最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》本章规划

解三角形复习课 教案（一）教学目标：（1）运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（3）培养学生分析问题、解决问题，自主探究的能力。

（二）教学重点与难点：重点：（1）正弦定理与余弦定理的应用。

（2）题目的条件满足什么形式时适合用正弦、余弦定理解决问题。

难点：（1）利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。

（2）从实际问题抽象出数学问题。

（三）教学过程：观察引入：？ 让学生观察思考：在△ABC 中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？（培养学生自主探究和学习的能力）根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：（正弦定理）正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

Cab b a c B ca a c bAbc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= （余弦定理）余弦定理可解以下两种类型的三角形：BR C c B b A a 2sin sin sin ===　（1）已知三边；（2）已知两边及夹角.（四）例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。

（可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数）例2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到10）根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从已知条件中获得。

（五）课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.ABC 中，8b =，c =，ABC S =，则A ∠等于 （ ）A 30B 60C 30或150D 60或1203.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）145,,.ABC a b B A C c ︒∆===例在中，已知求和A 2B 1 24.ABC中，:1:2A B=，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cos A=（）A 13B12C34D 05.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定参考答案：1．C 2。

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边A B的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式 关系．如右图，在 △R t ABC 中，设 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a b c a b c=sin A ，=sin B ，又 sin C =1= ,则ccc sinA sinB simCc.从而在直角三角形 ABC 中，a b csinA sinB simC推进新课 [合作探究].师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边 A B 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则a b c b a b c ，同理，可得 .从而 sinA sinB sinC sinB sinA sinB sinC.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sinA sinB sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明a b csinA sinB sinC这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知 BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B ′, 设 BB ′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，∴sin C =sin B ′=sinC sinBc2R∴csinC2R同理,可得a b2R,2R sinA sinB∴a b csinA sinB sinC2R这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式a b csinA sinB sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式s inθ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AC CB AB而添加垂直于AC的单位向量j是关键,为了产生j与AB、ACCB、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评:(1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于CB-A,j与的夹角为90°-C AC,则 j 与AB的夹角为由向量的加法原则可得AC CB AB为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j (AC CB)j AB 由分配律可得AC j CB j AB∴|j|AC Co s90°+|j|CB Co s(90°-C)=|j|AB Co s(90°-A∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与CB 垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为c b90°+B,可得sinC sinB(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与A C的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-Ba b c ∴sinA sinB sinC(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由AC CB AB ,得j·AC C B=j·AB即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A- ∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与C B垂直的单位向量j,则j与AC 的夹角为90°+C,j与AB夹角为90°+B.同理,可得b c sinB sinC∴a b csimA sinB sinC（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）a b c sinA sinB sinC等价于a b c b a c, ,sinA sinB sinC sinB sinA sinC(形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如a bsinAsinB.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如s inA ab sinB．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-根据正弦定理，b= c=a s inB42.9sin81.8sinA sin32.0oa s inC42.9sin66.2sinA sin32.0ooo≈80.1(c m)≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1c m）．分析:此例题属于B sin A＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B=bsinA28sin40 a 20o因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=a s inC20sin76sinA sin40oo≈30(c4（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C =a s inC20sin24sinA sin40oo≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形解：已知B<A,所以B<A,因此B也是锐角∵sin B=bsinA50sin38 a 60o∴B∴C=180°-(A+B)=180°-∴C =a s in C 60sin111o sinA sin38o[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形解：∵sin B=bsinA20sin120 a 28o∴B≈38°或B≈142°(舍去∴C =180°-（A+B）∴C=a s inC28sin22sinA sin120≈12.[方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知 C =3,A =45°,B =60°，求 B(2)已知 B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求 A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，b c sinB sin C，∴B =csinB 3 s in60 sin Csin75(2)∵a b sinA sinB，∴A =bsinA 12sin30sinB sin 120点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的 学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1°,边长精确到 (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵a b sinA sinB∴sin A =a s inB 20sin30b 11∴A ≈65°，A1 2当 A ≈65°时，C =180°-(B +A )=180°-(30°+65°)=85°， 111bsinC 11sin 85 ∴C = 1sinsinB sin30当 A ≈115°时，C =180°-(B +A )=180°-2 22bsin C 11sin 35 ∴C = 2sinB sin30(2)∵sin B =bsinA 20sin45a 28∴B ≈30°，B1 2 由于 A +B =45°+150°＞180°,故 B ≈150°应舍去(或者由 B ＜A 知 B ＜A ,故 B 应为锐角 2 2∴C =180°-(45°+30°)=105°∴C=a s inC 28sin 105 sinA sin45(3)∵b csinB