分式方程典型易错点及典型例题分析

专题06易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错压轴题
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【典型例题】 (1)
【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】 (1)
【易错二分式混合运算易错】 (5)
【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】 (8)
【易错四解分式方程不验根】 (12)
【易错五分式方程无解与增根混淆不清】 (18)
【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】 (21)
【典型例题】
【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】
【变式训练】
∵2x ≠且3x ≠，
∴整数x 的值为2-或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
【易错二分式混合运算易错】
【变式训练】
【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
【变式训练】
【易错四解分式方程不验根】
例题：（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）解方程：
【变式训练】
()
x x x
-+=+，
3323
x=，
3
x=是原分式方程的增根，
检验：当3
所以，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确求解是解题的关键，注意要检验．【易错五分式方程无解与增根混淆不清】
【变式训练】
【易错六已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
【变式训练】。

第06讲分式易错点梳理易错点梳理易错点01分式值为0时，忽略分母不为0的条件分式的值为0，必须同时满足两个条件，即分子的值为0，分母不等于0，两者缺一不可。

易错点02在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻底，使分子、分母没有公因式。

易错点03分式运算时忽视分数线的括号作用在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数线有括号的作用。

易错点04解分式方程去分母时出现漏乘现象解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现漏乘现象。

易错点05解分式方程忘记检验检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。

例题分析考向01分式有意义的条件和分式值为0的条件例题1：（2021·广西贵港·中考真题）若分式15x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≠－5B ．x ≠0C ．x ≠5D ．x ＞－5【答案】A【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．例题2：（2021·广西桂林·中考真题）若分式23x x -+的值等于0，则x 的值是（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【答案】A【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．【解析】由题意可得：20x -=且30x +≠，解得2,3x x =≠-．故选A ．【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．考向02分式的基本性质例题3：（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（）A ．3322m m =--B ．55n nm m -=-C ．3377m mn n-=--D ．3344m mn n=--【答案】C【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【解析】解：A 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B 、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C 、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C ．【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．例题4：（2021·广东·广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（）A ．()22239pq p q -=-B ．22a ab b-=-C 0=D ．933b b b ÷=【答案】C【思路分析】A 、根据积的乘方运算法则判断；B 、根据分式的基本性质判断；C 、根据二次根式的性质判断；D 、根据同底数幂的除法法则判断．【解析】解：A 、222(3)9pq p q -=，故本选项不合题意；B 、当a b ¹时，22a ab b-≠-，故本选项不合题意；C 、由题意可得0a =0=，故本选项符合题意；D 、936b b b ÷=，故本选项不合题意；故选：C ．考向03分式的运算例题5：（2021·山东济南·中考真题）计算22111m m m m ----的结果是（）A ．1m +B ．1m -C ．2m -D ．2m --【答案】B【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．【解析】解：()2221212111111m m m m m m m m m m ---+-===-----；故选B ．【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．例题6：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．11b aa b ab--=B ．222323y x y x+=C ．()326339a b a b -=-D ．22(2)4x x -=-【答案】A【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可．【解析】A ：11b a b a a b ab ab ab --=-=，符合题意．B ：22222222929323333y y x y x x y x x x x++=+=≠，不符合题意．C ：()()()()333322636333279a b a b a b a b -=-=-≠-，不符合题意．D ：222(2)444x x x x -=-+≠-，不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键．考向04分式方程的概念例题7：（2021·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【思路分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【解析】解：302m xx+-=-方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m =-，∴68m -≠，∴2m ≠-，故选B.【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.例题8：（2021·广西百色·中考真题）方程1x ＝233x -的解是（）．A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣1C ．x ＝1D ．x ＝3【答案】D【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．【解析】∵1x ＝233x -∴332x x -=∴3x =经检验，当3x =时，x 与33x -均不等于0∴方程1x ＝233x -的解是：x ＝3故选：D ．【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．考向05分式方程的应用例题9：（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）m10m -售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【思路分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为w ，表示出w 与x 的函数解析式，再分三种情况：①当6070a <<时，②当70a =时，③当7080a <<时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【解析】解：（1）依题意得：3000270010m m =-，整理，得：3000(10)2700m m -=，解得：100m =，经检验，100m =是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x 件，乙种衬衫(300)x -件，根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--⎧⎨-+--⎩，解得：100110x，x 为整数，110100111-+=，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w ，则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+ ，①当6070a <<时，700a ->，w 随x 的增大而增大，∴当110x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当70a =时，700a -=，27000w =，（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时，700a -<，w 随x 的增大而减小，综上：当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，（2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．例题10：（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·重庆八中二模）函数y ＝3xx-中自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣3B ．x ≠3C ．x ≤3D ．x ≤﹣3【答案】B【分析】解：由题意，得3﹣x ≠0，解得x ≠3．故选：B ．2．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）PM 2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m 的颗粒物，将数据0.0000025科学记数法表示为（）A ．72510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯【答案】C【分析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：C ．3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简2()b b a a a -÷-的结果是（）A ．－a －1B ．a －1C ．－a ＋1D ．－ab ＋b【答案】B【分析】原式=(1)(1)1(1)b b b a a a a a a a a b -⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故选B ．4．（2021·四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程4102x -=+的根为x=2，故②正确；方程11=的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；5．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程31222y ay y++--＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∴﹣1＜35a+≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的分式方程232x bx-=-的解是非负数，则b的取值范围是（）A．4b≠B．b≤6且b≠4C．b＜6且b≠4D．b＜6【答案】B【分析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．7．（2021·甘肃庆阳·二模）关于x的分式方程32x a x=-的解为2x=，则常数a的值为（）A．-1B．1C．2D．5【答案】A8．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程522x mx x-+--＝1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【答案】D【分析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，∵方程有增根，∴x＝2，将x＝2代入x﹣5﹣m ＝x﹣2，得：m＝﹣3，故选D．9．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【分析】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：18018032x x-=-，故选：D．10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（）A．1.2 1.216x+=B．1.2 1.213x+=C．1.2 1.2162x+=D．1.2 1.2132x+=【答案】C【分析】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为16，设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为1x，由题意可得，1.2 1.2162x+=，故选：C．11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A．10406x x=-B．10406x x=+【分析】解:设第二次分钱的人数为x 人,则第一次分钱的人数为(6)x -人,依据题意:10406x x=-,故选A ．12．（2021·内蒙古东胜·二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x 万份，据题意可列方程（）A ．400500510x x =-+B ．400500510x x =+-C ．400500510x x =+-D ．400500510x x=--【答案】B【分析】解：设更新技术后每天生产x 万份疫苗，则更新技术前每天生产（x -10）万份疫苗，依题意得，400500=510x x+-，故选：B ．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式16x x --+有意义，则x 的取值范围是_________．【答案】6x ≠-【分析】解：∵分式16x x --+有意义，∴60x +¹，解得：-6x ≠，故答案为：x ≠-6．14．（2021·北京·101中学三模）242x x --分式的值等于0，则x ＝_______．【答案】-2【分析】解：根据题意，得x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）＝0且x ﹣2≠0．所以x +2＝0．所以x ＝﹣2．故答案是：﹣2．15．（2021·广东实验中学三模）代数式||11x x +-有意义时，x 应满足的条件为______．【答案】x ≠1【分析】解：根据题意得：x −1≠0，解得：x ≠1．故答案为：x ≠116．（2021·福建·模拟预测）化简1(1)(11m m +-+的结果是_____．【答案】m【分析】1(1)(1)1m m +-+11(1)()11m m m m +=+-++(1)1mm m =++m =．故答案为：m ．17．（2021·湖北青山·一模）计算22168x -+的结果是______．【分析】解：221688164x x x x-+-+-()()()244844x x x x +-=---4844x x x +=---44x x -=-1=．18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程2152x x =+-的解是______．【答案】9x =【分析】解：2152x x =+-，方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+，去括号，得245x x -=+，移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解，故答案为：9x =．19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x 的方程2222x m m x x +=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =，故m 的值是1，②当方程没有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221m x m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.20．（2021·广东·江门市第二中学二模）方程511x x x =+-的解是______．【答案】3【分析】解：511x x x =+-，两边同乘(x +1)(x -1)得：x (x -1)=5(x +1)，解整式方程得，x=3经检验，x=3是原分式方程的解．故答案为：x=3三、解答题21．（2021·安徽·三模）解方程：24111x x x -=--．【答案】x ＝3【分析】解：方程的两边同乘x −1，得：()214x x --=，解这个方程，得：x ＝3，检验，把x ＝3代入x −1＝3－1＝2≠0，∴原方程的解是x ＝3．22．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）解分式方程：11222x x x -=---．【答案】无解知购进一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少8元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N 95口罩的单价各是多少元?（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．【分析】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则N95口罩的单价是(x +8)元，由题意可知：2000100008x x =+，解得：2x =，经检验，2x =是原方程的解，x +8=2+8=10，故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有2y +10(1800-y )≤10000，解得y ≥1000，故至少购进一次性医用外科口罩1000只．24．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的45．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．【分析】解：（1）设篮球每个x 元，足球每个45x 元，由题意得：800800245x x =-，解得：x =100，经检验：x =100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：45x ＝45×100＝80（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）足球m 个，总费用为w 元，则篮球（60-m ）个，由题意得，w =80m +100（60-m ）=-20m +6000，再由题意可得，20600052006015m m -+≤⎧⎨-≥⎩，解得，40≤m ≤45，由w =-20m +6000，∵-20＜0，∴w 随m 的增大而减小，。

