)>0,得>,所以<x,所以x>1.答案:C二、多项选择题:本题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)的定义域为R,且导数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,+∞)B.函数f(x)的单调递增区间是(∞,2),(2,+∞)D.2是函数f(x)的极小值点解析:由题图可知,当x<2时,xf'(x)<0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当2<x<0时,xf'(x)>0,即f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当0<x<2时,xf'(x)<0,即f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>2时,xf'(x)>0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间是(∞,2),(2,+∞),则B项正确,A项错误;2是函数f(x)的极大值点,2是函数f(x)的极小值点,则D项正确,C项错误.答案:BD10.若函数f(x)的导数f'(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+xC.f(x)=x+D.f(x)=e x+x解析:根据题意,依次分析各选项.对于选项A,f(x)=3cos x,其导数f'(x)=3sin x为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;对于选项B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于选项C,f(x)=x+,其导数f'(x)=1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于选项D,f(x)=e x+x,其导数f'(x)=e x+1不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.答案:BC11.直线y=x+b能作为下列函数图象的切线的有() A.f(x)=B.f(x)=x4C.f(x)=sin xD.f(x)=e x解析:直线y=x+b的斜率为,对于f(x)=,f'(x)==不成立,所以选项A不符合题意;对于f(x)=x4,f'(x)=4x3=可以成立,所以选项B符合题意;对于f(x)=sin x,f'(x)=cos x=可以成立,所以选项C符合题意;对于f(x)=e x,f'(x)=e x=可以成立,所以选项D符合题意.答案:BCD12.已知函数f(x)=x32x24x7,其导数为f'(x),下列命题中真命题为()A.函数f(x)的单调递减区间是C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(xa)D.函数f(x)有且只有一个零点解析:f(x)=x32x24x7的导数为f'(x)=3x24x4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.当f'(x)>0,即x<或x>2时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即<x<2时,函数f(x)单调递减.故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=15,当x=时,函数有极大值,极大值为f=,故函数f(x)只有一个零点.故选项A错误,选项B,D正确.当a>2时,要证明对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(xa),即证明f(x)f(a)f'(a)(xa)=x3+2a32x22a23a2x+4ax>0在x>2,a>2,且x≠a时恒成立, 令g(x)=f(x)f(a)f'(a)(xa),则g'(x)=3x24x3a2+4a,令h(x)=g'(x),h'(x)=6x4.因为当x>2时,h'(x)>0,所以g'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.又因为g'(a)=0,所以当2<x<a时,g'(x)<0,当x>a时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(2,a)内单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.因为x≠a,所以g(x)>g(a)=0恒成立,所以恒有f(x)>f(a)+f'(a)·(xa).故选项C正确.答案:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.解析:y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=e x(3x2+9x+3),所以所给曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=e0×3=3,所以切线方程为y=3x.14.已知函数f(x)=ax ln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导数,若f'(1)=3,则a的值为3.15.设某工厂生产x件产品的成本(单位:元)为C=25 000+200x+x2,则当平均每件产品的成本最低时,x=1 000,此时平均最低成本为250元.(本题第一空2分,第二空3分) 解析:设平均成本为y元,则y==+200+(x>0),y'=+.令y'=0,得x=1 000或x=1 000(舍去).当0<x<1 000时,y'<0,当x>1 000时,y'>0,故当x=1 000时,y取得最小值,最小值为250,即平均最低成本为250元.16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是(1,0].解析:f'(x)=.由f'(x)>0,解得1<x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,1).又因为函数f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,所以解得1<m≤0,所以实数m的取值范围是(1,0].四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17.(10分)设函数f(x)=2x33(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在点A(1,16)处的切线方程.解:(1)f'(x)=6x26(a+1)x+6a.因为f(x)在x=3处取得极值,所以f'(3)=6×96(a+1)×3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x312x2+18x+8.(2)易知点A在f(x)的图象上,由(1),可知f'(x)=6x224x+18,所以f'(1)=624+18=0,所以切线方程为y=16.18.(12分)设函数f(x)=ln x+ln(2x)+ax(a>0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值为,求a的值.解:函数f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=+a.(1)当a=1时,f'(x)=,令f'(x)=0,得x=(负值舍去),所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).(2)当x∈(0,1]时,由a>0,得f'(x)=+a>0,即函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,故函数f(x)在区间(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.19.