3两条平行直线之间的距离练习题

2.3.4 两条平行线间的距离 -B 提高练一、选择题1．（2020·江苏省如皋中学高二期中）若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +=（ ）A ．3B ．17-C ．2D ．3或17-【正确答案】A【详细解析】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行,则两条直线的斜率相等,即4n =-,又直线间的距离为=解得7m =,所以3m n +=.故选:A 2．若动点A ,B 分别在直线l 1:x ＋y －7＝0和l 2:x ＋y －5＝0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【详细解析】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1:x ＋y －7＝0和l 2:x ＋y －5＝0距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l :x ＋y ＋m ＝0,=所以|m ＋7|＝|m ＋5|,所以m ＝－6,即l :x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M=. 3．（2020·浙江诸暨中学高二月考）已知,,,m n a b R ∈,且满足346,341m n a b +=+=,则的最小值为 （ ）AB C ．1 D ．12【正确答案】C 【详细解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点,(),a b 为直线341x y +=上的动点,,显然最小值即两平行线间的距离:d 1==.故选:C 4．（2020浙江南湖嘉兴一中高二期中）设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A 3,B 13,C ．122,D ．23, 【正确答案】C【详细解析】由已知得两条直线的距离是d =因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根,所以1,a b ab c +=-=,则||a b -=因为108c ≤≤,所以1||2222a b -,即1222d .故选:C 5．（多选题）（2020江苏江阴三中高二期中）若两条平行直线1l :20x y m -+=与2l :260x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为（ ）A ．3B ．17-C ．3-D ．17 【正确答案】AB【详细解析】由题意,0n ≠,212n -=,所以4n =-,所以2l :2460x y --=,即230x y --=,=解得7m =或13m =-,所以3m n +=或17m n +=-.故选:AB6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）两条平行直线l 1,l 2分别过点P (-1,3),Q (2,-1),它们分别绕P ,Q 旋转,但始终保持平行,则l 1,l 2之间的距离可能取值为 ( )A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】ABC【详细解析】当两直线l 1,l 2与直线PQ 垂直时,两平行直线l 1,l 2间的距离最大最大距离为5PQ ==,所以l 1,l 2之间的距离的取值范围是(]0,5. 故正确答案选ABC二、填空题7．（2020·北京东城高二期中）若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行,则k =_____,1l 与2l 之间的距离是____．【正确答案】1;【详细解析】12//l l ,且直线2l 的斜率为1,1k ∴=,则直线1l 的一般方程为0x y -=.所以,直线1l 与2l =8．（2020全国高二课时练）如图,已知直线l 1:x+y -1=0,现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置,若l 2,l 1和坐标轴围成的梯形面积为4,l 2的方程为___ _．【正确答案】x+y -3=0.【详细解析】设l 2的方程为y=-x+b(b>1),则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).所以 b.梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离,故(b>1),由梯形面积公式得2=4,所以b 2=9,b=±3.但b>1,所以b=3.从而得到直线l 2的方程是x+y -3=0.9．（2020山西太原五中高二期中）与两条平行线12:3260,:6430l x y l x y +-=+-=等距离的平行线_____.【正确答案】12x+8y -15=0【详细解析】设所求直线方程为320,x y b ++=2:6430l x y +-=化为3320;2x y +-=于是3(6)()2b b--=--,解得15,4b=-则所求直线方程是15320,4x y+-=即128150.x y+-=10.（2020全国高二课时练）若直线m被两平行线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y＋3＝0所截得的线段的长为,则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确正确答案的序号)①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°．【正确答案】①⑤【详细解析】两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0=l1与l2所截的线段长为,故动直线与两直线的夹角应为30°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此只有①⑤适合．三、解答题11．（2020山东泰安实验中学高二月考）已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2.(1)求a的值.(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;③P点到l1的距离与P点到l3若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.【详细解析】(1)l2的方程即为1202x y--=,∴l1和l2的距离=∴1722a+=.∵a>0,∴a=3.(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,=即c=132或c=116.∴2x0-y0+132=或2x0-y0+116=.若点P 满足条件③,=, ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.由P 在第一象限,∴3x 0+2=0不合题意. 联立方程2x 0-y 0+1302=和x 0-2y 0+4=0,解得x 0=-3,y 0=12,应舍去. 由2x 0-y 0+1106=与x 0-2y 0+4=0联立,解得x 0=19,y 0=3718. 所以P(137,918)即为同时满足三个条件的点. 12．（2020华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=. （1）若1l ∥2l ,求1l 、2l 之间的距离;（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线2l 的方程.【详细解析】（1）若l 1∥l 2,则0m ≠, ∴132m m-=-,∴m ＝6, ∴l 1:x ﹣2y ﹣1＝0,l 2:x ﹣2y ﹣6＝0∴l 1,l 2之间的距离d == （2）由题意,030m m ⎧⎨-⎩＞＞,∴0＜m ＜3, 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S 12=m （3﹣m ）2139()228m =--+, ∴m 32=时,S 最大为98,此时直线l 2的方程为2x +2y ﹣3＝0．。

