故k 的取值范围为).1,3
3()33,1(⋃-
- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线
l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，
设AM ＝λAB .
（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2
；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.
（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是
2222222.
,
,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a
x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e
a
a b e a c AB AM λλ=+-=得
即22
1e a a
b e a
c e a
-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得
证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e
a
-
设M 的坐标是00(,),x y
00(,)(,),a a
AM AB x y a e e
λλ=+=由得
所以⎪⎩⎪
⎨⎧
=-=.
)1(00a y e a x λλ
因为点M 在椭圆上，所以 ,122
220=+b
y a x
即.11)1(,1)()]1([2
2222222
=-+-=+-e e b a a e a
λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e
解得.1122
e e -=-=λλ
即
（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，
即
.||2
1
1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，
由
,1||1|0)(|||21221c e
ec a e a c e d PF =+-=+++-==
得
.112
2e e
e =+-
所以.3
2
1,3122=-==
e e λ于是
即当,3
2
时=
λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，
则0000010.
22y x c
e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022
023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得
由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([22222
2
2c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2
，化简得.1
)1(22
2
2e e e =+- 从而.3
12=
e 于是3
2112=-=e λ 即当3
2
=
λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i
、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a
.
（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]
4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明2
2
μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分12分.
（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+
则直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b
y a x ，化简得
