导数与微分测试题（一）
一、选择题（每小题4分，共20分）
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）
A 、不连续；
B 、连续但不可导；
C 、二阶可导；
D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、
12； C 、12e
； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）
A 、1；
B 、
2e ； C 、2
e
； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()
lim x f a x f a x x
→+--等于（ ）
A 、0；
B 、()f a '；
C 、2()f a '；
D 、(2)f a '；
5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；
C 、低阶无穷小；
D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x
f x xe =，则(0)f ''=______；
3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则
01
lim ()n nf x n
→∞+=______； 4、 曲线2
28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的
切线与x 轴正向的交角为
4
π
。
5、 d ______ = x
e dx - 三、解答题
1、（7分）设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，
求()f a '； 2、（7分）设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程；
4、（7分）求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx
5、（7分）设函数12
12()()
()n a a
a n y x a x a x a =---，求 y '
6、（10分）设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1
2
x =
处可导 7（7分）若2
2
()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =
导数与微分测试题及答案（一）
一、1－5 CCBCD
二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329
(,
)24
； 5. x e --； 三、1. 解：()()()()
()lim
lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--；
2. 解：1
12()ln ln a
a x
a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；
3. 解：当6
t π=
时，曲线上的点为 11(,)22
；
切线的斜率666
2sin 22cos t t t dy
dy t dt k dx dx t dt πππ===-====-， 所以，切线方程 11
2()22y x -=--， 即 4230x y +-=；
法线方程 111
()222
y x -=- ， 即 2410x y -+=；
4. 解：方程的两边对x 求12
1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y
-
+=⇒=- 继续求导 2223
24sin sin (2cos )(cos 2)
d y dy y
y dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-
方程的两边对x 求导
1212
1
n
n
a a a y y x a x a x a '=+++
---，则 1211
12()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a
y y x a x a x a x a x a =='=++
+=-----∑∏ 6. 解：因为 可导一定连续，则
2112
2
11
11
(0)lim(),
(0)lim 2224x x f ax b a b f x →
→
+=+=+-==
所以
1111
,2442
a b b a +==- 由可导知
1
112
22
11111
()
1
44242()lim lim lim 1112222
x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→
+-
+---'====---
