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工程水文学第六章水文统计

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《工程水文学》第6章 由流量资料推求设计洪水

《工程水文学》第6章 由流量资料推求设计洪水

WUHEE
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l项
实测一般洪水，n-l项 m=l+1,l+2,...,n
... ...
缺测
...
...
n
N
T
WUHEE
（2）独立样本法 把实测一般洪水系列与特大洪水系列都看作是从 总体中独立抽出的两个随机连序样本，各项洪水可分 别在各个系列中进行排位，实测系列的经验频率仍按 连序系列经验频率公式计算：
WUHEE
第二节 设计洪峰流量及设计洪量的推求 一、资料审查

“三性”审查： 可靠性、一致性、代表性 1.资料可靠性的审查与改正
实测洪水资料： 对测验和整编进行检查，重点放在观测与整编质量 较差的年份。包括水位观测、流量测验、水位流量关 系等。 历史洪水资料： 一是调查计算的洪峰流量可靠性；二是审查洪水发 生的年份的准确性。
WUHEE
3. 资料代表性的审查与插补延长
当洪水资料的频率分布能近似反映洪水的总体分 布时，则认为具有代表性；否则，则认为缺乏代表性 。实际工作中要求连续实测的洪水年数一般不少于20 ～30年，并有特大洪水加入。
当实测洪水资料缺乏代表性时，应插补延长和补 充历史特大洪水，使之满足代表性的要求。插补延长 主要是采用相关分析的方法。
设计洪水三要素： 设计洪峰流量、设计洪量、设计洪水过程线 对于桥梁、涵洞、调节性能小的水库，一般可只推 求设计洪峰流量，如葛洲坝电站，其泄洪闸以设计洪峰流 量控制（Qm=110000m3/s)。 对于大型水库，调节性能高，可以洪量控制，即库容 大小主要由洪水总量决定。如三峡水库，拦洪库容300.2 亿m3 。 一般水库都以峰和量同时控制。

工程水文学题库及题解(全)

工程水文学题库及题解(全)

工程水文学题库及题解宋星原雒文生赵英林魏文秋张利平编著内容提要本书分为题库、题解和考研试题三大部分,题库中的题目按工程水文学基本内容分为概念题和计算题两大题型，概念题又划分填空题、选择题、判断题和问答题四类题型，题目中有易、中、难三个难度档次，分别考核不同的知识结构和知识层次。

题库中有的题目在于了解学生对基本概念、基本理论和基本计算方法的掌握程度，有的则是了解学生分析问题与解决问题的能力以及对学科前沿知识的理解程度，所有的题目都给出了解题过程和结果，以便于学习和理解。

为了便于学生报考研究生的参考，本书还选编了武汉大学以及原武汉水利电力大学近年来的考研试题及题解。

本书涵盖了工程水文学基本内容，可作为高等院校水利水电类、土木工程类和环境工程类各专业本科生的辅助教材，尤其适用于立志报考研究生的同学使用，也可供上述专业的成人教育、函授教育、网络学院的学生以及专业技术人员的学习和参考。

前言为使考试规范化，保证教师按教学大纲教学、学生按教学大纲学习，全面、系统和有重点地掌握工程水文学的基本概念、原理和方法，提高学生分析问题与解决问题的能力， 1994年11月，由原武汉水利电力大学水文试题库编写组编印了《工程水文学试题库》，并在我校工程水文学教学中得到广泛应用，受到老师和同学们的一致好评。

随着教学改革的深入，在前期题库研究工作的基础上又积累了大量的资料，为本书的出版奠定了一定的基础。

作者通过多年的教学研究及实践，对原有的资料进行了编辑与加工，重新修改并补充了大量题目，对所有题目给出了解题过程，以便于读者学习。

本书题量大、内容新颖，并配有全部题解及近年考研试题。

书中难、中、易题型有机结合，有益于学生深刻理解工程水文学的基本理论、提高分析与解决有关工程水文学问题的能力。

同时，本书的出版对高校教师出题组卷也具有一定的借鉴作用。

本书分为题库、题解和考研试题三大部分，题库中的题目覆盖了水文循环与径流形成、水文信息采集与处理、水文统计、年径流及年输沙量分析与计算、由流量资料推求设计洪水、由暴雨资料推求设计洪水、流域产汇流计算、水文预报等工程水文学的基本内容。

