《两平行线之间的距离》习题

【考点训练】平行线之间的距离－1一、选择题（共5小题）1．在同一平面内，直线a ∥c ，且直线a 到直线c 的距离是2；直线b ∥c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离为（ ） A ．3 B ．7 C ．— 3或7D ． 无法确定2．（2013•赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABCD 与S 四边形ECDF 的大小关系是（ ） A ．S 四边形ABDC =S 四边形ECDF B ． S 四边形ABDC ＜S 四边形ECDF。

C ．S 四边形ABDC =S 四边形ECDF +1 D ． S 四边形ABDC =S 四边形ECDF +2(第2题) (第3题) (第4题)3．（2013•黄冈一模）如图，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在A 点，想过水沟来B 点取食，几个学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了四根小木棍，这只蚂蚁通过第（ ）号木棍，才能使从A 到B 的路径最短． A ．1 ~B ．2 C ．3 D ．4 4．（2011•台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a 公尺，宽度均为b 公尺（a ≠b ）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺（ ） A ．20a 、B ．20bC ．×20D ．×205．已知如图直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、D 为直线m 上两点，BC 与AD 交于点O ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．1对 `B ．2对 C ． 3对 D ． 4对(第5题) (第6题) (第7题)二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•郴州模拟）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于O 点，面积相等的两个三角形是 _________（写一组就给满分）．.7．（2009•泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB 、CD 之间的距离是 _________ ． 8．（2003•常州）如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD的面积为16，则△ACE 的面积为 _________ ．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．如图，已知AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ．（1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； （2）如果BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，=，求的值．、~10．（2006•汉川市）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O 作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a 到直线b的距离为（）3B．7C．3或7D．无法确定,A．考点：】平行线之间的距离．分析：分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．解答：解：①，则直线a到直线b的距离为5﹣2=3；②，则直线a到直线b的距离为5+2=7．综上所述，直线a到直线b的距离为3或7．故选C．此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．<点评：2．（2013•赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（）A．S四边形ABDC=S四边形ECDF B．S四边形ABDC＜S四边形ECDF,C．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D．S四边形ABDC=S四边形ECDF+2考点：多边形；平行线之间的距离；三角形的面积．分析：根据矩形的面积公式=长×宽，平行四边形的面积公式=边长×高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．…解答：解：S四边形ABDC=CD•AC=1×4=4，S四边形ECDF=CD•AC=1×4=4，故选：A．点评：此题主要考查了矩形和平行四边形的面积计算，关键是掌握面积的计算公式．3．（2013•黄冈一模）如图，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在A点，想过水沟来B点取食，几个学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了四根小木棍，这只蚂蚁通过第（）号木棍，才能使从A到B的路径最短．】A．1B．2C．3D．4考点：`线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．分析：根据两点之间线段最短，连接AB，过与木棍相交的一根即可．解答：解：如图，连接AB，与2号木棍相交，所以，这只蚂蚁通过第2号木棍，才能使从A到B的路径最短．故选B．点评：本题考查了线段的性质，平行线间的距离相等，是基础题．4．（2011•台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺（）A．20a B．20b C．×20：×20D．考点：平行线之间的距离．专题：计算题．分析：根据两并行线间的距离即为两并行线间的垂线段长，即全部台阶的高度总和；解答：>解：∵一楼地面与二楼地面的距离=全部台阶的高度总和，∴一楼地面与二楼地面的距离为：a×20=20a（公尺）；故选A．点评：本题考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，注意防止无用条件的干扰．5．已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（）B．2对C．3对D．4对A．*1对考点：三角形的面积；平行线之间的距离．'分析：可以根据同底等高三角形面积相等找出2对是S△BDC=S△ACD，S△ACB=S△BCD，再利用面积相等的两个三角形减去同一个三角形的面积所得的三角形面积相等．解答：解：由题意知△BDC与△ACD是同底等高的三角形，∴S△BDC=S△ADC．同理可得：S△ABC=S△ABD．∵S△AOC=S△ACD﹣S△COD S△BOD=S△BDC﹣S△COD S△BDC=S△ADC，∴S△AOC=S△BOD．∴共有3对面积相等的三角形．故选C．点评：，利用三角形面积公式得出同底等高的三角形面积相等，关键是利用面积的加减法．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•郴州模拟）如图，AB∥CD，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是△ABC与△ABD（写一组就给满分）．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：开放型．分析：]根据平行线间的距离相等以及等底等高的三角形的面积相等解答．解答：解：∵AB∥CD，∴AB、CD间的距离相等，∴△ABC与△ABD面积相等，△ACD与△BCD面积相等，∴△AOD与△BOC的面积也相等．故答案为：△ABC与△ABD（答案不唯一，三组中的任意一组都可以）．点评：本题考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形的面积相等．!7．（2009•泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是3．考点：平行线之间的距离．专题：网格型．分析：本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．解答：【解：由图可知，∵AB、CD为小正方形的边所在直线，∴AB∥CD，∴AC⊥AB，AC⊥CD，∵AC的长为3个小正方形的边长，∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．故答案为：3．点评：此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．$8．（2003•常州）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE 的面积即可．解答：解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，#在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4．则△ACE的面积=×4×4=8．点评：主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）？9．如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O．（1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，=，求的值．考点：三角形的面积；平行线之间的距离．专题：探究型．分析：（1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过A作AH1⊥BC，DH2⊥BC，垂足H1、H2，由平行线间的距离相等可知AH1=DH2，再由三角形的面积公式即可得出S△ABC=S△DBC；…（2）由BE⊥AC，CF⊥BD，S△ABC=S△DBC，再根据三角形的面积公式可知AC×BE=DB×CF，进而可得出结论．解答：解：（1）△ABC与△DBC，△ADB与△ADC，△AOB与△DOC．过A作AH1⊥BC，DH2⊥BC，垂足H1、H2，…（1分）∵AD∥BC，（已知），∴AH1=DH2（平行线间距离的意义）．…（1分）∵S△ABC=BC×AH1，S△DBC=BC×AH2，（三角形面积公式），…（1分）∴S△ABC=S△DBC．…（1分）（2）∵BE⊥AC，CF⊥BD，（已知）∴S△ABC=AC×BE，S△DBC=DB×CF（三角形面积公式）．…（1分）—∵S△ABC=S△DBC，∴AC×BE=DB×CF．…（1分）∴AC×BE=DB×CF，∴=．∵=，∴=．…（1分）点评：本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的三角形面积相等；—②两平行线之间的距离相等．10．（2006•汉川市）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：新定义．分析：（1）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD 的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”．解答：解：（1）因为OE∥AC，所以S△AOE=S△COE，所以S△AOF=S△CEF，又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．点评：能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“好线”的概念．。

