二次函数压轴题解题技巧

中学数学二次函数压轴题解题技巧二次函数是中学数学中重要的概念之一。

在解题过程中，掌握一些解题技巧能够帮助我们更轻松地解决二次函数的压轴题。

以下是一些解题技巧的总结：1. 定义二次函数首先，我们需要清楚二次函数的定义和一般形式。

二次函数的一般形式是：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$，其中a、b、c为常数，且$a \neq 0$。

了解二次函数的定义和形式，有助于我们在解题过程中准确理解题目和相关知识。

2. 寻找顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点被称为顶点。

寻找顶点是解题过程中的关键步骤之一。

顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$。

通过计算这两个值，我们能够确定抛物线的位置和形状。

3. 判断开口方向通过观察二次函数的二次项系数a的正负，我们可以判断抛物线的开口方向。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

这一点在解题中很重要，因为它影响到抛物线与坐标轴的交点和极值。

4. 求解零点解题时，我们通常需要求二次函数的零点，即$f(x) = 0$的解。

求解零点的方法有两种：因式分解和配方法。

对于简单的二次函数问题，我们可以利用因式分解直接求解零点；对于复杂的问题，可以使用配方法。

5. 判断函数值的变化通过计算二次函数的值$f(x)$，我们可以判断函数在不同区间内的变化趋势。

当a大于0时，二次函数在顶点处取得最小值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变大；当a小于0时，二次函数在顶点处取得最大值，且随着x增大或减小，函数值逐渐变小。

6. 利用对称性二次函数具有对称性，即关于顶点对称。

这一点在解题中经常用到。

通过利用对称性，我们可以快速求得函数的某些值，或者根据已知的函数值推导出其他函数值。

7. 注意特殊情况解题过程中，我们应该注意特殊情况的处理。

例如，当a等于零时，二次函数变为一次函数；当顶点坐标为整数时，我们可以在图像上快速标出顶点和其他点。

二次函数是一次函数的延续和发展，类似于反比例函数但又不同于反比例函数，其图像抛物线是曲线，具有对称性，当二次项系数a的绝对值越大时，其开口越小；反之，开口就越大。

特别地，当a=0时，抛物线开口大到变成一条直线(此时该函数已不是二次函数了，是一个一次函数)；从数、式的角度分析，二次函数的解析式可以看作二元二次方程，二次方程显然比一次方程复杂多了，若其系数再来个字母，难度就更大了。

二次函数是个大箩筐，初中绝大多数知识点都可以往里装，代数方面数、式的计算(含幂的运算或根式的运算)，因式分解、绝对值、相反数、用字母表示数(量)、列方程(组)求数值、列不等式(组)求字母的取值范围等等；几何方面线段的计算、角的计算三角形、四边形乃至圆都可以往里放,或全等或相似,或判定形状等等。

破解压轴题，是个系统工程。

不是一蹴而就的，需要一个积累和磨砺的过程。

你要有广博的知识根基，要有强大的运算能力，还必须掌握一定的数学思想方法和解题技巧，数学思想方法不是光记住两个名称，而是要掌握其本质核心的东西，比如转化思想，转化谁？怎么转化？没有谁告诉你，你得自己完成；再如分类讨论思想在什么情况下要分类讨论，分类的标准是什么？为什么要这样分而不是那样分呢?有时还涉及二次分类，即分类之后再分类，你看得出吗？你要会画草图，能从繁杂的信息里面提取有效的信息，能从复杂的图形里面抽岀基本图形，能准确理解语句的含义建立问题模型，形成简洁思路，并规范正确地表述解题过程.解题示范:边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．破解第一招——耐心读题，瞬时记忆压轴题通常字数多，字母符号多，你得有好心态，集中思想心平气和地愉悦地读完它，第一遍读题时要在关键词语处做上记号(比如标上序号)，平时要有意识地训练自己的瞬时记忆能力，即读一遍题要力求把题意90%的信息复述出来(这点非常重要)破解第二招——建立问题模型，理清解题思路第一小题求函数解析式，一看到求函数解析式的问题，应立马想到待定系数法的四个基本步骤：(见图1)—解题也有套路的；从题目中寻求可用条件,直接条件有两个:点C的坐标(0,2)，对称轴AB为直线×=2；条件“抛物线经过点E"，E点坐标没有直接给出，所以要先想办法求出，由“DE=DC，且∠CDE=90°”想到基本图(图2)构造三角形全等，求E点坐标，至此基本思路形成：①由全等求出E点坐标,②由C,E两点坐标及对称轴方程求函数解析式。

