第二章_计算机控制系统的数学基础.ppt

f (t)
6 5
A4
A3
A5 A6
4
A2
3
A7 A8
2 A1
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
f *(t)
6 5
4 3
A
' 4
A3'
A5'
A
' 2
A
' 6
A
' 7
A8'
2
A1'
1
0
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
图3 量化过程
q t
t
采样定理
为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复
第2章 计算机控制系统的设计方法
本章主要内容
1.计算机控制系统的基础知识 2. 计算机控制系统的数学描述 3. 计算机控制系统的模拟化设计方法 4. 计算机控制系统的离散化设计方法
2．1 计算机控制系统的信号变换
一、 连续信号的采样
采样:用连续信号在离散时间瞬时值的序列 代替原来连续信号的过程
f (t)
——计算机控制系统的差分方程
r (t )
F(s)
（a）连百度文库系统
y(t)
r(k)
F(s)
T
（b）离散系统
图6 连续系统和离散系统
y(k ) T
脉冲传递函数与差分方程的相互转换
若已知n 阶离散系统的差分方程是
y ( k ) a 1 y ( k 1 ) a n y ( k n ) b 0 r ( k ) b 1 r ( k 1 ) b m r ( k m )
f (0T)
f为1 t 时1刻T的单脉冲，脉冲的幅值 ；…f (1…T)；
f为k t 时k刻T的单脉冲，脉冲的幅值
f (kT)
用 函数 f*(t)f(kT )(tkT )
k
只有在 t时k刻T，才有
，(t而k 在T 的)所0有
都有 t kT 。
(tkT )0
时刻，
量化过程
所谓量化，就是采用 一组数码（如二进制 码）来逼近离散模拟 信号的幅值，将其转 换成数字信号。经量 化使采样信号成为数 字信号,该过程称为 量化过程。
二、采样信号的复现和采样保持器
保持器
保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连 续信号，实现采样点之间的插值的元件。
零阶保持器
e* (t )
e* (t) 零阶保持器
eh (t)
(b)
eh (t)
。
0
T
2T
t /T
0
T 2
T
2T
t /T
(a)
图5 零阶保持器的功能
(c)
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值
ci
z
z pi
c(k) ci pik
2.复极点位置与系统响应之间关系
Z平面极点位置的趋势
极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快 极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加
已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中 的分布情况，分析系统的动态响应特性
2．4 计算机控制系统的模拟化设计方法
一、连续域-离散化设计的步骤
2.3 S平面到Z平面之间的映射关系
1.s平面与z平面映射关系：
z esT
sj
R | z | eT
z e ( j ) T e T e j T e T T z T
s平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单位圆内
二、极点位置与时间响应的关系
1．极点位于实轴
G(z)
f (t)
T
f (t)
f (t)
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t / T
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t / T
图1 采样过程
在计算机控制系统中，采样信号 f *是(t) 一数字
序列，可分解成一系列单脉冲之和。
f* (t)f0f1 ＋ fk
式中， f为0 t 时0刻T的单脉冲，脉冲的幅值
y(nT)zn
G(z)
Y(z) R(z)
n0
r(nT)zn
n0
如果已知 R(z) 和 G(z) ，则在零初始条件下，线性 定常离散系统的输出采样信号为
y * ( t ) Z 1 Y ( z ) Z 1 G ( z ) R ( z )
3. 差分方程
y (k) T a 1 y (k T ) a 2 y (k T 2 T ) a n y (k T n)T b 0 r (k) T b 1 r (k T ) b 2 r (k T 2 T ) b m r (k T m )
第1步：设计模拟控制器——D(s)
第2步：选择合适的采样周期T
第3步：选择合适的离散化方法，将D(s)离散化，获 得数字控制器D(z)，使两者性能尽量等效。
第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标 要求，进行下一步；否则，重新进行设计。
改进设计的途径有： –①选择更合适的离散化方法 –②提高采样频率 –③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等
令： z eTs
则：
F(z)Z[f*(t) ] f(k)T zk k0
2. 脉冲传递函数
G(z)
r (t )
r * (t )
T
V (z)
G(s)
(a)
y* (t)
T
R(z)
y(t)
G(z)
Y (z)
(b)
零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的z变 换和输入采样函数的z变换之比。
为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚 设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来 获得输出信号的采样信号。
e(一kT)
直保持到下一个采样时刻 ,(从k而1)把T采样信号
变e成*(k了T )
阶梯连续信号
。 eh (t)
1eTs Gh(s) s
2．2 计算机控制系统的数学描述
1 . Z变换
f*(t)f(0)(t)f(T)(tT)f(2T)(t2T)
f(kT )(tkT )
k0
对上式取拉氏变换：
F*(s)L [f*(t) ] f(k)T ekTs k0
（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化
规律，采样频率
s(至2少/T 应 是2f) 的频谱
的最高频率 f (t ) 的两倍，即 F(j)
max
s 2max
采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于 连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。 因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中 还要根据系统的实际情况综合考虑。
在零初始条件下，进行Z变换
mn
，
( 1 a 1 z 1 a n z n ) Y ( z ) ( b 0 b 1 z 1 b m z m ) R ( z ) mn
得脉冲传递函数为
G (z)Y R ( (z z) )b 1 0 a b 1 1 z z 1 1 a b 2 2 z z 2 2 a b m n z z n m mn