（二十一）数学分析期终考试题
一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集
2 函数项级数的逐项求导定理
3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）
1、
⎰
-9
1
31dx x x
2、求)0()(2
2
2
b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积
3、求幂级数
n
n n x n ∑∞
=+1
2)11(的收敛半径和收敛域 4、1
1lim
2
2220
0-+++→→y x y x y x
5、2
2
),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知⎪⎩
⎪⎨⎧==≠+++=0
,0001sin )(),(222
2
2
2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原
点不连续，但它在该点可微
2、讨论级数∑∞
=-+1
2211
ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(
1
1
-∈+-∑∞
=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）
1 若
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞
→x f x
2 设二元函数),(y x f 在开集2
R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足
Lipschitz 条件：'
'''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('
''
∈为常数证
明),(y x f 在D 内连续。
参考答案
一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导
a)
∑∞
=1)(n n
x u
在[a ，b]点态收敛于)(x S
b)
∑∞
=1
')(n x u n 在[a ，b]一致收敛于)(x σ 则)(x S =∑∞
=1
)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞
=∞==11)()(n n n n
x u dx d
x u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当
0)(max 1→∆=≤≤i n
i x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等
二、1、令31x t -=（2分）
7
468
)1(312
339
1
3-
=--=-⎰⎰
-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：
b a dx y y a
a 2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n n
n 1])1
11(1))111()1
1(lim[(1
1=++⨯+++++∞
→收敛半径为e 1(4分），当
e x 1=
时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n
n n ，所以收敛域为)1,1(e
e - (3分）
4、2)11(lim )11)(11()
11)((lim
1
1lim 220
02
22222220
22220
0=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7
分）
5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）
13
6)2,1,2(=
-l f （3分）
三、1、解、⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠+++-+=0
00)1cos 11(sin 222222
22222y x y x y
x y x y x x f x （4分）由于
2
2221
cos 1y
x y x ++当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的y f 也不连续，（2分） 2、解：11211
ln lim 2
22=--+∞→n n n n （5分）∑∞
=-121
2n n 收敛，所以原级数收敛（5分）
3、解：部分和1)(1+-=+n x x x S n n （3分），,0>∀ε 取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε1N ，N n >时有
ε<≤+=-+n
n x x x S n n 1
1)(1，所以级数一致收敛（7分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：用反证法
若结论不成立，则X x a X >∃∀>∃00,.,0ε ，使得00)(ε≥x f ，（3分）又因为在f （x ）
在[a ,∞）上一致连续函数，a x x >∀∈∃'
''0,),1,0(δ，只要0'''δ<-x x ，有
2
)()(0
'''ε<
-x f x f ，（3分）于是1,00+=≥∀A X a A 令，取上述使00)(ε≥x f 的点
,0X x >，不妨设0)(0>x f ，则对任意满足00δ<-x x 的x ，有
02
2
)()(0
0>≥
-
>εεx f x f 取A 和A
‘
分别等于2
0δ-
x 和2
0δ+
x ，则
00
2
)('
δε>
⎰
A A
dx x f 有，由Cauchy 收敛定理，⎰
+∞
a
dx x f )(不收敛，矛盾（4分）
2、证明：D y x ∈∀),(00，由Lipschitz 条件
)
,(),(),(),(),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-≤-),(),(0000y x f y x f y y L -+-≤（1）
，（6分）又由二元函数),(y x f 在开集2
R D ⊂内对于变量x 是连续的，（1）式的极限为0，),(y x f 在),(00y x 连续，因此),(y x f 在D 内连续（4分）
（二十二）数学分析期末考试题
一 叙述题：（每小题5分，共15分）
