成人高考一元函数积分学整理.

一元函数积分学总结引言积分是微积分学中的重要概念之一，它与微分一样具有重要的应用价值。

一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，其研究对象是一元函数的积分与求解。

本文将总结一元函数积分学的基本概念、性质、计算方法以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用一元函数的积分学知识。

一元函数积分的基本概念一元函数积分的基本概念包括不定积分和定积分。

不定积分是指对一元函数进行积分，得到的结果是一个与变量x相关的函数表达式。

定积分是指对一元函数在一个区间内进行积分，得到的结果是一个数值。

不定积分的性质不定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。

这些性质使得我们可以利用不定积分的基本公式进行积分运算。

此外，不定积分还具有相应的积分表，包括多种函数的不定积分表和常见函数的不定积分表。

定积分的性质定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。

这些性质使得我们可以通过分割区间，将定积分转化为多个小区间上的定积分，从而进行计算。

定积分还具有保号性、中值定理等重要性质，这些性质在实际应用中起到了重要的作用。

一元函数积分的计算方法一元函数积分的计算方法主要包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。

这些方法可以根据具体的积分问题选择合适的方法进行计算，从而简化计算过程。

换元积分法换元积分法是一种通过引入新的变量来进行积分的方法。

通过选择合适的换元公式，可以将原积分化简为简单的标准积分形式，从而进行计算。

分部积分法分部积分法是一种通过对被积函数进行分部积分来进行积分的方法。

通过选择合适的分配律，可以将原积分转化为两个函数的乘积的积分形式，从而进行计算。

有理函数积分法有理函数积分法是一种通过将有理函数进行部分分式分解来进行积分的方法。

通过分解成简单的分式形式，可以利用不定积分的基本公式进行计算。

有理函数积分法适用于有理函数的积分，可以将复杂的积分问题化简为简单的有理函数积分。

一元函数积分的应用一元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

第四章 一元函数积分学不定积分部分一．原函数的概念例1.下列等式成立色是（ ）()()().;A f x dx f x '=⎰ ()()().;B df x dx f x =⎰()()().;dC f x dx f x dx=⎰ ()()()..D d f x dx f x =⎰ 例2．下列写法是否有误，为什么？()1.ln c dx e e xx +=⎰（c 为任意正常数）()2 ).0(1332≠+=⎰c cdx xx ()3 .arccos arcsin 12c x c x dx dx x+-=+=-⎰例3.下列积分结果正确吗？()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+⎰√ ()212sin .cos cos ;2x xdx x C =-+⎰√()13sin .cos cos 2.2x xdx x C =-+⎰√例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。

二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 31111113222424c x x dxdx dx dx xxx xx xx ++-=++-=++-=+⎰⎰⎰⎰例5．求.sin 212cos 212cos 12sin2c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=⎰⎰⎰⎰ 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2222c x c xdx x dx xx dx +-===⎰⎰⎰ 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f 例8．设())0.(12/>=x xx f，求()x f .解：()())0(11/22/>=⇒=x xx f xx f ， ()).0(2121>+===⎰⎰-x c x dx dx xx f x 二．不定积分的第一换元法利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=⎰，()x u ϕ=可微，则有换元公式： ()[]()()[]./C x F dx x x f +=⎰ϕϕϕ例9.求()c x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 3123233123. 例10.求()c xd x dx x xe x e e +-=--=---⎰⎰22221212.例11．求()()()()c x d dx x x x x +==⎰⎰ln ln ln 32231ln . 例12．求()()()()()()c x f x f x f d dx x f x f +==⎰⎰||ln /.例13．求()c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14．求()c x x x d dx x x xdx c +===⎰⎰⎰|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15．c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛arctan 1111111222222.例16．求c axa x ad a dx a dxa x a x xa+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛arcsin 11112222.例17.()()2211111ln ||.22dxx adx dx C x a x a a x a x a a x a xa-⎡⎤==-=+⎢⎥-+-++⎣⎦-⎰⎰⎰例18．c ax ax a dx xa +-+=-⎰||ln 21122. 22212sec cos 21222sec cos secxdx dxxdx dx x xx ===--⎰⎰⎰⎰ 22tan tan 122ln ||1tan 122tan x x d c xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+--⎰. 注意：进一步化简可得到c x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec . 例19．⎰+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。