平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。

(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。

（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。

（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。

(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。

（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。

⾼中数学必修⼆同步练习题库：直线的交点坐标与距离公式（选择题：容易）直线的交点坐标与距离公式（选择题：容易）1、已知直线，若，则的值为（）A． B． C． D．或2、直线与直线平⾏，则它们的距离为A． B． C． D．3、平⾏线和的距离是( )A． B．C． D．4、直线与直线的距离为，则的值为A． B． C．10 D．5、平⾏线和的距离是（）A． B．2 C． D．6、点P(m-n,-m)到直线的距离等于( )A． B． C． D．7、点到的距离相等，则的值为（）.A． B． 1 C． D．28、点P(2,3)到直线：的距离为最⼤时，与的值依次为（）A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,19、直线上的点与原点的距离的最⼩值是A． B． C． D．10、点(0，1)到直线2x—y+2=0的距离为（）A． B． C． D．11、已知点A(2,1),B（5，-1），则=( )A．3 B． C． D．12、两条平⾏直线与之间的距离为（）A． B． C．7 D．13、点P（-5,7）到直线的距离是A．2 B． C． D．14、.已知点A（-3，-4），B（6,3）到直线的距离相等，则a的值（）A． B． C．或 D．或115、平⾯内到点A的距离是1且到点B的距离是2的点个数为（）D．117、平⾏线与之间的距离等于（）．A． B． C． D．18、点关于原点的对称点为，则为（）．A． B． C． D．19、点到直线的距离为（）．A． B． C． D．20、设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）．A．或 B． C． D．或21、光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（）A． B． C． D．22、双曲线的离⼼率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A． B． C． D．23、两条平⾏直线和之间的距离是（）A． B． C． D．24、两条平⾏直线和的距离是（）A． B．2 C． D．25、直线与直线平⾏，则它们的距离为A． B． C． D．26、已知直线与平⾏，则的值是（）.A．或 B．或 C．或 D．或27、双曲线的离⼼率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A． B． C． D．28、设分别为直线和圆上的点，则的最⼩值为（）A． B．C． D．29、已知直线与直线垂直，则的值为（）A． B．0 C． D．30、直线与两直线分别交于，两点，线段的中点是则点的坐标为（）A． B． C． D．31、若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最⼩值为() A．3 B．2 C．3 D．432、以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线⽅程是（）33、直线和的位置关系是（）A．平⾏ B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定34、已知直线与直线，若，则的值为（）A．1 B．2 C．6 D．1或235、已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平⾏，则a的值为()．A．－10 B．17 C．5 D．236、过点P(－1,3)，且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线⽅程为( )A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝037、“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38、垂直于直线且与圆相切于第⼀象限的直线⽅程是（）A． B．C． D．39、若点P（2，－1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的⽅程为（）A． B．C． D．40、已知两直线与平⾏，则的值为（）A．1 B．－1 C．1或－1 D．241、将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B． C． D．42、定义：曲线上的点到直线的距离的最⼩值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离为，则实数的值为（）A．或 B．或 C． D．43、已知两直线与平⾏,则的值为( )A． B．C．或 D．44、已知直线l1: y=x·sinα和直线l2: y="2x+c," 则直线l1与l2 （）A．通过平移可以重合 B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直⾓三⾓形 D．通过绕l1上某点旋转可以重合45、两直线与平⾏，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．46、与直线l : y＝2x＋3平⾏，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线⽅程是( )．A．x－y±＝0 B．2x－y＋＝0 C．2x－y－＝0 D．2x－y±＝047、已知两条直线y＝x－2和y＝(＋2)x＋1互相垂直，则等于 ()A．2 B．1 C．0 D．－148、若直线和互相垂直，则（）A． B． C． D．49、空间中，垂直于同⼀条直线的两条直线的位置关系是（）50、“a=-1”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件51、图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k252、直线:, :, 若∥,则（）A． B． C． D．53、设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或 B． C． D．或54、“”是“直线与直线平⾏”的（）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件55、如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平⾏，则实数k的值为( )．A．2 B． C．－2 D．－56、三⾓形的三个顶点、、，则的中线的长为（）．A．49 B．9 C．7 D．357、直线，直线，若，则实数的值是（）A．1或-2 B．1 C．-2 D．58、直线与直线的垂直,则A．1 B． C．4 D．59、过点且与直线垂直的直线⽅程为A． B． C． D．60、已知直线和夹⾓的平分线为，若的⽅程是，则的⽅程是（）。