sinC∴sin B =bsinC 39sin 115c 54∴B ≈41°,B1 2由于 B ＜C ,故 B ＜C ,∴B ≈139°应舍去2∴当 B =41°时，A =180°-1 2A =csinA54sin24 sinC sin115(4) sin B=bsinA28sin120a 20=1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1第1、2题（二）预习内容：课本P～P余弦定理5 8[预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识(2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:a b csinA sinB sinC(1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=b2c2a2c2a2b2a2b2,co s B=,co s C=2bc 2ca 2abc2三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在△R t ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在△R t CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二cosA cosB bc22c22bca22caab22cosC a2b22abc2师在余弦定理中,令C=90°时,这时c o s C=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用[合作探究2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生向量数量积的定义式a·b=|a||b|co sθ,其中θ为A、B的夹角师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b由向量加法的三角形法则，可得∴AC AB BCAC AC (AB BC)(AB BC)AB22AB BC BC2AB 2AB BC cos(180B)BC2c22accosB a2,B即B2=C2+A2-2AC COBC AC AB由向量减法的三角形法则，可得∴BC BC(AC AB) (AC AB)AC22AC AB AB 2AC 2AC AB cosAAB2b22bccosA c2即a2=b2+c2-2bcco s AAB AC CB AC BC 由向量加法的三角形法则,可得∴AB AB (AC BC) (AC BC) AC22AC BC BC2 AC 22AC BC cosCBC2b22ba cosC a2,2 2即 c 2=a 2+b 2-2abco s C [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与A B属于同起点向量,则夹角为 A ; AB 与 BC 是首尾相接,则夹角为角 B 的补角 180°-B ; 则夹角仍是角 C[合作探究A C与 是同终点,师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能 否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosAb2c 2 a 2a 2 c 2b 2b 2 a 2c 2,cosB,cosC2bc2ac2ba师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则 co s C =0，这时 c 2=a 2+b 2 .由此可知 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的 平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知， 余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变 成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片 1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到 ,利用余弦定理,可以解决以下两类有 关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本 P 例 4 属这类情况8(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形 所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例 1】在△ABC 中，已知 B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到 1°，边长 精确到 1 c m ）解：根据余弦定理，a 2 =b 2+c 2-2bcco s A =602+342 -2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以 A ≈41 c 由正弦定理得 sin C =csinA 34 sin41 34 0.656≈a 41 41因为 C 不是三角形中最大的边，所以 C 是锐角.利用计数器可得 C B =180°-A -C =180°-41°-【例 2】在△ABC 中，已知 a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形BC解：由余弦定理的推论,得co s A =co s B =bc 22c 2 a 2 87.82 161.72 134.6 2bc 2 87.8 161.7a 2b 2 134.62 161.72 87.8 2ca 2 134.6 161.722≈0.554 3,A≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展 补充例题：【例 1】在△ABC 中,已知 a =7,b =10,c =6,求 A 、B 和 C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的 形式二解：∵cosA b2c 2 a 2 102 62 72 2bc 2 10 60.725∴A∵c os C =a2b 2c 2 72 102 62 113 2ab 2 7 10 140∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理 ,即三角形内角和为 180°,可用余弦定理求出 两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例 2】在△ABC 中,已知 a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效 数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在 第三边求出后其余角求解有两种思路 :一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角 ,二是 利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1 斜三角形求解经验,若用正弦定理需 对两种结果进行判断取舍,而在 0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由 c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得 c∵c os A =b2c 2 a 2 3.696 2 4.297 2 2.730 2bc 2 3.696 4.2972∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例 2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边 用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例 3】在△ABC 中,已知 A =8,B =7,B =60°,求 C 及 分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A ,再结合三角形内角和定理求出角 C ,再利用△SABC正弦定理求出边 C ,而三角形面积由公式 S = △ABC12ac sin B 可以求出若用余弦定理求 C ,表面上缺少 C ,但可利用余弦定理 b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于 C 的方程,亦 能达到求 C 的目的 下面给出两种解法解法一:由正弦定理得8 7sinA sin60∴A =81.8°,A = 1 2∴C =38.2°,C1 27 c 由sin60 sin C,得 c =3,c 1 2= △∴S ABC 1 1 ac sinB 6 3 或 = 2 2ac sinB 10 3 2 解法二:由余弦定理得 b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco 整理得 c 2-8c解之,得 c =3,c =5. = 12 △∴S ABC[教师精讲]1 1 ac sinB 6 3 或 S =2 2ac sinB 10 3 2 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味 之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围 ;已知三边求角或已 知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的 解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习1.在△ABC 中(1)已知 c =8,b =3,b =60°,求 A(2)已知 a =20,b B =29,c =21，求 B (3)已知 a =33,c =2,b =150°,求 B (4)已知 a =2,b =2，c =3+1,求 A解： (1)由 a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得 a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由cosBc2a 2b 2202 212 292 ,得 c osB2ca2 20 21.∴B(3)由 b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得 b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由cosAb2c 2 a 2 2bc ,得cosA( 2)2 ( 3 1)2 22 2 2( 3 1)2 2.∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式 ,要求学生注意运算的准确性及解题 效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到 (1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c△S ABC1 △ABC 1。