一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。

而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。

在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。

一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。

通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。

2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。

- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。

不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。

不定积分通常表示为F(x) + C的形式。

- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。

定积分的结果是一个确定的数值。

3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。

- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。

二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。

例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。

- ∫1/xdx = ln|x| + C。

2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。

根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。

3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。

该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。

一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。

第三章 一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰； （3）1d ln ||x x C x=+⎰； （4）d ln x x a a x C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰； （14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰； （17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰； （18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰； （22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法 将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法 引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分 换元 积分 变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰； （3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰； （6）12f x f =⎰⎰； （7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰； （12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰； （13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰． 第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元 积分 变量还原3．分部积分法 设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++； （2）111(1)1x x x x=+--； （3）2211(1)1x x x x x=-++； （4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++； （5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法 （即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰； （2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰； 解 原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰； 解 原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰； （2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰； 解 原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰； （6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰； 解 令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解 令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形． 例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解 原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注 可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰； （2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰； （4）sin ln d x x ⎰ 解 原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以 原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰； 解 原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解 原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分） 解： 原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰； 例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰． 题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰； 例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰； 例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解 方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+， 又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以 可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法 例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数， 两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=， 故 原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（ ）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（ ）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（ ）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >， 求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定 积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关， 即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰． （4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰． 定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数） 设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系） 设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数， 即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1） 换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算 （1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞， 则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞， 则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限 设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰， 令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰， 令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。