《两条平行线间的距离》基础训练一、选择题1．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm 2．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度3．在同一平面内的三条直线a，b和c，如果a∥b，a与b的距离是2cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2cm，那么b与c的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不一定4．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD 的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动5．平行线之间的距离是指（）A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度二、填空题6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a 与c之间的距离为．7．已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为．8．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AD与BC之间的距离为cm．9．如图，直线a∥b，A，C是直线a上的两点，B，D是直线b上的两点，AB⊥b，若要使AB=CD，可添加一个条件．10．两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是．《两条平行线间的距离》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm 【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．【解答】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．故选：C．【点评】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．2．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．【解答】解：由图可得，a∥b，AP⊥a，∴直线a与直线b之间的距离是线段PA的长度，故选：A．【点评】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．3．在同一平面内的三条直线a，b和c，如果a∥b，a与b的距离是2cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2cm，那么b与c的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不一定【分析】分为三种情况：画出符合条件的图形，即可得出答案．【解答】解：①如图1，当直线a和直线c重合时，符合已知条件；②如图2，直线a和直线c相交；③如图3，直线c和直线a平行；即不能确定，故选项A、B、C都错误，选项D正确；故选：D．【点评】本题考查了平行线、相交线、两平行线之间的距离，点到直线的距离的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．4．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD 的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动【分析】根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD 的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．【解答】解：设平行线AB、CD间的距离为h，=CD•h，则S△PCD∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选：C．【点评】本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．5．平行线之间的距离是指（）A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度【分析】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．【解答】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．故选：B．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．二、填空题6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a 与c之间的距离为7cm或1cm．【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当b在a、c时；②c在b、a之间时．【解答】解：①如图1，当b在a、c之间时，a与c之间距离为3+4=7（cm）；②如图2，c在b、a之间时，a与c之间距离为4﹣3=1（cm）；故答案是：7cm或1cm．【点评】此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．7．已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为2或8．【分析】分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．【解答】解：①，则直线a到直线b的距离为5﹣3=2；②，则直线a到直线b的距离为5+3=8．故答案为2或8．【点评】此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．8．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AD与BC之间的距离为3 cm．【分析】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AD与BC之间的距离为3cm．【解答】解：∵四边形是矩形，∴BC⊥AB．AB的长就是AD与BC之间的距离．即AD与BC之间的距离为3cm．故答案为3．【点评】本题主要考查了平行线间的距离的定义，比较简单．9．如图，直线a∥b，A，C是直线a上的两点，B，D是直线b上的两点，AB⊥b，若要使AB=CD，可添加一个条件CD⊥b．【分析】根据平行线之间的距离处处相等即可得到结论．【解答】解：∵直线a∥b，AB⊥b，∵AB=CD，∴AB∥CD，∴CD⊥b，故答案为：CD⊥b．【点评】本题考查了平行线之间的距离，平行线的性质，熟知平行线之间的距离处处相等是解题的关键．10．两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是两条平行线间的距离相等．【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线间的距离相等；进而解答即可．【解答】解：两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是两条平行线间的距离相等，故答案为：两条平行线间的距离相等．【点评】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是两条平行线间的距离相等．。

平行线间的距离例题
平行线是同一平面内不相交的两条线。

在平面几何中，我们经常需要计算平行线之间的距离。

下面是一个关于平行线间距离的例题。

例题：已知两条平行线L1和L2，L1上有一点P，L2上有一点Q。

设点P到直线L2的距离为d，求点Q到直线L1的距离。

解题思路：首先，我们需要知道平行线之间的距离定义。

在同一平面内，两条平行线之间的距离是它们之间的任意一条垂线的长度。

因此，我们可以先通过点P和直线L2构造垂线L3，然后计算L3的长度d。

接下来，我们需要构造点Q到直线L1的垂线L4，然后计算L4的长度即可。

步骤如下：
1. 构造垂线L3：从点P向直线L2作垂线L3。

2. 计算L3的长度：根据勾股定理，L3的长度等于线段PQ的长度乘以sinθ，其中θ为直线L1和L2的夹角，而线段PQ与直线L1和L2平行，因此θ可由线段PQ和直线L1的斜率求得，即：θ = arctan(k1) - arctan(k2)
其中，k1和k2分别为直线L1和L2的斜率。

3. 构造垂线L4：从点Q向直线L1作垂线L4。

4. 计算L4的长度：同样利用勾股定理，L4的长度可表示为线段PQ的长度乘以cosθ，即：
L4 = PQ*cosθ
5. 得出结果：将步骤2和步骤4中计算出的距离代入公式，即
可得到点Q到直线L1的距离：
d(Q,L1) = d*sinθ = PQ*cosθ*sinθ
这样，我们就成功地求出了点Q到直线L1的距离。

需要注意的是，如果两条直线不在同一平面内，则无法计算它们之间的距离。

同时，在实际应用中，我们也可以利用向量或矩阵的方法来求解平行线之间的距离。

人教A 版两条平行直线间的距离精选课时练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线1:10l axy +-=与直线2:10l x ay++=平行，则两平行线间的距离为（ ） A ．1BC ．2D ．2．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( ) A ．4B ．5C ．D 3．已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12l l //，则12,l l 之间的距离为（） AB C D 4．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是（ ） A ．3450x y -+= B ．3450x y --= C ．3450x y +-=D ．3450x y ++=5．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122a by cx ax by cδ++=++，下面四个命题中的假命题为（ ）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交； 6．到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（ ） A ．两条直线B ．四条直线C ．四条射线D ．八条射线7．已知曲线221:430C x y y +-+=与y 轴交于A ，B 两点，P 为2:10C x y --=上任意一点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．2B ．25C ．22D ．48．已知直线 310x y +-=与直线2330x my ++=平行，则它们之间的距离是( ) A ．1B ．54C ．3D ．49．已知直线1:34120l x y +-=，2:68110l x y ++=，则1l 与2l 之间的距离为（ ） A ．235B ．2310C ．7D ．7210．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( ) A ．4B ．21313C ．51326D ．7102011．与直线210x y +-=的距离等于5的直线方程为（ ） A ．20x y +=B ．220x y +-=C ．20x y +=或220x y +-=D ．20x y +=或220x y ++=12．与直线2x +3y –6=0关于点（1，–1）对称的直线方程是（ ） A ．2x +3y +8=0 B ．2x +3y +7=0 C ．3x –2y –12=0D ．3x –2y +2=013．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-14．直线3x +4y +5=0与直线3x +4y –5=0的距离为 A ．2 B ．3 C ．4D ．515．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =-正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．过点(3,4)A 且与点(3,2)B -的距离最大的直线l 的方程为（ ） A ．3130x y --= B ．3130x y -+= C ．3130x y +-=D ．3130x y ++=17．x 轴上的点到A (2，1)，B (-2，2)两点距离的和最小值为() A ．3B ．17C ．5D ．1718．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是5，则m +n =( ) A ．0B ．1C ．-2D ．-119．若动点，11(,)A x y ，22(,)B x y 分别在直线1:110l x y +-=和2:10l x y +-=上移动，则AB 的中点M 所在直线的方程为（ ） A ．60x y --= B ．60x y ++= C ．60x y -+= D ．60x y +-=评卷人 得分二、填空题20．如图，平面上两点(0,1),(3,6)P Q ，在直线y x =上取两点,M N 使2MN =，且使PM MN NQ ++的值取最小，则N 的坐标为____________．21．过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 斜率为_______________22．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =_____，1l 与2l 之间的距离为___23．在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“折线距离”.则原点()0,0O 与直线50x y +-=上一点(),P x y 的“折线距离”的最小值是________.24．直线1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α=__________． 25．已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________26．直线l 1：x +y +1=0与直线l 2：x +y +3=0的距离是__________．27．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为_______. 28．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为__________． 29．已知直线3420x y+=-与直线680x y a -+=的距离为1，则实数a =_____________30．已知直线3x+4y ﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____． 31．两平行直线1l ：3450x y +-=和2l ：34150x y +-=间的距离为________. 评卷人 得分三、解答题32．已知△ABC 的边AB 所在直线方程为y ＝3x ，BC 所在直线方程为y ＝ax +12，AC 边上的高BD 所在直线方程为y ＝﹣x +8． （1）求实数a 的值；（2）若AC 边上的高BD 22=，求边AC 所在的直线方程．33．已知()()0448.A B -，、，两点 (1)求过AB 中点，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程； (2)求过原点，且A 、B 两点到该直线距离相等的直线m 的方程. 34．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程；（2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 35．如图，公路AM AN 、围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan 2α=-，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM AN 、的距离分别为3,5km km ，现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园.（1）以A 为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P 点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC 的面积恰为215km ，求公路BC 所在直线方程.36．已知直线l ：20x --=.（1）若直线1l 的倾斜角是l 倾斜角的两倍，且l 与1l 的交点在直线20x y --=上，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 与直线l 平行，且2l 与l 的距离为3，求直线2l 的方程．37．直线l 经过两直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且与直线1l ：60x y +-=平行.（1）求直线l 的方程；（2）若点(,1)P a 到直线l 的距离与直线1l 到直线l 的距离相等，求实数a 的值. 38．设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=. （1）若1l ∥2l ，求1l 、2l 之间的距离；（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线2l 的方程. 39．已知三点(2,0)A -，(4,4)B -，(0,2)C ，D 是BC 中点． （1）求直线AD 的方程；（2）求过C 与AB 垂直的直线方程．40．已知直线l 1：x+my+1=0和l 2：（m-3）x-2y+（13-7m ）=0． （1）若l 1⊥l 2，求实数m 的值； （2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离d ．41．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-20k +≤≤时，求折痕长的最大值.42．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l =≤所表示的图形的面积为多少？（3）求到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}C P d P l d P l ==，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中1l AB =，2l CD =，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --.43．已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标. 44．足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线l ，已如球门两根立柱的坐标分别为()30A -，，()30B ，，直线l 过两点()2020-，-，()1025--，．球场的长度、宽度分别100，60（单位：米）．现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点P 表示，（1）若以攻方队员与球门中心O （O 为坐标原点）的距离最近为标准，求点P 的坐标； （2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即APB ∠最大）为标准，求点P 的坐标． （结果保留一位小数）45．已知矩形的四个项点()00A ，，()20B ，，()21C ，和()01D ，，光线从边AB （不含A B ，）上一点()000P x ，沿与AB 的夹角θ的方向射到边BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）． （1）若01x =，3arctanθ=，求直线01P P 与23P P 的距离； （2）设4P 的坐标为()40x ，，若01x =，且()401x ∈，，求θ的取值范围；（3）设光线第()n n N ∈次反射时的入射点为n P ．证明：若1arctan2θ=，则()01234n P n =，，，，…必按AB BC CD DA AB -----…的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线1n n P P +，12n n P P ++，23n n P P ++，34n n P P ++()n N ∈围成的四边形面积的取值范围．46．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB BO ==，AB BO ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程；（2）若OMP V 的面积为OMP S V ，求()OMP f k S =V 的表达式；（3）若S 为AMN V 的面积，问是否存在实数m ，使得关于S 的不等式()212S m S ≥-有解，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．47．已知直线:21l y x =+，及两点A (-2,3)、B (1,6),点P 在直线l 上.(1)若点P 到A 、B 两点的距离相等,求点P 的坐标； (2)求PA PB +的最小值.48．已知平面内两点()()2,2,4,4M N -。