解分式方程的典型错误剖析解分式方程是初中数学中一个重要的知识点，其涉及到分数的运算、代数式的化简及方程的解法。

但是，在实际的解题中，很多学生常常犯一些典型错误，导致解题的过程出现错误，无法得出正确的答案。

本文将对解分式方程中的典型错误进行剖析，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。

错误一：忽略分母为0的情况在解分式方程的过程中，常常会涉及到分母。

如果在运算过程中忽略了分母为0的情况，就会导致错误的结果。

例如，对于方程$\frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$，如果直接将分母约掉，则会得出错误的结果$x=1$。

事实上，由于分母$x-1=0$，因此这个方程的解并不包括$x=1$ 这个值。

解决方法：在运算过程中要记得检查分母是否为0，并将分母为0时的情况特别处理。

错误二：缺乏化简步骤解分式方程的关键是将分式化简成简单的代数式，从而得到方程的解。

如果在化简过程中疏忽了某些步骤，就会导致最终的解答出现错误。

例如，对于方程$\frac{3}{2x+1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{3x-2}$，如果没有进行通分和分子分母约分的步骤，就直接将分母约去，得出错误的解$x=\frac{5}{13}$。

解决方法：在解题过程中，要注重化简步骤，包括通分、约分、提公因数等操作，确保每一步都是正确的。

错误三：将不等式误解成方程在解分数方程时，有些题目实际上是不等式，但由于不熟悉题型，可能会误解成方程来解题，导致答案错误。

例如，对于不等式$\frac{1}{x-2}>1$，如果误解成方程，就会得出错误的解$x<\frac{3}{2}$。

解决方法：在解题前要分清题目是否为方程或不等式，采用正确的解题方法。

错误四：没有检查解的合法性解分式方程的最后一步是检查解的合法性，即将求得的结果带回原方程中验证是否成立。

如果忽略了这一步骤，就会导致解答错误。

例如，对于方程$\frac{x-2}{x-3}=1$，如果没有检查解的合法性，就会得出错误的解$x=2$。

分式方程典型易错点及典型例题分析分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式的基本性质例1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零. [错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.典例分析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B.C.D. 2．若分式的值等于零，则x＝_______；3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0 C．1D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法 解方程：32121---=-x x x （二）与同分母相关的分式方程8．解方程3323-+=-x x x【变式1】解方程87178=----x x x【变式2】解方程125552=-+-x x x 类型五：分式（方程）的应用9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n =a m+n; a m÷a n =a m－nn=6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n , (a m)mna7.负指数幂: a-p=1a0=1pa8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2。