一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。

在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。

在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。

一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。

其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。

不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。

变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。

分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。

在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。

此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。

总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。

第三章一元函数积分学一、常见的考试知识点1．不定积分(1)原函数与不定积分的概念及关系，不定积分的性质．(2)不定积分的基本公式．(3)不定积分的第一换元法，第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)．(4)不定积分的分部积分法．(5)简单有理函数的不定积分．2．定积分(1)定积分的概念及其几何意义，函数可积的充分条件．(2)定积分的基本性质．(3)变上限积分的函数，变上限积分求导数的方法．(4)牛顿一莱布尼茨公式．(5)定积分的换元积分法与分部积分法．(6)无穷区间反常积分的概念及其计算方法．(7)直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积．3．试卷内容比例本章内容约占试卷总分的32％，共计48分左右．二、常用的解题方法与技巧1．不定积分(1)原函数．已知ƒ(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得在该区间上的每一点，都有F ˊ(x)=ƒ(x)，或dF(x)=ƒ(x)dx，则称F(x)是ƒ(x)在该区间上的一个原函数．如果ƒ(x)在某区问上连续，则在这个区间上ƒ(x)的原函数F(x)一定存在．(2)不定积分的定义．(3)不定积分的性质．①②③④(4)第一类换元积分法．(5)分部积分法．(6)一些简单有理函数的积分．这里所说的简单有理函数，是指如下的分式有理函数：它可以直接写成两个分式之和，或通过分子加、减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，然后再求出其不定积分．2．定积分(1)定积分的性质．①②③④⑤⑥设M和m分别是ƒ(x)在区间[α，b]上的最大值和最小值，则有(2)变上限积分．(3)牛顿一莱布尼茨公式．如果ƒ(x)是连续函数ƒ(x)在区间[a，b]上的任意一个原函数，则有(4)定积分的换元积分法．(5)定积分的分部积分法．(6)反常积分．(7)计算平面图形的面积．如果某平面图形是由两条连续曲线y2=ƒ(x)，y1=g(x)及两条直线x1=a和x2=b所围成的(其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线，即f(x)≥g(x))，则其面积A可由下式求出：(8)计算旋转体的体积．上面(7)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为三、常见的考试题型与评析(一)不定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％,基本为必考题.1．典型试题(1)(0403)A．B．C．D．(2)(0505)A．cos xB．-cosxC．cosx+CD．-cos x+C(3)(0607)A．B．x2C．2xD．2(4)(0706)设ƒ(x)的一个原函数为x3，则ƒˊ(x)=( )．A．3x2B．C．4x4D．6x(5)(0806)A．sin x+x+CB．-sinx+x+CC．cos x+x+CD．-cosx+x+C(6)(0905)A．B．C．D．(7)(0917)(8)(1017)(9)(1116)(10)(1206)A．B．C．x+CD．(11)(1305)A．B．C．D．2．解题方法与评析【解析】不定积分的概念和基本性质是高等数学(二)考试中的一个重要题型，是每年试卷中必考的内容之一，希望考生能认真理解并掌握之．(1)选D．利用不定积分性质．(2)选D．利用不定积分公式．(3)选C．利用原函数的定义ƒ(x)=(x2)ˊ=2x．(4)选D．利用原函数的定义：ƒ(x)=(x3)ˊ，则ƒˊ(x)=(x3)″=6x．(5)选A．利用不定积分的性质和不定积分公式．(6)选A．同题(5)．(7)(8)(9)(10)选D．(11)选C．【评析】不定积分的概念和性质以及基本的积分公式是专升本试卷中每年必考的内容之一，考生一定要牢记!(二)定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％，基本为必考题．1．典型试题(1)(0618)(2)(0707)A．-2B．0C．2D．4(3)(0717)(4)(0818)(5)(0906)A．B．C．D．0(6)(1118)(7)(1218)(8)(1318)2．解题方法与评析【解析】这些试题主要考查定积分的概念以及奇、偶函数在对称区间上积分的性质：若(1)(2)(3)(4)填2．(5)选D．同题(3)．(6)(7)填sin 1．(8)填0．因为x3+3x是奇函数．【评析】奇、偶函数在对称区间上的定积分是考试重点题型之一，请考生务必熟练掌握．(三)变上限定积分的概念及导数本部分内容1994—2013年共考了9次，考到的概率为45％．1．典型试题(1)A．ƒˊ(x)的一个原函数B．ƒˊ(x)的全体原函数C．ƒ(x)的一个原函数D．ƒ(x)的全体原函数(2)(9509)A．一1B．0C．1D．2(3)(0413)(4)(0507)A．0B．C．D．(5)(0817)(6)(1007)A．B．C．D．(7)(1117)(8)(1306)A．B．0C．D．2(x+1)2．解题方法与评析【解析】利用变上限定积分的定义及求导公式进行计算．(1)选C．根据变上限定积分的定义及原函数存在定理可知选项C正确．(2)选C．利用洛必达法则及变上限定积分的导数，则有本题也可先求出定积分，然后再用洛必达法则求极限，显然不如直接用洛必达法则快捷．(3)填1．(4)选C．(5)(6)选C．(7)填x+arctan x．(8)选A．(四)凑微分后用积分公式本部分内容1994--2013年共考了14次，考到的概率为70％．1．典型试题(1)(0011)(2)(0111)(3)(0213)(4)(0605)A．B．C．D．(5)(0823)(6)(0918)(7)(1017)(8)(1217)(9)(1317)2．解题方法与评析(1)(2)(3)(4)选C．