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。

第一章解三角形整体设计教学分析首先了解新课标对本章的定位．解三角形作为三角系列的最后一章，突出了基础性、选择性与时代性．本章重在研究三角形边角之间的数量关系，如正弦定理、余弦定理等．正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具．本章的数学思想方法是一条看不见的暗线，数学思想方法是数学的精髓．在初中，教科书着重从空间形式定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，从而较清晰地解决了三角形的确定性问题．本章对两个定理的推导引入中十分强调这一量化思想方法，并选择了更有教育价值的正弦定理和余弦定理的证明方法．本章中融合了学生已学过的大部分几何知识，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定了基础．三维目标1．熟练掌握三角形中的边角关系．2．通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力．3．注重思维引导及方法提炼，展现学生的主体作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心．重点难点教学重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形．教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用，及将实际问题转化为数学问题并正确地解出这个数学问题．课时安排1课时教学过程导入新课(直接引入)本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总结；系统掌握解三角形的方法与技巧．由此展开新课的探究．推进新课新知探究提出问题1本章我们学习了哪些知识内容？请画出本章的知识结构图.2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？3在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？ 4本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？ 5总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法. 活动：教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示： 从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用．教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：正弦定理、余弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC， a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.正弦定理、余弦定理的应用：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量较小，不产生讨论的方法求解．若求边，尽量用正弦定理；若求角，尽量用余弦定理．除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积．教师利用多媒体投影演示课件如下：教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体．实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化．余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广．本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题．在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：①在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在(0，π)内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解．②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围．③在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式．讨论结果：(1)、(2)、(5)略．(3)在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合．若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法．(4)本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题．应用示例例1判断满足下列条件的三角形形状．(1)acosA＝bcosB；(2)sinC ＝sinA ＋sinB cosA ＋cosB. 活动：教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些．学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边．鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣．解：(1)方法一：用余弦定理，得a×b 2＋c 2－a 22bc ＝b×c 2＋a 2－b 22ca. ∴c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴三角形是等腰三角形或直角三角形．方法二：用正弦定理，得sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A＝sin2B.∵A、B 为三角形的内角，∴2A＝2B 或2A ＋2B ＝180°.∴A＝B 或A ＋B ＝90°.因此三角形为等腰三角形或直角三角形．(2)方法一：先用正弦定理，可得c ＝a ＋b cosA ＋cosB，即c·cosA ＋c·cosB＝a ＋b.再用余弦定理，得c·b 2＋c 2－a 22bc ＋c·a 2＋c 2－b 22ac＝a ＋b. 化简并整理，得a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2－ac 2－bc 2＝0，(a ＋b)(a 2＋b 2－c 2)＝0.∵a＞0，b ＞0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴三角形为直角三角形．方法二：∵sinA＝sin(B＋C)，sinB＝sin(A＋C)，∴原式可化为sinC·cosA＋cosB·sinC＝sinA＋sinB＝sin(B＋C)＋sin(A＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC＋sinA·cosC＋cosA·sinC.∴sinB·cosC＋sinA·cosC＝0，即cosC(sinA＋sinB)＝0.∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，∴sinA＋sinB≠0.∴cosC＝0.又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.∴三角形为直角三角形．点评：第(1)题中的第2种解法得出sin2A＝sin2B时，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.这样就漏掉了一种情况，因为sin2A ＝sin2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意．