平行与相交专项练习30题(有答案)ok平行与相交专项练30题（有答案）1．下列对于线的描述，说法正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直C．过直线外一点，能画无数条平行线D．有一条直线长6分米2．从直线外一点画已知直线的平行线，可以画（）条．A．1B．2C．无数3．下面的图形中，（）只有2组平行线．A．B．C．D．4．如果在同一平面内画两条直线，它们都和第三条直线相交成直角，那么这两条直线（A．互相垂直B．互相平行C．不垂直也不平行5．下列各句话中有（）句是错误的．（1）两条直线相交，这两条直线互相垂直．（2）两条直线的交点，叫做这两条直线的垂足．（3）平行线之间的线段到处相等．（4）两条直线都与另一条直线相交，这两条直线一定平行．A．1B．2C．3D．46．在同一平面内，若把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，那么这两根小棒（）A．相互平行B．相互垂直C．相交7．同一平面内的两条直线最多有（）个交点．A．B．1C．28．一张长方形纸对折两次后展开，折痕（）A．相互平行B．相互垂直C．可能相互垂直，也可能相互平行9．在两条平行线之间画垂直线段，第一条长7厘米，第二条长（）A．大于7厘米B．小于7厘米C．等于7厘米10．关于平行线的说法正确的是（）A．不相交的两条线段B．不相交的两条直线C．在同一平面内，不相交的两条直线11．直线a、b、c在同一平面里，a与b相互垂直，b与c 相互垂直，那么a与c相互（A．.垂直B．平行C．平行或垂直12．有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定（）平行与相交----1））A．相互垂直B．相互平行C．相交13．在同一个平面上垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．互相垂直B．互相平行C．两种都有可能D．A、B两种都不可能．14．在同一平面内，两条直线可能_________，也可能_________，互相垂直是一种特殊的_________．15．指出左图形中各有几组互相平行的线段，并写在括号里，（_________）．16．在同一平面内不相交的两条直线叫做_________，也可以说这两条直_________．在同一平面内的两条直线的位置关系有_________、_________两种情况．17．语文课本的封面，相对的两条边是相互_________的，相邻的两条边是相互_________的．18．点到直线的所有线段中，_________最短．19．平行线之间的垂直线段不但相互_________，并且长度_________．20．在同一平面内，两条不重合的直线的位置干系有_________、_________．21．上面有一排字母：TEFNKHXZ有互相垂直线段的字母是_________；有互相平行线段的字母是_________；既有互相垂直，又有互相平行的线段的字母是_________．22．如图，能找到_________组相互垂直的线段．23．两条直线不相交，就说这两条直线相互平行．_________．24．图中有几组相互垂直的线段？_________组．25．当两条直线相交成直角时，这两条直线相互平行．_________．26．在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就一定会相交．_________．平行与相交----227．在同一平面内，两条直线的位置干系可分红哪两类？相交或垂直_________相交或平行_________平行或垂直_________．28．过直线外一点只能画一条直线的垂线．_________．29．小猪要过河，它走下面的哪条路最近？这条路有什么特点？30．点A是大象的家，XXX表示河．大象要去河岸边饮水，请设想一条使大象饮水近来的线路图．平行与相交----3参考答案：1．A、不相交的两条直线是平行线，说法错误，前提是：在同一平面内；B、根据互相垂直的含义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，说法正确；C、过直线外一点，能画无数条平行线，说法错误，应为一条平行线；D、因为直线无限长，所以有一条直线长6分米，说法错误；故选：B．2.按照平行的性质得：过直线外一点画直线的平行线，可以画一条直线与直线平行，应选：A．3．A、是正六边形，有3组平行线；B、没有平行线；C、有2组平行线；D、是正八边形，有4组平行线；故选：C．4．如图：在同一平面内，p⊥d，k⊥d，所以XXX，故选：B．5．（1）两条直线相交，这两条直线互相垂直，说法错误，应为：两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直；（2）两条直线的交点，叫做这两条直线的垂足，说法错误；因为两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直，交点叫做垂足；（3）平行线之间的线段处处相等，说法错误，应为：平行线之间的距离处处相等；（4）根据垂直的性质可知：两条直线都与另一条直线相交，这两条直线一定平行，说法错误，前提必须在同一个平面内；故选：D．6．如图所示，，a和b都垂直于c，则a和b平行；应选：A．7．同一平面内的两条直线最多有1个交点．应选：B．8．由阐发可知：把一张长方形的纸对折两次后，折痕的干系是可能相互平行，也可能相互垂直；应选：C．9．由阐发可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等，所以在两条平行线之间画垂直线段，第一条长7厘米，第二条也长7厘米；应选：C．10．因为在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故A、B错误；应选：C．11．由垂直和平行的特征和性质可知：直线a、b、c在同一平面里，a与b相互垂直，b与c相互垂直，那么a与c互相平行；故选：B．12．根据平行的性质可得：有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定互相平行；故选：B13．由垂直的性质可得：在同一个平面内垂直于同一条直线的两条直线一定互相平行；故选：B．14．在同一平面内，两条直线可能相交，也可能平行，互相垂直是一种特殊的相交．15．指出左图形中各有几组互相平行的线段，并写在括号里，（9组）．如图：平行与相交----4图中的平行线段有：AD∥EF，BD∥EF，DE∥FB，DE∥FC，DF∥AE，DF∥EC，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB；共有9对；故谜底为：9组16．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也能够说这两条直线相互平行．在同一平面内的两条直线的位置干系有相交、平行两种情形．由阐发得出：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，在同一平面内的两条直线的位置关系有相交、平行两种情况．故答案为：平行线；线互相平行；相交；平行17．语文课本的封面，相对的两条边是相互平行的，相邻的两条边是相互垂直的．18．点到直线的所有线段中，垂线段最短．19．平行线之间的垂直线段不但相互平行，并且长度相等．20．在同一平面内，两条不重合的直线的位置干系有相交、平行．21．上面有一排字母：XXX有相互垂直线段的字母是T、E、H；有相互平行线段的字母是E、N、Z、H；既有相互垂直，又有相互平行的线段的字母是E、H．22．如图，能找到8组相互垂直的线段．23.两条直线如果永不相交，这两条直线一定互相平行，说法错误，前提是必须在同一平面内；故答案为：错误．24．图中有几组互相垂直的线段？6组．25．当两条直线相交成直角时，这两条直线相互平行．错误．26．在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就一定会相交．正确．由分析可知：在一张纸上画若干条直线后发现，凡是不平行的，就必然会相交；故答案为：正确．27．在同一平面内，两条直线的位置关系可分成哪两类？相交或垂直×相交或平行√平行或垂直×．28．过直线外一点只能画一条已知直线的垂线．正确．29．如图：PC近来，这条路垂直于河对岸的路．30．如图所示：根据垂直线段最短的性质，红色的垂线段就是使大象饮水最近的线路，。

两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

人教版数学四年级上册第五单元5.1平行与垂直一、填空题1．同一平面上不重合的两条直线一般有和两种情况。

2．两条直线相交成时，这两条直线就。

3．在同一平面内，两条直线的距离总是相等，这两条直线的位置关系是互相。

4．下图中有组互相平行的线段，有个直角。

5．下图中，如果a和b是两条互相平行的直线，那么∠1∠2.（填“>”、“<”或“=”）二、单选题6．过直线外一点可以画（）条直线与这条直线平行。

A．1B．2C．37．下列各组直线中，互相垂直的是（）。

A．B．C．8．一张正方形纸对折两次，折痕（）。

A．互相平行B．互相垂直C．可能互相垂直，也可能互相平行9．如图，直线AB与线段EF的位置关系是（）A．互相平行B．垂直C．互相垂直10．如图，笑笑要从O点走到公路AD上，沿线段（）走最近。

A．OA B．OB C．OC三、判断题11．从已知点向已知直线只能作一条垂线。

（）12．两条直线平行，它们的长度也相等。

（）13．两条线段垂直组成4个直角。

（）14．同一平面内的两条直线，如果不互相平行，就一定互相垂直。

（）15．钟面上时针和分针互相成垂直的只有9时。

（）四、作图题16．过P点画已知直线的垂线。

17．先量出两条平行线之间的距离，再在下面的两条平行线之间画一个最大的正方形。

18．水是人类的生命之源。

甲村和乙村分别在河的两岸，为了使村民用水方便，两村决定分别从村中修一条管道引水入村。

请你画出最短的引水管道路线。

五、解答题19．观察右图，想一想，直线a与直线b互相垂直吗? 为什么?。

平行线间的距离练习题高二在平面几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

研究平行线之间的距离是我们学习几何的重要内容之一。

本文将介绍一些高二水平的平行线间距离练习题，帮助大家更好地理解和掌握相关知识。

练习题一：已知AB // CD，AB = 8cm，BD = 5cm，求AC的长度。

解析：由于AB与CD平行，根据平行线的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。

通过观察可以发现，AB与CD之间以及AD与BD之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：AB/AC = BD/CD。

将已知值代入，得到8/AC = 5/(AC + 8)。

通过求解这个方程可以求得AC的值。

练习题二：已知EF // GH，GE = 4cm，GF = 12cm，求GH的长度。

解析：由于EF与GH平行，根据平行线的性质，三角形GEF与三角形GHF相似。

观察可以发现，GE与GH之间以及GF与HE之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：GE/GH = GF/HE。