(5)(6)(7)(8)(9)【评析】利用凑微分法化为不定积分公式的试题是每年必考的内容之一，希望考生牢记常用的凑微分法．常用的凑微分公式主要有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(五)第一换元积分法(凑微分法)本部分内容1994—2013年共考了13次，考到的概率为65％．1．典型试题(1)(0219)(2)(0523)(3)(0623)(4)(0723)(5)(0921)(6)(1023)(7)(1123)(8)(1223)2．解题方法与评析【解析】由于第一类换元积分法实质上是复合函数求导的逆运算，因此，注意到被积表达式的ƒ(x)dx中除了复合函数外的哪些函数与dx的乘积可写成某一函数的微分的事实，就得到了凑微分的过程．利用所给的凑微分公式就可以得到所给的结果．换元的一个基本原则是：将被积函数中的复合函数部分用变量代换的方法换成简单函数再(1) 或(2) 或(3) 或(4) 或(5) 或或(6) 或(7)或(8)【评析】第一换元积分法(凑微分法)是高等数学(二)必考的内容之一,由于凑微分法省略了变量代换的过程，所以更为简捷．如果对被积函数中复合函数部分的中间变量(如题(2)的(六)第二换元积分法由于2000--2013年的专升本高等数学(二)试卷中没有出现过第二换元积分法的试题，所以建议考生知道有此解题方法即可．(七)分部积分法本部分内容1994--2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0021)(2)(0224)(3)(0728)(4)(0924)(5)(1224)2．解题方法与评析【解析】分部积分的关键是如何将被积表达式写成udυ或vdu的形式，因此正确地选取u 和υ是难点．如果选取不当，分部积分后的积分会比原积分更不容易求解．专升本试卷中常见的分部积分试题的类型主要有：①②③上述三类积分中，u和υ的选法如下：(1)(2)(3)(4)(5)(八)定积分的计算本部分内容1994—2013年共考了17次，考到的概率为85％．1．典型试题(1)(0124)(2)(0220)(3)(0324)(4)(0423)(5)(0518)(6)(0524)(7)(0624)(8)(0718)(9)(0919)(10)(1024)(11)(1218)(12)(1324)2．解题方法与评析【解析】不定积分的第一换元积分法(凑微分法)和分部积分法都适用于定积分，只需在所求的积分中加上积分的上、下限即可．在定积分计算中一定要注意：用换元积分法时，积分的上、下限一定要一起换；用凑微分法计算时，积分的上、下限不用换．(1)(2)分段函数需分段积分：(3)(4)(5)填1/2．(6)(7)(8)(9)填1/2．(10)(11)(12)【评析】分部积分的题目在专升本高等数学(二)试卷中属于较难的试题，考生可根据自己对知识的掌握程度作出安排．如果被积函数中含有根式，一般情况下应考虑用换元法去根号，再进行积分，如题(1)与题(10)．(九)反常积分本部分内容1994--2013年共考了10次，考到的概率为50％．1．典型试题(1)(0013)(2)(0112)(3)(0424)(4)(1019)(5)(1219)(6)(1319)2．解题方法与评析【解析】反常积分实质上是先计算定积分再取极限，即(1)填π/2．(2)填1/2．(3)(4)填π/2．(5)填1．(6)填1．(十)平面图形的面积与旋转体的体积本部分内容1994——2013年共考了14次，考到的概率70％. 1．典型试题(1)(0326)已知曲线C为y=2x2及直线L为y=4x．①求由曲线C与直线L所围成的平面图形的面积S；②求曲线C的平行于直线L的切线方程．(2)(0527)①求曲线y=x2(x≥0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V y．(3)(0627)①求由曲线y=x，y=1/x，x=2与y=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(4)(0827)①求曲线y=e x及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D的面积S；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V x．(5)(0927)①求在区间(0，π)上的曲线)，=sinx与x轴所围成图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(6)(1006)曲线y=1-x2与x轴所围成的平面图形的面积S=()．A．2B．4/3C．1D．2/3(7)(1128)设D为曲线y=1-x2，直线y=x+1及x轴所围成的平面区域(如图1—3—1所示)．①求平面图形的面积；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx．(8)(1227)已知函数ƒ(x)=-x2+2x．①求曲线y=ƒ(x)与x轴所围成的平面图形面积S；②求①的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积K．(9)(1326)求曲线y=x2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．2．解题方法与评析【解析】求平面图形面积的关键是根据已知条件中的曲线方程画出封闭的平面区域，根据积分的难易程度选择积分变量和确定积分的上、下限．平面区域的确定原则是：已知条件中给出的曲线方程有几个，则该区域的边界曲线就是所给的几条曲线．否则所得的平面区域一定不合题意．专升本试卷中围成平面区域的常用曲线是：y=kx+b，Y=αx2+6，y=ex，y=e-x，y=Inx，y=sinx 或y=cosx，考生一定要能熟练地画出它们的图像．求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．而且要注意的是，旋转体的体积往往是两个旋转体的体积之差．如图1—3—2所示的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为(1)画出平面图形如图1—3—3阴影所示．①②方程为y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0．(2)①由已知条件画出平面图形如图1-3-4阴影所示．②旋转体的体积(3)①如图1一3-5所示，由已知条件可得②旋转体体积(4)画出平面图形如图1-3-6阴影所示．①②(5)①②(6)选B．(7)①②(8)①②(9)(十一)证明题本部分内容1994—2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0127)(2)(0428)设函数ƒ(x)在区间[0，1]上连续，证明(3)(0727)设ƒ(x)为连续函数，证明2．解题方法与评析【解析】证明题的关键是要充分利用已知条件写出需要证明的内容．题(1)的关键是要正确写出ƒ(3)+ƒ(5)，再进行计算．题(2)与题(3)的关键是要注意到等式两边的差异，这里的核心差异是被积函数的不同，因此需用变量代换进行换元，由此可得到证明．(1)(2)(3)设3-x=t，则dx=一dt．【评析】定积分的证明题与平面图形的面积及旋转体的体积均属于试卷中的较难题．文章来源：/p/ck.html 更多成考资源资料下载完全免费。