平行线间的距离练习题高二在平面几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

研究平行线之间的距离是我们学习几何的重要内容之一。

本文将介绍一些高二水平的平行线间距离练习题，帮助大家更好地理解和掌握相关知识。

练习题一：已知AB // CD，AB = 8cm，BD = 5cm，求AC的长度。

解析：由于AB与CD平行，根据平行线的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。

通过观察可以发现，AB与CD之间以及AD与BD之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：AB/AC = BD/CD。

将已知值代入，得到8/AC = 5/(AC + 8)。

通过求解这个方程可以求得AC的值。

练习题二：已知EF // GH，GE = 4cm，GF = 12cm，求GH的长度。

解析：由于EF与GH平行，根据平行线的性质，三角形GEF与三角形GHF相似。

观察可以发现，GE与GH之间以及GF与HE之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：GE/GH = GF/HE。

将已知值代入，得到4/GH = 12/(HE + 4)。

通过求解这个方程可以求得GH的值。

练习题三：在平行线AB和CD之间，AB = 10cm，CD = 16cm，点E在CD上，而且AE = 4cm，连接BE，求BE的长度。

解析：根据题目描述，可得出三角形ABE与三角形CDE相似。

观察可以发现，AB与CD之间以及AE与DE之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：AB/BE = CD/DE。