(12分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果处理池的外周壁每米的建造价格为400元,中间两条隔墙每米的建造价格为248元,池底每平方米的建造价格为80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖),那么当污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.解:设矩形污水处理池的长为x m,则宽为 m.根据题意,得解得10≤x≤16,总造价f(x)=×400+×2×248+200×80=800x++16 000(10≤x≤16).令f'(x)=800=0,解得x=18(负值舍去).当x∈(0,18)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(18,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此在定义域内,函数f(x)为减函数,当且仅当长为16 m,宽为12.5 m时,总造价最低,最低总造价为45 000元.20.(12分)已知函数f(x)=xa ln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1.(1)当a=2时,f(x)=x2ln x,f'(x)=1(x>0),所以f(1)=1,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y1=(x1),即x+y2=0.(2)由f'(x)=1=(x>0),知①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为区间(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=aa ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值aa ln a,无极大值.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对x∈[2,3],不等式f(x)+c<c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,由题意,得即解得所以f(x)=x3x26x+c,f'(x)=3x23x6.令f'(x)<0,解得1<x<2;令f'(x)>0,解得x<1或x>2.所以函数f(x)的单调递减区间为(1,2),单调递增区间为(∞,1),(2,+∞).(2)由(1),知函数f(x)在区间(∞,1)上单调递增,在区间(1,2)内单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.当x∈[2,3]时,f(1)=+c,f(3)=+c,所以当x=1时,函数f(x)取得最大值.要使f(x)+c<c2恒成立,只需c2>f(1)+c,即2c2>7+5c,解得c<1或c>.所以c的取值范围为(∞,1)∪.22.(12分)(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x ax和g(x)=ax ln x有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.(1)解:f(x)的定义域为R.因为f(x)=e x ax,所以f'(x)=e x a.若a≤0,则f'(x)>0.f(x)无最小值,故a>0.令f'(x)=0,解得x=ln a.所以当x<ln a时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(∞,ln a)上单调递减;当x>ln a时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(ln a,+∞)上单调递增.故f(x)min=f(ln a)=aa ln a.g(x)的定义域为(0,+∞).因为g(x)=ax ln x,所以g'(x)=a.令g'(x)=0,解得x=.所以当0<x<时,g'(x)<0,函数g(x)在区间内单调递减;当x>时,g'(x)>0,函数g(x)在区间上单调递增.故g(x)min=g=1+ln a.因为函数f(x)=e x ax和g(x)=ax ln x有相同的最小值,所以aa ln a=1+ln a.又a>0,所以aa ln a=1+ln a化为ln a=0.令h(x)=ln x,x>0,则h'(x) ===,又x>0,所以h'(x)=>0恒成立,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,h(a)=0,且a>0,所以a=1.(2)证明:由(1)知a=1,函数f(x)=e x x在区间(∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=x ln x在区间(0,1)内单凋递减,在区间(1,+∞)上单调递增.设u(x)=f(x)g(x)=e x2x+ln x(x>0),则u'(x)=e x2+>e x2.当x≥1时,u'(x)≥e2>0,所以函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.因为u(1)=e2>0,所以当x≥1时,u(x)≥u(1)>0恒成立,即f(x)g(x)>0在x≥1时恒成立,所以x≥1时,f(x)>g(x).因为f(0)=1,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,g(1)=1,函数g(x)在区间(0,1)内单调递减,所以函数f(x)与函数g(x)的图象在区间(0,1)内存在唯一交点,设该交点为M.此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象,如图所示.当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,设这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则由图象知,x1<0<x2<1<x3,此时直线y=b必经过点M,点M的横坐标为x2,则f(x2)=g(x2)=b.又f(x1)=b=g(x2),则x1=x2ln x2,即x1=ln x2,f(x1)=f(ln x2).又x1,ln x2∈(∞,0),且f(x)在区间(∞,0)上单调递减,所以x1=ln x2.又g(x3)=b=f(x2),则x3ln x3=x2,即ln x3=x2,f(ln x3)=f(x2).又ln x3,x2∈(0,+∞),且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以x2=ln x3.因为x2x1=x2ln x2=g(x2)=b,x3x2=x3ln x3=g(x3)=b,所以x1,x2,x3成等差数列.即存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.。

专题突破7 导数的综合应用核心考点精准突破考点一利用导数证明不等式例1 [2024年新课标Ⅱ卷节选]证明：当时，．证明：令,，则，有.则在上单调递增，可得，即,.令,，则,.令,，则在上恒成立.则在上单调递增，可得.所以在上恒成立，则在上单调递增，可得，所以,.综上,当时，.【点拨】①证明，可以构造函数,然后利用的最值证明不等式.②若干脆求导比较困难或无从下手时,可将待证式进行变形分拆,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量, 达到证明的目的.变式1 [2024年新课标Ⅰ卷]已知函数.（1）探讨的单调性.解：的定义域为，.当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减. 当时，令，解得.当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.综上,当时，在上单调递减;当时，在上单调递减,在上单调递增.（2）证明：当时，.证明:由（1）得，.要证，即证，即证恒成立.设，则.令，得；令，得.所以在,上单调递减，在,上单调递增，所以，则恒成立.所以当时，.考点二利用导数探讨恒（能）成立问题例2 已知函数,.（1）求函数的极值；解：的定义域为,.令，得；令，得.所以在,上单调递增，在,上单调递减.所以当时，取得微小值，且微小值为；无极大值.（2）若对随意，不等式恒成立，求的取值范围.