第一章极限和连续【考点1】极限的三大性质1.唯一性2.局部保号性3.局部有界性【考点2】极限的四大运算法则若lim f (x )=A ,lim g (x )=B ，那么1.lim f (x )士g (x )=lim f (x )士lim g (x )=A 士B2.lim f (x ).g (x )=lim f (x ).lim g (x )=A .B3.limf g x x =l l i i m m f g x x =AB(B 子0)4.lim f (x )g (x )=lim f (x )lim g (x )=A B (A >0)【考点3】夹逼准则若数列{xn },{y n },{z n }满足y n <x n <z n ，且l n y n =lnz n =a ，则数列的极限存在，且l nx n =a若函数f (x ),g (x ),h (x )满足g (x )<f (x )<h (x )，且lim g (x )=lim h (x )=A ，则lim f (x )存在，且lim f (x )=A 【考点4】无穷小量与无穷大量的比阶是在同一自变量变化过程中的无穷小，且a 子0若lim=0，则β是a 的高阶无穷小，记为β=o (a )；若lim =父，则β是a 的低阶无穷小；若lim =c 产0，则β是a 的同阶无穷小；若lim =1，则β是a 的等价无穷小，记为β~a ；若lim=c 产0(k >0)，则β是a 的k 阶无穷小。

【考点5】无穷小量的性质无穷小乘有界函数仍为无穷小；有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小。

【考点6】两个重要极限1.lim =1x →0x (1)x2.lx1+x )|=e 【考点7】连续与间断(|l x|l l x=lx=f (x 0)若f (x 0+0),f (x 0−0)均存在，则x 0是第一类间断点f (x 0+0)=f (x 0−0)产f (x 0)时，x 0为可去间断点f (x 0+0)产f (x 0−0)时，x 0为跳跃间断点若f (x 0+0),f (x 0−0)至少有一个不存在，则x 0是第二类间断点极限不存在且为无穷大时，x 0为无穷间断点极限不存在且为振荡时，x 0为振荡间断点sin x 连续：〈第二章一元函数微分学【考点1】导数的概念与几何意义增量式：f '(x 0)=ix,f '(x )=ix（证明用）差值式：f '(x 0)=lx（计算用）切线方程：y −f (x 0)=f '(x 0)(x −x 0)法线方程：y −f (x 0)=−(x −x 0)(f '(x 0)士0)【考点2】导数的计算C '=0(x a)'=axa −1(cos x )'=−sin x (tan x )'=sec 2x(sec x )'=sec x tan x (csc x )'=−csc x cot x (e x)'=ex(log a x )'=(arcsin x )'=(arccos x )'=−(arccot x )'=−(ln (x +))'=(u 土v )'=u '土v '(Cu )'=Cu '(uv )'=u 'v +uv '1.复合函数求导2.反函数求导3.隐函数求导4.幂指函数求导5.参数方程求导6.分段函数求导(sin x )'=cos x (cot x )'=−csc 2x(a x)'=axln a(ln x )'=(arctan x )'=(ln (x +))'='=(v 士0)1−x1−x【考点3】微分中值定理1.罗尔定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=0.2.拉格朗日中值定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=f (b )−f (a ).【考点4】洛必达法则若lim f (x )=0(伪/?),lim g (x )=0(伪)，f (x ),g (x )在点x 0的某去心邻域内可导，且limf '(x )存在或为无穷大，则limf (x )=limf '(x )x →x 0g '(x )x →x 0g (x )x →x 0g '(x )【考点5】单调性与极值1.单调性设函数y =f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导如果在(a ,b )内f '(x )之0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递增；如果在(a ,b )内f '(x )<0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递减；2.极值f (x )在x =x 0处连续，且在x 0的某去心邻域内可导若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )<0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )>0，则x 0为极小值点若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )>0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )<0，则x 0为极大值点【考点6】凹凸性与拐点b −ax →x 0x →x 0设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导若f''(x)>0，则称y=f(x)为凹函数；若f''(x)<0，则称y=f(x)为凸函数2.拐点若f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域二阶可导，f''(x)在点(x0,f(x0))两侧变号（f'(x)单调性相反），则点(x0,f(x0))为y=f(x)的拐点【考点7】曲线的渐近线1.铅直渐近线：若x mx0f(x)=伪，则x=x0为一条铅直渐近线(x→x+0)(x→x−0)2.水平渐近线：若lx=b，则y=b为一条水平渐近线第三章一元函数积分学【考点1】原函数与不定积分的概念1.原函数的定义：如果F(x)在区间I上可导，而且对v x=I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数2.原函数存在定理①连续函数必有原函数②含有跳跃、可去、无穷间断点的函数一定没有原函数③含有震荡间断点的函数可能有也可能没有原函数3.原函数之间的关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数，这说明，原函数若存在，不唯一。

