平面向量知识点易错点归纳

篇一：平面向量知识点总结平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.?????举例 1 已知a(1,2)，b(4,2)，则把向量ab按向量a?(?1,3)平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；?????????ab）3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与ab共线的单位向量是?； |ab|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；???5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a?∥b，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；?③平行向量无传递性！（因为有0)；????????④三点a、b、c共线?ab、 ac共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作?a.举例2 如下列命题：（1）若|a|?|b|，则a?b.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若ab?dc，则abcd是平行四边形.（4）若abcd是平行四边形，则ab?dc.（5）若a?b，b?c，则a?c.??????????????????????????????二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如ab，注意起点在前，终点在后；???2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；??3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为)为向量a的坐标，a?(x,y)叫基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj?(x,y)，称(x,y?做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.??????????三、平面向量的基本定理???定理设e1,e2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对???(?1,?2)，使a??1e1??2e2.?????（1）定理核心：a?λ1e1?λ2e2；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当e1,e2时，就说a?λ1e1?λ2e2为对向量a的正交分解． ????1?3?举例 3 （1）若a?(1,1)，b?(1,?1)，c?(?1,2)，则c? . 结果：a?b.22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 b?24????????????????? ????????（3）已知ad,be 分别是△abc的边bc，ac上的中线,且ad?a，be?b,则bc可用向量a,b表示为 . 结果：??13????????a.e1?(0,0)，e2?(1,?2) b.e1?(?1,2)，e2?(5,7) c.e1?(3,5)，e2?(6,10) d.e1?(2,?3)，e2??,??2?4?a?b. 33???????????????? ????（4）已知△abc中，点d在bc边上，且cd?2db，cd?rab?sac，则r?s?的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积??实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：??（1）模：|?a|?|?|?|a|；????（2）方向：当??0时，?a的方向与a的方向相同，当??0时，?a的方向与a的方向相??反，当??0时，?a?0，注意：?a?0.?五、平面向量的数量积???a为向量，b的夹角.???????当??0时，a，b同向；当???时，a，b反向；当??时，a，b垂直.2????2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量|a||b|cos?????????叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b?|a|?|b|cos?.1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作oa?a，ob?b，则把?aob??(0????)称???????????规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.???????????????? ????举例4 （1）△abc 中，|ab|?3，|ac|?4，|bc|?5，则ab?bc?_________. 结果：?9.????????1?1????? ?（2）已知a??1,?，b??0,??，c?a?kb，d?a?b，c与d的夹角为，则k? ____. 结果：1.2??4??????（3）已知|a|?2，|b|?5，a?b??3，则|a?b|?____.?????????（4）已知a,b是两个非零向量，且|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为____. 结果：30?.?2????a3.向量b在向量上的投影：|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0.??????12举例 5 已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______. 结果：.????????4.a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.??5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：????a?b?a?b?0；（1）???????????（2）当a、b同向时，a?b?|a|?|b|，特别地，a2?a?a?|a|2?|a|；??????a?b?|a|?|b|是a、b同向的充要分条件；????????????aa 当、b反向时，a?b??|a|?|b|，a?b??|a|?|b|是、b反向的充要分条件；??????当?为锐角时，a?b?0，且a、b不同向，a?b?0是?为锐角的必要不充分条件；??????当?为钝角时，a?b?0，且a、b不反向；a?b?0是?为钝角的必要不充分条件.????a?b????（3）非零向量a，b夹角?的计算公式：cos??；④a?b?|a||b|.|a||b|????14b?(3?,2)，举例6 （1）已知a?