将已知值代入，得到10/BE = 16/(DE + 4)。

通过求解这个方程可以求得BE的长度。

练习题四：已知平行线AB与CD之间的距离为6cm，点E在CD 上，且AE = 3cm，连接BE，求BE的长度。

解析：根据题目描述，可得出三角形ABE与三角形CDE相似。

观察可以发现，AB与CD之间以及AE与DE之间的线段可以构成一组相似三角形。

初一数学下册知识点《平行线之间的距离150题及解析》一、选择题（本大题共42小题，共126.0分）1.如图，a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为重足，则下列说法错误的是（）A. CE//FGB. CE＝FGC. A、B两点的距离就是线段AB的长D. 直线a、b间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】略.2.如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）A. S1＞S2B. S1＜S2C. S1=S2D. S1=2S2【答案】C【解析】解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选：C．根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．3.如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（）A. 线段AB的长度B. 线段CD的长度C. 线段EF的长度D. 线段GH的长度【答案】B【解析】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度是直线a，b之间距离，故选：B．根据平行线间的距离的定义，可得答案．本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．4.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：∵AE∥BD，∴S△ABD=S△BDE，∵DE∥BC，∴S△BDE=S△EDC，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴与△ABD面积相等的三角形有3个，故选：C．【分析】根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( )A. ABB. ADC. CED. AC【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线之间的距离，熟记定义是解题的关键；根据平行线之间的距离的定义解答即可．【解答】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，故选B．6.到直线l的距离等于2cm的点有（） .A. 1个B. 2个C. 3 个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离，平行线之间的距离.根据平行线之间的距离的定义进行解答即可．【解答】解：∵两条平行线间的距离相等，∴到直线L的距离等于2cm的点有无数个，故选D．7.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A. 等于7B. 小于7C. 不小于7D. 不大于7【答案】D【解析】【分析】当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的距离为PA+PB．本题考查了平行线之间的距离．解题的难点是找到直线a、b之间的最短距离．【解答】解：如图，当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的最短，所以直线a、b之间的距离≤PA+PB=3+4=7．即直线a、b之间的距离不大于7.故选D.8.如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（）①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】解：∵点A、B为定点，∴线段AB的长为定值；∵直线l∥AB，∴直线l到线段AB的距离为定值，∴△PAB的面积为定值．∴不会随点P的移动而变化的是①③．故选：A．由点A、B为定点可得出线段AB的长为定值；由直线l∥AB可得出△PAB的面积为定值．综上即可得出结论．本题考查了三角形的面积以及平行线之间的距离，由点A、B为定点结合直线l∥AB，找出不变的量是解题的关键．9.如图，，A,B为直线上两点，C、D为直线上两点，则△ACD与△BCD的面积大小关系是（）A. B.C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了平行线之间的距离，以及三角形的面积，关键是掌握平行线之间的距离相等．首先过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，根据平行线之间的距离相等可得AM=BN，再根据同底等高的三角形面积相等可得答案．【解答】解：过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，∵l1∥l2，∴AM=BN，∴S△ACD=S△BCD．故选B．10.如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是（）A. 10cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm【答案】B【解析】解：∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，∠CGF+∠FGD=180°，∴∠HGF+∠FGI=90°，∵HG=15cm，GI=20cm，HI=25cm，∴△HGI的边HI的高=，即直线AB与直线CD之间的距离是12，故选：B．根据角平分线得出∠HGI=90°，利用直角三角形的面积公式解答即可．此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据直角三角形的面积公式解答．11.在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A. 1cmB. 3cmC. 5cm或3cmD. 1cm或3cm【答案】C【解析】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4-1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．故选：C．分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．12.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（） .A. CE∥FGB. CE=FGC. A，B两点的距离就是线段AB的长D. 直线a、b间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行线之间的距离的定义以及两点之间的距离的定义，熟练掌握相关定义是解题关键，根据垂线的性质以及两点之间的距离定义以及两直线之间的距离定义分别分析得出即可.【解答】解：A.∵CE⊥b，FG⊥b，∴FG∥CE，故本选项正确，不符合题意；B.∵CE⊥b，FG⊥b，且a∥b，由平行线间的距离处处相等，∴CE=FG，故此选项正确，不符合题意；C.∵A、B两点的距离就是线段AB的长，此选项正确，不符合题意；D.根据题意CD与直线a、b不垂直，直线a、b间的距离不是线段CD的长，故此选项错误，符合题意．故选D.13.如图，，，，那么图中与面积相等的三角形（不包括）有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴△ABC与△ABD的面积相等，∵AE∥BD，∴△ABD与△EBD的面积相等∵ED∥BC，∴△BED与△EDC的面积相等，∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，EDC共3个．故选C．14.如图，直线AB∥CD，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将A. 变小B. 变大C. 不变D. 变大变小要看点P向左还是向右移动【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．【解答】解：设平行线AB、CD间的距离为h，则S△PCD=CD•h，∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选C.15.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是【】A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．【解答】解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．16.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）A. 4B. 5C. 9D.【答案】B【解析】【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积.此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键.【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点.∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B.17.已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（）A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. .不能确定【答案】C【解析】解：有两种情况：如图（1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；（2）直线a与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米；故选：C．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．18.到直线的距离等于2cm的点有（）A. 0个B. 1个C. 无数个D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离，平行线之间的距离.根据平行线之间的距离的定义进行解答即可.【解答】解：∵两条平行线间的距离相等，∴到直线L的距离等于2cm的点有无数个.故选C.19.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A【解析】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选：A．根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．20.如图所示，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（）A. CD＞CEB. A、B两点间的距离就是线段AB的长C. CE=FGD. l1、l2间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】解：A、∵l1∥l2，CE⊥l1，∴CD＞CE，故本选项说法正确；B、∵AB是线段，∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项说法正确；C、∵l1∥l2，CE⊥l1，FG⊥l2，∴CE=FG，故本选项说法正确；D、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项说法错误．故选：D．根据垂线段最短、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键．21.如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A'B'C'，点P是直线AA'上任意一点，若△ABC，△PB'C'的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是( )A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. S l＝2S2【答案】C【解析】【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．【解答】解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选C．22.某公司员工分别住在A，B，C，D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）A. D区B. A区C. A，B两区之间D. B，C两区之间【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键.根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解答.【解答】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m，∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间.故选D.23.定义：直线a与直线b相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线a与直线b的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线a、b的距离分别为1、2．由于到直线a 的距离是1的点在与直线a平行且与a的距离是1的两条平行线、上，到直线b的距离是2的点在与直线b平行且与b的距离是2的两条平行线、上，它们有4个交点，即为所求．【解答】解：如图，∵到直线a的距离是1的点在与直线a平行且与a的距离是1的两条平行线、上，到直线b的距离是2的点在与直线b平行且与b的距离是2的两条平行线、上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是、、、，一共4个．故选D．24.如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点. 对于下列各值：①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数其中不会随点P的移动而变化的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线之间的距离，三角形的周长和面积公式.，A,B为定点从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；根据平行线间的距离相等确定出点P到AB的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据角的定义④判断出变化。

点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx . 由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。

2.3.4 两条平行直线间的距离课时对点练1．平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＋10＝0的距离等于( )A ．1B ．0C.10D ．3★lx 资源-[答案]A★lx 资源-[解析]l 1，l 2的距离为d ＝|10－0|32＋12＝1.2．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213B.113C.126D.526★lx 资源-[答案]C★lx 资源-[解析]5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.3．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是() A ．4B.21313 C.51326 D.71326★lx 资源-[答案]D★lx 资源-[解析]因为3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m ，所以m ＝4.直线6x ＋4y ＋1＝0可以转化为3x ＋2y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪12－(－3)32＋22＝7213＝71326.4．(多选)到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程可能为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0 D.2x ＋y ＋2＝0★lx 资源-[答案]CD★lx 资源-[解析]因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55， 所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则d ＝|c －1|22＋12＝55， 解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．(多选)若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则m ＋n 的可能值为( )A ．3B ．－17C ．－3D ．17★lx 资源-[答案]AB★lx 资源-[解析]由题意，n ≠0，－2n ＝12，所以n ＝－4， 所以l 2：2x －4y －6＝0，即x －2y －3＝0， 由两平行直线间的距离公式得|m ＋3|12＋(－2)2＝25， 解得m ＝7或m ＝－13，所以m ＋n ＝3或m ＋n ＝－17.6．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]由题意知，直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行， 则3＝a (a －2)，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝3时，直线l 1：x ＋3y ＋6＝0与l 2：x ＋3y ＋6＝0重合；当a ＝－1时，直线l 1：x －y ＋6＝0与l 2：x －y ＋23＝0平行， 两直线之间的距离为⎪⎪⎪⎪6－232＝823.7．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________．★lx 资源-[答案]x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0★lx 资源-[解析]易知l 1∥l 2，且它们之间的距离d ＝|2－(－3)|2＝522. 设所求直线为l 4，则l 4∥l 3，所以可设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， 解得c ＝0或－10，所以所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.8．若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2恒过定点______，l 1与l 2的距离的最大值是______．★lx 资源-[答案](4,5) 4 2★lx 资源-[解析]∵直线l 1：y ＝kx ＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l 2恒过定点(4,5)，∴l 1与l 2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为(4－0)2＋(5－1)2＝4 2. 9．(1)求平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P ( －1,0)的距离是3105的直线方程． 解 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由题意知|m ＋2|32＋42＝1， 解得m ＝3或－7，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.(2)设所求直线方程为3x －y ＋c ＝0，由题意，可得点P 到直线的距离等于3105，即d ＝|－3＋c |10＝3105， 解得c ＝9或c ＝－3，所以所求直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.10．设直线l 1：x －2y －1＝0与l 2：(3－m )x ＋my ＋m 2－3m ＝0.(1)若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离；(2)若直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l 2的方程． 解 (1)若l 1∥l 2，则m ≠0，∴12＝－3－m m，∴m ＝6， ∴l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －6＝0，∴l 1，l 2之间的距离d ＝51＋4＝ 5.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ＞0，∴0＜m ＜3， 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S ＝12m (3－m )＝－12⎝⎛⎭⎫m －322＋98， ∴当m ＝32时，S 的最大值为98， 此时直线l 2的方程为2x ＋2y －3＝0.11．已知直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为( )A.22 B. 2 C.22或 2 D ．0或 2★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]∵直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等， ∴m ＋4m ＝m ＋42，∴m ＝2，∴直线l 1：2x ＋2y －4－2＝0，即x ＋y －3＝0，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为|－1＋3|2＝ 2. 12．(多选)两条平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为 ( )A ．1B ．3C ．5D ．7★lx 资源-[答案]ABC★lx 资源-[解析]当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．13．直线l 1，l 2分别过点M (1,4)，N (－3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d 的最大值是( )A ．5B ．4C.13D ．3★lx 资源-[答案]A★lx 资源-[解析]根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l 1∥l 2，且l 1⊥MN ，l 2⊥MN 时，l 1与l 2之间的距离为|MN |；当l 1∥l 2，但是l 1与MN 不垂直，l 2与MN 不垂直时，过M 点向l 2引垂线，垂足为P ，则l 1与l 2之间的距离为|MP |；因为|MN |>|MP |，所以d max ＝|MN |＝[1－(－3)]2＋(4－1)2＝5.14．若某直线被两平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则该直线的倾斜角大小为________．★lx 资源-[答案]15°或75°★lx 资源-[解析]由两平行直线的距离公式，可得直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0的距离为d ＝|3－1|2＝2，又直线被两平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，即该直线与直线l 1所成角为30°，又直线l 1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.15.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l 2的方程为_______________．★lx 资源-[答案]x ＋y －3＝0★lx 资源-[解析]设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b ,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离，故h ＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， 所以b 2＝9，b ＝±3.又b >1，所以b ＝3.所以所求直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.16．已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1和l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．解 (1)l 2的方程即为2x －y －12＝0，∴l 1和l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a >0，∴a ＝3. (2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1和l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116. ∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0. 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，得 |2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵点P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不符合题意．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝－3，y 0＝12，应舍去． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝19，y 0＝3718. 所以P ⎝⎛⎭⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。