第 六章 工程水文学

第 六章 工程水文学

1980
1983 1989 1995 1994 1982 1993 1986
7980
7945 7456 7005 6581 6524 6241 6147
1992
5961
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1996
1985 1987 1978 1990 1997 1981 1984
5238
5168 4986 4925 4625 4567 3500 3200
三、水文统计
随机现象的统计规律采用概率论和数理统计进行研究。 将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变 化规律的学科，被称为水文统计。 水文统计的基本任务是，利用所获得的水文、气象资料， 研究和分析随机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并 以此为基础对其未来长期变化作出概率意义下的定量预估，为 水利工程的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。 例 1 某流域修建一水库，其规模取决于水库运行期间 (未来100年)的径流和洪水的大小。未来100年径流和洪水多大？ 我们必须做出估计。 2 3 南水北调工程西线方案中，要调多少水量？ 某水电站装机容量和多年平均发电量是多少？
4.3
一 1 概念
随机变量的概率分布及其统计参数
随机变量（Random variable）
随机试验结果的一个数量，一般用大写变量表示，如 X，Y，
Z等。水文统计研究的是水文随机变量。 例：（1）抛硬币 （2）掷骰子 （3）年降雨量 X={正面}，X={反面} X={1},X={2},X={3},X={4},X={5},X={6} X={x1}，X={x2}，…，X={xn-1}， X={xn}
与数学上的定义恰恰相反。数学上定义为：F2(x)=P(Xxp1)=p1。 它们之间的关系为： F2(X)=1-F1(X) b. 概率分布描述形式 或 p1=1-p

工程水文学-水文统计试题库附答案

工程水文学-水文统计试题库附答案

一、填空题1、必然现象是指____________________________________________。

2、偶然现象是指。

3、概率是指。

4、频率是指。

5、两个互斥事件A、B出现的概率P（A+B）等于。

6、两个独立事件A、B共同出现的概率P（AB）等于。

7、对于一个统计系列，当C s= 0时称为；当C s﹥0时称为；当C s﹤0时称为。

8、分布函数F（X）代表随机变量X 某一取值x的概率。

9、x、y两个系列，它们的变差系数分别为C V x、C V y，已知C V x＞C V y ，说明x系列较y系列的离散程度。

10、正态频率曲线中包含的两个统计参数分别是，。

11、离均系数Φ的均值为，标准差为。

12、皮尔逊III型频率曲线中包含的三个统计参数分别是，，。

13、计算经验频率的数学期望公式为。

14、供水保证率为90%，其重现期为年。

15、发电年设计保证率为95%，相应重现期则为年。

16、重现期是指。

17、百年一遇的洪水是指。

18、十年一遇的枯水年是指。

19、设计频率是指，设计保证率是指。

20、某水库设计洪水为百年一遇，十年内出现等于大于设计洪水的概率是，十年内有连续二年出现等于大于设计洪水的概率是。

21、频率计算中，用样本估计总体的统计规律时必然产生，统计学上称之为。

22、水文上研究样本系列的目的是用样本的。

23、抽样误差是指。

24、在洪水频率计算中，总希望样本系列尽量长些，其原因是。

25、对于我国大多数地区，频率分析中配线时选定的线型为。

26、皮尔逊III 型频率曲线，当x 、C s 不变，减小C v 值时，则该线 。

27、皮尔逊III 型频率曲线， 当x 、C v 不变，减小C s 值时，则该线 。

28、皮尔逊III 型频率曲线，当C v 、C s 不变，减小x 值时，则该线 。

29、相关分析中, 两变量的关系有 , 和 三种情况。

30、相关的种类通常有 ， 和 。

31、在水文分析计算中, 相关分析的目的是 。

工程水文学_第六章

工程水文学_第六章
P(%) p Cs 0.0
Cs ~ P ~ P
P
P-III型曲线离均系数
0.01 3.72 0.1 3.09
值表
1 10 1.28 50 0.00
2.33
0.1
0.2
3.94
4.16
3.23
3.38
2.40
2.47
1.29
1.30
0.02
0.03
注：详表见附表1, P269
第四节
水文频率曲线线型
mr E( X r ) (r 1,2,...,n)
r=1时，就是算术平均数
第三节 随机变量及其概率分布
（2）中心矩 随机变量X 对分布中心E(X)离差的r次幂 的数学期望，称为随机变量X的r 阶原点矩。
r E X E( X )r