(?,2?)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______. 结果： ???或??0且??；533????????1?????s，则of，fq夹角?的取值范围是_________. 结果：?,?； 2?43???????（3）已知a?(cosx,sinx)，b?(cosy,siny)，且满足|ka?b|a?kb|（其中k?0）.（2）已知△ofq的面积为s，且of?fq?1，若????????????????k2?11①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小. 结果：①a?b?(k?0)；②最小值为，24k??60?.六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则. 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.???????????????? ??????????????运算形式：若ab?a，bc?b，则向量ac叫做a与b的和，即a?b?ab?bc?ac；（2）向量的减法运算法则：三角形法则.???????????????? ????????运算形式：若ab?a，ac?b，则a?b?ab?ac?ca，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.???????????????? ?????????????????????????????举例7 （1）化简：①ab?bc?cd? ；②ab?ad?dc? ；③(ab?cd)?(ac?bd)? . 结果：①ad；?????②cb；③0；???????????????? ??（2）若正方形abcd的边长为1，ab?a，bc?b，ac?c，则|a?b?c|? .结果：注：减向量与被减向量的起点相同.（3）若o是△abc 所在平面内一点，且满足ob?oc??oc?2oa，则△abc的形状为. 结果：直角三角形；?????????????????|ap |（4）若d为△abc 的边bc的中点，△abc所在平面内有一点p，满足pa?bp?cp?0，设??，则?的值为 .|pd|???????????????? ????结果：2；?????????????（5）若点o是△abc的外心，且oa?ob?co?0，则△abc的内角c为 . 结果：120?.2.坐标运算：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则????（1）向量的加减法运算：a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).举例8 （1）已知点a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)，若ap?ab??ac(??r)，则当??____时，点p在第一、三象限的角平分线上. 结果：1； 2?1???????ab?(sin x,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? .结果：或?； 22262???????????????????????????????????（2）已知a(2,3)，b(1,4)，且（3）已知作用在点a(1,1)的三个力f1?(3,4)，f2?(2,?5)，f3?(3,1)，则合力f?f1?f2?f3的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：?a??(x1,y1)?(?x1,?y1).????（3）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab?(x2?x1,y2?y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.????????????1??? ?11举例9 设a(2,3)，b(?1,5)，且ac?ab，ad?3ab，则c,d的坐标分别是__________. 结果：(1,),(?7,9).???（4）平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2.（1）若x?33???举例10 已知向量a?(sinx,cosx)，b?(sinx,sinx)，c?(?1,0).?3，求向量a、c的夹角；??3??11（1）150?；（2）或1. ,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值.结果：8422??（2）若x?[????（5）向量的模：a2?|a|2?x2?y2?|a|?举例11 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|a?3b|?＝ .??（6）两点间的距离：若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则|ab|举例12 如图，在平面斜坐标系xoy中，?xoy?60?，平面上任一点p关于斜坐标系????????的斜坐标是这样定义的：若op?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为(x,y).（1）若点p的斜坐标为(2,?2)，求p到o的距离|po|；（2）求以o为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy中的方程. 结果：（1）2；（2）x?y?xy?1?0.22七、向量的运算律??????????1.交换律：a?b?b?a，?(?a)?(??)a，a?b?b?a；???????????????? ??2.结合律：a?b?c?(a?b)?c，a?b?c?a?(b?c)，(?a)b??(a?b)?a?(?b)；?????????????? 3.分配律：(???)a??a??a，?(a?b)??a??b，(a?b)?c?a?c?b?c.举例13 给出下列命题：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)2?|a|2?2|a||b|?|b|2；??????2?2??????? ???a?bb??????????④若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b则a?c；⑥|a|?a；⑦?；⑧(a?b)2?a2?b2；⑨(a?b)2?a2?2a?b?b2.aa???????????????????其中正确的是 . 结果：①⑥⑨.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a?(b?c)?(a?b)?c，为什么？??????八、向量平行(共线)的充要条件 ????????a//b?a?b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2?0.????????????????