中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。

我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。

1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。

最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。

初三二次函数压轴题知识点解题方法二次函数压轴题是初中数学中重要的一类问题，涉及到了二次函数的定义、性质、图像、判别式等知识点，同时也需要灵活运用代数运算和图像分析的方法进行解题。

本文将介绍二次函数压轴题的一般解题方法，并分析其中涉及的主要知识点。

一、压轴题的一般形式及定义二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

在这种形式下，一般有三种情况：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下；当二次函数的图像与x轴相切或者与x轴没有交点时，称为“压轴题”。

压轴题的定义是通过给定函数关系和一些额外条件，求出关于未知数的取值范围、特殊情况、极值点、最值等问题。

二、压轴题的解题方法解压轴题的方法主要有以下几种：1.代数方法：通过解方程组或者利用已知的条件，求出未知数的取值范围和特殊情况。

2.图像分析法：通过分析二次函数的图像性质，包括开口方向、对称轴、顶点、焦点等，得出未知数的取值范围和特殊情况。

3.判别式法：通过判别式的符号来确定二次函数与x轴的交点个数和位置，进而得出未知数的取值范围和特殊情况。

下面我们将结合具体例题，详细介绍这些解题方法。

例题1：求二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴相切的条件。

解法1：当二次函数的图像与x轴相切时，有且仅有一个交点。

设交点坐标为(x0,0)，代入方程得到0 = ax0^2 + bx0 + c。

根据判别式法，如果二次函数与x轴相切，判别式D = b^2 - 4ac = 0。

所以有b^2 - 4ac = 0，即b^2 = 4ac。

这就是二次函数图像与x 轴相切的条件。

解法2：当二次函数的图像与x轴相切时，说明二次函数的顶点坐标与x轴相交。

顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。

所以当x = -b/2a时，有f(x) = 0。

二次函数压轴题解题口诀第一步：观察观察题目给出的二次函数关系式，包括一般式和顶点式。

确定二次函数的参数a、b、c的取值范围。

1.若a>0，则二次函数开口向上，最低点为最小值；若a<0，则二次函数开口向下，最高点为最大值。

2.根据顶点式形式f(x)=a(x-h)²+k，h为顶点横坐标，k为顶点纵坐标。

3. 根据一般式形式f(x)=ax²+bx+c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

第二步：画图根据观察结果，用适当的坐标系画出函数图像。

确定函数的顶点、对称轴、最值、切线等。

可以通过以下步骤进行画图：1.若已有顶点坐标，直接画出顶点。

2.若没有顶点坐标，可以用顶点坐标公式求得，即h=-b/2a，将h带入函数，求出k=f(h)。

3.根据顶点和对称性，确定对称轴。

对称轴方程为x=h。

4.将对称轴两边的点带入函数，得到其他点的坐标。

5.根据a的正负确定开口方向，画出函数图像。

6.根据图像确定函数的最值、相交点等。

第三步：转移对于部分二次函数题目，可能需要做坐标系的转移，以便于求解题目要求。

1.若需要移动坐标系，可通过平移或缩放来实现。

2.平移坐标系时，可以找到新坐标系原点与旧坐标系原点之间的关系，并移动坐标系。

3.缩放坐标系时，可以根据函数图像的特点来进行缩放。

第四步：求解根据题目要求，利用二次函数的相关特性进行求解。

常用的求解方法有以下几种：1.求零点：当函数值等于0时，求得函数的横坐标即为零点的横坐标。

2.求最值：如果二次函数开口向上，则最低点为最小值；如果二次函数开口向下，则最高点为最大值。

3.求交点：当两个函数相交时，求得两个函数对应的横坐标即为交点的横坐标。

通过以上四个步骤，可以有效地解决二次函数压轴题目。

在解题过程中，需要注重观察和画图，根据函数的特性来合理转移坐标系，最后通过计算求得答案。

二次函数压轴题总结：（凡解析几何问题，均是以几何性质探路，代数书写竣工。

） 已知、 y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标解决方案：识别模型，A 、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B 、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。

2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。

】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。

在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。