将已知值代入，得到4/GH = 12/(HE + 4)。

通过求解这个方程可以求得GH的值。

练习题三：在平行线AB和CD之间，AB = 10cm，CD = 16cm，点E在CD上，而且AE = 4cm，连接BE，求BE的长度。

解析：根据题目描述，可得出三角形ABE与三角形CDE相似。

观察可以发现，AB与CD之间以及AE与DE之间的线段可以构成一组相似三角形。

那么我们可以列出以下比例关系：AB/BE = CD/DE。

将已知值代入，得到10/BE = 16/(DE + 4)。

通过求解这个方程可以求得BE的长度。

练习题四：已知平行线AB与CD之间的距离为6cm，点E在CD 上，且AE = 3cm，连接BE，求BE的长度。

解析：根据题目描述，可得出三角形ABE与三角形CDE相似。

观察可以发现，AB与CD之间以及AE与DE之间的线段可以构成一组相似三角形。

1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。

4.6 两平行线间的距离班级：___________姓名：___________得分：__________一．选择题1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a 和b之间的距离是（）A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm2．如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（）A．线段AB的长度B．线段CD的长度C．线段EF的长度D．线段GH的长度3．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（）A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：324．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD 为（）A．10 B．9 C．8 D．75．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题6．两条平行线间的所有线段都相等．7．已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．8．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是．9．如图，AD∥BC，∠A=∠D=90°，AB=1，AD=2，那么AD，BC间的距离为．10．如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB、CD于E、F，EG⊥CD，∠EFD=45°且FG=6，则AB、CD之间的距离为．三．解答题11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．试题解析一．选择题1．D【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3=2（cm）；如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线之间的距离，分类讨论是解决问题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．2．B【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度是直线a，b之间距离，故选：B．【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．3．C【分析】根据平行线的性质得出当两船距离最近，36x=18.9﹣27x，进而求出x即可得出答案即可．【解答】解：设x分钟后两船距离最近，当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，根据题意得出：36x=18.9﹣27x，解得：x=0.3，0.3小时=0.3×60分钟=18（分钟），则两船距离最近时的时刻为：7：33．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的之间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知得出等式方程是解题关键．4．A【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，的值．从而可以得到S△ACD【解答】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S=10cm2，△ABD∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，=10cm2，∴S△ACD故选：A．【点评】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．5．B【分析】根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴△ABC与△ABD的面积相等，∵AE∥BD，∴△BED与△ABD的面积相等，∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形，∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共2个．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．二．填空题6．公垂【分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长叫做平行线之间的距离”可知：在两条平行线之间再画几条和平行线垂直的线段，这些线段的长度都相等；据此判断即可．【解答】解：两条平行线间的所有公垂线段都相等，故答案为：公垂．【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用．7．8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm．【解答】解：（1）直线c在直线b的上方，如图1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为：8cm或2cm．【点评】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．8．3【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．【解答】解：由图可知，∵AB、CD为小正方形的边所在直线，∴AB∥CD，∴AC⊥AB，AC⊥CD，∵AC的长为3个小正方形的边长，∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．故答案为：3．【点评】此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．10．6【分析】根据图形得出EG的长是AB、CD之间的距离，根据垂直定义得出∠EGF=90°，求出∠EFG=45°，推出FG=EG，即可得出答案．【解答】解：∵EG⊥CD，AB∥CD，∴EG⊥AB，即EG的长是AB、CD之间的距离，∵EG⊥CD，∴∠EGF=90°，∵∠EFG=45°，∴∠FEG=180°﹣90°﹣4°=45°=∠EFG，∴EG=FG=6，即AB、CD之间的距离是6．故答案为：6．【点评】本题考查了平行线间的距离，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点，关键是得出EG的长是AB、CD之间的距离和求出EG的长．三．解答题11．【分析】因为，三条平行线之间的距离相等，所以它们截任意一条直线所得的线段相等，根据平行线等分线段定理，连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O即可．【解答】作法：1．过点A任意作一条直线AC交第三条直线于点C，交第二条直线于点D，2．连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O，则点O就是要求作的点．【点评】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是掌握平行线等分线段定理得意义与应用．．。

平行线练习题及答案一、选择题1. 在平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线被称为：A. 相交线B. 垂直线C. 平行线D. 异面直线答案：C2. 根据平行线的性质，下列哪项是错误的？A. 平行线之间的距离处处相等B. 平行线永远不会相交C. 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则与另一条也相交D. 平行线可以确定一个平面答案：C3. 如果直线AB与直线CD平行，且点E在直线AB上，点F在直线CD 上，那么直线EF与AB的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 无法确定答案：D二、填空题4. 如果直线l1与直线l2平行，且直线l1上的点P到直线l2的距离为d，那么直线l1上任意一点到直线l2的距离都是________。

答案：d5. 平行线的性质之一是，如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则与另一条________。