《两平行线之间的距离》课时作业：一、选择题1、两平行线的公垂线段有几条（ ） A. 1 B. 2 C. 无数条 D .都不对2、如图，a ∥b ，AD ⊥b ，则直线a 与b 的距离为（ ）A. 线段AD ；B. 线段AB ；C. 线段AC ；D. 线段AD 的长度3、已知直线m ∥n ，点A 在m 上，点B 、C 、D 在n 上，且AB=4 cm ，AC=5 cm ，AD=6 cm ，则m 、n 之间的距离是（ ）A. 等于5 cm ；B. 等于6 cm ；C. 等于4 cm ；D. 小于或等于4 cm ；4、如图，直线AB ∥CD ，若三角形ACO 的面积是3cm 2，三角形AOB 的面积是12cm 2，则三角形ABD 的面积是（ ） A. 3cm 2； B. 9cm 2； C. 12cm 2； D. 15cm 2；5、下列说法正确的个数是（ ）（1）两点之间线段最短；（2）点与直线间垂线段最短；（3）两平行线间公垂线段最短；（4）两平行线间公垂线段都相等。

A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题 1、设直线a 、b 、c 是三条平行直线。

已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为6cm ，则a 与c 的距离是 。

2、如图，AD ∥BF ，C 点在BF 上，且BC=CF ，S △ABC =4cm 2，则S △DEF = . 3、把直线l 沿某一方向平移3cm ，得到平移后的直线b ，则直线l 与直线b 之间的距离是 。

4、如图，DF ∥AE ，AD ∥BC ，CDCF=21，若三角形CEF的面积是10，则四边形ABCD 的面积是 。

三、解答题 1、如图，DE ∥BC ，AF ⊥DE 于G ，DH ⊥BC 于H ，且AG=4cm ，DH=4cm ，试求点A 到BC 的距离。

2、如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC=15cm ，BC=12cm ，BE ⊥AC 于E ， 求AD 与BC 之间的距离。

《两条平行线间的距离》提高训练一、选择题1．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于72．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S 为（）△ACDA．10B．9C．8D．73．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（）A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 4．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm5．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（）A．等于4cm B．小于4cmC．大于4cm D．小于或等于4cm二、填空题6．已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是cm．7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为．8．已知直线l1、l2、l3互相平行，直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，那么直线l1与l3的距离是．9．两条平行线间的所有线段都相等．10．直线a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为．三、解答题11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．13．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段AC，BD的长短．14．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．15．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？《两条平行线间的距离》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于7【分析】当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的距离为PA+PB．【解答】解：如图，当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的最短，所以直线a、b之间的距离≤PA+PB=3+4=7．即直线a、b之间的距离不大于7．故选：D．【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的难点是找到直线a、b之间的最短距离．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S 为（）△ACDA．10B．9C．8D．7【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高的值．相等，从而可以得到S△ACD=10cm2，【解答】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S=10cm2，△ACD故选：A．【点评】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．3．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（）A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3=2（cm）；如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线之间的距离，分类讨论是解决问题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．4．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm【分析】过A作AD⊥BF于D，依据∠ABD=45°，AD=12，可得AB==12，再根据Rt△ABC中，∠C=30°，可得AC=2AB=24．【解答】解：如图，过A作AD⊥BF于D，∵∠ABD=45°，AD=12，∴AB===12，又∵Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB=24，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．5．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（）A．等于4cm B．小于4cmC．大于4cm D．小于或等于4cm【分析】分两种情况：如图（1）、如果直线与水平方向垂直，则直线a与直线b之间的距离为4cm；如图（2）、如果直线a与水平方向不垂直时，直线a与直线b之间的距离小于4cm．【解答】解：根据两平行线间的距离的定义，4cm可以是直线a与直线b距离，也可以不是；故选：D．【点评】本题考查了直线的平移与平行线的距离，注意要分类讨论．二、填空题6．已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是10或6cm．【分析】直接利用平行线之间的距离分情况得出答案．【解答】解：如图所示：∵AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，∴AB与EF的距离是：8+2=10（cm）或8﹣2=6（cm）．故答案为：10或6．【点评】此题主要考查了平行线之间的距离，正确分类讨论是解题关键．7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为6cm或2cm．【分析】如图为两种情况：当M在a、b之间时，求出直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm；当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm，求出即可．【解答】解：分为两种情况：当M在a、b之间时，如在M′点时，直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm=6cm；当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm=2cm；故答案为：6cm或2cm．【点评】本题考查了平行线之间的距离的应用，题目比较好，是一道比较容易出错的题目，注意要分类讨论．8．已知直线l1、l2、l3互相平行，直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，那么直线l1与l3的距离是2cm或10cm．【分析】根据题意，分两种情况：（1）直线l1与l3在直线l2的同一侧；（2）直线l1与l3在直线l2的异侧；然后根据直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，求出直线l1与l3的距离即可．【解答】解：①当直线l1与l3在直线l2的同一侧时，l1与l3的距离是：6﹣4=2（cm）．②当直线l1与l3在直线l2的异侧时，l1与l3的距离是：6+4=2（cm）．综上，直线l1与l3的距离是10cm或2cm．故答案为：10cm或2cm．【点评】此题主要考查了平行线之间的距离，以及分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．9．两条平行线间的所有公垂线段都相等．【分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长叫做平行线之间的距离”可知：在两条平行线之间再画几条和平行线垂直的线段，这些线段的长度都相等；据此判断即可．【解答】解：两条平行线间的所有公垂线段都相等，故答案为：公垂．【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用．10．直线a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为7厘米或3厘米．【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：5+2=7（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：5﹣2=3（厘米）．【解答】解：应分两种情况：①如图：a与c的距离为：5+2=7（厘米）；②如图：a与c的距离为：5﹣2=3（厘米）．综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米．故答案为：7厘米或3厘米．【点评】本题主要考查了平行线之间的距离．注意本题应分两种情况考虑．三、解答题11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．【分析】因为，三条平行线之间的距离相等，所以它们截任意一条直线所得的线段相等，根据平行线等分线段定理，连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE 交于点M，作射线CM交AB于点O即可．【解答】解：作法：1．过点A任意作一条直线AC交第三条直线于点C，交第二条直线于点D，2．连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O，则点O就是要求作的点．【点评】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是掌握平行线等分线段定理得意义与应用．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】作线段a垂直于直线l，再过线段a的另一个端点作直线l的平行线m，直线m即为所求．【解答】解：两条．如图所示：同理在l的另一侧还可以做一条，故一共可以作两条直线m．【点评】本题考查了平行线之间的距离，属于作图题，关键是掌握平行线之间的距离相等．13．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段AC，BD的长短．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）根据平行线间的距离即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC⊥a，BD⊥a，∴AC∥BD；（2）∵a∥b，AC⊥a，BD⊥a，∴AC=BD．【点评】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．14．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．【分析】利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．【解答】解：由题意得，AB•AD=24，∵AB=6cm，∴6•AD=24，解得AD=4cm，∴AB与CD之间的距离是4cm．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，长方形的面积公式，是基础题，熟记概念与公式是解题的关键．15．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？【分析】根据等角的补角相等求出∠AEF=∠DEG，再根据角平分线的定义可得∠FEH=∠GEH，然后求出∠AEH=90°，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义解答．【解答】解：∵AB∥EF，CD∥EG，∴∠AEF+∠A=180°，∠DEG+∠D=180°，∵∠A=∠D，∴∠AEF=∠DEG，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH，∴∠AEF+∠FEH=×180°=90°，即∠AEH=90°，∴EH⊥AB，∴线段EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并求出EH⊥AB是解题的关键．。

