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事件的关系与运算PPT

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事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

问题6
记事件B为“点数为奇数”，事件F为“点数为偶数”， 事件H为“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事 件B和事件F有什么关系？
提示 事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，
且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
知识梳理
事件A与事件B互斥
一般地，如果事件A与事件B不能 同时发生，也就是说A∩B是一个不 可能事件，即 A∩B＝∅ ，则称事 件A与事件B 互斥 (或互不相容)，
跟踪训练3
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A， 显然不互斥； 对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C， 显然不互斥.
课堂小结
1. 知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系. (2)并事件和交事件. (3)互斥事件和对立事件.
2. 方法归纳：列举法、Venn图法.
利用Venn图
借助集合间运算的思想，分析同一 条件下的试验所有可能出现的结果， 把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，
B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击
中目标}，下列关系不正确的是
A.A⊆D
B.B∩D＝∅
包含关系或相等关系
(1)B___⊆___H；(2)D__⊆___J；(3)E__⊆____I；(4)A__＝___G.
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点， 出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
事件A(或事件A包含于事件B)；如果事件B包含事件A，事 件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等.

概率论与统计1-2事件的关系和运算

概率论与统计1-2事件的关系和运算

独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件 下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑 了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全 概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算， 而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事 件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和 为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互 斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事 件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算 出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件 同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某 个事件B已经发生的情况下，另一 个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质， 包括非负性、规范性、可加性等 ，这些性质在概率论和统计中有 着广泛的应用。

随机事件的关系与运算

随机事件的关系与运算
（2）化简左式至右式
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:

事件的关系与运算ppt课件

事件的关系与运算ppt课件

可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集
合表示就是：1,22,3 2 ，即E1 E2 C2 ，这时我们称事件C2
为事件E1和事件E2的交事件。
交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这 个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记故“甲向南”意味着“ 乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}， 事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大 于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}， 事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝ {出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请 举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断 上述哪些事件是和事件.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至 少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3) A B C (4)AB (5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC
A＝B
知识点二 交事件与并事件
观察事件：D1 1,2,3, E1 1,2, E2 2,3
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，

10.1.2事件的关系和运算课件高一下学期数学人教A版

10.1.2事件的关系和运算课件高一下学期数学人教A版
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件， 例如:Ci=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6; D1=“点数不大于 3”; D2=“点数大于3”; E1=“点数为1或2”; E2=“点数为2或3; F=“点数为偶数”; G=“点数为奇数”; 你还能写出这个试验中其他一些事件吗? 请用集合的形式表示这些事件。 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗?
是一级品”为事件A，则A的对立事件是____________________.
答案：至少有一件是二级品
当堂练习
例12．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事 件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲 报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事 件．如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C．(2)B与E. (3)B与 D．(4)B与C． (5)C与E. 解：(1) A与C不是互斥事件．
当堂练习
例5.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明 理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任抽取1 张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时 发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽 出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件 不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点 数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件， 当然不可能是对立事件．

《事件之间的关系与运算》示范公开课教学课件【高中数学】

《事件之间的关系与运算》示范公开课教学课件【高中数学】
（2）从包含的样本点的角度看，A⊆B意味着A的每一个样本点都是B的样本点；
（3）从逻辑的角度看，A⊆B意味着A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件；
新知探究
问题3 如何从多个角度来理解事件的包含关系？
（5）从发生的概率大小的角度看，A⊆B意味着P（A）≤P（B）．
新知探究
事件的相等：如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B ．
归纳小结
问题12 （1）如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？
（2）什么叫做并事件？什么叫做交事件？
（3）什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？
归纳小结
归纳小结
②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
（2）A事件发生且B事件不发生；
（3）A，B两个事件都不发生．
新知探究
设A，B，C表示三个随机事件，请将下列事件用A，B，C表示出来：
（1）A发生，B，C不发生；
（2） A，B都发生，C不发生；
（3）三个事件都发生；
（4）三个事件至少有一个发生；
（5）三个事件都不发生；
（6）不多于一个事件发生．
ABC
①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生．
目标检测
打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1＋A2＋A3表示（ ）
1
B
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发

事件的关系与运算


，任何事件都包括不可能事件。
事件的关系和运算： （2）相等关系 一般地，对事件A与事件B，若 B A且A B ，那么称事件A与事件B 相等，记作A=B 。 如图： BA
例.事件 C1 ={ 出现1 点 }发生，则事件 D1 ={出现的点数不大于 1 } 就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1。
事件的关系和运算： （5）互斥事件 若 A B 为不可能事件（ A B ），那么称事件A与事件B互斥，其含 义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。 如图： A B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
事件的关系和运算： （3）并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 A B(或A B)
如图： B A
A B
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生， 事件C1 ={出现 1 点 } 与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生，则
事件的关系与运算
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={ 出现 1 点 }； C2 ={出现 2 点}； C3 ={ 出现 3 点 }； C4 ={ 出现 4 点 }； C5 ={出现 5 点}； C6 ={ 出现 6 点 }； D={ 出现的点数大于 3 }；E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 }; …… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？ 2. 若事件 C1 发生，则还有哪些事件也一定会发生？ 3. 上述事件中，哪些事件发生会使得 I={出现 1 点或 5 点} 也发生？ 4. 若只掷一次骰子，则事件 C1 和事件 C2 有可能同时发生么？ 5. 在掷骰子实验中事件 G 和事件 H 是否一定有一个会发生？

ch1-1随机事件_事件的关系与运算

, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和

事件的关系和运算

(4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4;
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A