答案：不相交三、判断题6. 平行线在任何情况下都不会相交。

（）答案：正确7. 如果两条直线相交，它们就不可能平行。

（）答案：正确8. 平行线之间的夹角总是90度。

（）答案：错误四、简答题9. 解释什么是平行线，并给出平行线的基本性质。

答案：平行线是两条直线在同一个平面内，且不论延伸多远都不相交的直线。

基本性质包括：平行线之间的距离处处相等，平行线永远不会相交，如果一条直线与两条平行线中的一条平行，则与另一条也平行。

10. 描述如何使用直尺和三角板来检验两条直线是否平行。

答案：首先，使用直尺画出两条直线。

然后，用三角板的一边与直线之一对齐，确保没有间隙。

接着，将三角板沿着直线滑动，检查三角板的另一边是否始终与另一条直线平行。

如果始终平行，则两条直线平行。

五、计算题11. 在平面直角坐标系中，已知直线l1的方程为y=2x+3，直线l2的方程为y=2x+5。

请判断这两条直线是否平行，并给出理由。

答案：这两条直线是平行的。

因为它们的斜率相同，都是2，而截距不同，分别是3和5。

根据平行线的性质，当两条直线的斜率相同时，它们是平行的。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结39 两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为() A．0或3或－1 B．0或3C．3或－1 D．0或－1答案D解析由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，解得a＝0或a＝－1或a＝3，经验证，当a＝3时，两直线重合．故选D.2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是() A．[－10,10] B．[－10,5] C．[－5,5] D．[0,10]答案D解析 由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．3．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( )A ．7B ．9 C.11 D ．－7答案 A解析 由直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直得，20－2m ＝0，m ＝10.因为直线4x ＋10y －6＝0过点(t,1)，所以4t ＋10－6＝0，t ＝－1.又点(－1,1)在直线5x －2y ＋n ＝0上，所以－5－2＋n ＝0，n ＝7.4．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B ．175 C.135 D ．115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 5．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1 C.－2 D ．－1答案 C解析 因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，所以直线l 2的方程为x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2.故选C.6．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0答案 D解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.7．已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.45 B ．25 C.255 D ．105答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|12＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.8．在平面直角坐标系xOy (O 为坐标原点)中，不过原点的两直线l 1：x －my ＋2m －1＝0，l 2：mx ＋y －m －2＝0的交点为P ，过点O 分别向直线l 1，l 2引垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形OMPN 面积的最大值为( )A ．3B ．32 C.5 D ．52答案 D解析 将直线l 1的方程变形得(x －1)＋m (2－y )＝0，由⎩⎨⎧ x －1＝0，2－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则直线l 1过定点(1,2)，同理可知，直线l 2过定点(1,2)，所以，直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标为(1,2)，易知，直线l 1⊥l 2，如图所示，易知，四边形OMPN 为矩形，且|OP |＝12＋22＝5，设|OM |＝a ，|ON |＝b ，则a 2＋b 2＝5，四边形OMPN 的面积为S ＝|OM |·|ON |＝ab ≤a 2＋b 22＝52，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝5，即当a ＝b ＝102时，等号成立，因此，四边形OMPN 面积的最大值为52.故选D.9．(多选)已知直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3,4)，则下列结论正确的是( )A ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 垂直B ．存在实数m ，使得直线l 与直线AB 平行C ．存在实数m ，使得点A 到直线l 的距离为4D ．存在实数m ，使得以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2 答案 ABD解析 ∵直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，A (1,2)，B (3，4)，∴直线l 的斜率为－m ，直线AB 的斜率为1，故当m ＝1时，直线l 与直线AB 垂直；当m ＝－1时，直线l 与直线AB 平行，故A ，B 正确；直线l ：mx ＋y －m ＋1＝0，即m (x －1)＋y ＋1＝0，令⎩⎨⎧x －1＝0，y ＋1＝0，求得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，可得直线经过定点P (1，－1)，由于AP ＝3，故点A 到直线l 的最大距离为3，故C 错误；由于A (1,2)，B (3，4)，AB ＝4＋4＝22，故以AB 为直径的圆的圆心Q (2,3)，且PQ ＝1＋16＝17，圆的半径为2，圆心Q 到直线l 的最大距离为17，故以线段AB 为直径的圆上的点到直线l 的最大距离为17＋2，故D 正确．10．(多选)经过点P (0,1)的直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于P 1，P 2两点，且满足P 1P →＝2PP 2→，则( )A ．点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103 B ．|P 1P 2|＝212 C ．点P 2的坐标为(7,1) D ．直线l 的方程为y ＝1答案 BD解析 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 与两直线l 1：x－3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，则P 1P →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－73，PP 2→＝(0,7)，不满足P 1P →＝2PP 2→，故直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则直线l 与两直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0的交点P 1，P 2的横坐标分别为73k －1，7k ＋2，∵P 1P →＝2PP 2→，∴0－73k －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2－0，解得k ＝0，则P 1，P 2的坐标分别为(－7,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，∴|P 1P 2|＝212，直线l 的方程为y ＝1.故选BD.11．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________，此时a ＝________，b ＝________.答案 25 5 5解析 由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6b a ＝25，当且仅当a ＝b＝5时取等号．故2a ＋3b 的最小值为25.12. 如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0，2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．答案 (4，＋∞)解析 从特殊位置考虑．如图，因为点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2,1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．二、高考小题13．(2022·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A ．1B ．2 C.22 D ．4答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.14．(2022·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( )A ．1B ． 2 C.3 D ．2答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1，0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，即为|AP |＝ 2.故选B.15．(2022·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B ．255 C.355 D ．455答案 B解析 由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a ，a )，a ＞0，则圆的半径为a ，圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.由题意可得(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x －y －3＝0的距离均为d ＝25＝255，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.故选B.16．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析 解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则动点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.解法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的动点到直线x ＋y＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4. 三、模拟小题17．(2022·济南模拟)若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －(5－3x )－1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．18．(2022·河北省实验中学高三开学考试)若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2一定过定点( )A ．(－3,5)B ．(3，－5)C ．(3,5)D ．(5,3)答案 C解析 直线l 1：y ＝kx －k ＋1可化为y －1＝k (x －1)，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5)，由于直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，所以直线l 2一定过定点(3,5)．故选C.19．(2022·吉林省梅河口市第五中学月考)已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.51313 B ．91326 C.41313 D ．71326答案 D解析 ∵直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝4，将直线3x ＋2y －3＝0的方程化为6x ＋4y －6＝0，则两条平行直线之间的距离d ＝|1－(－6)|62＋42＝71326.故选D.20．(多选)(2022·河北省实验中学高三开学考试)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)答案 AD解析 设C (x 1，y 1)，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的欧拉线方程为x －y ＋2＝0，与直线y ＝－x 的交点为M (－1,1)，∴|MC |＝|MA |＝10，∴(x 1＋1)2＋(y 1－1)2＝10①，由A (－4,0)，B (0,4)，得△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－43，y 1＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x 1－y 1－2＝0 ②，由①②可得x 1＝2，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝－2.故选AD.21．(多选)(2022·湖南永州高三复习检测)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A.43 B ．23 C.－43 D ．－23答案 BCD解析 设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的可能取值为－43，－23，23.故选BCD.22．(2022·安徽四校联考(二))已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 23．(2022·山东省历城二中上学期学情检测)已知m ∈R ，动直线l 1：x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2：mx －y －2m ＋1＝0过定点B ，则B 点坐标为________；若直线l 1与l 2相交于点P (异于点A ，B )，则△P AB 周长的最大值为________．答案 (2,1) 2＋2解析 由条件知直线l 1过定点A (1,0)，直线l 2过定点B (2,1)，所以|AB |＝12＋12＝2，又因为1×m ＋m ×(－1)＝0，所以l 1⊥l 2，即P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝2，|P A |＋|PB |≤2 |P A |2＋|PB |22＝2，当且仅当|P A |＝|PB |＝1时取等号，所以|P A |＋|PB |＋|AB |≤2＋2，故△P AB 周长的最大值为2＋ 2. 24．(2022·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则m ＝________，12a ＋2c 的最小值为________．答案 0 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4,0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·陕西榆林质量检测)已知两条不重合的直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0.又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，且l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b ＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②，可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.2．(2022·深圳调研)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又因为m ′经过点N (4,3)， 所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为直线l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 所以直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.。