中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．240280130x x=- B ．240280130x x=-C ．240280130x x += D ．240280130x x-= 2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多35m ．设该市去年居民用水的价格为x 元3/m ，根据题意下列方程正确的是（ ） A ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．15305113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．去分母解关于x 的方程322x mx x -=--产生增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘（ ） A ．xB ．2xC ．()2x x -D ．()32x x -5．下列方程中，无实数解的是( ) A ．2+x ＝0B ．2﹣x ＝0C ．2x ＝0D ．2x＝06．一艘轮船在静水中的最大航速为40/km h ，它以最大航速沿河顺流航行100km 所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km 所用时间相等，设河水的流速为/v km h ，则可列方程为（ ） A ．100804040v v =+- B ．100804040v v =-+ C ．100804040v v=+-D ．100804040v v=-+ 7．如果关于x 的方程3111a x x=---无解，则a ＝（ ） A 1B 3C 1D 138．某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．相距S 千米的两个港口A 、B 分别位于河的上游和下游，货船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时，一艘货船从A 港口出发，在两港之间不停顿地往返一次所需的时间是（ ） A ．2Sa b+小时 B ．2Sa b -小时 C ．S S a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时D ．S S a b a b ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭小时10．下列分式方程有解的是（ ）． A ．210x x+=B ．123x -＝0 C ．2111x x x x +=-- D ．11x -＝1 11．若整数k 关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，且使关于y 的分式方程24111y k y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的值之和为（ ） A ．4-B ．2-C ．1-D ．012．若关于x 的方程211-=--x mxx x无解，则m =（ ） A ．1-B ．1或1-C ．1D ．1-或53-13．若关于x 的方程233x m x x -=--有正数解，则( )． A ．m ＞0且m ≠3 B ．m ＜6且m ≠3 C ．m ＜0 D ．m ＞614．分式方程21x -－31x +=0的解为（ ） A ．x =3B ．x =－5C ．x =5D ．无解15．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ） A ．B ．C ．D ．16．下列说法中，正确的是（ ） A ．若24x =，则2x =±B ．方程()2121x x x -=-的解为1x =C ．若分式222x xx ++的值为0，则0x =或2-D ．当12k =时，方程()222110k x k x +-+=的两个根互为相反数17．若关于aa 为整数，若关于x 的分式方程1122x a x x+-=---的解为正数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣10 C ．﹣12 D ．﹣1518．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．519．若整数a 使得关于x 的分式方程()16244ax x x x +=--有正整数解，且使得关于y 的不等式组11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．23B ．20C ．16D ．1020．要使关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根，且使关于x 的分式方程2244x a x x++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二、填空题 21．若代数式62x +与4x的值相等，则x =_________. 22．分式方程1222x x x +=--的解是__________． 23．若51544x x x--=--有增根，则增根为______． 24．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x 平方米，则可列出方程为_______．25．用换元法解方程221321x xx x +-=+，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的整式方程是_________．26．若分式方程231x x --1m x -=1有增根，则m 的值为_________27．分式方程233x x=-的解是______． 28．若关于x 的分式方程233a x x x +=--有增根，则a 的值_____． 29．关于x 的分式方程223111kx x x x +=--+会产生增根，则k =______． 30．分式方程123x x-=的解x 等于______ 31．分式方程321x -＝1的解是______． 32．用换元法解分式方程225111x x x x++=+时，若设21x y x =+，则原方程可以化为整式方程_____． 33．分式方程321xx =+的解为x =______． 34．若关于x 的方程232x mx +=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 35．方程12022x x-=-的解是______． 36．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．37．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红蓝黄色球若干个，其中红色球有6个，黄色球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色球的概率为25，那么随机摸出一个为红球的概率为____．38．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元． 39．若关于x 的分式方程211x ax +=-的解为正数，则a 的取值范围为________．40．若2x =是方程113x a x -=+的解，则a =____．三、解答题41．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数． 42．解方程 (1)1311x x x =+++ (2)22403191x x -=-- 43．一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．(1)“摸到红球”是 事件， “摸到黑球”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”)(2)如果要使摸到盒子里黄球的概率为12，则需要往盒内再放入多少个黄球？(3)盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．44．台风“天鸽”登录珠海，距离珠海市180千米处的某武警部队立即派车前往救灾，按原计划速度匀速行驶60千米后，接上级通知，需紧急赶往目的地．于是以原速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前12分钟到达，求原计划的行驶速度． 45．解方程： (1)321x x =+ (2)11322xx x-=--- 46．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?47．某幼儿园计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的价格与一件乙种玩具的价格的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的价格分别是多少元？（2）该幼儿园计划用3500元购买甲、乙两种玩具，由于采购人员把甲、乙两种玩具的件数互换了，结果需4500元，求该幼儿园原计划购进甲、乙两种玩具各多少件？ 48．解方程：21333x x x-+=-- 49．分式方程2212212x x x x--=-的解为多少？50．解方程和不等式组：⑴ 212112x x x =--- ⑴ 4111123x xx x +>-⎧⎪⎨≤+⎪⎩（）参考答案：1．A【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【详解】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：240280130x x =-， 故选：A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 2．B【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可．【详解】设去年居民用水价格为x 元3/m ，根据题意列方程： 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键． 3．D【分析】先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x ＝2，即增根只能为2，然后把x ＝2代入整式方程即可得到m 的值． 【详解】解：方程两边乘（x−2）得，x−3＝m ， ⑴分式方程有增根， ⑴x−2＝0，即x ＝2， ⑴2−3＝m ， ⑴m ＝−1． 故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程有增根，求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键． 4．C【分析】根据最简公分母的确定方法确定分式132x x-、的最简公分母即可解答．【详解】解：⑴分式132x x-、的最简公分母()2x x-，⑴把分式方程132x x=-转化成整式方程时，方程两边同乘()2x x-．故选C．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．D【分析】根据解方程，可得答案．【详解】解：A、x+2＝0，解得x＝﹣2，故A正确；B、2﹣x＝0，解得x＝2，故B正确；C、2x＝0，解得x＝2，故C正确；D、2x，方程无解，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．6．C【分析】分析题意，由江水的流速为vkm/h，可知顺水速度为(40+v)km/h，逆水速度为(40-v)km/h；根据题意可得等量关系：以以最大航速沿河顺流航行100km所用时间和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，根据顺流时间=逆流时间，列出方程即可.【详解】设水的流速为vkm/h，根据题意得：10080 4040v v=+-【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，根据路程、速度、时间的关系，找出等量关系是解题的关键．7．B【分析】先去分母，化成整式方程，令x-1=0，确定x的值，回代x＝4－a，得a值．【详解】⑴3111ax x=---，⑴去分母，得3=x-1+a，整理，得x＝4－a，令x-1＝0，得x=1，⑴4－a ＝1， ⑴a ＝3． 故选B ．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解的意义是解题的关键． 8．C【详解】设原计划每天挖x 米，原来所用时间为，开工后每天比原计划多挖2米，现在所用时间为， 可列出方程：﹣=4．故选C ．9．D【分析】先分别算出顺水和逆水的速度,再根据时间=路程÷速度,算出往返时间. 【详解】依据顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度, 则顺水速度为a b +,时间为Sa b +,逆水速度为a b -,时间为S a b-, 所以往返时间为S S a b a b++-. 故选D【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握顺水逆水速度,以及时间、路程、速度三者直接的关系是解题的关键. 10．D【分析】分别按照解分式方程的步骤去分母，解整式方程可判断方程的解的情况． 【详解】A 、方程两边都乘以x 得：x 2+1=0，此整式方程无解，故原分式方程无解； B 、方程两边都乘以2x -3得：1=0，不成立，故方程无解；C 、方程两边都乘以x -1得：2x =x +1，解得x =1，而x =1时分母x -1=0，故原分式方程无解；D 、方程两边都乘以x -1得：x -1=1，解得x =2，当x =2时，分母x -1=1≠0，x =2是原分式方程的解； 故选：D ．【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 11．B【分析】根据不等式组的解集确定k 的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k 的所有可能的值，再进行计算即可．【详解】解：解不等式422x x +<+得：2x >，⑴整数k 使关于x 的一元一次不等式组422x x x k +<+⎧⎨>⎩的解集是2x >，⑴2k ≤， 解分式方程24111y k y y y ---=--得： 32y k =+， 则32k +是非负整数， ⑴1k =或1k =-或3k =-，当1k =-时，1y =是方程的增根，舍去， ⑴1k =或3k =-，⑴符合条件的所有整数k 的值之和为132-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提． 12．B【分析】方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x 的系数为0，分别解出m 的值即可． 【详解】解：211-=--x mxx x去分母，方程两边同时乘以（x ﹣1），得 2﹣x ＝﹣mx ∵方程211-=--x mxx x无解， ∴原分式方程分母为零或整式方程无解， ①当x ﹣1＝0时，则x ＝1是方程的增根， ∴2﹣1＝﹣m ， ∴m ＝﹣1；②当整式方程2﹣x ＝﹣mx 无解时， ﹣x +mx + 2＝0，（m -1）x ＝-2，m -1＝0，m ＝1，∴m 的值为1或1-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．13．B【分析】首先根据解分式方程的方法求出x 的值，然后根据解为正数以及x ≠3求出m 的取值范围．【详解】解：将方程的两边同时乘以(x -3)可得：x -2(x -3)=m ，解得：x =6-m ，根据解为正数可得：0x >且3x ≠，则：60m ->且63m -≠，解得：6m <且3m ≠．故选B ．【点睛】本题主要考查的就是解含有参数的分式方程以及分式的增根问题．在解决这个问题的时候很多同学容易忽视这个增根，从而导致答案错误.如果本题将正数解改为负数解，对于增根我们就没有必要再去考虑，所以同学们一定要注意增根是否在给出的解的范围之内，从而进行解答．14．C【分析】方程两边同时乘以()()11x x -+去掉分母，在解一元一次方程求出x 的值，最后检验即可得答案． 【详解】21x -－31x +=0 方程两边同时乘以()()11x x -+得()()21310x x +--=，去括号得:22330x x +-+=，移项合并同类项可得：5x -=-，解得5x=，经检验可得5x=是原分式方程的根，故选：C．