中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆）
方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度
方法五：勾股定理
方法一：等角代换（找到与90度相等的角）
【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为
的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
【解析】（1）证明：连接OD，
∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，
∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；
【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC
为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
【解析】（1）证明：
连接OE 、EC ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2，
∵OE=OC ，∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ，
∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，
∴DE 是⊙O 的切线；
【2017湖北咸宁】如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 与边AC BC ,分别交于E D ,两点，过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F .
⑴求证：DF 是⊙O 的切线；
【解析】（1）证明：如图，连接OD ，作OG ⊥AC 于点G ，
，
∵OB=OD ，∴∠ODB=∠B ，
又∵AB=AC ，∴∠C=∠B ，∴∠ODB=∠C ，
∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF 是⊙O 的切线．
【2016·四川泸州】如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A =∠EB C ．
（1）求证：BE 是⊙O 的切线；
【解答】（1）证明：连接CD ，
∵BD 是直径，∴∠BCD =90°，即∠D +∠CBD =90°，
∵∠A =∠D ，∠A =∠EBC ，∴∠CBD +∠EBC =90°，
∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线．
【2017山东滨州23】如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DA C ．
（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；
【解析】证明：（1）如答图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ； A
M B
O E F C ··
∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DA C ．[
∵∠G ＝∠BAD ，∴∠MDB ＝∠G ，
∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°．
∴∠MDB ＋∠BDG ＝90°．∴直线DM 是⊙O 的切线；
答图1
【2016·贵州安顺·12分】如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB =∠DCE ．
（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
【解析】解：（1）直线CE 与⊙O 相切．…（1分】
理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∠ACB =∠DAC ；
又∵∠ACB =∠DCE ，∴∠DAC =∠DCE ；
连接OE ，则∠DAC =∠AEO =∠DCE ；
∵∠DCE +∠DEC =90° ∴∠AE 0+∠DEC =90°
∴∠OEC =90°，即OE ⊥CE ．
又OE 是⊙O 的半径，∴直线CE 与⊙O 相切．…（5分】
【2014昆明】如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D.（1）求证：AC 是⊙O 的切线； A
B
O E F
C ·
·G
【解析】（1）证明：如图，连接OD
∵OD OB =，∴21∠=∠，
∴∠12∠=DOC ，
∵12∠=∠A ，∴DOC A ∠=∠，
∠ABC=90°， 90=∠+∠∴C A
∴
90=∠+∠C ODC ， 90=∠∴ODC
∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；
【2015•枣庄】如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，
以AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点
D ，
E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
【解析】（1）证明：连接OD ，BD ，
∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB =90°，
在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴CE =DE =BE =BC ，∴∠C =∠CDE ，
∵OA =OD ，∴∠A =∠ADO ，
∵∠ABC =90°，即∠C +∠A =90°，∴∠ADO +∠CDE =90°，即∠ODE =90°，
∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为⊙O 的切线；
【2015•西宁】如图，已知BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠FBC 交⊙O 于点A ，D 是射线BF 上的一点，且满足=，过点O 作OM ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点M ，连接BM ，AM ．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
【解析】（1）证明：连接OA ；
∵BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠CBF ，AD ⊥BF ，∴∠ADB =∠BAC =90°，∠DBA =∠CBA ； ∵∠OAC =∠OCA ，∴∠DAO =∠DAB +∠BAO =∠BAO +∠OAC =90°，∴DA 为⊙O 的切线．