4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标 解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。

5、讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求点F 的坐标解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。

6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D ，使得△ABD ∽△ABC 。

二次函数压轴题解题技巧
常数问题：
(1)点到直线的距离中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：
先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

(2)三角形面积中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：
先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

(3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题：
用K点法设出直线方程，求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。

“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最
小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。

二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。

焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。

二次函数压轴题方法总结一、前言二次函数压轴题是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常见的题型。

本文将总结二次函数压轴题的解法方法，希望能够对广大学生有所帮助。

二、基础知识在开始讲解二次函数压轴题的解法方法之前，我们需要先了解一些基础知识：1. 二次函数：形如 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的函数，其中 $a\neq 0$。

2. 抛物线：二次函数的图像称为抛物线。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

3. 平移：对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，平移后得到的新函数为$f(x-a_1)+b_1$。

其中 $a_1$ 表示沿着 $x$ 轴平移的距离，正值表示向左平移，负值表示向右平移；$b_1$ 表示沿着 $y$ 轴平移的距离，正值表示向上平移，负值表示向下平移。

4. 压缩与拉伸：对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，压缩后得到的新函数为 $af(\frac{x}{k})$，其中 $k>0$ 表示沿着 $x$ 轴压缩的倍数，$k<1$ 表示压缩，$k>1$ 表示拉伸；拉伸后得到的新函数为 $af(kx)$。

三、二次函数压轴题解法方法1. 压轴法压轴法是二次函数压轴题中最常用的解法方法之一。

其基本思想是通过平移和拉伸等变换将原二次函数转化为标准式$f(x)=a(x-h)^2+k$，从而求出抛物线的顶点坐标和开口方向。

具体步骤如下：（1）将原二次函数改写为 $f(x)=a(x-b)^2+c$ 的形式。

（2）确定抛物线的开口方向：当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当$a<0$ 时，抛物线开口向下。

（3）求出顶点坐标：由于 $(x-b)^2\geq 0$，因此当 $x=b$ 时，有$(x-b)^2=0$。

因此顶点坐标为 $(b,c)$。

（4）确定对称轴：对称轴即为顶点所在的直线。

当二次函数为标准式时，对称轴与 $y-$ 轴重合；否则需要进行平移变换。

压轴题二次函数解题技巧
压轴题是数学考试中考察学生综合能力的一道难题，其中二次函数题目尤其考验学生的解题技巧。

以下为二次函数解题的几种技巧： 1. 求解二次函数的根，可以使用求根公式。

当方程有两个实根时，根据大小关系可以确定函数的开口方向；当有一个实根时，函数与x轴相切；当没有实根但有复根时，函数与x轴没有交点，且开口向上或向下。

2. 判断二次函数的最值，可以使用顶点公式。

当二次项系数为正数时，函数的最小值为顶点的y坐标；当二次项系数为负数时，函数的最大值为顶点的y坐标。

3. 根据函数图像确定函数表达式，可以根据函数的开口方向、顶点坐标、以及过已知点的信息来确定函数的表达式。

4. 根据函数表达式确定函数图像，可以通过分析函数的一、二阶导数来确定函数的开口方向、顶点坐标、以及拐点的位置。

掌握这些二次函数的解题技巧，可以帮助学生在考试中更加轻松地解决压轴题。

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怎样解二次函数的压轴题解二次函数的压轴题可以是一个相对简单的数学问题，但是需要一定的基本知识和技巧。