《2.3直线的交点坐标与距离公式》同步练习一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝17．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ）(13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=1:3410l x y 2:6870l x y 123565l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 211A ．BCD ． 10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________.4565-l1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)xy 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________． 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值.19．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)． (1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标． 当点到直线的距离最大时，求直线的方程．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，3450x y -+=(2,3)M -()0,2A ()4,0B ()0,4C ,m n 30nx my +-=2m n +1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=3:360l x y -+=()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程. 答案解析一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】根据题意，易得直线的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点， 由点斜式得所求直线方程为． 故选：A ．2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以即，选A.BC (3,1)M ,,A B C B (13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝230x y -+＝122-(13)-，32(1)210y x x y -=-+⇒+-＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=(),P x y x (),Q x y -210x y -+=()210x y --+=210x y ++=点睛：若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 .3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 【答案】A 【解析】直线. 故选：A4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得()22:00l Ax By C A B ++=+≠l x 0Ax By C -+=y 0Ax By C --=y x =0Bx Ay C ++=1:3410l x y 2:6870l x y 12356527:3402l x y --=51252==l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=l 650x y m -+=(1,1)056=+-m 1-=m l 6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-()1,2P l 10x y ++=(,)Q a b 2(1)11121022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，即关于直线：对称的点为.故选C. 6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝1 【答案】C 【解析】∵直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0， 若l 1∥l 2，则m （m+1）-2＝0，解得：m ＝﹣2或m ＝1 当m ＝1时，l 1与l 2重合，故“l 1∥l 2”⇔“m＝﹣2”， 故“l 1∥l 2”的必要不充分条件是“m＝-2或m ＝1”， 故选：C ．7．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题直线，即，令， 解得，所以该直线过定点.故选：A8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D【答案】D 【解析】 由题因为,故.32a b =-⎧⎨=-⎩()1,2P l 10x y++=(3,2)--m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()31411210m x m y m +++--=()341210m x y x y +-++-=3412010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩89x y =-⎧⎨=⎩(8,9)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 21111a =⇒=0a >1a =故选：D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ） A ．BCD ． 【答案】C 【解析】联立，得P （2，2），∴点P （2，2）到直线l ：y=﹣2x．故选：C10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】方法一 由，得，即直线过点，设,因为,所以满足条件的直线有2条.故选C.方法二 依题意，设经过直线交点的直线的方程为，即 ①.由，化简得，解得或，代入①得直4565-220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩d ==l 1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 230{2380x y x y -+=+-=1{2x y ==l 1,2()1,2Q 2PQ ==>l 12,l l l ()()238230x y x y R λλ+-+-+=∈()()232380x y λλλ++-+-=2=25-8-360λλ=-2λ=185线的方程为或，故选C. 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B 中在直线上，且连线的斜率为，所以B 正确，C 选项需要条件，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线.12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B 直线过定点，直线过定点，故B 是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项l 2y =4320x y -+=20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)x y 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=2-0+121(,)22+1y x =+(0,2),(1,1)1-2121,y y x x ≠≠y x =1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 0k =2l 0x =1:10l x y --=()0,1-()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=()0,1-12x =-2l 1110222x y --=10x y --=1l 2lC 错误；D.两直线重合，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是【答案】CD 【解析】对于A ．直线的斜率k ＝tanθ故直线l 的倾斜角是，故A 错误；对于B ．因为直线的斜率k′1，故直线l 与直线m 不垂直，故B错误；对于C ．点到直线l 的距离d 2，故C 正确；对于D ．过与直线l 平行的直线方程是y ﹣2x ﹣，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________. 【答案】-1【解析】()()1110k k ⨯++-⨯=k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=10l y -+==3π10m x -+=：3=)==()=40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =因为，所以，两直线的距离为故答案为：-1；15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 【答案】 【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：① 点在直线②将①代入②可得： 整理可得：. 故答案为：.16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．【答案】 【解析】设折线方程为，，故，中点为，故. 故.12l l 1a =-d ==3450x y -+=(2,3)M -34410x y --=(,)P x y P (2,3)M -()00,x y 002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0046x xy y=-⎧⎨=--⎩——()00,x y 3450x y -+=∴003450x y -+=——3(4)4(6)50x y ----+=34410x y --=34410x y --=()0,2A ()4,0B ()0,4C 286,55⎛⎫⎪⎝⎭y kx b =+12AB k =-2k =AB ()2,13b =-23y x =-设，则，解得，. 故答案为：. 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为直线与直线互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ，从而有 ， 故答案为：9．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，若，，； （2）∵，若，，. 19．求经过直线和的交点，且平行于直线(),D m n 41242322n m n m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩285m =65n =286,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,m n 30nx my +-=2m n +30nx my +-=112=+m n 92225)12)(2(2=⨯+=++=+∴mn n m m n n m n m 1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 3m =92m =-212k =-12//l l ∴114123k m -=-=--∴3m =212k =-12l l ⊥∴14123k m -==--∴92m =-1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=的直线的方程.【答案】【解析】由，求得， 故直线和的交点为，设所求的直线的方程为，再把点代入，求得，故所求的直线的方程为.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【答案】,【解析】由方程组解得点A 的坐标为(－1,0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得 即顶点C 的坐标为(5，－6)．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)．(1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．【答案】(1)直线l 1，l 2不能平行．3:360l x y -+=350x y -+=32105210x y x y +-=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=⎩1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=()1,2-30x y c -+=()1,2-5c =350x y -+=()1,0-()5,6-210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩5,6,x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3) 见解析【解析】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾， 所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为， 由此可得直线的交点都在直线上．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】直线方程可化为：由，解得且， 直线恒过定点，其坐标为．直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大的斜率 1:0l ax y b -+=2:0l bx y a ++=12210A B A B -=12210B C B C -≠()0a b --=0a b --≠12,l l 12,l l 0a b +=(,)P a b (,)Q b a 12,l l 0a b +≠00ax y b bx y a -+=⎧⎨++=⎩1x y b a=-⎧⎨=-⎩(1,)b a --1x =-()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ()2,3-570x y ++=() 1l ()()2110a x y b x y ++++-=21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2x =-3y =∴l A ()2,3-()2l ()2,3A -∴P l A PA l ⊥P l PA 431325PA k -==+直线的斜率 由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）边和所在的直线方程分别为和，∴两直线方程联立解得，∴点，∵的中点为，设，∴，解得， 即，(2)BC 直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P （x ，y ），根据角平分线性质，P 点到AB 、BC 的距离相等，化简可得或者，根据三角形在坐标系中位置，可得角B 内角平分线所在直线的斜率为正值，∴l 15PAk k -==-P l l ()352y x -=-+570x y ++=ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=BC (3,1)M ,,A B C B ()1,3,(2,4),(4,2)A B C --2y x =AB AC 3100x y -+=20x y +-=1,3x y =-=()1,3A -BC (3,1)M 1122(,),(,)B x y C x y 11221212310020+=62x y x y x x y y -+=⎧⎪+-=⎪⎨⎪⎪+=⎩1212=24=42x x y y ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎩(2,4),(4,2)B C -B =+2100x y -=20x y -=ABC故为. 20x y -=。