【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程主要是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，最后要检验，避免有增根．15．A【详解】试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，⑴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，⑴提前5天完成任务，⑴﹣=5，故选A.考点：由实际问题抽象出分式方程．16．A【分析】根据解一元二次方程、分式方程的方法进行判断，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判定方程根的关系．【详解】A、运用直接开平方法解，得x=±2．故此选项正确；B、运用因式分解法，得x=1或12．故此选项错误；C、当x=-2时，x+2=0，是分式方程的增根，则原方程的根是x=0．故此选项错误；D、当k=12时，有方程12x2+1=0，此方程没有实数根．故此选项错误．故选A．【点睛】此题综合考查了一元二次方程的解法、分式方程的解法以及运用一元二次方程的根与系数的关系的结论时，前提是方程必须有实数根．17．C50a-≤<，再根据分式的解12ax-=为正数，可得1a>，确定a的取值范围，当2x=时的情形除外，求得所有正数解a，再求其和即可【详解】⑴. 500a a +≥⎧∴⎨->⎩50a ∴-≤< ⑴1122x a x x+-=--- 12x a x ++=-+解得 12a x -= 102a -> 1a ∴<2x ≠122a -∴≠ 3a ≠-综合⑴⑴：50,3a a -≤<≠-50,3a a -≤<≠-，a 为整数5,4,2,1a ∴=----，其和为542112----=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识．18．B【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案．【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠，解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解，当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=±所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉，所以a 的值为：1,2,3,-．故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．19．C【分析】解不等式组和分式方程，得出关于y 的范围及x 的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解，得出a 的范围，进而可得整数a ，再把整数a 相加即可． 【详解】解：11123132y y y a +-⎧->⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：1y >，解不等式②得：25y a ≤-，⑴不等式组有解，⑴不等式组的解为：125y a <≤-，⑴125a <-，解得：3a >；()16244a x x x x +=-- 解得：82x a =-， ⑴分式方程有正整数解，⑴2a -是8的约数，且8 42a ≠-，802a ≠-，2a ≠，解得：3a =或6或10，又⑴3a >，⑴符合条件的所有整数a 为6、10，⑴符合条件的所有整数a 和为：61016+=．故选：C【点睛】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a 的范围是解本题的关键．20．B【分析】根据一元二次方程根的情况得到0a ≠且()224?10a ∆=--≥解得：1a ≥-且0a ≠，再把分式方程化简求值得：6x a =-+，因为解为非负数，60a -+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠，所以16a -≤≤且0,2a a ≠≠，即可得出满足题意的整数解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根则2024(1)0a a ≠⎧⎨∆=--⎩1a ∴≥-且0a ≠关于x 的分式方程2244x a x x++=-- 去分母得：(2)2(4)x a x -+=-解得：6x a =-+分式方程的解为非负数60a ∴-+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠16a ∴-≤≤且0,2a a ≠≠∴满足题意的整数a 的值为1,1,3,4,5,6-故答案为：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．21．4 【分析】根据代数式62x +与4x的值相等，列出等式，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：642x x=+，去分母得：64(2)x x =+，移项合并同类项得：28x =，解得：4x =．经检验，x =4是原方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根．22．x 53= 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】两边同乘以2x -去分母得：﹣x +1=2x ﹣4，解得：x 53=， 经检验x 53=是分式方程的解． 故答案为：x 53=． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．4x =【分析】根据分式方程增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使分式的分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根，即可求出.【详解】解：⑴51544x x x--=--有增根 ⑴40x -=解得：4x =故答案为：4x =.【点睛】此题考查的是分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解决此题的关键. 24．3300033000111.2x x -= 【分析】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，由题意列出分式方程即可【详解】设原计划平均每天施工x 平方米，则实际平均每天施工(120%)x +平方米，根据题意得：3300033000111.2x x -=． 故答案为：3300033000111.2x x-=． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．2230y y --= 【分析】把21x y x+=代入原方程，去分母化简即可． 【详解】解：把21x y x+=，代入原方程得，32y y -=， 去分母，得2230y y --=．故答案为：2230y y --=．【点睛】本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．26．3 【详解】试题分析：先把分式方程231x x --1m x -=1去分母得，再根据增根的定义可得，最后把代入方程即可求得结果. 方程231x x --1m x -=1去分母得由分式方程231x x --1m x -=1有增根 所以，解得.考点：分式方程的增根点评：解题的关键是熟练掌握使分式方程的最简公分母等于0的根就是分式方程的增根. 27．9x =【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得3x -9=2x ，解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0．⑴原方程的解为：x =9．故答案为：x =9．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键． 28．3【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出a 的值即可．【详解】解：去分母，得：2(3)a x x -+=-，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得：3a =．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．29．4-或6##6或-4【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．【详解】解：方程两边同时乘以(1)(1)x x +-，得：2(1)+3(1)x kx x +=-，即(1)5k x -=-最简公分母为(1)(1)x x +-原方程的增根为1x =±将1x =代入整式方程得：4k =-，将=1x -代入整式方程得：6k =，故答案为：4-或6，【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：⑴化分式方程为整式方程；⑴把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握分式方程增根的含义是解题的关键．30．【详解】解方程：去分母得： 移项得： 系数化为1得：31．x=2．【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为（x+1）方程去分母后化为整式方程求解． 【详解】解：321x -＝1 3=21x -x=2经检验x=2是原方程的解故答案为：x=2．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程结果要检验．32．2510y y +-=【分析】本题考查用换元法化分式方程为整式方程的能力，注意观察方程中分式与y 的关系，代入换元． 【详解】解：设21x y x =+，则2551x y x =+，211x x y +=， 代入原方程得151y y+=， 整理得，2510y y +-=．故答案为：2510y y +-=．【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．33．2【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解． 【详解】解：321x x =+， 322=+x x ，2x =， 经检验2x =是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．34．6m ≥-且4m ≠-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m 的范围，但是必须保证分母不为零即可．【详解】解：分式方程去分母得：2x +m =3x -6，解得：x =m +6，由分式方程的解是非负数，得到m +6≥0，且m +6≠2，解得：6m ≥-且4m ≠-，故答案为：6m ≥-且4m ≠-．【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．25x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：240x x --=， 解得：25x =， 检验：把25x =代入得：220x x -≠（）， ∴分式方程的解为25x =． 故答案为：25x =． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 36．600600105x x-=- 【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可．【详解】解：设实际参加游览的同学一共有x 人， 由题意得：600600105x x -=-， 故答案为：600600105x x-=-． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．37．625【详解】设蓝色球有x 个，由题意得2695x x =++ ， 解之得10x =⑴随机摸出一个为红球的概率为66691025=++ . 38．4【分析】由去年这种水果批发销售总额为10000元，可得今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元，可列出方程：12000100010001x x -=+，求得x 即可 【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x +1）元 今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元 ⑴120001000010001x x -=+ 整理得x 2-x -12=0解得x =4或x =-3经检验x =4或-3都是分式方程的解（x =-3不合题意，舍去）．故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 39．1a <-且2a ≠-##a ≠-2且a ＜-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可．【详解】解：去分母得：21x a x +=- ，解得：1x a =-- ，由分式方程的解为正数，得到10a --＞ ，且11a --≠ ， 解得：a ＜-1且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．40．1【分析】把2x =代入方程113x a x -=+，解一元一次方程可得. 【详解】把2x =代入方程113x a x -=+，得 21213a -=+， 去分母，得6-3a=3解得a=1故答案为1【点睛】考核知识点：分式方程的解.解一元一次方程是关键.41．甲平均每分钟打60个字．【详解】分析：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x ＋20）个字，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．详解：设甲平均每分钟打x 个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字， 根据题意得：135x =18020x +， 解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：甲平均每分钟打60个字．点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 42．(1)2x =-(2)无解【分析】（1）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验；（2）去分母化为整式方程即可解决问题，最后检验．【详解】（1）1311x x x =+++ 方程两边同乘()1x +，得：()131x x =++解得：2x =-检验：当2x =-时，()10x +≠所以，原分式方程的解为：2x =-．（2）22403191x x -=-- 方程两边同乘()()3131x x +-，得：()23140x +-=， 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()31310x x +-=，因此13x =不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．43．(1)随机，不可能(2)需要往盒子里再放入1个黄球(3)将1个黄色球换成绿色球，理由见解析【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；（2）当黄球个数是总数的一半时，摸到盒子里黄球的概率为12，由此可解；（3）让每种颜色球的个数变成一样即可．(1)解：盒子里有红球、绿球和黄球，因此“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，故答案为：随机，不可能；(2)解：设需要往盒内再放入x 个黄球,根据题意得：413242x x +=+++ 解得：x =1，经检验：x =1为原方程的解，答：需要往盒子里再放入1个黄球．(3)。