举例14 (1)若向量a?(x,1)，b?(4,x)，当x?_____时，a与b共线且方向相同. 结果：2.??????????（2）已知a?(1,1)，b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x? . 结果：4.（3）设pa?(k,12)，pb?(4,5)，pc?(10,k)，则k? _____时，a,b,c共线. 结果：?2或11.九、向量垂直的充要条件????????a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.???????????????? ?abac??abac???????. 特别地??|ab||ac|??|ab||ac|?????????????????????3举例15 (1)已知oa?(?1,2)，ob?(3,m)，若oa?ob，则m? .结果：m?；2（2）以原点o和a(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形oab，?b?90?，则点b的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；??????（3）已知n?(a,b)向量n?m，且|n|?|m|，则m?的坐标是 .结果：(b,?a)或(?b,a).十、线段的定比分点????????1.定义：设点p是直线p1p2上异于p1、p2的任意一点，若存在一个实数? ，使pp??pp2，1??????????则实数?叫做点p分有向线段p1p2所成的比?，p点叫做有向线段p1p2的以定比为?的定比分点.2.?的符号与分点p的位置之间的关系?????（1）p内分线段p1p2，即点p在线段p1p2上???0；?????（2）p外分线段p1p2时，①点p在线段p1p2的延长线上????1，②点p在线段p1p2的反向延长线上??1???0. ??????????注：若点p分有向线段pp所成的比为?，则点p分有向线段pp所成的比为1.1221?????????37举例16 若点p分ab所成的比为，则a分bp所成的比为 . 结果：?.433.线段的定比分点坐标公式：设p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，点p(x,y)分有向线段p1p2所成的比为?，则定比分点坐标公式为?x?????y????????x1??x2,1??(???1).y1??y2.1??x1?x2?x?,??2特别地，当??1时，就得到线段p1p2的中点坐标公式?y?y12?y?.??2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比?. 举例17 （1）若m(?3,?2)，n(6,?1)，且mp??mn，则点p的坐标为 . 结果：(?6,?)；???????????1（2）已知a(a,0)，b(3,2?a)，直线y?ax与线段ab交于m，且am?2mb，则a? . 结果：２或?4.2??????1????373十一、平移公式 ??x??xh?,如果点p(x,y)按向量a?(h,k)平移至p(x?,y?)，则?；曲线f(x,y)?0按向量a?(h,k)??y??yk?.平移得曲线f(x?h,y?k)?0.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______. 结果：(?8,3)；???（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a?________. 结果：(?,1).??4十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；??????2.模的性质：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.?????????a、 ba、 b0（1）右边等号成立条件：同向或中有?|a?b|?|a|?|b|；?????????b反向或a、 b中有0?|a?b|?|a|?|b|；（2）左边等号成立条件：a、????????b不共线?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. （3）当a、3.三角形重心公式在△abc中，若a(x1,y1)，b(x2,y2)，c(x3,y3)，则其重心的坐标为g(x1?x2?x33y?y1?y2.) 33??举例19 若△abc 的三边的中点分别为a(2,1)、b(?3,4)、c(?1,?1)，则△abc的重心的坐标为 .结果：??,?.33??245.三角形“三心”的向量表示???????????????? ?1????????????（1）pg?(pa?pb?pc)?g为△abc的重心，特别地pa?pb?pc?0?g为△abc的3重心.???????????????? ????????（2）pa?pb?pb?pc?pc?pa?p为△abc的垂心.???????????????????????? ????????????abac???(??0)所（3）|ab|pc?|bc|pa?|ca|pb?0?p为△abc的内心；向量???|ab||ac|???在直线过△abc的内心.?????6.点p分有向线段p1p2所成的比?向量形式??????????????mp ??mp?????2设点p分有向线段p1p2所成的比为?，若m为平面内的任一点，则mp?1，1?????????????????????mp?mp 2特别地p为有向线段p1p2的中点?mp?1.2篇二：平面向量知识点总结及训练题第五章平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：ab；坐标表示法：a?xi?yj?(x,y???3、向量的模：向量ab的大小――长度称为向量的模，记作|ab|.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作01个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与a ?a??6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作a?b；7、平行向量(共线向量)：a//b?????8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作＝a，ob＝b，则?aob???0?????叫a与b??????说明：（1）当??0时，a与b同向；（2）当???时，a与b反向；（3）当????????2时，a与b??垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝ 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量 与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。