《两条平行线之间的距离》
1.设直线a、b、c是三条平行直线.已知a与b的距离为4厘米，b与c的距离为6厘米，求a与c 的距离.(提示：画图思考，c的位置是否有两种可能)
2.如图2：m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB，过A点可以向直线n作__________条线段，其中垂线段AC的垂足为C，则AC与AB的长度关系为___________，那么，AC就是平行线m、n间的___________；在直线m、n间可以作________条公垂线段，这些公垂线段都_ _________.
3.如右图AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1=∠2.在括号里填理由.
∵AB⊥MN，CD⊥MN
∴∠ABM=∠CDM=_____________°
又∵∠1=∠2( )
∴∠ABM－∠1=∠CDM－∠2 ( )
即∠EBM=∠FDM
4.如图3，(1)已知AD∥BC，可以得出哪些角相等？
(2)已知AB∥CD，可以得出哪些角相等？
(3)已知∠3=∠8，可以得出哪两条直线平行，其根据是.
5.已知AD∥EF，∠F=78°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？
6.已知CD⊥OA，EF⊥OA，∠CMB=60°求∠1的度数.
7.已知AB∥CD，FG是∠EFD的平分线，∠EFD=40°求∠FGB的度数.
8.已知：∠ABC=90°，∠1=∠2=62°，BO⊥AC，
(1)求证AB∥OD
(2)求证：OD⊥BC。

第三章直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离A级基础巩固一、选择题1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．32 B.22C．3 D.3222．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是()A．0<d≤3 B．0<d≤5C．0<d<4 D．3≤d≤53．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为25，则c 的值为()A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－114．已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a ＝()A. 2 B．2－ 2C.2－1D.2＋15．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0二、填空题6．点P(2，4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．7．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是____________．8．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．三、解答题9．求经过点(1，3)且与原点距离是1的直线l的方程．10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.B级能力提升1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是() A．3 2 B．2 3C．3 3 D．4 22．直线x＝1上一点P到直线4x＋3y＝0的距离为25，则点P的坐标是________．3．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1，5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．参考答案第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离A 级 基础巩固一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．32 B.22 C ．3 D.322解析：点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1－1×（－1）＋1|12＋（－1）2＝322.答案：D2．两平行线分别经过点A (3，0)，B (0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0<d ≤3B ．0<d ≤5C ．0<d <4D ．3≤d ≤5解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.答案：B3．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则c 的值为( )A ．9B ．11或－9C ．－11D ．9或－11解析：在x －2y －1＝0上取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，则|1－c |1＋4＝25，解得c ＝－9或c ＝11.答案：B4．已知点A (a ，2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又因为a >0，所以a ＝2－1. 答案：C5．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：由已知可知，l 是过点A 且与AB 垂直的直线，因为k AB ＝2－4－3－3＝13，所以k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 答案：C 二、填空题6．点P (2，4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝3.答案：37．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是____________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0.8．分别过点A (－2，1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．解析：两直线方程分别是x ＝－2和x ＝3，故两条直线间的距离d ＝|－2－3|＝5.答案：5 三、解答题9．求经过点(1，3)且与原点距离是1的直线l 的方程． 解：当l 的斜率不存在时，方程为x ＝1，满足与原点距离为1；当l 的斜率存在时，设方程为y －3＝k (x －1)，由|－k ＋3|1＋k 2＝1得，k ＝43，直线方程为4x －3y ＋5＝0.综上，满足条件的直线l 的方程为x ＝1，4x －3y ＋5＝0. 10．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1，3)，B (－3，0)，C (1，2)，求△ABC 的面积S .解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y2－0＝x ＋31＋3，即x－2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝（－3－1）2＋（0－2）2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋（－2）2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，故△ABC 的面积为4.B 级 能力提升1．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.答案：A2．直线x ＝1上一点P 到直线4x ＋3y ＝0的距离为25，则点P 的坐标是________．解析：设P (1，y )，由已知得|4×1＋3y |42＋32＝25，解得y ＝－23或y ＝－2.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23，(1，－2)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23，(1，－2)3．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1，5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：点P (1，5)到l CD 的距离为d ， 则d ＝310. 因为l AB ∥l CD ，所以可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1，5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310，又因为m ≠－13，所以m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. 因为l AD ⊥l CD ，所以可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则点P (1，5)到l AD 的距离等于点P (1，5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝310，n ＝5或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0，3x －y ＋5＝0，3x －y －1＝0.。

3两条平行直线之间的距离练习题(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-一、 选择题1、两平行直线y=kx ＋b 1与y=kx+b 2之间的距离是（ ）A 、b 1－b 2B 、1221b bk -+C 、12b b -D 、21b b - 2、与直线2x+y+1=0的距离为55的直线方程是（ ）A 、2x+y=0B 、2x+y-2=0C 、2x+y=0或2x+y-2=0D 、2x+y=0或2x+y+2=03、和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A 、3x+4y-5=0B 、 3x+4y+5=0C 、3x+4y-5=0D 、3x+4y-5=04、点p （x ，y ）在直线x=Y-4=0上，O 是原点，则op 的最小值是（ ）A 、 10B 、22C 、 6D 、 2 5、两直线ax+by+c 1=0与ax+by+c 2=0的距离是（ ）A 、 12c c -B 、1222c c a b-+ C 、12c c a b -+ D 、 1222c c a b -+ 6、p 点在直线3x+y-5=0上，且p 到直线x-y-1=0的距离等于2，则点p 坐标为（ ） A 、 （1，2） B 、（2，1） C 、 （1，2）或（2，-1） D 、（2，1）或（-1，2） 7、点p （m-n ，－m ）到直线1x y m n +=的距离等于（ ） A 、 22m n + B 、22m n - C 、 22m n -+ D 、22m n ±8、过两直线x －330y -=和330x y +-=的交点，并与原点距离等于1的直线有（ ）A 、0条B 、1条C 、2条D 、3条9、无论m ，n 取何实数值，直线（3m －n ）x+（m+2n ）y －n=0都过一定点p ，则p 点的坐标为（ ）A 、（－1，3）B 、（12-，32）C 、（－13,55）D 、（13,77-）二、填空题10、过直线3x －2y －4=0与直线x ＋2y ＋1=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是---------------------。

1.4平行线之间的距离
1、如图，线段AB=2 cm ，把线段AB 向右平移3cm ，得到线段DC ，连接BC 、AD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．4cm 2 B ．9cm 2 C ．6cm 2 D ．无法确定
2、下面的说法是否正确，若不正确，请改正。

两条平行线之间的距离是指：一条平行直线上的任一点到另一条平行直线上一点的距离。

3、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，请过点B 作AD 与BC 之间的 垂线段，并量出AD 与BC 之间的距离。