分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1.(2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13. (2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14. (2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。

分式单元复习（一）、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。

概念分析：①必须形如“BA”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。

．．．例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx 练习：1、下列有理式中是分式的有（ ）A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、572、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +51、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。

A 、2B 、3C 、4D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。

即：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式有理式例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上①21x ②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式： ；分式 。

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数） 例:当x 时，分式22+-x x 有意义；当x 时，22-x 有意义。

练习：1、当x 时，分式6532+--x x x 无意义。

分式运算中的常见错误
为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳小结几种错误原因如下，供同学们学习时参考．
一、忽视隐含条件
错解：当|x|－1＝0，即x=±1时，上述分式的值为零．
分析：由于x=1时，分母2x2－x－1=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=－1．
二、轻易约分
由x－6=0得x＝6，∴当x=6时分式没有意义．
分析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式（x+1），相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的允许值范围．正确答案：x＝6或x=－1．
三、忽视符号的意义
四、违背乘除运算法则
五、除法错用乘法分配律
六、去掉分母通分
错解：原式=x3－（x－1）（x2+x+1）=x3－（x3－1）＝1．
分析：本题错在通分时没有保留分母，而是消去了分母．正确答案为：1
x1七、结果不是最简分式
分析：本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式2a 4(a 1)(a 2)(a 3)
----的分子分母约去相同的因式（a －2），。

“解分式方程”易错点剖析
作者：邹兴平
来源：《语数外学习·上旬》2013年第12期
初学分式方程时，同学们因存在对概念理解得模糊、考虑不周全、思维定势等问题，常常会出现各种各样的错误.现对几类比较常见的错误剖析如下，望同学们能引以为鉴.
一、去分母时，常数漏乘公分母而出错
错因分析：错解错在没有用括号将（x-1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.分数线除了表示除号（或比号）外，当分子为多项式时，还起着括号的作用.在去分母时，必须用括号将整个分子括起来，再按去括号法则求解.
正解：方程两边都乘（x+1）（x-1），得3-（x-1）=0.解这个方程，得x=4.
检验：当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.
四、解分式方程忽视验根致错
正解：a的值为1或-2.。

分式方程练习题的错误分析引言本文将对一系列分式方程练题中出现的错误进行分析和探讨。

通过深入研究这些错误，有助于我们理解分式方程的解题方法与技巧，为正确解答类似的问题提供参考。

错误分析错误1：分母为零在一道练题中，学生在求解分式方程时，将分母设为零进行计算。

然而，这是错误的，因为分母不能为零。

正确的做法应该是先对方程进行化简，然后找到方程的解。

错误2：未进行通分在另一道练题中，学生在使用分数除法时，未将分母进行通分，导致最终结果出现错误。

正确的做法是先对分母进行通分，然后再进行分数的加减乘除。

错误3：未注意负号在某道练题中，学生在进行分数的乘法时，未注意到负号，导致最终结果与正确答案相差甚远。

正确的做法是在进行分数运算时，要仔细注意各数之间的正负关系。

解决方案为了帮助学生避免上述错误，我们可以采取以下措施：1. 强调分母不能为零的原则，让学生在解题过程中牢记这一要点；2. 提醒学生在进行分数运算时，要先进行通分，确保结果的准确性；3. 帮助学生建立正确的运算意识，特别注意各数之间的正负关系。

结论通过对分式方程练题中出现的错误进行分析，我们可以得出以下结论：在解题过程中，学生应当特别注意分母不能为零，要进行通分，以及注意各数之间的正负关系。

只有掌握了这些基本技巧，才能正确解答分式方程练题，并在数学研究中取得更好的成绩。

接下来，我们需要进一步研究更多的分式方程练题，不断提高解题的准确性和效率。

参考文献- [Insert reference 1]- [Insert reference 2]。

分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7.(2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。