平面向量知识点易错点归纳精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2.向量的线性运算减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，1λa＝(λx，λy1)，|a|＝x21＋y21.1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．2．平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．失误与防范1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥ba·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a⊥b .§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥ba ＝λb (b ≠0)x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥ba·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价.。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。

它是由起点和终点确定的有向线段。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。

二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。

例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。

2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。

（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。

1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。

3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。

4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。

它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。

四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。

2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。

也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。

3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。

2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。

《平面向量》主要知识点与易错点1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量． 2．平面向量的和与差：（1）122311n n n A A A A A A A A -+++=；（2）AB AC CB -=；（3）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则；（4）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1212(,)a b x x y y ±=±±． 3．实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量：（1）||||||λλ=a a ；（2）当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ=0a ； 4．向量式的化简（1）首尾相连的向量相加； （2）共起点的两个向量相减； （3）共起点的两个向量相加． 5．向量共线（1）向量a 与()≠0 b b 共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使λ=a b ． （2）(1),,OA xOB yOC x y A B C =++=⇒三点共线．,,A B C 三点共线且O 不在．．,,A B C 所在直线上．．．．．(1)OA xOB yOC x y ⇒=++=． （3）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则a ∥1221x y x y ⇔=b ． （4）若,a b 不共线，则两向量x y +a b 与m n +a b 共线x ym n⇔=． 6．平面向量基本定理若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ， 使得1122λλ=+a e e ． 7．向量的数量积（1）两个向量的夹角的定义，两个向量夹角θ的取值范围是[0,]π：0θ=⇔a 与b 同向；θπ=⇔a 与b 反向； （2）两个向量的数量积是一个实数，||||cos θ⋅=a b a b ；若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1212x x y y ⋅=+a b ． （3）22||==⋅a a a a ；121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；cos ||||θ⋅==a ba b ||||||(⋅≤a b a b 其中取等号时向量a 与 b 共线) （4）a 在b 上的射影||cos ||θ⋅==a b a b 注意：向量a 与 b 的夹角为锐角0⇔⋅>a b 且a 与 b 不共线；向量a 与 b 的夹角为钝角0⇔⋅<a b 且a 与 b 不共线； （5）求平面向量数量积的解题程序：①确定题目中的已知向量； ②用已知向量表示所求数量积中的两个向量．易错点1：向量共线概念理解致错．将向量共线片面理解为向量同向，忽视反向的情况．易错点2：不注意向量方向，将向量夹角看错．如在△ABC 中，60B =︒，有同学会将AB 与BC 夹角错以为60︒． 易错点3：将向量AB 的坐标错以为点B 的坐标．易错点4：将0⋅>a b 与,a b 的夹角为锐角看作等价条件，或将0⋅<a b 与,a b 的夹角为钝角看作等价条件．事实上，上述两种错误分别忽视了向量夹角为0︒和180︒的情形．易错点5：在向量数量积运算中，错误使用数量积的运算律．如把⋅=⋅a b b c 化简为(=a c 向量之间没有除法运算，所在等式或不等式两边不能约去一个向量)；错误地认为数量积满足结合律()()⋅⋅⋅⋅a b c =a b c ．易错点6：向量射影理解错误．把向量射影错以为只是正数．事实上，向量a 在b 上的射影||cos θa 是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零． 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k a ,1=→或()n m a ,=→； （2）给出→=+0PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（3）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知B A ,与PQ 的中点三点共线;（4） 给出以下情形之一： ①//； ②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使, 等于已知C B A ,,三点共线. （5）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;（6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角或180︒, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角或0︒,（7）给出=⎫⎛+λ, 等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（8）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;（9） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（10）在ABC ∆中，给出222OC OB OA==，等于已知O 是ABC ∆的外心（11） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（12）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（13）在ABC ∆中，给出+=()||||AB AC AB AC λ+)(+∈R λ 等于已知通过ABC ∆的内心；。

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________.1．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________. 2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________. 3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)①若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |③若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．4．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 5．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.7．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b |b |，则|p |＝________.8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．第Ⅱ卷：提能增分卷1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA ＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．[练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．3．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB ③AO ＝12AB ＋12AD④AE ＝53AB ＋AD6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ卷：提能增分卷(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.1．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 2．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.2．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________． 4．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是________．[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．角度二 平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.平面向量与三角函数的综合[典例]sin α)，b ＝(cos β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．2．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．3．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BC BD ⋅的值为________．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EMEC ⋅的取值范围是________．6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．。

§5.1 平面向量的概念及线性运算1．2.三角形法则3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|. 2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价.。

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

平面向量知识点总结平面向量是代数学中的一个概念，它是描述平面上的位置和方向的量。

平面向量的知识点主要包括向量的定义和表示、向量的基本运算、向量的共线和平行、向量的数量积和叉积等。

下面是对这些知识点的详细总结：1.向量的定义和表示：平面向量是有大小和方向的量。

用有向线段来表示向量，线段的起点代表向量的作用点，线段的长度代表向量的大小，线段的方向代表向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a用符号→a表示。

向量可以用坐标表示法来表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个具有两个分量的有序数对，如向量→a可以表示为→a=(a₁,a₂)，其中a₁和a₂称为向量→a的分量。

2.向量的基本运算：平面向量有加法和乘法运算。

(1)向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的运算。

即，如果→a=(a₁,a₂)，→b=(b₁,b₂)，则→a+→b=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

(2)向量的乘法：向量的乘法有数量乘法和数量积的概念。

-数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。

即，如果→a=(a₁,a₂)，k为实数，则k×→a=(k×a₁,k×a₂)。

- 数量积：向量的数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量积的值等于这两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积，即→a·→b= ，→a，，→b，cosθ。