下面，本文将分为以下几个方面来探讨解二次函数的压轴题的方法和技巧。

一、梳理相关知识点解二次函数的压轴题需要掌握以下知识点：1.二次函数的标准式：f(x) = ax² + bx + c。

2.二次函数的图像特征：开口方向、顶点坐标、轴对称直线、零点等。

3.配方法、公式法和因式分解法。

4.顶点式：f(x) = a(x - h)² + k。

二、运用配方法如果二次函数的系数不是很好进行分解，那么就需要使用配方法了。

具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。

2.将二次项和常数项分别和一个常数项a相乘，即f(x) = a(ax² + bx +c/a)。

3.将中间项拆开，即f(x) = a(x + b/2a)² - b²/4a + c。

4.将-f(x) = -a(x + b/2a)² + b²/4a - c，即可得到顶点式，顶点坐标为(-b/2a, b²/4a - c)。

三、运用公式法当二次函数系数比较复杂，无法使用配方法进行分解时，可以考虑使用公式法。

具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。

2.将方程f(x) = 0变形为ax² + bx + c = 0。

3.求出二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。

4.带入公式x = (-b±√Δ)/2a，求出函数的零点。

5.根据顶点公式f(h) = a(h - k)² + b，求出函数的顶点坐标。

四、运用因式分解法如果二次函数可以进行因式分解，那么就可以通过这种方法来求得函数的零点。

具体步骤如下：1.将二次函数变为标准式：f(x) = ax² + bx + c。

二次函数压轴题例题：如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．分析：（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c ，1﹣c ），将点E 坐标代入直线CD 的解析式y =﹣x +c ，求出c =﹣2，进而得到抛物线的解析式为y =x 2﹣x ﹣2；（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，由0＜S ＜S △ACB ，易求0＜S ＜5；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F ．设点P 坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），则点F 坐标为（x ，x ﹣2），PF =PG ﹣GF =﹣x 2+2x ，S =PF •OB =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S 最大值=4，即0＜S ≤4．则0＜S ＜5；②由0＜S ＜5，S 为整数，得出S =1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，根据△PBC 中BC 边上的高h 小于△ABC 中BC 边上的高AC =，得出满足条件的△PBC 共有4个；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，由于S =﹣x 2+4x ，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC 共有7个；则满足条件的△PBC 共有4+7=11个．解答过程略。

二次函数压轴题解题技巧引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、动态：动点、动线1．如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二、圆2．如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝ 1 3．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．图1 图2三、比例比值取值范围3．如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.4. 如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.1．在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C (0，3)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、BC ． （1）求实数a ，b ，c 的值； （2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；4. 如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．面积最大5、如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．6、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．讨论等腰7、如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标； （3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．8、（武汉市中考）如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋3与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m （m ＞3），过点P 作y 轴的平行线PM ，交直线AB 于点M ． （1）求抛物线的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．备用图论直角三角形9、如已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．10、（九市联考）如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标； （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．讨论四边形11、二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2018中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．2.如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值2E的直线y x b=+与抛物线ABE与ACE的面积大小关系如何？当4>-时，上述关系还成立吗，为什么？，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.【例3】如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．【例4】如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，39（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且P A=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．题型六：构造平行四边形【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。

中考二次函数压轴题解题技巧在解题过程中，我们需要借助函数解析式来表示动点坐标。

首先，我们可以设定动点P在某条直线上，其坐标为（t，f(t)）。

然后，我们可以通过计算两个线段的长度，利用代数式证明它们相等。

这种方法适用于各种类型的线段相等问题，如求证两个三角形的周长相等等。

2.求解“定三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于定三角形内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。