2
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
0.10
1.0 9
1.0 7
1.0 4
1.0 0
0.9 7
0.9 4 … …
0.53
0.9 2 … …
0.70
0.8 9 … …
0.89
（二）CS=1.5CV
0.05
（三） CS=2CV 。。。。。。 （三） CS=6CV
第五节
频率曲线参数估计
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的 参数，称为参数估计如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。 1、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。 均值 x 的无偏估计：
随机变量的分类:
1、离散型随机变量
随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称 为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0, 1, 2…， 不能取相邻两数值之间的任何值。

工程水文学计算题汇总

工程水文学计算题汇总

工程水文学计算题汇总计算题第一章绪论=119000km3、多年平均蒸发1.将全球的陆地作为一个独立的单元系统，已知多年平均降水量Pc=72000km3、试根据区域水量平衡原理（质量守恒原理）计算多年平均情况下每年从陆地流量Ec入海洋的径流量R为多少？=458000km3、多年平2.将全球的海洋作为一个独立的单元系统，设洋面上的多年平均降水量Po=505000km3、试根据区域水量平衡原理（质量守恒原理）计算多年平均情况下每年从均蒸发量Eo陆地流入海洋的径流量R为多少？3.将全球作为一个独立的单元系统，当已知全球海洋的多年平均蒸发量E=505000km3、陆地的多o=72000km3，试根据全球的水量平衡原理推算全球多年平均降水量为多少？年平均蒸发量Ec第二章水文循环与径流形成1.已知某河从河源至河口总长L为5500m，其纵断面如图1-2-1，A、B、C、D、E各点地面高程分别为48，24，17，15，14，各河段长度，，，分别为800、1300、1400、2000试推求该河流的平均纵比降。

图1-2-1某河流纵断面图2.某流域如图1-2-2，流域面积F=180，流域内及其附近有A,B 两个雨量站，其上有一次降雨，两站的雨量分别为150、100mm，试绘出泰森多边形图，并用算术平均法和泰森多边形法计算该次降雨的平均面雨量，并比较二者的差异。

图1-2-2某流域及其附近雨量站及一次雨量分布3.某流域如图1-2-3，流域面积F=350，流域内及其附近有A,B 两个雨量站，其上有一次降雨，它们的雨量依次为360㎜和210㎜，试绘出泰森多边形图，并用算术平均法和泰森多边形法计算该次降雨的平均面雨量，比较二者的差异。

（提示：A、B雨量站泰森多边形权重分别为0.78、0.22）图1-2-3某流域及其附近雨量站及一次雨量分布4.某流域如图1-2-4，流域面积300，流域内及其附近有A、B、C三个雨量站，其上有一次降雨，他们的雨量依次为260㎜、120mm和150㎜，试绘出泰森多边形图，并用算术平均法和泰森多边形法计算该次降雨的平均面雨量。