成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。

求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。

21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。

22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。

4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。

5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。

2020年成人高考专升本高等数学一知识点复习一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程复习方法：1、结合自身情况定目标2、分章节重点突破，多做题，做真题第一章：极限与连续1-1、极限的运算1、极限的概念(1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于一个常f(x)=A数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。

f(x)=Alimx→x0−f(x)=Alimx→x0+2、无穷小量与无穷大量无穷小量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为0，则称在该f(x)=0变化过程中， f(x)为无穷小量，记作limx→x0无穷大量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限值越来越大，则f(x)=∞称在该变化过程中， f(x)为无穷大量，记作limx→x03、无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，且f(x)≠0，则1为无穷小量；f(x)为无穷大量；在同一变化过程中，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1f(x)4、无穷小量的性质性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量5、无穷小量的比较与替换定义：设α，β是同一变化过程中的无穷小量，即limα=0，limβ=0=0，则称β是α比较高阶的无穷小量（1）如果limβα=∞，则称β是α比较低阶的无穷小量（2）如果limβα=c≠0，则称β是与α同阶的无穷小量（3）如果limβα（4）如果lim βα=1，则称β与α是等价的无穷小量★常见的等价无穷小量：当x →0时，x ~sin x ~tan x ~ arc sin x ~ arc tan x ~ e x −1 ~ ln (1+x) 1−cos x ~12x 2★★6、两个重要极限 （1）limx→0sin x x=1（2）lim x→∞(1+1x )x=e 或lim x→0(1+x)1x=e★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）1-2、函数的连续性1、函数在某一点上的连续性定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆x 趋近于0时，相应的函数改变量∆y 也趋近于0，即lim ∆x→0[f (x 0+∆x )−f (x 0)]=0，则称函数y =f(x)在x 0处连续。

成人高考高升专数学必考知识点汇总成人高考高升专数学知识点汇总【篇一】1、知识范围（1）向量的概念向量的定义、向量的模、单位向量、向量在坐标轴上的投影、向量的坐标表示法、向量的方向余弦（2）向量的线性运算向量的加法、向量的减法、向量的数乘（3）向量的数量积二向量的夹角、二向量垂直的充分必要条件（4）二向量的向量积、二向量平行的充分必要条件2、要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

（2）熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。

（3）熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。

【篇二】1、知识范围（1）不定积分、原函数与不定积分的定义、原函数存在定理不定积分的性质（2）基本积分公式（3）换元积分法、第一换元法（凑微分法）、第二换元法（4）分部积分法（5）一些简单有理函数的积分2、要求（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。

（5）会求简单有理函数的不定积分。

【篇三】1、知识范围（1）导数概念导数的定义、左导数与右导数、函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式（3）求导方法复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数（4）高阶导数高阶导数的定义、高阶导数的计算（5）微分微分的定义、微分与导数的关系、微分法则一阶微分形式不变性2、要求（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。