人教版初中数学二次函数经典测试题

B．﹣2 3
C．﹣3 3
D．﹣4 3
【答案】B 【解析】
【分析】
根据已知求出 B（﹣ b , b2 ），由△AOB 为等边三角形，得到 b2 ＝tan60°×（﹣ b ），
2a 4a
4a
2a
即可求解；
【详解】
解：抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点 O， ∴c＝0，
2a 2a b 0 ，所以③正确；
抛物线与 x 轴有 2 个交点， △ b2 4ac 0 ， 即 4ac b2 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 （左同右异）．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) ．抛物线与 x 轴交点个数由△决定．
【详解】 ①由 x＝2 时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为 1，3，都大于 0，故正确； ③当 x＜2 时，由图象知：y 随 x 的增大而减小，故错误；
④由图象开口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0，x=﹣ ＝1＞0，∴b＜0，
人教版初中数学二次函数经典测试题
一、选择题
1．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点 M(﹣1，2)和点 N(1，﹣2)，则下列说法错误的 是( ) A．a+c＝0 B．无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，且函数图象截 x 轴所得的线段长 度必大于 2
C．当函数在 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而减小 10
∵x1+x2＝ 2 ，x1x2＝﹣1， a
∴|x1﹣x2|＝2
1 1 ＞2， a2
∴B 正确；
二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴 x＝﹣ b ＝ 1 ， 2a a
当 a＞0 时，不能判定 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而减小； 10
∴C 错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0， 2 ＞0， a
百度文库C．﹣2＜P＜0
D．﹣1＜P＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在 y 轴的左边，∴ b ＜0．∴b＞0． 2a
∵图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
a 1 ． 12
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．
【详解】
对于
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
当 x 2 时， y 4a 2(1 2a) 1，则二次函数的图象都经过点 2,1
2
当 x 0 时， y 0，则二次函数的图象都经过点 0, 0
6．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结 论的序号是( )
A．①② 【答案】D
B．①③④
C．①②③④
D．①②③④⑤
【解析】 【分析】
根据抛物线的开口方向可得出 a 的符号，再由抛物线与 y 轴的交点可得出 c 的值，然后进 一步根据对称轴以及抛物线得出当 x 1、 x 1、 x 3 时的情况进一步综合判断即
4．对于二次函数
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
，下列说法正确的个数是（
）
①对于任何满足条件的 a ，该二次函数的图象都经过点 2,1 和 0, 0 两点；
②若该函数图象的对称轴为直线 x x0 ，则必有 0 x0 1； ③当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大；
④若 P 4, y1 ， Q4 m, y2 m 0 是函数图象上的两点，如果 y1 y2 总成立，则
求解.
【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3 的对称轴为直线 x＝－1， ∴b＝−2， ∴y＝－x2−2x＋3， ∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的实数根可以看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交 点， ∵当 x＝−1 时，y＝4；当 x＝3 时，y＝－12， ∴函数 y＝－x2−2x＋3 在﹣2＜x＜3 的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键．
∴m+n＜ 2 ； a
∴D 正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限， 设 P=a﹣b+c，则 P 的取值范围是( )
A．﹣4＜P＜0
B．﹣4＜P＜﹣2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】
由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
当 x＝1 时，y＝a+b+c＝2，故②正确，
当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，
由 a+b+c＝2 得，a+c＝2﹣b，
∴bc＜0，∴一次函数 y＝x+bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有 3 个， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
8．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝
2；③a 1 ；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ） 2
4a
4a
即说法③错误
m0
4 m 4
由
y1
y2 总成立得，其对称轴
x
1 4a
1
4
解得 a 1 ，则说法④正确 12
综上，说法正确的个数是 2 个
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．
5．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0； ②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )
A．②④
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ，利用抛物线与 y 轴
的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，则可对 A 进行判断；利用当 x 1 时， y 0 可对 B 进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1，则可对 C 进行判断； 2a
抛物线 l 经过点 A 时，求出 y 的值，进而得出 t 的取值范围；
【详解】
解：（1）把点 C（0，3）和 D（3，0）的坐标代入 y=-x2+mx+n 中，
n 3 得， 32 3m n 0
n 3 解得 m 2
∴抛物线 l 解析式为 y=-x2+2x+3，
设点 B 的坐标为（-2，-1-2t），点 A 的坐标为（-4，-1-2t）， 当抛物线 l 经过点 B 时，有 y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 当抛物线 l 经过点 A 时，有 y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21， 当抛物线 l 与线段 AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知，x=2 时函数值小于 0，故（1）正确，函数与 x 轴的交点为 x=1.x=3，都大于 0，
故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0，
对称轴 x=﹣ ＝1，故 b＜0，bc＜0，即可判断一次函数 y＝x+bc 的图象.
则 a﹣b+c＝（a+c）﹣b＝2﹣b﹣b＜0，得 b＞1，故④正确，
∵ b 1，a＞0，得 a b 1 ，故③正确，
2a
22
故选 C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
和数形结合的思想解答．
9．如图，已知 A4, 1 ，线段 AB 与 x 轴平行，且 AB 2 ，抛物线 y x2 mx n
可． 【详解】 由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x= b 1， 2a
∴b=2a， ①由图可知：当 x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确； ②由图可知：当 x=−1 时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确； ③abc=2a2＞0，正确； ④由图可知：当 x=−3 时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确； ⑤c−a=1−a＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
则说法①正确
此二次函数的对称轴为
x
1 2
2a
1
1
2a
4a
a0
1 11 4a
x0 1 ，则说法②错误
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当 x 1 1时，y 随 x 的增大而增大；当 4a
x 1 1时，y 随 x 的增大而减小 4a
因 1 11 0 4a
则当 0 x 1 1时，y 随 x 的增大而增大；当 x 1 1时，y 随 x 的增大而减小
解得：2≤t≤10． 故应选 B
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关
于 t 的不等式是解题关键．
10．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若 △AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）
A．﹣ 3
0（t 为实数）在﹣2＜x＜3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3
B． 12＜t＜4
C． 12＜t≤4
D． 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的
实数根看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交点，再由﹣2＜x＜3 确定 y 的取值范围即可
经过点 C 0,3 和 D3,0 ，若线段 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向下平移，设平移的时
间为 t （秒）.若抛物线与线段 AB 有公共点，则 t 的取值范围是（ ）
A． 0 t 10
【答案】B
B． 2 t 10
C． 2 t 8
D． 2 t 10
【解析】
【分析】
直接利用待定系数法求出二次函数，得出 B 点坐标，分别得出当抛物线 l 经过点 B 时，当
7．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0； （2）方程 ax2+bx+c＝0 两根都大于零；（3）y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数 y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
D．当﹣1＜m＜n＜0 时，m+n＜ 2 a
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点 M(﹣1，2)和点 N(1，﹣2)， ∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2， ∴a+c＝0，b＝﹣2， ∴A 正确； ∵c＝﹣a，b＝﹣2， ∴y＝ax2﹣2x﹣a， ∴△＝4+4a2＞0， ∴无论 a 为何值，函数图象与 x 轴必有两个交点，
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．
【详解】 解： 抛物线开口向上，
a 0， 对称轴在 y 轴的右侧，
a 和 b 异号， b 0 ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0，
bc 0 ，所以①错误；
当 x 1时， y 0 ， a b c 0 ，所以②错误；
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) ， 抛物线的对称轴为直线 x 1 ， 即 b 1，
把 x=﹣1 代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选 A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
3．抛物线 y＝ x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝ 1．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