具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到定理的结论。

这种方法适用于各种类型的定三角形内点距离之和问题。

3.求解“定直线与定点之间的距离〞的问题：对于一个定点A和一条定直线L，我们可以利用点到直线的距离公式来求解它们之间的距离。

具体来说，我们可以设定一个动点P在直线L上，然后计算点P到点A的距离，即可得到定点与定直线之间的距离。

这种方法适用于各种类型的定直线与定点之间的距离问题。

4.求解“定点到定线段的最短距离〞的问题：对于一个定点A和一条定线段BC，我们可以利用点到线段的最短距离公式来求解它们之间的最短距离。

具体来说，我们可以设定一个动点P在线段BC上，然后计算点A到线段BP和线段CP的距离，取其中较小值即可得到定点到定线段的最短距离。

这种方法适用于各种类型的定点到定线段的最短距离问题。

5.求解“动三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于一个动三角形ABC内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。

具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到结论。

这种方法适用于各种类型的动三角形内点距离之和问题。

1.证明两线段相等的方法：首先确定两线段的距离类型（点点距离、点轴距离或点线距离），然后利用距离公式计算出两线段的长度，并进行化简，从而证明它们相等。

2.平行于y轴的动线段长度的最大值问题：对于平行于y轴的线段，可以利用端点的函数图象解析式，将两个端点的纵坐标表示为含有字母t的代数式。

数学二次函数压轴题解题技巧数学二次函数是中学数学中的一个重要内容，而在高考数学中，二次函数也是一个重要的考点。

二次函数在高考中的压轴题往往难度较大，需要学生具备扎实的数学知识和高超的解题技巧。

下面是一些解决二次函数压轴题的技巧。

1. 熟悉常见二次函数的形式和性质常见的二次函数包括：二次项系数为 1 的二次函数，即 y=x^2;二次项系数不为 1 的二次函数，即 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 为常数;以及二次函数的平移变换，即 y=x^2+bx+c(x-a)。

