数学分析试题及答案7

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+收敛.四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. x e dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.1arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1. 221lim nn k nn k →∞=+∑2. 20lim1xt xx xe dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂ 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a ，求函数 n u x =的最大值.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩ 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 九 (10分) 求dS z∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+-=-⎰六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f x y z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。

A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。

A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。

A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。

其中。

参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。

A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。

A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。

统计专业和数学专业数学分练习题 计算题１. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→2. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→3. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(yx y x y x +→4. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→5. 试求极限.11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数,求 .,yu x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,xe y = 求.dxdz ８. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程.９. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.10. 求函数)2(),(22y y x e y x f x++=的极值． 1１. 叙述隐函数的定义.1２. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 1３. 叙述隐函数可微性定理的内容.1４． 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15． 讨论笛卡儿叶形线0333=-+axy y x所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程0),,(323=-++=z y x xyz z y x F在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. １7. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程2223x y z xyz ++=.(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; （2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18． 讨论方程组⎩⎨⎧=+-+-==--+=01),,,(,0),,,(222xy v u v u y x G y x v u v u y x F 在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。

A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。

三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。

（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。

（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。

（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域4、11lim 22220-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。

参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

2 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n n x u dxdx u dx d3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa 2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分）4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim2200222222220222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1c o s 11(s i n 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221c o s 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。

东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。

解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

第七章 实数的完备性一、练习题1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即a 1<a 2<…<a n <…<b n …<b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.4. 试用确界原理证明区间套定理.5. 设H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:(1) H 能否覆盖(0,1)?(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.8. 试用致密性定理证明单调有界定理.9. 试用聚点定理证明区间套定理.10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.12. 试用确界原理证明聚点定理13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.20. 求下列数列的上、下极限：（1）{1+（-1）n }； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n1)(n ；（3）{2n+1}； （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n； （5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n +b n );∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n -b n ),∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n ,∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n limn a 1=n n a lim 1∞→.22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则∞→n lim a n =∞→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是A =∞→n lim nk sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是A=∞→n lim nk inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得n→∞f(x0)=A.30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.(1) 证明f+g在I上一致连续;(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限lim f(x n)都n→∞存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.32. 设函数f在[)a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得+∞lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在x+∞→[)a,上一致连续.+∞。

第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d e x f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++100333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

七章 实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭L为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖.2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为 闭区间[],a b , 若,x S ∈则 x 必为S 的聚点.4.4. 若lim n n a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃=L , 则闭区间套定理成立.8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续.9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则 存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明: sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明:{}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 sup inf ,A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a bx A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤ 00,:b x x b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 lim ()xb f xc -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<KK KK 于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-<显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续.5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一. (2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ.()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有nx ξ>, 取 00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续.7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}k n x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x >L 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列,故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂, 故[]0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0lim ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章 不定积分填空题1.()()_________x e x dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C=-+⎰, 则()()___________.n fx =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--， 则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =+>, 则2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x x x x +++=++---7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C=+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（ ）是正确的.()().()()x x A f x dx f x B f e dx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f CD xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ）.4sin 2.2cos 2.4sin 2.2cos 2A x B xC xD x --3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（ ）.2.ln A x CB x CC CD C +++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上 （ ） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x xA xe dx deB dx d x x ==++21.arctan .cos 2sin 21C xdx dD xdx d xx ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x C B f x C C f x C D f x C ++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.sin.sin .sin .sin A x B ax C axD axa aa-9. 若()21x f x dx x C=+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.arcsin ,1,arcsin x xC xe dx u x v eD xdx u v x--''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. arctanx ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6.7.221(1)(1)x dx x x ++-⎰. 8.11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)x xxedx e +⎰.10.2 答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-+⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式211arctan 22x =221124x =212x C =3. dx dx =⎰(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=-7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x C x =-+++++ 211ln 121x Cx =-+++.8.tan22222121sin cos 211111x u dxdu x xu u u u u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰22sin 2()arcsin 2222a u a x u C C a =-+=-+.第九章 定积分一、 一、 选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（ ）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（ ）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（ ）（A ） （A ） 必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xadtt f x F ，则正确的是（ ）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数； （B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数； （C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数； （D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（ ）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （ ） （A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 221 9、下列关系中正确的有（ ）（A ）dxe dx e x x⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x ⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （ ）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（ ）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）1e e ⎰ （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（ ）（A ）与,,t a b 有关 （B ）与,t x 有关 （C ）与,,x b t 有关 （D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（ ）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令 （B）10sin x t =⎰令（C）10tan x t =⎰令 （D ）12111dx x xt -=+⎰令 答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰2πxdx⎰2sin πxdx.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dx x f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x=⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、0=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题 （每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx3、dx x x x ⎰+-2232=()()⎰⎰⎰-+-=-21210111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅22cos πxdx ex=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x xx=2-πe则⎰⋅202cos πxdx e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxxsin 4解：Θx x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ 9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x⎰+31arcsin dx x x=⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d tt ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx e e⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x xdx =()d t t ⎰-312581=13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx =20arctan 1xdx x x +=21ln 1ln 22x += 15、20π⎰20cos 2x dx π20cos cos 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、 证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈=L 外， 即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈L 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤=L 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、 证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。