《平行与垂直》（同步练习）四年级上册数学人教版一．填空题（共7小题）1．在内，不相交的两条线叫做平行线．2．下列各组直线，组互相平行，组互相垂直。

3．用三角尺比一比，再找一找右图中线段AD和线段互相垂直；线段AD和线段互相平行。

4．在两条平行线之间作了四条垂线，这四条垂线的长度．5．过直线外的一点可以画条平行线。

6．画已知直线的垂线可以用工具和。

7．数学课本相邻两边互相，相对的两边互相．二．选择题（共7小题）8．在如图所示四条线段中，（）是互相平行。

A．a和b B．b和c C．a和c9．如图，A点是小强跳远时脚后跟落入沙坑的点，表示他的跳远成绩比较合理的线段是（）A．AB B．AC C．AD10．同一个平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（）A．相交B．互相垂直C．互相平行11．下面关于“平行线”的说法不正确的是（）A．在同一平面内，两条直线不相交就互相平行B．过直线外一点只能画一条与已知直线互相平行的直线C．一组平行线之间的距离不一定相等D．长方形有两组对边互相平行12．黑板的边是（），对边（）A．线段、互相平行B．射线、互相垂直C．直线、相交13．同一平面上的三条直线，一条直线既垂直于直线a也垂直于直线b，那么直线a和直线b（）A．相交B．平行C．垂直D．无法确定14．过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（）A．1条B．2条C．无数条三．判断题（共5小题）15．两条平行线的长都是10厘米。

16．过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行．17．两条平行线之间的线段最短。

18．过直线外一点画已知直线的平行线．可以画无数条．19．在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

四．操作题（共2小题）20．请你把所有互相垂直的两条直线用直角符号表示出来。

21．在图中找出组平行线，用实线画出来。

五．连线题（共1小题）22．连一连六．应用题（共3小题）23．观察下面正方形的对角线（即线段AC和BD），你能发现什么？再画一些正方形，看它们的对角线是不是存在同样的关系，然后把你的发现写下来．24．童乐家住在N处，双休日，童乐要与爸爸一起去河边钓鱼，他们走哪条路最近？为什么？25．李伯伯在地里拉了一些与一条边垂直的绳子，并量出这些绳子的长度（绳子夹在菜地的两条边之间，如图）．这块菜地的两条边平行吗？你是怎样想的？《5.1平行与垂直》（同步练习）四年级上册数学人教版参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．在同一平面内，不相交的两条直线线叫做平行线．【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故答案为：同一平面，直线．2．下列各组直线，1组互相平行，1组互相垂直。

