平均指标与变异指标

第五章平均指标与变异指标教学目的与要求：本章主要介绍了经济统计中广泛应用的一种综合指标，即平均指标。

并在此基础上，详细论述了反映总体特征的另一指标，即标志变异指标。

通过本章的学习和应用能力的训练，重点要求是：1、深刻理解平均指标和变异指标的基本理论和分析方法2、掌握计算平均指标的各种方法及运用原则3、对平均指标进行分析，阐述影响平均指标大小的原因4、明确平均指标与变异指标的区别与联系5、掌握变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均数的代表性基本理论和分析方法。

重点掌握：1、平均制表的分析方法。

2、变异指标的计算意义。

教学方式：用多媒体课件讲练结合。

课时安排：理论4学时，实训2学时第一节平均指标的概念和作用一、平均指标的概念1、定义平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。

它反映了社会经济现象中某一总体各单位某一数量在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平。

2、特点第一，同质性，即总体内各单位的性质是相同的。

第二，抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。

第三，代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值。

二、平均指标的作用1、可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。

2、可以用来对统一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。

如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。

1、可以作为论断事物的一种数量标准。

2、可以用来分析现象之间的依存关系。

3、可以估算和推算其他有关数字三、平均指标的种类平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。

静态平均数反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平，动态平均数反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平。

本章主要介绍静态平均数。

第二节平均指标的计算和确定一、算术平均数算术平均数是计算平均指标最常用的方法，其基本公式是：总体标志总量算术平均数=总体单位总量使用这一基本公式应该注意公式中分子与分母的口径必须保持一致，即各个标志值与各单位之间必须具有一一对应关系，属于同一总体，否则计算出的指标便失去了意义，这也正是平均指标与强度相对指标不同的地方。

强度相对指标虽然也是两个总量指标之比，但分子分母各属不同的总体，它们之间没有直接的依存关系。

由于掌握的资料不同，算术平均数的计算有简单算术平均数和加权平均数之分。

（一） 简单算术平均数如果我们在掌握了总体各单位标志值或标志总量和总体单位总量的资料的条件下，就可以直接用上式计算平均数。

计算公式：nx n x x x x ∑=+=......式中：x —— 算术平均数∑ —— 总和符号 x —— 总体各单位标志值 n —— 总体单位数该公式用于所给资料未分组的情况。

[例1]某企业某班组有8名工人，某日各人日产量 （件）分别为：12 12 1313 13 16 17 17，则该组工人的平均日产量为：125.14171717161313131212=+++++++==∑nx x =（件）（二） 加权算术平均数当变量值已经分组，且各个标志值出现的次数不相同时，就可以采用加权算术平均数的形式计算平均指标。

1、由单项式数列计算的加权算术平均数[例2] 就例1的资料，把工人按日产量分组可得表5—1根据表资料，计算平均日产量的计算应是∑∑=f xf x =)(125.148113件= [例3]将例2资料改为加权算术平均数计算表5—2表5—2 工人按日产量分组情况则有平均日产量∑∑=f xf x =（件）875.1148119= 可见，某组标志值出现的次数越多，即权数f 越大，平均数受该组的影响就越大，反之亦然。

如果各组次数完全相同，即各组f 相等，此时它不再对x 大小产生影响，这时由于n f f f === 21，则可得：nx nfx f fxf x ∑∑∑∑===可见简单算术平均数不过是加权算术平均数在各组f 相等时的特例。

[例4] 据例2资料，以各组次数占总次数为权数，计算平均日产量。

计算公式为：∑∑⋅=ffx x =14.125（件）经对比可知，用权数比重计算，结果与例2完全相同。

（2）由组距数列计算加权算术平均数如所给资料为组距数列，则各组的标志值x 应是每组的组平均数，但计算各组平均数往往资料不足，一般则用其组中值来代替x ，当然组中值与组平均数之间存在着误差（排除各组内标志值均匀分布），所以组中值仅是平均数的近似值。

[例5]某商场食品部工人日销售资料及其计算表5—4。

表5计算公式为：25.29061646500===∑∑fxf x （元） 在用组距式数列计算加权算术平均数时，如果数列中出现开口组，则该组组中值的计算应视邻组组距来处理。

计算加权算术平均数会遇到权数的选择问题。

对于分配数列，一般来说，次数就是权数，但对于用相对数或平均数计算加权算术平均数，则往往不一样。

[例6] 某公司所属15个商店某月商品销售额计划完程度如表5—5。

表===∑∑10001100fxf x 110% 如用商店数作权数，则：10934521325.1415.1505.1295.0185.0=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑∑fxf x %本例是计算平均完成销售计划程度，用计划销售额作权数还是用商店数作权数，两者的计算结果是不同的，这是值得慎重考虑的问题。