第(2)题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)等常见结论对解三角形大有益处．变式训练△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB等于( )A.53B.54C.55D.56答案：B解析：由题意得a b ＝52＝sinA sinB ＝sin2B sinB ＝2cosB ，cosB ＝54. 例2在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，求tanC 的值．活动：本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边a 、b 、c 的形式给出，从哪里入手考虑呢？教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA 有三个，代入哪一个呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？显然思路不明．这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？这样右边为(a ＋b)2－c 2＝a 2＋b 2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2abcosC ＋2ab ，这就出现了目标角C ，思路逐渐明朗，由此得到题目解法．解：由已知，得(a ＋b)2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab＝2abcosC ＋2ab ＝2×12absinC. ∴2(1＋cosC)＝sinC ，2×2cos 2C 2＝2sin C 2·cos C 2. ∵0°＜C ＜180°，∴0°＜C 2＜90°，即cos C 2≠0. ∴tan C 2＝2.∴tanC＝2tan C 21－tan 2C 2＝41－4＝－43. 点评：通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口．变式训练在△ABC 中，tanA ＝14，tanB ＝35. (1)求角C 的大小；(2)若AB 边的长为17，求BC 边的长．解：(1)∵C＝180°－(A ＋B)，∴tanC＝－tan(A ＋B)＝－14＋351－14×35＝－1. 又∵0°＜C ＜180°，∴C＝135°.(2)∵tanA＝sinA cosA ＝14，sin 2A ＋cos 2A ＝1,0°＜A ＜90°， ∴sinA＝1717. 由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，∴BC＝AB·sinA sinC＝ 2. 例3将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．活动：本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠MOA ＝θ，则|MP|＝20sinθ，|OP|＝20cosθ，从而S ＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即当θ＝π4时，S max ＝200. 按图(2)的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠MOQ＝θ，在△MOQ 中，∠OQM＝90°＋30°＝120°，(1)(2)由正弦定理，得|MQ|＝20sinθsin120°＝4032sinθ. 又因为|MN|＝2|OM|sin(60°－θ)＝40sin(60°－θ)，所以S ＝|MQ|·|MN|＝1 60033sinθsin(60°－θ) ＝1 60033{－12[cos60°－cos(2θ－60°)] }＝80033[cos(2θ－60°)－cos60°]．所以当θ＝30°时，S max ＝40033. 由于40033＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为40033 cm 2.点评：正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用．从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决．变式训练设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且acosB ＝3，bsinA ＝4.(1)求边长a ；(2)若△ABC 的面积S ＝10，求△ABC 的周长l. 解：(1)由acosB ＝3与bsinA ＝4，两式相除，得 34＝acosB bsinA ＝a sinA ·cosB b ＝b sinB ·cosB b ＝cosB sinB . 又acosB ＝3，知cosB ＞0， 则cosB ＝35，sinB ＝45.则a ＝5.(2)由S ＝12acsinB ＝10，得c ＝5.由cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝35，解得b ＝2 5.故△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝10＋2 5.知能训练1．在△ABC 中，若b ＝2a ，∠B ＝∠A ＋60°，则∠A ＝__________.2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2，c b ＝12＋3，求∠A 和tanB 的值．答案：1．30° 解析：由正弦定理，知a sinA ＝bsinB ，∴1sinA ＝2sin A ＋60°，2sinA ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. ∴tanA＝33.∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝30°. 2．解：由余弦定理和已知条件，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝60°，且∠B＝180°－∠A－∠C ＝120°－∠C.由正弦定理和已知条件，得sinC sinB ＝sin120°－BsinB＝3cosB ＋sinB 2sinB ＝3cosB 2sinB ＋12＝12＋3，∴tanB＝12.∴所求∠A＝60°，tanB ＝12.课本本章小结巩固与提高1～8.课堂小结先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高？解决本章的基本问题都有哪些体会？可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得．教师进一步画龙点睛，总结解题思路：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘．作业1．巩固与提高9～12 2．自测与评估1～7设计感想本教案设计注重了优化知识结构，进一步加深对知识的巩固．在此过程中，学生对思想方法的领悟也更具深刻性；注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练．通过一题多解训练了学生对事物现象选择角度地观察，从而把握事物的本质．本教案设计意图还按照习题的内容分类处理进行；注重了思维引导及方法提炼，展现了学生的主体作用，关注学生愉悦情感的积极体验，深挖了三角形本身内在美的价值，意在激发学生强烈的探究欲望，培养学生积极的向上心态．备课资料一、与三角形计算有关的定理 1．半角定理在△ABC 中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系： tan A 2＝1p －ap －ap －b p －cp，tan B 2＝1p －b p －a p －b p －c p ， tan C 2＝1p －cp －ap －b p －cp，其中p ＝12(a ＋b ＋c)．证明：tan A 2＝sinA 2cosA 2，因为sin A 2＞0，cos A2＞0，所以sin A2＝1－cosA2＝121－b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b －c24bc＝a ＋b －ca －b ＋c4bc.