若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB

AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB

事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素

概率论与数理统计 事件间的关系及运算

概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间必然事件空间不可能事件空集基本事件元素随机事件子集a出现必然导致b出现a是b的子集事件a与事件b相等集合a与集合b相等事件a与事件b的差a与b两集合的差集ab事件a与b互不相容两集合中没有相同的元素事件a与事件b的和集合a与集合b的并集ab事件a与事件b的积集合a与集合b的交集思考题则下列命题中正是任意三个随机事件1没有一个是次品
AB
事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
事件A与B互不相容 A与B 两集合中没有 相同的元素
思考题
设 A 、 B 、 C 是任意三个随机事件
确的是（） .
, 则下列命题中正
(A)
(A B) B A B
(B) ( A B ) B A (C) ( A B ) C A ( B C )
(D) A B A B AB
解：
( A B) B ( A B)B
( AB) (B B)
AB A B,
故选 (A).
其余三个答案不对的原因是：
( A B ) B ( A B ) B ( A B )( B B ) A B ； ( A B ) C ( A B )C ( A C ) ( B C ) A C ( B C ) ； A B A B AB A B ( A B、 AB 、 A B 两两互不相容 ).
2. 设一个工人生产了四个零件, A i 表示他生
产的第 i 个零件是正品 ( i 1 , 2 , 3 , 4 ) , 试用 A i 表示
下列各事件: (1)没有一个是次品; (3)只有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (4)至少有三个不是次品;
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A
B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
事件的关系和运算：
（6）互为对立事件 若 A B 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。 如图： A B
3.1.3 事件的关系与运算
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={ 出现 1 点 }； C2 ={出现 2 点}； C3 ={ 出现 3 点 }； C4 ={ 出现 4 点 }； C5 ={出现 5 点}； C6 ={ 出现 6 点 }； D1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D2 ={ 出现的点数大于 3 }； D3 ={ 出现的点数小于 5 }； E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 }; …… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？
如图：
B A B A
例.若事件 M={出现 1 点且 5 点}发生，则 事件 C1 ={出现 1 点} 与事件 C5 ={出现 5 点} 同时发生，则 M C1 C5 .
事件的关系和运算：
（5）互斥事件 若 A B 为不可能事件（ A B ），那么称事件A与 事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不 会同时发生。 如图：
如图：
BA B
A
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生，则 事件C1 ={出现 1 点 }与事件 C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生，则 J C1 C5 .
事件的关系和运算：
（4）交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的交事件（或积事件），记作 A B （或AB ）。
事件的关系和运算：
（2）相等关系 一般地，对事件A与事件B，若 B 事件A与事件B相等，记作A=B 。
A且A B ，那么称
如图：
BA
例.事件 C1 ={ 出现1 点 }发生，则事件 D1 ={出现的点数不大于 1 } 就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1。
事件的关系和运算：
（3）并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 A B 。 （或A B ）
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
事件的关系和运算：
（1）包含关系: （2）相等关系:
BA （或A B)
A=B ( B A且A B)
（3）并事件（和事件）: （4）交事件（积事件）: （5）互斥事件:
A B （或A B ）
A B （或AB ）
A B A B 且 A
是必然事件 B
（6）互为对立事件:
练习：
1.在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关系是什么？ ① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ； ② B1={不及格}，B2={60分以下} ； ③ C1={90分以上}，C2={95分以上}，C3={90分～95分}； ④ D1={60分～80分}，D2={70分～90分}，D3={70分～80分}； 2.判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件。 从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张 ①“抽出红桃”和“抽出黑桃” ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌” ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9”
事件的关系和运算：
（1）包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）, 记作 B A （或A B) 。
如图：
B A
例.事件C1 ={出现 1 点 }发生，则事件 H ={出现的点数为奇数 }也 一定会发生，所以 H C1 . 注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。
反过来可以么？ 2. 若事件 C些事件发生会使得 I={出现 1 点或 5 点} 也发生？ 5. 若只掷一次骰子，则事件 C1 和事件 C2 有可能同时发生么？ 6. 在掷骰子实验中事件 G 和事件 H 是否一定有一个会发生？
4. 上述事件中，哪些事件发生会使得 I={出现 1 点且 5 点 }也发生？