熟悉这些函数的形式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

2. 掌握求最值的方法在二次函数中，求最值是一个重要的问题。

常用的求最值方法包括：利用函数的导数求最值;利用二次函数的图像求最值;利用不等式求最值等。

其中，利用函数的导数求最值是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

3. 掌握求顶点的方法求顶点是解决二次函数压轴题的一个常用方法。

常用的求顶点的方法包括：利用函数的导数求顶点;利用二次函数的图像求顶点;利用对称轴求顶点等。

其中，利用函数的导数求顶点是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

4. 掌握求范围的方法在二次函数中，求范围也是一个重要的问题。

常用的求范围方法包括：利用函数的导数求范围;利用二次函数的图像求范围;利用不等式求范围等。

其中，利用函数的导数求范围是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

5. 利用图形结合数学方法解决问题在解决二次函数压轴题时，常常需要利用图形结合数学方法解决问题。

例如，可以利用图像的对称性质、周期性、平移变换等，帮助我们更好地理解和解决问题。

此外，还需要善于总结各种技巧和方法，熟练掌握各种解题套路，以应对各种可能出现的二次函数压轴题。

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等;2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程;图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直;一些方法：如相似、三角函数、解方程;一些转换：如轴对称、平移、旋转;二、典型例题：一、求解析式可参考一下部分试题的第一问;二、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. 2012莱芜如图,顶点坐标为2,﹣1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点．1求抛物线的表达式；抛物线的解析式：y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积；练习：1. 2014兰州如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A﹣1,0,C0,2． 1求抛物线的表达式；2在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；3点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x 轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点不与点D重合．1求∠OBC的度数；2连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE =S四边形OCDB,求此时P点的坐标；3过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值．2构造相似三角形2013莱芜如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A﹣3,0、B1,0、C﹣2,1,交y轴于点M．1求抛物线的表达式；2D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标；3抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．3构造平行四边形2014莱芜如图,过A1,0、B3,0作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x 于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． 1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形若存在,求此时点M的横坐标；若不存在,请说明理由；3若△AOC沿CD方向平移点C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程中△AOC 与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值．x2+bx+c与y轴交于点C0,-4,与x轴4构造等腰三角形2013泰安如图,抛物线y=12交于点A,B,且B点的坐标为2,0 1求该抛物线的解析式．2若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值．3若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标．5构造直角三角形2014四川内江如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A﹣、C0,4,点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO．1求抛物线的解析式；2线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；3抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形如果存在,求出点M的坐标；如果不存在,说明理由．6构造角相等2014娄底如图,抛物线y=x2+mx+m﹣1与x轴交于点Ax1,0,Bx2,0,x1＜x2,与y轴交于点C0,c,且满足x12+x22+x1x2=7．1求抛物线的解析式；2在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO若能,请求出点P 的坐标；若不能,请说明理由．7构造菱形2013枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为3,0,与y轴交于C0,-3点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．1求这个二次函数的表达式．2连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由．3当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8构造对称点11莱芜如图,在平面直角坐标系中,已知点A－2,－4,OB＝2,抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．1求抛物线的函数表达式；2若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM＋OM的最小值；3在此抛物线上,是否存在点P ,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．9构造平行线：2014山东烟台如图,在平面直角坐标系中,Rt △ABC 的顶点A ,C 分别在y 轴,x 轴上,∠ACB =90°,OA =,抛物线y =ax 2﹣ax ﹣a 经过点B 2,,与y 轴交于点D ．1求抛物线的表达式；2点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上请说明理由； 3延长BA 交抛物线于点E ,连接ED ,试说明ED ∥AC 的理由．10构造垂直：2014宜宾市如图,已知抛物线y = x 2+bx +c 的顶点坐标为M 0,–1,与x 轴交于A 、B 两点. 1求抛物线的解析式； 2判断△MAB 的形状,并说明理由； 3过原点的任意直线不与y 轴重合交抛物线于C 、D 两点,连结MC 、MD ,试判断MC 、MD 是否垂直,并说明理由．11构造圆2014年淄博如图,点A 与点B 的坐标分别是1,0,5,0,点P 是该直角坐标系内的一个动点．