其中，θ为两个向量的夹角，→a，和，→b，为两个向量的模。

3.向量的共线和平行：两个向量共线的标准是它们的方向相同或相反。

换言之，如果有两个非零向量→a和→b，存在一个实数k，使得→a=k×→b，则→a与→b共线。

两个向量平行的标准是它们的方向相同。

换言之，如果有两个非零向量→a和→b，存在一个实数k，使得→a=k×→b，则→a与→b平行。

4.向量的数量积：向量的数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量积的值等于这两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

平面向量知识点易错点归纳Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】§ 平面向量的概念及线性运算1名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量运算定义 法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB→∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§ 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠∥b x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.§ 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a⊥ba·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0. 方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a⊥b .§ 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥ba ＝λb (b ≠0)x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥ba·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价.。

平面向量知识点归纳平面向量是数学中的一个重要概念，用来描述平面上的位移和力的大小和方向。

下面将对平面向量的知识点进行归纳和扩展讨论。

一、平面向量的定义平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用有向线段表示。

平面向量可以表示为A = (x, y)，其中x和y分别表示向量在坐标轴上的分量。

二、向量的模和方向向量的模表示向量的长度，记作|A|或||A||。

向量的方向可以通过与坐标轴的夹角来表示，通常使用与x轴的正向的夹角θ来表示。

三、向量的相等与加法向量相等的条件是它们的对应分量相等，即A = (x₁, y₁)和B = (x₂, y₂)相等当且仅当x₁ = x₂且y₁ = y₂。

向量的加法可以通过对应分量的相加来实现，即(A + B) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

四、向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个标量。

数乘后得到的向量的大小变为原始向量的绝对值与标量的乘积，方向与原始向量保持一致。

五、向量的减法和负向量向量的减法是指将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。

即(A - B) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。

向量的负向量是指将向量的每个分量都取反得到的新向量。

六、单位向量单位向量是指模为1的向量，通常表示为u。

单位向量的一个重要性质是与任意非零向量的数乘结果都是与原始向量的方向相同的向量。

七、向量的数量积（内积）向量的数量积定义为A · B = |A||B|cosθ，其中A和B是两个向量，θ是它们之间的夹角。

数量积可以用来计算两个向量之间的夹角、向量的投影以及向量的正交性。

八、向量的向量积（叉积）向量的向量积定义为A × B = |A||B|sinθn，其中A和B是两个向量，θ是它们之间的夹角，n是一个垂直于A和B的单位向量。

向量积可以用来计算面积、判断向量的方向以及计算平面的法向量。

九、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指对于任意两个平面向量A和B，有A · B= 0当且仅当A与B垂直。

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学中，关于平面向量的公式有很多。

以下是一些常见的知识点总结：1. 平面向量的表示：- 平面向量可以用坐标表示，即一个有序数对（a，b），其中a和b称为向量的横纵坐标。

- 平面向量也可以用有向线段表示，即在平面上用一条有方向的线段来表示向量，线段的起点为向量的始点，终点为向量的终点。

2. 向量的加法和减法：- 平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的始点相接，以它们的终点为对角线的平行四边形的对角线。

- 向量的减法可以看作是加上负向量，即将减法转化为加法。

3. 数乘：- 平面向量与一个实数或标量相乘，相当于将向量的长度（模）乘以这个实数，并改变向量的方向，若实数为负数，则改变向量的方向。

4. 向量的数量积（内积）：- 向量的数量积是一个标量，表示为向量的点乘，也可以称为内积。

- 内积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中a与b分别为两个向量，|a|和|b|为它们的长度（模），θ为它们之间的夹角。

5. 向量的向量积（叉乘）：- 向量的向量积是一个向量，表示为向量的叉乘，也可以称为外积。

- 外积的计算公式：a×b = |a||b|sinθn，其中a与b分别为两个向量，|a|和|b|为它们的长度（模），θ为它们之间的夹角，n为垂直于它们所在平面的单位法向量。

6. 向量的共线和垂直：- 两个向量共线的条件是它们的夹角为0度或180度，也就是它们的数量积等于0或它们的向量积等于0。

- 两个向量垂直的条件是它们的夹角为90度，也就是它们的数量积等于0。

这些是高中数学中关于平面向量的一些常见的公式和知识点。

还有一些额外的知识点如向量在坐标系中的投影、单位向量、平面向量的判定式等，这些知识点会在更进一步的数学学习中涉及到。

平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =.（6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成. （3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c = . 结果：1322a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =-B.1(1,2)e =-，2(5,7)e =C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下： （1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. 结果：23.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=；||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件； 当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）. ①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=.六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形； （4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1). （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-.（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1. （5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单 位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=.七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b ba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨.60说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2. （2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若OA OB ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））； （3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-.十一、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要概念之一，是解决平面几何问题的数学工具。