4、已知直线l 如图，求作一条直线m ，使l 与m 的距离为2cm ，（只需作一条，要求写出作法）。

5、如图，直线b 是直线a 沿箭头方向平移所得的像，请你测量a ，b 之间的距离。

6..探索题：已知平行四边形ABCD 的周长为25cm ，对边的距离分别为DE ＝2cm 和DF ＝3cm ，求这个平行四边形的面积。

C A B D
l a b E
A
B
C D F ┐ C D A
B
5．如图所示，B，C是同一河岸上的两点，A是河对岸边上一点，测得∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠ACB=45°，BC=60米，求河宽．
7．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，已知BC=5，CD=3，AB与CD之间的距离为4，求AD与BC 之间的距离．
8．如图所示，直线EF∥GH，A是直线EF上一点，B，C，D分别是直线GH•上的三点，且AB=AC，D是BC 中点，连结AD．
请问线段AD的长是否是两条平行线EF、GH之间的距离？若是，请证明；若不是，请说明理由．。

《两条平行直线间的距离》习题一、选择题1. 直线AB 〃直线CD,两平行线的公垂线可以画出（）A.—条B.两条C.无数条D.不确定2. 把直线/沿某一方向平移3c 〃，得平移后的像为b,则直线/与bZ 间的距离为（）A.等于3加B.小于3c 加 D.等于或小于3C7723. 如图，已知厶〃/2，AB 〃CD, CE 丄h 于点E, FG 丄b 于 点G,下列说法中不正确的是（） A. ZABD 二ZCDEB. A, B 两点间的距离就是线段AB 的长度C. CE=FGD. 与仕之间的距离就是线段CD 的长度二、填空题4. 已知直线a//b f A, B 是直线°上不同的两点，已知点A 到直线b 的距离为5cm,那么点B 到直线b 的距离是 ___________ c m.5. ________________________________________________________ 两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是 ____________________ .6. 已知G, b, c 是三条互相平行的直线，如图所示，已知a 与胡勺距离为15cm, b 与C 的距离为5cm,那么a 与b 的距离为 ___________ ・b-----------------------------7. ___________________________________________________ 两条平行线3x-4y+3二0与3兀-4厂2二0之间的距离是 ______________________ .三、解答题C.大于3c 加 A C F&如图，已知直线厶〃厶，点A, B在直线/|上，点C, D在直线b上，则三角形ACD 与三角形BCD的面积相等吗？请说明理由.A B ,I29.如图，已知AB/7CD, AD〃BC, AC二15m BC=12c/w, BE丄AC于点E, BE=Wcm.求AD和BCZ间的距离.10.如图，折线ABC是一片农田小的道路，现需要把它改成一条直路，并使道路两边的面积保持不变，道路的一个端点为点A,问应怎样改？要求画岀示意图，并说明理由.答案解析1. 【解析】选C.只要同时和AB, CD 垂直的直线就符合要求，这样的直线有无数条.2. 【解析】选D.如果沿着与/垂直的方向平移，则/与b 之间的距离为3cm,否则它们的距 离小于3C777.3. 【解析】选D.因为AB 〃CD,所以ZABD 二ZCDE ；由两点间的距离定义可知选项B 的内容是正确的；因为CE 丄/2,所以CE 丄厶，同理可知FG 丄厶，所以CE 和FG 是两条平行线 的公垂线段，所以CE 二FG ；因为CD 和厶，b 不垂直，所以CD 的长度不是厶与,2之间的距离.4. 【解析】点A 到直线b 的距离和点B 到直线b 的距离都等于两直线Z 间的距离，即5m 答案：55. 【解析】每一根枕木都和两条平行的铁轨垂直，即每一根枕木都是两条平行铁轨的公 垂线段，根据两条平行线的所有公垂线段都相等，可知每根枕木的长度相等.答案:两条平行线的所有公垂线段都相等6. 【解析】在直线d 上任取一点P,过P 作PN 丄c,分别与b, c 交于M, N 两点，所以PN二 \5cin, MN=5cm,所以PM 二PN-MN 二\5cm-5 cm= 10 cm.答案：10加\C -C 1-2-317【解析】两条平行线S+3=。