水工考试知识点总结

水工考试知识点总结一、水文学水文学是研究水文现象及其在水利工程中的应用的一门学科。

水文学是水利工程学科中的基础学科，是水工程的理论基础。

1. 水文统计水文统计是水文学的基本内容之一，主要包括降水、径流和水情等统计资料的收集、整理、分析和应用。

水文统计包括年降水量、年径流量、径流系数等指标的统计计算方法。

2. 洪水频率分析洪水频率分析是根据历史洪水资料，通过数理统计方法，计算不同频率洪水的发生概率，确定各个频率的设计洪水及相应设计洪水位、设计洪水流量等。

洪水频率分析是水文研究的重要内容，也是水利工程设计的重要基础。

3. 物理水文学物理水文学是研究水文变量间的物理关系和规律的学科。

主要研究降水入渗、径流形成、蒸发蒸腾等过程的物理机理和表征方法。

物理水文学的研究成果可以用于水资源的开发和利用。

4. 数值水文学数值水文学是将数学、物理和计算机技术应用于水文学研究的学科。

主要包括水文数据处理、水文模型建立、水文模拟和预报等内容。

数值水文学的发展促进了水文研究方法的改革和水文预报技术的提高。

二、水利工程基础水利工程基础是水利工程学科的基础知识，包括水力学、水文学、土力学、工程地质等内容。

1. 水力学水力学是研究水的运动规律和水力现象的学科。

主要包括水流的运动、水流的特性、水力学实验方法等内容。

水利工程设计和施工都需要水力学的理论基础。

2. 水利工程材料水利工程材料是指水利工程建筑中用到的各种材料，主要包括水泥、砂石、钢筋、混凝土等。

水利工程材料的选用和使用对工程质量和工程寿命具有重要影响。

3. 水文测算水文测算是指对水文、气象、地形等相关资料的采集和处理，获取与水文学相关的数据。

水文测算的方法包括现场观测、实验测定、遥感技术等。

4. 水利规划水利规划是指对水利工程项目进行综合论证和规划设计，包括水资源调查、水质评价、水利项目选址和布局等。

水利规划是水利工程设计的前期工作。

5. 水工热力学水工热力学是将热力学的基本理论及方法应用于水力学、水文学等领域的学科。

工程水文学六七八章复习

⼯程⽔⽂学六七⼋章复习第六章由流量资料推求设计洪⽔⼀、概述：1.⽔利⼯程（⽔库、⼤坝）的作⽤：兴利、防洪2.洪⽔：由于流域内降⾬或融雪，⼤量径流汇⼊河道，导致流量激增，⽔位猛涨的⽔⽂现象。

3. 设计洪⽔：指⽔利⽔电⼯程规划、设计中所依据的各种设计标准的洪⽔。

4.⽔⼯建筑物的等级和防洪标准设计标准：⽔库枢纽正常运⾏，⽽不被破坏的标准。

对应着设计洪⽔。

校核标准⽔利⼯程不正常运⽤，主要⽔⼯建筑物必须确保安全的标准，允许效能设施、次要建筑物部分破坏。

对应着校核洪⽔。

坝顶⾼程取⼤者设计洪⽔位+安全超⾼+风浪爬⾼校核洪⽔位+安全超⾼+风浪爬⾼5.设计洪⽔计算的内容和⽅法：内容：三要素--设计洪峰流量、设计洪量、设计洪⽔过程线，不同⼯程有所侧重⽅法：由流量资料直接推求设计洪⽔的⽅法由降⾬资料间接推求设计洪⽔的⽅法⼆、设计洪峰流量QmP 及设计洪量WtP的推求1.资料审查：可靠性（实测年份差，调查⼤洪⽔）、⼀致性（洪⽔改道）、代表性（历史特⼤洪⽔）2.样本选取：洪峰流量--年最⼤值法；固定时段独⽴选取年最⼤值法--洪量系列3.洪⽔资料的插补延长：相关分析--上下游站的洪⽔特征值、本站峰量关系、暴⾬径流关系、相邻河流测站的洪⽔特征值4.特⼤洪⽔的处理1）特⼤洪⽔重现期的确定①从发⽣年代⾄今为最⼤ N=设计年份 - 调查期发⽣年份+1②从调查考证的最远年份⾄今为最⼤ N=设计年份 - ⽂献考证期最远年份+1如果能调查到N年（N>>n）中的特⼤洪⽔，就相当于把n年资料展延到了N年，提⾼了系列的代表性，使计算结果更合理、准确。

2）洪⽔经验频率的估算独⽴样本法5.频率曲线线型选择⽪尔逊Ⅲ型6.频率曲线参数的估算：初估参数 1）矩法2）三点法：三点的选取计算查S —Cs 关系表，求Cs再查)，Φ(P 2,Cs )，Φ(P 3,7.适线法注意事项1) 尽量照顾点群的趋势，使曲线通过点群中⼼。

2）曲线与点据拟合时，侧重考虑中、上部的较⼤洪⽔点据。

工程水文学第六章

P
P(X x)
P(X>x+ x)
x x+ x
X
P(X x)=P(X > x+x)+P(x+ x > X x) P(x+ x > X x)= P(X x)-P(X > x+x) =F(x)-F(x+ x)
60%-15% = 45%
(1)
则，降雨量落在900和500mm的可能性为:
概率密度函数:
平均概率密度：
随机变量落在区间(x, x+x)的概率与该区
F ( x ) F ( x x ) x 变量落在区间(x, x+x)平均概率。
间长度的比值
称作随机
当 x 0，取极限得：
F ( x ) F ( x Δx ) F ( x Δx ) F ( x ) lim lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx F ( x ) f ( x )
样本
从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，
称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。
如实测的水文资料是有限的，是一样本。
随机变量的表示: 它是指随机试验结果的一个数量。在水文
学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变
量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn
有一定的关系，其表达式为：
4 2 cs
2 xcv c s
2cv a0 x(1 ) cs
可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函 数亦完全确定。
P-III型曲线的特点：
一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线
一般称之为随机系列或随机数列。