y — n=0都过一定点P,贝U P 点的坐标为（ )3-3_4两条平行直线之頂距离 S 习一2、与直线2x+y+1=0的距离为』5的直线方程是（510、过直线3x — 2y — 4=0与直线x + 2y + 1=0的交点, 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是2x+y=0 B 、2x+y-2=0 2x+y=0 或 2x+y-2=0 11、点（a, — 2）到直线的距离等于 1,则a=-和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为(1 , 2) B 、(2, 1)选择题A 、(一 1, 3)B 1、两平行直线 A 、 b 1 — b 2C b b 2y=kx + b 1与y=kx+b 2之间的距离是（71 k 2D 、 b 2 b 1C 、(— 13)D5'5二、填空题1 2、（一，一）7 712 A 、 3x+4y-5=0 B 、3x+4y+5=0 C 、3x+4y-5=0与 两 条 平 行 线l 1 :3x 2y 6 0,12:6x 4y 3 0等距离的平行D 3x+4y-5=0 4、点p （x, y ）在直线x=Y-4=0上，O 是原点，则 Op三、解答题的最小值是（ ） 丽 B 、2^2 C 、 76 D 、2 5、 两直线ax+by+C 1=0与ax+by+C 2=0的距离是（ 6、13、求两直线 1_1： 4x — 3y+1=0 和 L 2： 12x+5y+13=0夹角平分线方程G C 2 y/a b 3x+y-5=0 上，且 距离等于近，则点P 坐标为（ P 点在直线 P 到直线x-y-1=0 2x+y=0 或 2x+y+2=03、 C (1 , 2)或(2, -1 )(2, 1)或(-1 ,A 7 m 2n B/ 2 2 、7 m nC J m2n 2D、J m2n 28过两直线x — T sy 0和J 3xy 灵0的交点，并与原点距离等于 1的直线有（ ) A 、0 条 B 、1 条 C 、2条 D、3条9、无论m n 取何实数值， 直线（3 m- n ） x+ (m+2r)14、已知正方形的中心为直线 x-y + 1=0和2x+y+ 2=0 的交点，正方形一边所在直线方程为 x + 3y — 2=0,求1的距离等于)其它三边方x7、点 p( m-n, — m 到直线一程是o15、两平行直线L I ,L2分别过A （1,0） 与B （0,5）点，若 L i 与L 2之间的距离为5，求这两直线的方程1直统（ss -2尹TF Q 与真続脚'—l ）x 十十2-3朋=0 的位星姜系是（ >A.平行 庆垂直C 、相交6与m 的取值育关2、一条光线沿直线買+2厂少0；^向射到直线xtz=O 上:且被反射，则反射光线所在直线芳程为（ ）A 、2齐一厂 口、2K -^^3=（> C 、2耳-yT=0小 2x-br+3=O氛过点h, n 且写瘵点距离叢大的脣蛭育程）X 、厂5=0 Er Ex 切4=0 C 、K+kY=0E 、3x-l-y- 5=04、已知平行四边理相邻的两边的直建右程是4； x-2v + l=0,/；,:3x-r-2 = 0'此四边形两条对 需蛭的交点是（2,1）,曲平行四边形另外两边所在 直箜方程沏（）Av 2x-r^r=0 和 K- $厂4=0 B^K-2y+T=0 和 业-厂如0C 、31 - 2严■了=0 和 K -3厂4=0D 、止-y+7=0 和3K -厂4=0 5^过点.F （lj2）引直统，便A （凸3LB ⑷-5）S1 它的距离相等，则这条直线的方程为（）A 、4K+y^0=O E 、K+4y^6=O C 、2辈+"S 厂7=0 或X 十4厂&=0 D 、3x+27-7=0 或 勺-&P求甫足下列条件K a,b9^]1i=直线1///；..且原点到直的距离相等一条直线，使它夹在两条平行直线 x — y — 5=0和x — y—2=0之间的线段长为，求该直线的方程.置关系是（公共点，则a 的值是A 2;B 、0;C 、-1 ;D 0 或-114、已知直线l 1： 2x + y — 4=0，求l 1关于直线I : 3x 9、与直线5x+12y-31=0平行，且距离为 2的直线方6、如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，那么 13、过直线2x + y + 8=0和直线x+y+ 3=0的交点作7、过点A （1,2）和点 B （-3,2）的直线与直线y=0的位 10、解答题求直线3x — y — 4=0关于点P （ 2, - 1 ）对称的直 的方程、、设 K+2y=lj 求乂"+y*的最个值：若 十/的最大值・a 等于( A -3 B)、-6A 相交B 、平行 &直线x a 2y 6C 、重合D 、以上都不对 0 和直线(a-2)x+3ay+2a=0 没有二、填空题+ 4y=1对称的直线12的方程.5 -12、解：15、光线通过 A (— 2, 4),经直线2x — y— 7=0反射,若反射线通过点B( 5, 8).求入射线和反射线所在直线的方程.练习題一答黑昔条：一、选择题I'b C；D； A； 4、B；5-^ Di & B； B；3、D二、填空题9、5s+12j^34=O 或5s+12r+18=0三、解答题16由直线I与敬一y—40平行，故设直箜程为3X—y + b-0,由图所示，点.P到两直线距离相等，得怜二I芒I 1巧一1+列&+1 V? +T解得：b=-W或吐一4【舍)..■-所求直銭I的方程3x-v-10=0.11、欲求X2+ y2的最小值，可利用代入法转化为关于X (或y)的二次三项式，然后利用函数求最值的方法处理，但考虑到 X2+ y2的几何意义较明显,即表示P (X, y)到原点的距离，故可从这个角度入手处理本题.如图所示，在直角坐标系中，X + 2y=1表示直线,记d2=X2+ y2,它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线X+ 2y=1的距离的平方即为所求的最小值，即aT~l1 4(a 1) l2:旦0a 1 aa 1 aI〔2: I 2:h:a232I 砧A；??设直线I的斜率为k,由夹角公式得ir-l1I 二2|=3二上=-3 或/c = --.1 + i 214、由*所求直线的方程为2X + y + 8=0或X +2y+ 1=0.y - 4 = 0F得11与I的交点为P(3,— 2), V兀+ 4j-L- 0.显见P也在I 2上.设I 2的斜率为k,又l1的斜率为一2, I的斜率为—3—4 ,2故I 2的直线方程为y十2 =-百4-曲,即 2x+11y+ 16=0.15、如图所示，已知直线设光线AC经I上点I : 2x — y—7=0,C反射为BC则/仁/ 2.再设A关于I的对称点为 A' (a, b),则/仁/ 3,••• / 2=/3,则B, C, A'三点共线.aCO•/ A'A丄1且AA'中点在I上,\冬-2右+ 42*--- - ---- -7=0,2 2••40+2解得 a=10 , b= — 2,1 卩 A' (10,— 2)..8 + 2• A'B的方程为P+3 = 尹話(£-1(]),即 2x + y —18=0. 25 11••• A'B与I的交点为C^—).4 3•••入射线AC的方程为,11P-4 =----- 〔X* 2),—2 ——4即 2x—11y+48=0.•入射线方程为 2x — 11y + 48=0,反射线方程为2x + y— 18=0练习题二答案：选择题1、B;2、D;3、B;4、B;5、B;6、C;7、A;8、B;9、D填空题10、8x+5y+1=0 或 7x-8y=0「7 . 1711、——或---3 312、12x+8y-15=0三、解答题13、解：设L I与L2夹角平分线上任意一点 P (x, y), 由平面几何中角平分线性质定理得:|4x 3y 1||12X 5y 13J l22 52化简得：12x+16y+13=0 或 56x— 7y+39=0检验知 2x+16y+13=0不合题意，舍去。

1.两条平行线086:,043:2211=++=++c y x l c y x l 之间的距离是 ( ) A.521c c d -= B.10221c c d -= C.5221c c d -= D.以上均不是2.当210<<k 时，直线1:1-=-k y kx l 与直线k x ky l 2:2=-的交点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若b k ,1,-三个数成等差数列，则直线b kx y +=必经过定点 ( )A.()2,1-B.()2,1C.()2,1-D.()2,1--4．直线2,1,102-=+=+=ax y x y x y 交于一点，则a 的值为 ( ） A.31 B.34 C.32 D.35 5.点()m n m P --,到直线1=+ny m x 的距离等于 ( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +- D.22n m ±6.若直线()4:1-=x k y l 与直线2l 关于点()1,2对称，则直线2l 恒过定点( )A.()4,0B.()2,0C.()4,2-D.()2,4-7.若两平行直线06,0123=++=--c ay x y x 之间的距离为13132，则a c 2+的值为______． 8.直线02743=--y x 上到点()1,2P 距离最近的点的坐标是________．9.与直线02=--y x 平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．10.求过直线032:1=+-y x l 与直线0832:2=-+y x l 的交点，且到点()4,0P 的距离为2的直线方程．11.已知直线033:1=+-y x l 求：（1）点()5,4P 关于l 的对称点；（2）直线02=--y x 关于直线l 对称的直线方程12.已知直线l 经过直线052=-+y x 与02=-y x 的交点.（1）点()0,5A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）求点()0,5A 到l 的距离的最大值．。