中考分式方程组易错题50题含答案解析一、单选题1．某同学借了一本书，共140页，要在一周内读完．当他读了这本书的半时，发现平均每天要多读21页才能刚好在借期内读完，他读这本书的前一半时，平均每天读多少页？设他读这本书的前一半时，平均每天读x 页，则下列方程中正确的是( ) A ．7070721x x +=- B ．7070721x x +=+ C ．140140721x x +=- D ．140140721x x +=+ 2．为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两个检测队分别负责A 、B 两个生活区的核酸检测．已知A 生活区参与核酸检测的共有3000人，B 生活区参与核酸检测的共有2880人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟．已知乙检测队的检测速度是甲检测队的1.2倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测x 人，根据题意，可以得到的方程是（ ）A ．30002880101.2=+x x B ．30002880101.2=-x x C ．3000288011.26=+x x D ．28803000101.2=+x x3．关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．34．小明和小亮同时从学校出发到新华书店去买书，学校和书店相距7500米，小明骑自行车的速度是小亮步行速度的1.2倍，小明比小亮早15分钟到书店，设小亮速度是x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A ．75007500151.2x x -= B ．7500750011.24x x -= C ．7.57.5151.2x x -= D ．7.57.511.24x x -= 5．若关于x 的方程255x mx x -+--=0有增根，则m 的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．5D ．36．已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--的根为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．20且m m >-≠B ．2m <-C ．24且m m <-≠-D ．6m <-7．已知=，则x 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．8．九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x 个每分钟，则列方程正确的是（ ） A ．12018060x x =+ B ．12018060x x =- C ．12018060x x =+ D ．12018060x x=- 9．若关于x 的分式方程211x ax -=+的解为负数，则字母a 的取值范围为（ ） A ．a ≥﹣1 B ．a ≤﹣1且a ≠﹣2 C ．a ＞﹣1 D ．a ＜﹣1且a ≠﹣210．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠411．方程14233x x x -+=-- 的解是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．无解12．一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（ ） A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天13．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．2114．若关于x 的一元一次不等式组91331x x x a +⎧+≥⎪⎨⎪>+⎩的解集为3x ≥，且关于y 的分式方程122+=---y a y y 有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．10B ．12C ．18D ．2015．解关于x 的方程311x mx x -=--产生增根，则常数m 的值等于 （ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．216．如果关于x 的分式方程3111ax x x=---的解为整数，且关于y 的不等式组()322242y y y y a +⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．417．如果分式21x -与33x +的值相等，则x 的值是( ) A ．9B ．7C ．5D ．318．龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m ．在修建完400m 后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm ，依题意列方程得（ ） A ．170017004(125)x x -=+％ B ．170040017004004(125)x x ---=+％C ．170017004004(125)x x --=+％ D ．170040017004004(125)x x ---=+％ 19．有下列说法：①关于x 的分式方程3122++=--x m x x无解，则1m =；①已知2310x x -+=，则2217x x +=；①关于x y 、的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将次方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①20．王老师乘公共汽车从A 地到相距50千米的B 地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时所花的时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．50350204x x=⨯+ B ．50350420x x =⨯+ C ．50150204x x+=+ D ．50501204x x =-+二、填空题 21．已知分式方程5133x m x x+=--有增根，则m 的值为_____． 22．已知关于x 的方程2333x mxx x =-++无解，则m =______． 23．定义新运算：aa b b*=，则方程1(21)1(2)x x *+=*-的解为_____________． 24．方程25235x x =+-的解是___________． 25．小华做小孔成像实验（如图），已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm ，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_______cm 的地方时，蜡烛焰AB 是像A B ''的一半．26．若关于x 的方程122kx x +-+＝234-x 有增根，则k 的值为_____．27．要使关于x 的方程211x ax -=+的解是负数，a 的取值范围是________． 28．若关于x 的方程312x ax +=-的解是最小的正整数，则a 的值是________． 29．如果x y y +=74，那么x y 的值是_______.30．方程2111x x x+=-+的解是______． 31．若分式65x x --的值是2，则x ＝_____． 32．若关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为________． 33．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m ＝______. 34．若关于x 的分式方程11322ax x x-+=--有正整数解，则整数=a ______． 35．方程214124x x +=+-的解是_____． 36．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为_______．37．一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为x 千米/时，则可列方程为__________38．若关于x 的一元一次不等式组172142x x x a -⎧<-⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩有解，且关于y 的分式方程7111y a y y -+=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为__________． 39．如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是______. 40．当m=______时，解分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根．三、解答题41．解方程组和分式方程： （1）解方程组x 2y 0{3x 4y 6+=+= （2）解分式方程75x 22=-． 42．解下列方程 (1)122x x =- (2)214111x x x +-=-- 43．已知关于x 的分式方程3111m x x -=--的解是正数，求m 的取值范围． 44．某公司第一季度花费3000万元向海外购进A 型芯片若干条，后来，受国际关系影响，第二季度A 型芯片的单价涨了10元/条，该公司在第二季度花费同样的钱数购买A 型芯片的数量是第一季度的80%，求在第二季度购买时A 型芯片的单价． 45．京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？46．解方程： （1）2115x x +=- （2）144108324x x x -=++ 47．(1)因式分解：x 3﹣2x 2+x ； (2)解方程：11x x +-﹣1＝241x -．48．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． 49．某地新修一条公路，甲、乙两个工程队承包此项工程，如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需多少时间？50．2022年2月，举世瞩目的冬奥会在北京如期举行，某网店推出了冬奥会纪念版卫衣与冲锋衣．据了解，1件卫衣比1件冲锋衣便宜60元，用720元买的卫衣的数量与用1080元买的冲锋衣的数量相同． (1)求卫衣与冲锋衣的单价分别是多少元；(2)据统计，2月卫衣销量是90件，冲锋衣销量是70件．3月由于疫情反弹，两种衣服的销售均受到影响，商家为了刺激消费，进行了降价销售，卫衣单价降低了m 元，销量仍减少了12m 件，冲锋衣单价保持不变，销量减少了13m 件，最终3月总销售额比2月少了195m 元，求m 的值．参考答案：1．B【分析】根据“读前一半所用的天数+读后一半所用的天数=7”，即可列出分式方程得到答案．【详解】解：设读前一半时平均每天读x 页，则读后一半时每天读()21x +页， 总页数为140页，则一半为70页， 依题意，得：7070721x x +=+， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是根据题意找到等量关系． 2．A【分析】由题可知甲队检测A 生活区需要3000x 分钟，知乙队检测B 生活区需要28001.2x分钟，由乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟，结果两个检测队同时完成检测，可得等量关系3000280010.1.2x x=+ 【详解】解：甲检测队每分钟检测x 人，已知乙检测队的检测速度是甲检测队的1.2倍， 则A 生活区参与核酸检测的共有3000人共需要3000x分钟，B 生活区参与核酸检测的共有2880人需要28001.2x分钟． ①乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟，结果两个检测队同时完成检测， 3000280010.1.2x x∴=+ 故选：A ．【点睛】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，找到等量关系是解决此题的关键． 3．B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2650x x --=， 解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解， 故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【分析】由题意设小亮速度是x 千米/小时，根据题意小明比小亮早15分钟到书店列出方程即可.【详解】解：由小明比小亮早15分钟到书店可得小亮的行程时间减去小明的行程时间等于156041=小时，所以列出方程为7.57.511.24x x -=. 故选：D.【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据题干数量关系列出分式方程． 5．D【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可． 【详解】解：①关于x 的方程25--x x +5mx -=0有增根， ①x ﹣5=0， ①x =5， ①2﹣x +m =0， ①m =3， 故选：D ． 6．C【分析】先解分式方程用m 表示出x ，再根据分式方程的根为正数结合分式有意义的条件求解即可．【详解】解：方程两边同时乘以24x -得，2（x +2）+mx =0， 解得42+x m=-． ①x 为正数，①2+m ＜0，解得m ＜-2． ①x ≠2，①2+m ≠-2，即m ≠-4．①m 的取值范围是m ＜-2且m ≠-4． 故选C ．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．【详解】试题分析：根据内项之积等于外项之积得到2x=15，然后解一次方程即可． 解：①=， ①2x=15， ①x=．故选B ．考点：比例的性质． 8．C【分析】设小王跳绳速度为x 个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得，12018060x x =+， 故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9．D【分析】先求出分式方程的解，由分式方程有意义的条件可知1x ≠-，即方程的解1≠-，由解为负数可知分式方程的解小于0，可得字母a 的取值范围. 【详解】解：方程两边同时乘以（x +1），得2x ﹣a ＝x +1， 解得：x ＝a +1， ①解为负数， ①a +1＜0， ①a ＜﹣1，因为分式有意义，则10x +≠，1x ≠-，即11a +≠-，解得2a ≠- ①a ＜﹣1且a ≠﹣2， 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程，根据分式方程解的情况确定参数的取值范围，解题过程中易忽视分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 10．C【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a 的范围即可． 解：去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，解得：x =223a -， 由题意得：223a -≥0且223a -≠2， 解得：a ≥1且a ≠4， 故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解答：去分母得：1+2(x −3)=4−x ， 去括号得：1+2x −6=4−x ， 解得：x =3，经检验x =3是增根，原分式方程无解． 故选D【点睛】本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根. 12．B【分析】根据题意可设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，结合“甲、乙二人合做2天完成”列方程求解即可.【详解】设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得，112()13x x ⨯+=+解得，13x =， 22x =-，经检验，13x =， 22x =-是原方程的根，但22x =-不符合题意，舍去. ①x=3,故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B.【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．13．C【分析】根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．【详解】根据题意得，2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，5条直线最多将平面分成16个区域4=16a 则11=3=1+2a -，21=6=1+2+3a -，31=10=1+2+3+4a -，41=15=1+2+3+4+5a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++12111111n a a a ∴++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222++⋅⋅⋅+⨯⨯11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣⎦ 1111112233412n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 2n n =+ 121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=--- 10211n n ∴=+ 2101211n ∴-=+21211n ∴=+ 222n ∴+=20n ∴=经检验n=20是原方程的根故选：C ．【点睛】本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 14．A【分析】先解出不等式组的解集，结合不等式的解集是3x ≥确定出a 的范围，再解出分式方程的解，由分式方程的解为整数解，分别计算即可得出结果． 【详解】解：由913x x ++≥，得3x ≥ ， 由3x >a +1，得a 1x 3+>， ①不等式组的解集为3x ≥， ①133a +< ， 解得8a < ， ①122+=---y a y y， ①()2y a y -=-- ， ①12a y =+ ， ①分式方程有正整数解，①a 是大于或等于0的偶数，①a =0，2，4，6，当a =2时，122a y =+=， 则y -2=0，不符合题意，①符合条件的a 有：0，4，6①所有满足条件的整数a 的值之和为：0+4+6=10．