1使∠APB=30°的点P 有 个；2若点P 在y 轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P 的坐标；yxO MDCBA3当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB 最大的理由；若没有,也请说明理由．参考答案：一、求解析式二、二次函数的相关应用第一类：面积问题2012莱芜解：1y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2S△ACD=ADCD=××2=2．32+,1﹣、2﹣,1+、1,2或4,﹣1．2014兰州解1y=﹣x2+x+2；2y=﹣x﹣2+,P 1,4,P2,,P3,﹣；3S四边形CDBF =S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣a﹣22+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E2,19．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄1△OBC 为等腰直角三角形∠OBC=45°． 2P2,﹣3．3线段PF 长度=﹣x P 2+3x P =﹣x P ﹣2+,1＜x P ≤3,当x P =时,线段PF 长度最大为．2构造相似三角形2013莱芜 1y=．2DF 的最大值为．此时D 的坐标为．3存在点P,使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似．设Pm,．在Rt△MAO 中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P 不可能在第一象限．①设点P 在第二象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM,故此时满足条件的点不存在．②当点P 在第三象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM, P 的坐标为﹣8,﹣15． ③当点P 在第四象限时,若AN=3PN 时,此时点P 的坐标为2,﹣．若PN=3NA,此时点P 的坐标为10,﹣39．综上所述,满足条件的点P 的坐标为﹣8,﹣15、2,﹣、10,﹣39．3构造平行四边形 2014莱芜解：1y=﹣x 2+x ．2存在． 或或．3∴S=S △OFQ ﹣S △OEP =OFFQ ﹣OEPG=1+t +t ﹣t t=﹣t ﹣12+当t=1时,S 有最大值为．∴S的最大值为．4构造等腰三角形PBE ABCSS=PBE S 12=x×4-1323x+835构造直角三角形2014四川内江 1y=﹣x 2+x+4．2当t=1时,PQ 取到最大值,最大值为． 3①当∠BAM=90°时,MH=11．M ,﹣11． ②当∠ABM=90°时,M ,9．综上所述：符合要求的点M 的坐标为,9和,﹣11．6构造角相等2014娄底解1依题意：x 1+x 2=﹣m,x 1x 2=m ﹣1,∵x 1+x 2+x 1x 2=7,∴x 1+x 22﹣x 1x 2=7,∴﹣m 2﹣m ﹣1=7,即m 2﹣m ﹣6=0,解得m 1=﹣2,m 2=3,∵c=m ﹣1＜0,∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；2能如图,设p 是抛物线上的一点,连接PO,PC,过点P 作y 轴的垂线,垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为0,﹣3∴D 的坐标为0,﹣∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=,解得,x 1=,x 2=因此所求点P 的坐标是,﹣,,﹣7构造菱形2013枣庄 解：1.2此时P 点的坐标为,. 3 S 四边形ABPC =++==. 易知,当x=时,四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为,,四边形ABPC 的最大面积为. 8构造对称点11莱芜1212y x x =-+;2MO+MA 的最小值为42;3①若OB ∥AP P4,－4,则得梯形OAPB;②若OA ∥BP,点P 412--，,则得梯形OAPB;③若AB ∥OP,此时点P 不存在;综上所述,存在两点P4,－4或P 412--，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形;2=23y x x --2232-AOC S ∆POB S ∆POC S ∆239622x x -++23375()228x --+3232154-7589构造平行线：2014山东烟台解： y=x2﹣x﹣．2连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,∴∠ACO=∠CBF,∵∠AOC=∠CFB=90°,∴△AOC∽△CFB,∴=,设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,解得m=m=1,∴OC=OF=1,当x=0时y=﹣,∴OD=,∴BF=OD,∵∠DOC=∠BFC=90°,∴△OCD∽△FCB,∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,∴点B、C、D在同一直线上,∴点B与点D关于直线AC对称,∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．3过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,解得k=﹣,∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2,当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×﹣2+=,∴点E的坐标为﹣2,,∵tan∠EDG===,∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===,∴∠OAC=30°,∴∠OAC=∠EDG,∴ED∥AC．10构造垂直：2014宜宾市解：1y=x 2﹣1．2OA=OB=OC=1,∴AM=BM,∴△MAB 是等腰直角三角形．3=,即=解得m=﹣,∵==﹣n,==,∴=,∵∠CGM=∠MHD=90°,∴△CGM∽△MHD,∴∠CMG=∠MDH,∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°,∴∠CMD=90°,即MC⊥MF． 11构造圆2014年淄博解：1∵抛物线y=﹣x 2+mx+n 经过A ﹣1,0,C0,2．解得：,∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2；2∵y=﹣x 2+x+2,∴y=﹣x ﹣2+,∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C0,2,∴OC=2．在Rt △OCD 中,由勾股定理,得CD=．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形, ∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H,∴HP 1=HD=2,∴DP 1=4．∴P 1,4,P 2,,P 3,﹣；3当y=0时,0=﹣x 2+x+2∴x 1=﹣1,x 2=4,∴B4,0．设直线BC 的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得：,∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2,过点C 作CM ⊥EF 于M,设Ea,﹣a+2,Fa,﹣a 2+a+2,∴EF=﹣a 2+a+2﹣﹣a+2=﹣a 2+2a0≤x≤4．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BDOC+EFCM+EFBN,=+a ﹣a 2+2a+4﹣a ﹣a 2+2a,=﹣a 2+4a+0≤x≤4．=﹣a ﹣22+∴a=2时,S 四边形CDBF 的面积最大=,∴E2,1．。