选择商店数为权数是不合理的，因为各商店的销售额大小不同；而选用计划销售额作权数，才符合计划完成程度相对指标的性质，分母是计划销售额，分子是实际销售额。

二、调和平均数调和平均数是被研究对象中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，因而也称为倒数平均数。

与算术平均数一样，由于掌握的资料不同，分为简单调和平均数和加权调和平均数。

1、简单调和平均数简单调和平均数是标志值倒数的简单算术平均数的倒数。

在各个标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，用简单式。

其计算公式为：∑=xn x H 1式中H x —— 调和平均数；x —— 各标志值； n —— 项数。

[例7] 某集贸市场西红柿的价格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各买1元钱，其平均价格为：用算术平均数计算：①早、中、晚各买1元钱，合计花3元。

②早上用1元钱可买1／1＝1千克，中午用1元钱可买250.01=千克,晚上用1元钱可买425.01=千克,合计共买西红柿7千克。

③平均价格数：千克元/43.073= 用简单调和平均数计算：43.073111111==++==∑xnx 元/千克 2、加权调和平均数简单调和平均数是在各变量值对平均数起同等作用的条件下应用的。

如果权数不等，如例7资料中早、中、晚不是各买1元，而是各买不同的金额，那么每种价格所起作用就不同了，这时就应计算加权调和平均数，其计算公式：∑∑=++++++=xm m m m m x m x m x m x nn n H 2122111式中：m —— 调和平均数的权数[例8] 如例7资料，早上买西红柿为3元，中午买2元，晚上买1元，则其平均价格为：55.011625.0150.0213123==++++=x 元/千克在社会经济统计中，很少直接计算调和平均数，只是在由于掌握的资料原因，不能直接采用算术平均数时，才利用调和平均数形式计算平均指标，这样实际上是将调和平均数作为算术平均数的变形来使用，仍以上例如表5—6来说明：从表中看出，如果用算术平均数形式计算平均指标,就要掌握价格(标志值)和数量（总体单位总量） 两项资料，然后推算出金额（总体标志总量）资料；如果只掌握价格（标志值）和金额（总体标志总量）两项资料，就要用调和平均数形式，推算出数量（总体单位总量）资料。

这样分子是金额（总体标志总量）分母是数量（总体单位总量），计算的平均指标，也就是算术平均数的形式了。

下面通过实例来说明加权算术平均数和加权调和平均数两种方法的应用。

（l ）由相对数计算平均数以计划完成程度相对指标为例，当掌握的资料为实际完成数时，求平均计划完成程度，应采用加权调和平均数计算；当掌握的资料为计划数时，应以计划数作为权数，采用加权算术平均数计算。

［例9］某饭店分一部、二部、三部，2000年计划收人分别为300万元、260万元、240万元，计划完成程度分别为102％，107％，109％，求平均计划完成程度。

根据掌握的资料，平均计划完成程度应采用以计划收人为权数的加权算术平均法来计算，见表5—7。

表5—7 某饭店计划完成资料及计算表平均计划完成程度为%73.1058008.845===∑∑fxf x 如果掌握的资料是实际数，而不是计划数，就不能用加权算术平均数公式计算，应以实际收入为权数的加权调和平均数公式计算。

见表5－8。

表由表5—8中资料计算平均计划完成程度为%73.1058008.845===∑∑xm m x H（2）由平均数计算平均数以工业企业生产工人劳动生产率为例，如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其产值资料，计算该企业的平均生产工人劳动生产率时应采用加权调和平均数法计算；如果所掌握的资料是各车间的生产工人劳动生产率及其生产工人人数，则计算该企业的平均生产工人劳动生产率时，应采用加权算术平均数法计算。

［例10］2000年某工业部门相关指标数值，分别采用加权调和平均数法和加权算术平均数法计算平均生产工人劳动生产率。

资料见表5—9。

根据表5－9资料可采用加权调和平均数法计算平均生产工人劳动生产率，见表5—10。

表将表中数值代入公式，可得平均生产工人劳动生产率为：)/(52.540265979.6606383人万元===∑∑xm m x H 三、几何平均数几何平均数是用n 个变量相乘开n 次方的算术根来计算的平均数。

它反映的是某种特定现象的平均水平，这种现象的标志总量不是各单位的标志值的总和，而是它们的连乘积。

在统计分析中，几何平均数主要用来计算平均比率或平均发展速度。

设几何平均数为g x ，x 为变量值，n 为变量值个数，π为连乘符号，f 为权数。

简单几何平均数n n n g x x x x x π=⋅⋅⋅⋅⋅=21加权几何平均数∑=⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++fff f f f nf fg x xxx x nn π212121至于用几何平均数计算平均发展速度一类的问题，将在第六章中进行详细的阐述。

四、中位数前面几种平均数在计算时要考虑每个原数据值，即每个原数据的大小都会对算术平均数、调和平均数和几何平均数的大小产生影响。