故选：A ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集、分式方程、不等式组整数解、熟练并正确的进行计算是解题的关键．15．A【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】解；方程两边都乘(x−1)，得x−3=m，①方程有增根，①最简公分母x−1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=−2.故选A.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是求出增根进而求出未知字母的值. 16．A【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求解a的值，再根据一元一次不等式组有解，求解a的取值范围，从而可得答案.【详解】解：3111 axx x=---13, ax x12, a x关于x的分式方程3111axx x=---的解为整数，1,a∴≠则2,1xa11a∴-=±或12,a解得：2a=或0a=或3a=或1,a=-又10,x则1,x≠即21,1a3,a∴≠所以2a=或0a=或1,a=-()322242yyy y a①②+⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩由①得：2y≥由①得：42,y a关于y 的不等式组()322242y y y y a +⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，422,a1,a综上：0a =或1,a =-∴ 符合条件的所有整数a 的和为 1.-故选A【点睛】本题考查的是分式方程的整数解，根据一元一次不等式组有解求解参数的取值范围，掌握“解分式方程及分式方程的整数解的含义，一元一次不等式组有解的含义”是解本题的关键.17．A 【详解】由题意得：2326339.13x x x x x =⇒+=-⇒=-+ 经检验：x =9是方程的解．故选A.18．C【分析】设原计划每天修建xm ，则实际每天修建（1+25%）xm ，根据题意可得，增加工作效率之后比原计划提前4天完成任务，据此列方程.【详解】解：设原计划每天修建xm ，则实际每天修建（1+25%）xm ，由题意得： 170017004004(125%)x x --=+ 故选C.19．D【分析】①将分式方程化为整式方程并求出解，根据分式方程无解可知增根为x ＝2，然后即可求出m ；①对等式进行化简可得13x x+=，然后利用完全平方公式求解即可；①根据题意得到新方程为（a−1）x ＋（a ＋2）y ＝（x ＋y ）a ＋2y−x ＝2a−5，进而可得225x y y x +=⎧⎨-=-⎩，求出x 、y 的值，即可得出公共解.【详解】解：①关于x 的分式方程去分母得3−x−m ＝x−2，即x ＝52m ， 由分式方程无解，可得x−2＝0，即x ＝2，①522m，解得：m ＝1，正确；①①2310x x -+= ①130x x -+=，即13x x +=， ①22211()27x x x x+=+-=，正确； ①关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程为：（a−1）x ＋（a ＋2）y ＝（x ＋y ）a ＋2y−x ＝2a−5，可得：225x y y x +=⎧⎨-=-⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩， 则当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程的公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，正确， 故选D ．【点睛】此题考查了分式方程无解问题，分式化简求值以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的性质和解法是解本题的关键．20．A【分析】根据题意得到回来时的速度为（x+20）千米/时，根据时间等于路程除以速度即可列出方程.【详解】根据题意得到回来时的速度为（x+20）千米/时，去时的时间是50x小时， 回来时的时间是5020x +， ①回来时所花的时间比去时节省了14， ①50350204x x=⨯+， 故选：A.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键.21．-0.6【分析】根据题意去分母以及由分式方程有增根求出x ，并代入整式方程进行计算即可得出m 的值．【详解】解：去分母得：x+x ﹣3=﹣5m ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m ，解得：m=﹣0.6．故答案为：-0.6．【点睛】本题考查分式方程有增根的求参问题，熟练掌握分式方程有增根的情况即分母为零是解题的关键．22．5或2##2或5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m 的值即可．【详解】解：去分母得：()233x mx x =-+，即()59m x -=，由分式方程无解，得到50m -=或935x m ==--， 解得：5m =或2m =，故答案为：5或2．【点睛】本题目考查分式方程，涉及的知识点有分式方程的解法以及分式方程无解的条件，难度一般，是中考的常考知识点．23．3x =-【分析】根据新定义运算列出分式方程，故可求解．【详解】①a a b b*= ①1(21)1(2)x x *+=*-可化为11212x x =+- ①去分母得221x x -=+解得x=-3 把x=-3代入分母20,210x x -≠+≠①x=-3是原方程的解故答案为x=-3．【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 24．20【分析】按照分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：25235x x =+- 化为整式方程，可得：()()23552x x -=+即610510x x -=+解得20x经检验，20x是原分式方程的解， 故答案为：20【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤． 25．5【分析】设小孔纸板应放在离蜡烛x cm 的地方，根据蜡烛焰AB 是像A B ''的一半即可列方程求解．【详解】解：设小孔纸板应放在离蜡烛x cm 的地方，由题意得：1152x x =- 解得5x =，经检验，x =5是原方程的解，则小孔纸板应放在离蜡烛5cm 的地方时，蜡烛焰AB 是像A B ''的一半．故答案为：5【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．26．34- 【分析】根据题意关于x 的方程有增根，得到x 的值为2或-2，代入求出k 的值即可．【详解】解：去分母，得(2)(2)3x k x ++-=， ①211k x k +=+， ①原方程122k x x +-+＝234-x 的增根可能是 2或 -2， ①当2x =时，211k k ++=2，此时k 无解， 当2x =-时，2121k k +=-+，解得34k =-， ①当34k =-时，原方程122k x x +-+＝234-x 有增根．故答案为：34-． 【点睛】本题考查分式方程的增根，熟练掌握方程的增根的定义，并利用增根定义进行解题求出参数的值是本题解题的关键．27．a ＜-1且a ≠-2【分析】把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a 的范围． 【详解】解：211x a x -=+， 解得：x =a +1，①方程的解是负数，①x =a +1＜0，①a ＜-1，当x =-1时，-1-a -1=0，①a =-2，①a 的取值范围是：a ＜-1且a ≠-2，故答案为：a ＜-1且a ≠-2．【点睛】此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．28．4-【分析】先解出方程，再由原方程的解是最小的正整数，可得到关于a 的方程，解出即可． 【详解】解：312x a x +=-， 去分母得：32x a x +=- ， 解得：22a x --= ， ①关于x 的方程312x a x +=-的解是最小的正整数， ①212a --=， 解得：4a =- ．故答案为：4-．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，根据题意得到关于a 的方程是解题的关键．29．34【分析】先去分母得到4()7x y y +=，再移项变形即可得到34x y =. 【详解】因为x y y +=74，所以4()7x y y +=，计算得到34x y =. 【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握移项等基本解题步骤.30．3x =-【分析】先去分母，去括号，然后移项合并，再进行检验，即可求出方程的解． 【详解】解：2111x x x+=-+， 去分母，得2(1)(1)(1)(1)x x x x x ++-+=-，去括号，得22221x x x x ++-=-，移项合并，得3x =-；检验：把3x =-代入(1)(1)x x -+，则(1)(1)0x x -+≠；①3x =-是原方程的解；故答案为：3x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤和方法． 31．4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：根据题意得：65x x --＝2， 去分母得：x ﹣6＝2x ﹣10，解得：x ＝4，经检验x ＝4是分式方程的解．故答案为：4．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 32．5-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m ，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，代入整式方程得：−5=−2+2+m ，解得：m=−5，故答案为-5.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.33．-3【分析】先将分式方程化成整式方程，再将x=-1代入求出m 的值，即可得出答案. 【详解】3211x m x x =+++ 3x=m+2(x+1)①分式方程无解①x=-1将x=-1代入得：3×(-1)=m+2×(-1+1)解得：m=-3故答案为：-3.【点睛】本题考查的是解分式方程，难度中等，分析分式方程有增根是解决本题的关键. 34．2或1-##1-或2 【分析】先去分母解整式方程得43x a =-，根据分式方程有正整数解，得到3a -的值为1或2或4，且423a≠-，由此求出答案． 【详解】解：去分母得，()1321ax x -+-=-，整理得，()34a x -=， 解得43x a=-， ①分式方程有正整数解，①3a -的值为1或2或4，且423a≠-， 解得2a =或1-，故答案为：2或1-．【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．35．x ＝3【分析】最简公分母是（x+2）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，解得x＝3或x＝﹣2．经检验x＝﹣2是原方程的增根①原方程的解为：x＝3．故答案为x＝3．【点睛】考查解分式方程；掌握基本步骤是解决本题的关键；注意分式方程必须验根．36．30456 x x=+【分析】先用含x的代数式表示出甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间，然后根据二者时间相同即可列出方程．【详解】解：设甲每小时做x个，则乙每小时做（x+6）个，根据题意，得：30456x x=+．故答案为：30456x x=+．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键．37．1601805 x x=+【分析】根据行程问题的基本公式，列出汽车在加速前和加速后行驶所用的时间，由行驶这两段路程所用的时间相等，即可列出方程．【详解】解：根据题意知，汽车加速前行驶的时间为：160x，汽车加速后行驶的时间为：1805x+，由行驶这两段路程所用的时间相同，得：1601805x x=+．故答案为1601805x x=+．【点睛】此题考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．38．14-【分析】先对不等式组进行求解，然后根据不等式组有解得出a 的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有非负整数解以及增根的情况讨论出所有符合题意的整数a 的值，最终求和即可． 【详解】对于172142x x x a -⎧<-⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：521x x a <⎧⎨≥+⎩， ①该不等式组有解，①215a +<，解得：2a <， 对于7111y a y y -+=--，解得：82a y +=， ①1y =为原分式方程的增根，①1y ≠，即：812a +≠，解得：6a ≠-， 又①原分式方程有非负整数解，且2a <， ①802a +≥，解得：82a -≤<且6a ≠-， ①在此范围内能使得82a y +=是非负整数的整数a 是8420---、、、， ①符合条件的所有整数a 的和为842014---+=-，故答案为：14-．【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的求解，通过题目条件，准确分步求出参数的范围是解题关键．39．x=3． 【分析】先对1134x m x x +-=-+ 去分母，再化简得到（m+2）x+15+4m=0，根据增根的性质得到最简公分母（x-3）（x+4）=0，计算即可得到答案.【详解】方程两边都乘（x-3）（x+4），得（x+m ）（x+4）-（x-3）=（x+4）（x-3），化简得：（m+2）x+15+4m=0，①原方程有增根，①最简公分母（x-3）（x+4）=0，解得：x=3或x=-4．当x=3时，m=-3，故m 的值可能是-3，当x=-4时，7=0，这是不可能的．①增根是x=3．故答案为x=3．【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握增根的求解.40．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根只能是x=12，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=12代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值． 【详解】解：由题意知分式方程()1m 2332x 12x 1+=--会出现增根是x=12， 去分母得7-2x=m将x=12代入得m=6即当m=6时，原分式方程会出现增根．故答案为6．【点睛】本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．41．（1） x 6y 3=⎧⎨=-⎩ （2）4.8【分析】（1）利用代入消元法解方程组．（2）最简公分母为2（x ﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【详解】（1）解：x 2y 03x 4y 6+=⎧⎨+=⎩①②， 由①得x=﹣2y ①把①代入①，得3×（﹣2y ）+4y=6，解得y=﹣3．把y=﹣3代入①，得x=6．①原方程组的解为x 6y 3=⎧⎨=-⎩． （2）解：去分母，得14=5（x ﹣2），解得x=4.8，检验：当x=4.8时，2（x ﹣2）≠0，①原方程的解为x=4.8．【点睛】解二元一次方程组．42．(1)=4x(2)无解【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：方程两边同乘()2x x -得：()22x x =-，解得=4x ，检验：当=4x 时，()()24420x x -=⨯-≠，①=4x 是原方程的解．（2）解：去分母得：()()()()11411x x x x ++-=+-去括号得：222141x x x ++-=-移项、合并同类项得：22x =解得：=1x检验：当=1x 时，()()110x x +-=，①原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 43．m ＞2且m≠3．【详解】试题分析：方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．试题解析：方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，解得x=m-2，①分式方程3111m x x -=--的解为正数， ①x=m-2＞0且x-1≠0，即m-2＞0且m-2-1≠0，①m ＞2且m≠3．考点：分式方程的解．44．在第二季度购买时A 型芯片的单价为50元.【分析】依据题目找到数量关系：第一季度购买时A 型芯片的数量80%=⨯第二季度购买时A 型芯片的数量，列出方程，解方程即可．【详解】解：设在第二季度购买时A 型芯片的单价为x 元，依题意可得：4430001030001080%=x-10x⨯⨯⨯ 解得：x 50=经检验可知x 50=是原分式方程的解．答：在第二季度购买时A 型芯片的单价为50元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到数量关系列出方程是解题的关键.45．乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米.【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x 平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x 平方米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x 平方米，那么甲工程队每天能完成的绿化面积是2x 平方米， 根据题意得：40040042x x-= 解得：50x =经检验：50x =是所列方程的解，并且符合实际问题的意义；当50x =时，2100x =答：乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米.。

