（一）
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如
右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
3.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
（一）
1.D
2.83
3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直
角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ，()03,0B ，，()
1,3,0C -，()0,0,1P 。
设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{
n AB n PB ⋅=⋅=u u u r u u u r
即
3030
x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则
m 0,m 0,{
PB BC ⋅=⋅=u u u r
u u u r
可取m=（0，-1，3-） 27
cos ,27
m n =
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
（二）
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为
A
23 B 3 C 2
3
D 6
2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •u u u v u u u v
的最
小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A)
23 (B)43 (C) 23 (D) 83
4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
（二）
1. D
2. D
3. B
4. 解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,
由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,
所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .
作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，
故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB 所以，SE=2EB
(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知
2
2
121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又.
故ADE ∆为等腰三角形.
取ED 中点F,连接AF ,则226
,AF DE AF AD DF ⊥=-=
. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.
所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.
连接AG,AG=2,2263
FG DG DF =-=
, 2221
cos 22
AF FG AG AFG AF FG +-∠==-g g ,
所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==u u u r u u u r 设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)
由,n SC n BC ⊥⊥u u u r u u u r ，得0,0n SC n BC ==u u u r u u u r
g g
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设SE EB λ=u u r u u u r
(0)λ>，则
设平面CDE 的法向量m=(x,y,z)
由,m DE m DC ⊥⊥,得 0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故
20,20111x y z
y λλλλλ
++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.
由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==g 故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211
(,,),(,,)333333
F FA =--u u u r ，
故0FA DE =u u u r u u u r
g ，由此得FA DE ⊥
又242
(,,)333EC =--u u u r ，故0EC DE =u u u r u u u r g ，由此得EC DE ⊥，
向量FA u u u r
与EC uuu r 的夹角等于二面角A DE C --的平面角
于是 1
cos(,)2||||FA EC FA EC FA EC ==-u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u
u r u u u r 所以，二面角A DE C --的大小为120o
（三）
1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）
34 （B ）54 （C ）74 (D) 3
4
2. 已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 3Q 到α的距离为23P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ） (A) (B)2 (C) 3 (D)4
3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，
则此球的表面积等于 。
4.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，