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A 版2019选择性必修一）专题14 两条平行直线间距离题型一 求平行线间的距离1．若直线0x y m --=与直线40mx y +-=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．BC D【答案】C【解析】直线0x y m --=与直线40mx y +-=平行， 则0m ≠，且1411m m-=≠--， 求得1m =-，两直线即为直线10x y -+=与直线40x y -+=，故选：C ．2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于（ ） A ．75B ．715C ．415 D ．23【答案】C【解析】l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0， 又l 2：9x ＋12y －10＝0，所以，由平行线间的距离公式得， 两条平行线间的距离d415. 故选：C.3．已知直线1:280()l kx y k k R -+-=∈，2:210l x y ++=． （Ⅰ）若12l l //，求1l ，2l 间的距离； （Ⅱ）求证：直线1l 必过第三象限．【答案】（ⅠⅡ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）若12l l //，直线1:280()l kx y k k R -+-=∈，2:210l x y ++=， 则有28211k k --=≠，求得4k =-，故直线1l 即：260x y ++=，故1l ，2l =（Ⅱ）证明：直线1:280()l kx y k k R -+-=∈，即(1)280k x y +--=，必经过直线10x +=和直线280y --=的交点(1,4)--，而点(1,4)--在第三象限， 直线1l 必过第三象限．4．如图，已知直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y -+=，在1l 上任取一点A ，在2l 上任取一点B ，连接AB ，取AB 的靠近点A 的三等分点C ，过点C 作1l 的平行线3l ，求1l 与3l 间的距离．【解析】过A 做2AD l ⊥于D ，交3l 于E ，如图所示：因为123l l l ∕∕∕∕，且由题意得13AC AB =， 所以Rt ABD Rt ACE ∽，所以13AE AC AD AB ==，又直线1l 与2l 间的距离AD ==所以求1l 与3l 间的距离13AE AD ==题型二 由距离求已知直线的平行线5．若直线x ＋3y －9＝0与直线x ＋3y －c ＝0c 的值为（ ） A ．－1 B ．19 C ．－1或19 D ．1或－19【答案】C【解析】由两平行线间的距离公式得，d，所以| c －9|＝10，得c ＝－1或c ＝19． 故选：C.6．若平面内两条平行线1l ：(1)20x a y +-+=，2l ：210ax y ++=，则实数a =（ ） A ．2- B ．2-或1 C ．1- D ．1-或2【答案】C【解析】∵12l l //，∴(1)2a a ⋅-=，解得2a =或1a =-当2a =时d =，当1a =-时d =故选：C7．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2l 1的方程为________． 【答案】x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0【解析】设l 1的方程为x ＋y ＋C ＝0(C ≠－1)，得C ＝1或C ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 故答案为：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0 题型三 求关于平行直线对称的直线8．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线， 则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，=所以|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6， 即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M=. 故选：A.9．如图，矩形ABCD 中边AB 与x 轴重合，()2,2C ，()1,2D -.从原点O 射出的光线OP 经BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处.①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为__________；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为__________． 【答案】3235【解析】设直线OP 的斜率为k ，N 的坐标为()4,0, 直线NP 的斜率为k -，故直线NP 的方程()y k x 4=--，与直线CD 的交点为E ，故E 的坐标为24,2k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，直线EQ 的斜率为k ，直线EQ 的方程为2y 2k x 4k ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故Q 坐标为()1,45k --．若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为32；若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为35．10．已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=.（1）若()11,A x y 、()22,B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若()2,3M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为l 的方程. 【答案】（1）110；（2）270x y +-=或211370x y +-=. 【解析】（1）因为()11,A x y 、()22,B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动， 所以AB 的中点D 的轨迹为与1l 、2l 平行且在它们中间的直线， 设其方程为3:340l x y m ++=，1l 、2l 与y 轴的交点分别为(70,4)、(0,2)-，两点的中点为1(0,)8-，且中点在直线3l ，所以1104()0,82m m +⨯-+==，所以3:6810l x y ++=，AB 的中点D 到原点的最短距离即为原点到直线3l110=. （2）l 过()2,3M 点且与x 轴垂直的直线方程为2x =，与1l 、2l 的交点为12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，两点之间的距离为17244+=不符合题意，所以设l 的斜率为k ，直线方程为3(2)y k x -=-，由直线l 与1l 3(2)3470y k x x y -=-⎧⎨+-=⎩即8543943k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，交点为为859,4343k k k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由直线l 与2l 3(2)3480y k x x y -=-⎧⎨++=⎩即8204391443k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，交点为820914,4343k k k k 228208591493543434343k k k k k k k k ，解得2k =-，或211k =-， 所求直线方程为()y 2x 23=--+，或()22311y x =--+， 即270x y +-=或211370x y +-=. 题型四 求直线关于点的对称直线11．已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______. 【答案】10-【解析】在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=，10∴+=-b c .故答案为：10-12．直线:210l x y +-=关于点A (1,2)的对称直线方程为_________________ 【答案】290x y +-=【解析】解：在所求直线上取点(),x y ，关于点A (1,2)对称的点的坐标为()2,4x y --， 代入直线210x y +-=，可得()22410x y -+--= 即290x y +-=. 故答案为：290x y +-=. 3．已知直线l ：x ＋2y －2＝0.（1）求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； （2）求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程． 【答案】（1）7x －y －14＝0；（2）x ＋2y －4＝0.【解析】（1）由2220y x x y =-⎧⎨+-=⎩解得交点P (2,0)．在l 1上取点M (0，－2)， M 关于l 的对称点设为N (a ，b )， 则22202212()12ab b a -⎧+⋅-=⎪⎪⎨+⎪-⋅=-⎪⎩, 解得1214(,)55N ，所以214571225l k -==-， 又直线l 2过点P (2,0)，所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0.（2）直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行， 所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上， 所以2210m +⨯+=,所以m ＝－4， 即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.12．已知直线:2310l x y -+=，(1,2)A --点.求：(1)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程； (2)直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程. 【答案】（1）9461020x y -+=（2）2390x y --=【解析】解：（1)在直线m 上取一点(2,0)M ，则(2,0)M 关于直线l 的对称点M '必在m '上.设对称点为(,)M a b '，则2023102202123a b b a ⎧++⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭.设m 与l 的交点为N ,则由23103260x y x y ，-+=⎧⎨--=⎩得(4,3)N .又∵m '经过点(4,3)N ，∴由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=.(2)设(,)Q x y 为l '上任意一点，则(,)Q x y 关于点(1,2)A --的对称点为(2,4)Q x y '----. ∵Q '在直线l 上，∴2(2)3(4)10x y -----+=，即2390x y --=. 题型五 将军饮马问题求最值13．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A．BC ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且A B '故选：B .14．已知直线:220l x y -+=，点(3,2)P ，M 和N 分别是直线l 和x 轴上的点，求MPN △的周长最小值及此时点M 和N 的坐标.【答案】8；点(0,2)M ，点3,02N ⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：设点(3,2)P 关于直线:220l x y -+=的对称点为11(P x ，1)y ，则由1PP l ⊥，且1PP 的中点1132,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，即111122133222022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪⨯-+=⎪⎩，解得点19(5P -，22)5；又点(3,2)P 关于x轴的对称点为2(3,2)P -，连接12PP ，分别交直线l 与x 轴于M ，N ，结合图象可知，此时MPN △的周长1212PM MN NP PM MN NP PP ++=++=最小，最小值为128PP =.过点19(5P -，22)5和2(3,2)P -的直线12PP 的斜率为22(2)459335k --==---， ()()4233y x ∴--=--，化简为4360x y +-=， 即直线12PP 的方程为4360x y +-=，由4360220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)M ， 由43600x y y +-=⎧⎨=⎩，解得3(2N ，0)，综上，MPN △的周长最小值为8，此时点(0,2)M ，点3,02N ⎛⎫⎪⎝⎭.15．已知直线l 的方程为(23)(1)420()m x m y m m R -+-+-=∈． （1）当3m =时，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积； （2）证明：不论m 取何值，直线l 恒过第四象限．（3）当2m =时，求直线l 上的动点P 到定点(2,0)A ，(3,4)B 距离之和的最小值．【答案】（1）13；（2）详见解析；（3）【解析】（1）当3m =时，直线l 的方程为3220x y +-=， 令0x =，得1y =； 令0y =，得23x =， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1211233⨯⨯=．（2）证明：将直线l 的方程整理得(22)(34)0x y m x y +-+--+=，由220340x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 恒过点(2,2)-，所以不论m 取何值，直线l 恒过第四象限．（3）当2m =时，直线l 的方程为0x y +=，定点(2,0)A ，(3,4)B 在直线l 的同一侧，其中(2,0)A 关于直线l 的对称点为(0,2)A '-，则||PA PA '=，所以动点P 到定点(2,0)A ，(3,4)B 距离之和为||||||||PA PB PA PB '+=+，所以当P ，A '，B 三点共线时，||PA PB '+最小，此时||||||PA PB A B ''+===16．已知直线:21l y x =+，及两点A (-2,3)、B (1,6),点P 在直线l 上. (1)若点P 到A 、B 两点的距离相等,求点P 的坐标； (2)求PA PB +的最小值. 【答案】(1) (1,3)【解析】(1)因为点P 在直线:21l y x =+上,所以点P 的坐标设为00(,21)P x x +. 因为点P 到A 、B 两点的距离相等,所以PA PB =两边平方化简得：01x =,所以点P 的坐标为(1,3)；(2) 直线:21l y x =+的斜率为2,所以过点B (1,6)与直线:21l y x =+垂直的直线'l 的斜率为12-,所以直线'l 的直线方程为：11136(1)222y x y x -=--⇒=-+,直线',l l 的交点C 坐标为：1111311275(,)222755215x y x C y x y ⎧=⎧⎪=-+⎪⎪⇒∴⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩,设点B 关于直线:21l y x =+对称的点 '(,)B x y ,因此有111171724525(,)2762455525x x B y y +⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒∴⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩⎩',由平面几何的性质可知： PA PB +的最小值就是'AB 的长度,即'AB ==题型六 直线关于直线对称问题17．直线230x y -+=关于直线20x y -+=对称的直线方程是()A ．230x y -+=B ．230x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=【答案】A【解析】因为直线20x y -+=的斜率为1,故有22x y y x =-⎧⎨=+⎩,将其代入直线230x y -+=, 即得：()()22230y x --++=, 整理即得230x y -+=, 故选：A18．已知直线1:23l y x =+，2l 与1l 关于直线y x =-对称，直线32l l ⊥，则3l 的斜率是______. 【答案】-2【解析】设直线2l 的斜率为2k ，直线3l 的斜率为3k . ∵1:23l y x =+与2l 关于直线y x =-对称， ∴223l x y -=-+：，即1322y x =+, ∴212k =. 又∵32l l ⊥， ∴32k =-. 故答案为2-19．直线y=12x 关于直线x ＝1对称的直线方程是________； 【答案】220x y +-=【解析】由题得对称的直线的斜率为12-，解方程组121y xx ⎧=⎪⎨⎪=⎩得两直线的交点为1(1,)2， 所以对称直线的方程为11(1),22022y x x y -=--∴+-=. 故答案为220x y +-=。