因为p ＝12(a ＋b ＋c)，所以a －b ＋c ＝2(p －b)，a ＋b －c ＝2(p－c)．所以sin A2＝p －bp －cbc.而cos A 2＝1＋cosA2＝121＋b 2＋c 2－a 22bc＝b ＋c 2－a24bc＝b ＋c ＋ab ＋c －a4bc＝pp －abc ，所以tan A2＝sin A 2cos A2＝p －bp －cbc pp －a bc＝p －b p －c p p －a＝1p －a p －a p －b p －cp .所以tan A 2＝1p －ap －ap －b p －cp.同理，可得tan B 2＝1p －b p －a p －b p －cp ，tan C 2＝1p －cp －ap －b p －cp.从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sin A 2＝p －bp －cbc，cosA 2＝pp －abc.同理，可得sin B2＝p －ap －cac，sin C2＝p －ap －bab，cos B 2＝p p －b ac ，cos C2＝pp －cab.2．用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如图)，已知三边a 、b 、c ，如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t a 、t b 和t c ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：t a ＝2b ＋cbcpp －a；t b ＝2a ＋cacpp －b；t c ＝2a ＋babpp －c ，其中p ＝12(a ＋b ＋c)．证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD ＝x ，DC ＝y ，那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t a 2＝b 2＋y 2－2bycosC ，①根据三角形内角平分线的性质，得c b ＝x y ，所以c ＋b b ＝x ＋yy .因为x ＋y ＝a ，所以c ＋b b ＝a y .所以y ＝abb ＋c .②将②代入①，得t a2＝b 2＋(ab b ＋c )2－2b(abb ＋c)cosC＝b 2b ＋c2[b 2＋c 2＋2bc ＋a 2－2a(b ＋c)cosC]．因为cosC ＝a 2＋b 2－c22ab ，所以t a 2＝b 2b ＋c 2[a 2＋b 2＋c 2＋2bc －2a(b ＋c)·a 2＋b 2－c 22ab] ＝bc b ＋c2(b 2＋c 2＋2bc －a 2)＝bc b ＋c2(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝bc b ＋c2·2p·2(p－a)＝4b ＋c2·bcp(p－a)．所以t a ＝2b ＋cbcpp －a .同理，可得 t b ＝2a ＋cacpp －b，t c ＝2a ＋babpp －c.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式． 3．用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中，已知三边a 、b 、c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是R ＝abc p p －ap －bp －c.证明：因为R ＝a 2sinA ，S ＝12bcsinA ，所以sinA ＝2Sbc .所以R ＝a 2sinA ＝abc4S ＝abc p p －ap －bp －c.二、备选习题1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a∶b∶c＝3∶3∶5，则2sinA －sinBsinC等于… ( )A ．－15B ．－23 C.35D ．不是常数2．△ABC 的周长等于20，面积是103，∠A＝60°，∠A 的对边为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.324．已知在△ABC 中，∠B＝30°，b ＝6，c ＝63，则a ＝__________，S △ABC ＝__________.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝__________.6．对△ABC，有下面结论：①满足sinA ＝sinB 的△ABC 一定是等腰三角形；②满足sinA ＝cosB 的△ABC 一定是直角三角形；③满足a sinA ＝b sinB＝c 的△ABC 一定是直角三角形．则上述结论正确命题的序号是__________．7．在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．8．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△ABC 的形状．参考答案：1．C 解析：设a ＝3k ，则b ＝3k ，c ＝5k.∴2sinA －sinB sinC ＝2a －bc ＝2×3k－3k 5k ＝35.2．C 解析：∵a＋b ＋c ＝20，∴b＋c ＝20－a ，即b 2＋c 2＋2bc ＝400－40a ＋a 2.∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc.又∵cosA＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc.又∵S △ABC ＝12bcsinA ＝103，∴bc＝40.将b 2＋c 2－a 2＝bc 和bc ＝40，代入b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，得a ＝7.3．D 解析：由余弦定理，得cosA ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC·AB ＝4＋9－102×2×3＝14，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cosA＝2×3×14＝32. 4．a ＝6，S ＝93或a ＝12，S ＝18 3 解析：由正弦定理，得b sinB ＝c sinC ，∴sinC＝c b sinB ＝32.∴∠C＝60°或∠C＝120°. 当∠C＝60°时，则∠A＝90°，因此a ＝12，S ＝12acsinB ＝183；当∠C＝120°时，则∠A＝30°，因此a ＝6，S ＝12acsinB ＝9 3.5.33解析：由正弦定理，得(3b －c)cosA ＝(3sinB －sinC)cosA ＝sinA·cosC， 即3sinBcosA ＝sinA·cosC＋sinC·cosA， ∴3sinB·cosA＝sin(A ＋C)＝sinB.∴cosA＝33.6．①③7．解：如图，在△ABC 中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴AD＝2sin60°＝ 3.在△ACD 中，AC 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150°＝7， ∴AC＝7.∴AB＝2cos60°＝1，S △ABC ＝12×1×3×sin60°＝334. 8．解：∵bcosB＋ccosC ＝acosA ，由正弦定理，得sinBcosB ＋sinCcosC ＝sinAcosA ，即sin2B ＋sin2C ＝2sinAcosA ，∴2sin(B＋C)cos(B －C)＝2sinAcosA. ∵A＋B ＋C ＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA ，即cos(B －C)＋cos(B ＋C)＝0.∴2cosBcosC＝0.∵0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴B＝π2或C ＝π2，即△ABC 是直角三角形．。