工程水文学第六章

第六章 水文统计
• 概述 • 概率的基本概念 • 随机变量及其概率分布 • 水文频率计算 • 相关分析
1

一、概述
• 水文现象是一种自然现象，在其发生和演变 过程中，包含着必然性的一面，也包着偶然 性的一面。
• 必然现象是在一定条件下，事物在发展、变 化中必然出现或不出现的现象。偶然现象是 在一定条件下，事物在发展、变化中可能出 现也可能不出现的现象，也称随机现象。
44
四、水文频率计算
• 样本参数的均方误（相对误差，%）
• 由表中可见，当n＝100时，CS的误差在40～126% 之间。水文资料一般都很短（n＜100），按矩法公 式算得的CS值，抽样误差太大。
45
四、水文频率计算
• 适线法是根据估计的频率曲线和样本经验点 据分布配合最佳来优选参数的方法。
• 适线法的实质是通过样本的经验分布去探求 总体的分布。
14
二、概率的基本概念
• 解：记河流的甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件 Ｂ。这个地区被淹没的概率为：
Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB） ＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）
＝0.1＋0.2＋0.3×0.1 ＝0.27
• 由于 Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A），
故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为
年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965
年降雨量x 2014 1211 1728 1157 1257 1029 1306 1029 1310 1356 1266 1052
年径流量y 1362 728 1369 695 720 534 778 337 809 929 796 383
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特大频率，尤其是特大频率的点子很难点在图上。
频率格纸，就能较好地率曲线点绘在频率格纸 上。
频率格纸
(0.01,3.720) , (50,0.000)
6.4.2 频率曲线参数估算
在概率分布函数中包含有 ，CV，CS三个参数。 为了唯一确定概率分布函数，就得估算这些参数。 一、样本估计总体 随机变量所取数值的全体称为总体，从总体中任意 抽取的一部分称为样本，样本中所包括的项数称为样本容 量。水文变量的总体是指自古迄今以至未来长远岁月所有 的水文系列，是不知道的，需要靠观测到的样本去估计总 体参数。现有的水文观测的系列可以当作总体的一个随机 样本来处理。
式中，α，β，a0－参数，且有：
如果已知设计值xP，推求
xp 取决于p、α、β和αO四个数，并且当α、β、αO 三 个参数为已知时，则xp只取决于p了。α、β、αO与分 布曲线的EX，CV和CS有关，因此只要确定EX、CV 和CS，xp仅与p有关，可以由p唯一地来计算xp。
P－3型分布的积分无解析解，实用中制表查用。 取标准化变量Ф（离均系数）
泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为
0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时 河流甲泛滥的概率？
例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没， 设在某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流 甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。 又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？ 解：记河流甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件Ｂ。这个地区被淹没的概 率为：
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单， 查用方便，但受实测资料所限 , 往往难以 满足设计上的需要。为此，提出用理论频 率曲线来配合经验点据，这就是水文频率 计算适线法。
频率与重现期的关系
频率这个词比较抽象，为便于理解，有 时采用重现期这个词。所谓重现期是指某随 机变量的取值在长时期内平均多少年出现一 次，又称多少年一遇。
机抽取的样本与总体有差异而引起的，与计算误 差不同，称为抽样误差。
6.4.2.2
适线法
一、经验频率
根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列，
然后用经验频率公式计算系列中各项的频率，称为
经验频率。以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为 横坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一 条平滑的曲线，称为经验频率曲线。
情况（皮尔逊III型分布）。
6.4.1 分布线型
6.4.1.1 正态分布
6.4 水文频率计算
概率密度函数形式：
式中，x — 平均数 σ — 标准差
正态分布在误差估算时将会应用。
f(x)
68.3%
x x x
正态分布密度曲线
6.4.1.2 皮尔逊Ⅲ型分布 皮尔逊III型曲线为一端有限一端无限的不对 称单峰曲线，概率密度函数
数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。
1.均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变
量的观测系列（样本）为 x1,x2，…,xn ， 则其均
值为:
xi 令 ki , k i 称模比系数，则 : x
2.均方差 均方差是反映系列中各变量集中或离 散的程度。研究系列集中或离散程度，常 采用方差 2或均方差 ，计算公式为
σ1 σ2
均方差对频率曲线的影响
3．离势系数（离差系数，变差系数） 例如:甲地区的年雨量分布， x1＝1200mm，均方差σ1＝
360mm；乙地区的年雨量分布， x2 ＝800mm，均方差σ2＝
320mm。尽管σ1＞σ2，但是 两个分布的离散程度。
x1 ＞ x2 ，应从相对观点来比较这
采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为
计算步骤： （1）点绘经验点据 纵坐标为变量值，横坐标为 经验频率，采用期望值公式估计。
（2）初定一组参数 用矩法公式的估算EX和CV， 并假定CS与CV的比值K估算CS 。 （3）根据初定的EX、CV和CS，计算频率曲线，并绘 在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想， 则修改参数再次配线，主要调整CV以及CS 。 （4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲 线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。
6.2
概率的基本概念
2、概率乘法定理
Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ） ＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ） 式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已发生情况
下的概率，简称为Ａ的条件概率。 Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已发生情况 下 的概率，简称为Ｂ的条件概率。 对于两个独立事件： Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）
A
互斥
经验频率的计算
目前我国水文计算广泛采用的是数 学期望公式:
式中 p- 等于和大于xm的经验频率；
m- xm的序号，即等于或大于xm的项数；
n-系列的总项数。
二、经验频率曲线
x
1200
1000 800
p（X≥xi）＝i / n+1
0
20
40
60
80
100
p（%）
某地年降雨量经验分布曲线
经验频率曲线存在的问题
注意：以上样本参 数不等于总体参数！
只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数； 就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。
原矩法公式得出的S‘，CV ‘，和CS ’并不是 无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的 矩法公式:
抽样误差
用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数
是存在一定误差的，这种误差是由于从总体中随
将之代入式（3—22）得
被积函数只含一个参数CS。只要给定CS就可以 算出ФP和P的对应值，最终制定出ФP～Cs～p 的对应数值表（表3－2）。
CS
p
由给定的CS及p从表3—2查出Ф P，通过xP ＝（Ф P CV＋1）EX 即可决定出xP。因此， 已知EX，CV，CS就可求出与各种p值相应的xP值，也就可以绘制分布曲线或频率曲 线。 例如，已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的设计 年雨量。 由CS=1.0，p＝1% 查得 Ф P=3.02，
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。
6.2
概率的基本概念
四．概率加法定理和乘法定理 １．概率加法定理
Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ） 式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ与Ｂ之和的概率； Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率； Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。 Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同发生的概率。
6.2
概率的基本概念
三、频率 水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来 估算概率。设事件在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称
为事件A 的频率。
6.2
概率的基本概念
掷币试验出现正面的频率表 试验者 掷币次 出现正 频率 数 面次数 4040 2040 0.5080 蒲丰 皮尔逊 12000 皮尔逊 24000 6018 12014 0.5016 0.5006
X1%=（Ф P Cv＋1）EX
＝（3.02×0.5＋1）1000 ＝ 2510（mm）
在频率计算时，由已知的Cs值，查Φ值
表得出不同的P的Φ，然后利用已知的EX、
Cv，通过Φ公式即可求出与各种P相应的x，
从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
频率格纸
把频率曲线画在普通方格纸上，频率曲线的两
端特别陡峭，又因图幅的限制，对于特小频率或
Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB） ＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）
＝0.1＋0.2－0.3×0.1 ＝0.27 由于
Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）
故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为
Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/ Ｐ（B）
＝0.3×0.1 / 0.2 ＝0.15
若x＝800mm，由分布曲线知P（X＞800）＝0.6，表
明年雨量超过800mm的概率等于60％。
年雨量在800mm～900mm间的概率是多少呢？ 这就要讨论的随机变量落在某区间（x，x＋Δ
x）内的概率，可用下式表示： P（x＋Δ x＞X≥x）＝F（x）－F（x＋Δ x） 从图3—1得: F（800）＝0.60 ； F（900）＝0.21
离势系数
cv x
4．偏态系数（偏差系数） 反映分布是否对称的特征CS参数，记为
用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对 称，CS＝0；若不对称，当正离差的立方占优时， CS＞ 0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS ＜ 0，称为负偏。
Cs ＞ 0
Cs＝0
Cs ＜ 0
Cs 对密度曲线的影响
故： P（900＞x≥800）＝0.60－0.21＝0.39
年雨量落在800mm至900mm之间的可能性是39％。
函数f（x）＝-F’（x）为概率密度函数，简 称为密度函数或密度曲线。
f(x)
f(x)dx
dx
x
概率密度函数
f(x)
F(xp)=P(X>xp) xp 密度函数
x
x
x
F(xp)=P(X>xp) xp
称此事件必然事件。
不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生，这样的事件就称为随机事件。
6.2 二、概率
概率的基本概念
随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现， 但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。 为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标 准，这个数量标准就是事件的概率。
＝P（X ≤ x），称为随机变量的概率分布函数。
水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一
个值的概率，F（x）＝P（X＞x）在水文统计学上也 称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