考试科目： 数学分析(I)一 、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。

21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2n n n n n n n n n ２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim00===-→→x e x e x x x x ４.这是型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x x x ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝12(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 211lim(1)nn n n →∞++22(1)121lim(1)1n n n n n n n n +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→nn n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1. 7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. xx xx x sin tan lim--→;解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=--2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2 x x x →+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11x e x e y xxsin cos -=' 12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+ 15 x e x e y xx2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+='17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x yn π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d解 因为xx x x x e x x xx e x e x e x e x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以 3233333)ln 332()()(dx x xx x e dx dx uv d uv d x ++-== )ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e x e x e x dx d v u dx d x xx x x x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e vud x-++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+22. ;xx y x =解： 令1xy x =,1ln ln y x x =两边对两边对x 求导有11ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ ln ln x y x x =两边对x 求导有(ln )x y x x y''= 1121 ()ln (ln ) (ln )ln ((ln )ln ) (ln ln )xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x ---''=+=++'=++=++23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt所确定的函数的二阶导数:22dx y d 解法1：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin cos sin cos sin t t t t dy e t e t t t dx e t e t t t++==-- 求22d y dx 即求参量方程cos sin ,cos sin cos ;t dy t tdx t t x e t +⎧=⎪-⎨⎪=⎩的导数 222223(cos sin )(cos sin )()2(cos sin )(cos sin )(cos sin )t t t t t t dyd d y t t dx dx dxe t t e t t -++-===-- 解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t t dy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+-- 求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()4sec ()4cos()4t t dy d t d ydx t dxdx t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y.解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''==== ()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e x x x x y x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e x x x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'-- 26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.28．解 （1）)0(0sinlim )(lim 0f x x x f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.00≠∀x ，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos1sin 11cos 1sin 2sin 2cos2lim 1sin )(lim 00x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m mx x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续.29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin)(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点. （2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=n x n ，421ππ+=n y n ，则0→n x ，0→n y .即在0=x 的任何右邻域)0(0+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点.并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为001sin lim)0(240=-='→x x x f x ，00)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩ 令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y 在0x =处不可导. 列所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在0x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值： 解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=-- 令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x ==, 而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为 max min (1)2,(1)10f f =-=-. 34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点.35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}n a 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}n a 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为H 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x .38.5232326129.6116ln 1326ln 1.x dx x x dx x x x x x x x C C ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则()()22222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a td a t a tdt t dta x t t C a C a ===+⎛⎫⎛=++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 111121ln 1.x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=+++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令t =则有()()2222218,11t t x dx dt t t +-==--, ()()2222242211111ln2arctan 2arctan.1t dt dt t t t t tt C C t ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-++=-+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan 2xt =,则有22212cos ,11t x dx dt t t-==++, 22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeeex dx xdx xdx x x x xx x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222t t t t te dt tde tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰.46.12111000011arcsin arcsin 12222d x xdx x x πππ-=-=+=+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x=+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠. 48.()()()()().xx xaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abc a ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b ta t dt ab tdt ab πππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为22202sin 82t s a dta πππ====⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式2(baS f x π=⎰可得所求旋转曲面的面积为)02sin 2ln1S πππ⎤==⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx xx A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xedx +∞-⎰收敛,其值为12.54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠ ()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdx x x +∞+⎰收敛,其值为1ln2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4nn k k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.57.因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim21nn nn→∞-=,且级数11n n ∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sin n n n ∞=-∑条件收敛. 59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nxn ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nxn ∞=∑在(0,)x π∈上收敛. 又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nx n n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.61. )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得10max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0n f =，故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63. )(x f n 2222x n xen -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 65. 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+nn a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此,⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅ 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解+-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ] 1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n nx n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n nn x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . 70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰ 11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n nππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-= （ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nx f x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n 2022=⎰ππsin d ()=-⎰220πππf x nx xsin d . 作变换π-=x t ，则()()()b f t n t tn 20221=--⎰πππsin d ()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n 2 .所以,02=n b ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。

∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

本科数学分析试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+1的导数是（）A. 2x+1B. 2xC. x^2D. 2x-1答案：B2. 极限lim(x→0) (1-cosx)/x的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x + CB. xe^x + CC. e^x/x + CD. e^x * ln(x) + C答案：A5. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是______。

答案：-cos(x) + C7. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是______。

答案：2/38. 函数f(x)=e^x的二阶导数是______。

答案：e^x9. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。

答案：1/x10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点是______。

答案：x=0, x=2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^3+2x)。

答案：012. 计算定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx。

答案：1/213. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x=0, y=0, x+y=1围成的区域。

答案：1/12四、证明题（每题10分，共20分）14. 证明：函数f(x)=x^3在R上是增函数。

证明：设任意x1, x2∈R，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。

由于x1<x2，所以x1-x2<0，x1^2+x1x2+x2^2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)。