[答案]对随意,恒成立，即恒成立，即在上恒成立.令，则，令，得，令，得.则在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，即.故的取值范围为.【点拨】利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略有以下几种.①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围.②分别变量,构造函数，干脆把问题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可接受“同构”技巧.③分类探讨，分界点主要考虑端点值、极值点、不等式公共取等条件及常见常数（如0，1，,）等.变式2 已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围．解：若，使得，则在有解.令，即..设，则，所以在上单调递减.又，则当,，当时,.所以函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为. 所以，即实数的取值范围是．考点三利用导数探讨函数零点例3 已知函数,探讨函数零点的个数.解：.当时，；当时，.所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以当时，有最大值.当时，，函数无零点.当时，，函数有1个零点.当时，,,令,则,所以在上单调递减,所以.所以在和上各有一个零点，即函数有两个零点.综上，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有两个零点.【点拨】由于利用零点存在定理时，一般不运用极限语言，故常常须要“取点”，可借助,等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.依据函数零点的状况求参数值或取值范围的基本方法有以下几种.①利用零点存在的判定定理构建不等式求解.②分别参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.变式3 已知.若在,上有两个零点，求实数的取值范围. 解：.易知，则当时，.当时，；当时，.所以，函数在,上单调递增，在上单调递减.故在处取得极大值.又，，，则.又在,上有两个零点，所以解得.因此，实数的取值范围是,.课外阅读·洛必达法则在中学，涉及求参数的取值范围时，分别参数后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比.这个比值的极限可能是定值也可能不存在，这时假如我们要计算出它们的比值，就须要运用到洛必达法则.洛必达法则的定义:在确定条件下，通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则.须要说明的是，洛必达法则在解答题中干脆运用一般至少会扣步骤分，属于考场中时间紧迫时的一种抢分技巧.1. 设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 解：当时，.当时，等价于.令,则.令，则.令，则.所以在上单调递增，.所以在上单调递增，.所以，在上单调递增.由洛必达法则，知，所以.故.综上，的取值范围为 ,.2. 已知函数．当时，，求实数的取值范围．解：当时，，即，即恒成立.令，则.令，所以，所以在上单调递增.所以，所以，所以在上单调递增．由洛必达法则，知，所以.所以.故实数的取值范围是．规范答题——导数解答题【范例】 [2024年新课标Ⅰ卷第22题]（12分）已知函数和有相同的最小值.（1）求；解：的定义域为，.若，则，此时无最小值，故.当时，，故在上单调递减;当时，，故在上单调递增.故.（2分）（求的最小值）的定义域为，.当时，，故在,上单调递减;当时，，故在,上单调递增.故.（4分）（求的最小值）因为和有相同的最小值，所以，整理得，其中.设,，则.故在上单调递减，而，故的唯一解为，即的解为.综上，.（6分）（通过最值相等列关于的等式，通过构造函数利用单调性求）（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.证明：由（1）,知.函数在上单调递减，在上单调递增.函数在上单调递减，在上单调递增.设，则.当时，，所以函数在上单调递增.因为，所以当时，恒成立，即在时恒成立，所以时，.（7分）（构造函数，分析,图象的分布）因为，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点.设该交点为，作出函数和的大致图象.由图象，知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，即.因为，所以，即.（9分）（画出与的大致图象，依据直线与两函数图象只有三个交点得出同构式）令,得，解得或.由，得.令,得，解得或.由，得.所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，，.（11分）（得出全部零点横坐标）因为，所以.所以，，成等差数列.所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.（12分）（结合两函数图象有公共点这一条件证明即可）【拆解】分类参考赋分难易审题要点考查内容第一问6分中上①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考查利用导数探讨函数零点问题.②第一问是依据函数单调性求最值问题，依据最小值相等可求.留意分类探讨.③其次问是构造新函数利用零点个数解决问题.依据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得,的大小关系，依据存在直线在基础性的层次上考查数学运算学科素养，和运用导数推断函数单调性并求最值等必备学问.其次问6分难在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法，运算求解、推理论证等关键实力，以及导数在探讨函数性质中的应用及等差数列等必备学问.与曲线，有三个不同的交点可得的取值，再依据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【总结提升】通过上述对题目的拆解及详答展示可以看出，解第一问的关键在于基础求最值问题的娴熟驾驭与精确计算，解其次问的关键在于细致审题，分析与的图象特征，发觉直线与和图象交点的位置关系，通过方程特点得出从左到右三个交点的横坐标，结合两函数图象有一个公共点得证.同构变形也是近年来考试热点，须要考生对常见的同构形式比较熟悉.最终，细致审题，全面细致挖掘题目隐含条件，同时丰富的阅历积累是必不行少的，也是拿到满分的关键所在.。

(0+)e0

0
kOA=y'|=0 =(x0+a+1)e =
,化简,得02 +ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x0的
9.(-∞,-4)∪(0,+∞)
0
方程02 +ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
0
7 [2019江苏卷·11,5分,难度★★☆☆☆]
在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则
点A的坐标是
.
答案
1
1
1
0
0
7.(e,1) 设A(x0,ln x0),又y'=,则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0),将(-e,-1)代入得,-1-ln x0= (-e-x0),
故实数a的取值范围为[-1,+∞).
第10练 利用导数研究函数
的单调性、极值、最值
1 [2017山东卷·10,5分,难度★★☆☆☆]
若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中
具有M性质的是
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2
10.(0,1)
e
f(x)=|ex-1|=ቊ
11 [2022全国甲卷·20,12分,难度★★☆☆☆]
已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.