分式方程常见错题分析解分式方程的基本方法是运用化归的数学思想将分式方程转化为整式方程.其解法可表述为图1所示.其中，去分母采用的是方程两边同乘以最简公分母.由于方程两边同时乘的最简公分母这个代数式不能保证它不等于零，所以此步骤不是同解变形，它实际上是放大了原分式方程的解集，从而会带来不适合原方程的根，即增根产生的根本原因所在.比如“2=3”这个等式本身不成立，但两边同乘以0后得：2×0=3×0，成立了.其实这种采取先放大原方程的解集的范围，然后再检验并舍去不适合原方程的解（增根）的方法，在数学解方程里应用很广泛.这样它不会漏掉方程的解.相当于“欲擒故纵”的处理方法.类似的如无理方程的解法基本思想也是转化为有理方程.如图2.这种办法也是采取放大原无理方程的解范围.因为方程两边平方不是同解变形.如-2=2这个式子本身不成立，但平方后得（-2）2=22就成立了.这种解法也会导致原方程的增根，所以需检验.例1如果分式方程-=0有增根，它的增根是什么？错解：由最简公分母（x-1）（x+1）=0得x=1或x=-1.所以增根是：x=1或x=-1.正解：由最简公分母（x-1）（x+1）=0得可能的增根是x=1或x=-1.由原方程去分母得整式方程：（x+1）-m（x-1）=1.x=1代入整式方程，得2-m×0=1不成立，即x=1不可能是增根.x=-1代入整式方程，得2-m×（-2）=1，解得m=，即m=-会产生增根x=-1.综上：增根是x=-1.注：对分式方程的解法来说，增根本身应满足两个条件，一是使得公分母为零，二是它本身是整式方程的根.此题中的x=1不满足整式方程，所以不是增根.例2若关于x的方程：-=的解为负数，求m的取值范围.错解：两边同乘以（x+1）（x+m），得2（x+m）-（x+1）=1，解得x=2-2m.由2-2m1.正解：两边同乘以（x+1）（x+m），得2（x+m）-（x+1）=1，解得x=2-2m.由题意得x1且m≠，m≠2.注：分式方程的解法不是同解变形，需考虑增根的产生，即考虑最简公分母不为零.例3如果方程+=的解是整数，求整数m的值.错解：方程两边同乘以x（x-1），得x-1+mx=2，解得x=.∵方程的解是整数且m也是整数，∴m+1=±1或±3.从而得整数m为0或±2或-4.正解：方程两边同乘以x（x-1），得x-1+mx=2，解得x=.∵方程的解是整数且m也是整数，∴m+1=±1或±3.从而得整数m为0或±2或-4.∵方程可能的增根是0，1，∴由且≠1，解得m≠2.综上可知，m的值为0或-2或4.注：在解决有关分式方程问题时，考虑分式方程解法本身，都应注意增根问题.例4下面是小灵解分式方程-5=的过程.将原方程左边通分，得=.等式左右两边分子相等，于是他用自创的规则，得7-x=13-x，即7=13.小灵惊呆了，大呼：“我错在哪里？”答：由=，得到7-x=13-x的前提是4x-40≠0.当4x-40≠0时，x=是原方程的根.总之，利用分式方程解决问题时，应正确理解分式方程解法中增根产生的根本原因.就增根本身而言，它应满足两个条件：一是使得公分母为零，二是它本身是整式方程的根.有了这样的认识，就可避免错误了.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。

分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式的基本性质例1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.典例分析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B.C.D.2．若分式的值等于零，则x＝_______；3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．(一) 通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法 解方程：32121---=-x x x （二）与同分母相关的分式方程8．解方程3323-+=-x x x 【变式1】解方程87178=----x x x 【变式2】解方程125552=-+-xx x9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2。

分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4.100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。