本文将对平面向量的概念、运算、线性组合、共线与共面、平行与垂直、向量投影、平面的方程、向量积等知识点进行总结，并介绍一些相关的解题技巧。

一、概念1. 定义：平面向量是具有大小和方向的量，一般用有向线段表示。

2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，用||AB||或 |AB| 表示。

3. 零向量：长度为零，没有方向的向量，记作0。

4. 平移：向量可以表示平面上的平移，即通过向量的起点和终点来表示移动的方向和距离。

二、运算1. 向量的加法：设有向线段AB和AC，以A为起点，AB的终点是B，AC的终点是C，则向量AB加上向量AC等于以A为起点，以C为终点的向量AD。

2. 向量的减法：向量的减法可以理解为向量加法的逆运算，即向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指用实数k乘以一个向量A，得到的结果是长度为k倍的向量，且方向与A相同（当k大于0）或相反（当k小于0）。

4. 向量的点乘：设A、B为两个向量，其夹角为θ，两个向量的点乘结果等于AB的模乘以BC的模乘以θ的余弦值，即A·B=|AB|×|BC|×cosθ。

三、线性组合线性组合是指对多个向量进行数乘和加法运算得到的结果。

对于向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，它们的线性组合可以表示为k1a1 + k2a2 + ... + knan。

四、共线与共面1. 共线：若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向不同，则它们是不共线的。

2. 共面：若三个向量都在同一个平面内，则它们是共面的；若三个向量不在同一个平面内，则它们是不共面的。

五、平行与垂直1. 平行：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。

2. 垂直：若两个向量的点乘结果为0，则它们是垂直的。

即A·B=0，其中A和B为两个向量。

平面向量易错点总结：1、解题书写应该带箭头。

好多学生受教材和作业等印刷资料的影响，以为手写不需要带箭头，那是因为它们都是加粗的印刷体；而咱们手写，不论小写字母a，还是确定起点字母A、终点字母B，只要是向量都应该带箭头；另外，很多学生听课没认真看老师在黑板上的书写，多次提醒也不一定记住，唯有正式考试扣分才会痛彻心扉。

2、默认向量夹角的夹角θ为锐角，忘记了取值范围[0,π]。

初中学习锐角三角函数，到高中三角形法则和平行四边形法的作图大多夹角都是锐角，容易让部分学生先入为主，认为两个向量的夹角一定是锐角或直角。

这个是感官上的错误，只需要明确两个向量的数量积运算的结果可以为负数即可避免这个错误，或者牢记反向夹角为180°这个特殊取值也行。

3、忽视方向，在不共起点的情况下弄错夹角。

方向是向量的关键特征之一，方向不一样，两个向量就是不一样，那么两个向量之间的夹角也是如此。

很多同学习惯在脑海中作图，不喜欢动手在草稿本上画出来，这样很难分清楚起点不一样的两个向量的夹角到底是哪个角、是锐角还是钝角？如果学生勤于画图、平移共起点，按照定义确定夹角就不会出现这样的错误；4、纠结零向量的概念。

在概念辨析题中，零向量当然是不容忽视的，但是在数乘、数量积这2个重要运算的具体题目中，参数、待定系数可以为0，而向量为零向量是不是让题目太简单了？有点不适应哈，目前我还没见过这样的题目。

所以，学生们不需要纠结，它太特殊，方向任意，既然“难以捉摸”，咱们就避开它，或者先讨论它合不合题意；5、共起点的两个向量的减法，对于运算结果是“终点指被减“”不熟练。

学生不熟练，或者不能很快写结果，主要有2个原因：一个是力的合成三角形法则，没有位移的合成平行四边形法则简单，两个终点谁指向谁还要费脑筋思考一下下；二个向量减法的坐标运算的确是前面减去后面，给三角形法则运算带来了干扰，因为起点坐标减去终点坐标得到的、用两个字母所在线段表示的向量和终点坐标减去起点坐标得到的向量互为相反向量，关键是看你要哪一个向量，最终结果起点不一样则计算公式就不一样；另外，加法与减法互为逆运算，学生不熟悉减法运算，可以先转化为加法运算再移项就可以得到减法运算的正确结果，保证不会错，还是做一个加法宝宝好，远离减法哈哈。