人教版高中必修5第一章解三角形课程设计1. 课程背景本课程设计是基于人教版高中必修五《数学》第一章节“解三角形”而设计的。

通过本课程设计，旨在让学生能够对三角形的性质、三角函数、三角形的解法等内容进行全面深入的学习和了解，并提高学生的解题能力和思维逻辑能力。

2. 教学目标•理解三角形的相关基本概念和性质，如三条中线交于一点、重心、垂心等；•掌握解三角形的基本方法，特别是余弦定理和正弦定理的应用；•掌握三角函数中正弦、余弦、正切、余切等的相关概念和应用；•提高学生解题能力和思维逻辑能力。

3. 教学内容3.1 三角形的基本概念和性质三角形的基本概念包括三边、三角、顶点、内角、外角等；三角形的基本性质包括角的和为180度、边长之和大于第三边、三条中线交于一点等等。

教师可借助ppt或板书等方式，让学生了解三角形的基本概念和性质。

3.2 解三角形的基本方法解三角形的基本方法主要包括余弦定理和正弦定理。

让学生通过多种角度、多个实际问题进行训练，提高学生的运用解三角形基本方法的能力。

3.3 三角函数的相关概念和应用介绍三角函数的基本概念及其与三角形的关系。

要求学生掌握 sin、cos、tan、cot等三角函数的图像、性质和用途，并通过例题、练习题巩固和提高运用三角函数的能力。

4. 教学方法本课程设计采用多种教学方法，如讲授法、探究法、启发法、情景模拟法等。

尤其在解三角形基本方法和三角函数应用中，注重学生独立思考和应用能力的提高。

5. 教学过程与时间安排5.1 三角形的基本概念和性质教学时间：2课时教学过程：1.讲授三角形的基本概念和性质，让学生通过书本、ppt等方式对三角形的基础有全面的了解。

2.安排部分课堂活动，如团队讨论、板书练习等，让学生运用所学知识进行实际操练。

3.安排少量概念题目，以加深学生对于三角形的认识和了解。

5.2 解三角形的基本方法教学时间：3课时教学过程：1.讲解余弦定理和正弦定理的基本定义和运用方法。

2024新学期高中数学教学计划一、教材分析（结构系统、单元内容、重难点）必修5第一章：解三角形;重点是正弦定理与余弦定理;难点是正弦定理与余弦定理的应用;第二章：数列;重点是等差数列与等比数列的前n项的和;难点是等差数列与等比数列前n项的和与应用;第三章：不等式;重点是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题、基本不等式;难点是二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题及应用;必修2第一章：空间几何体;重点是空间几何体的三视图和直观图及表面积与体积;难点是空间几何体的三视图;第二章：点、直线、平面之间的位置关系;重点与难点都是直线与平面平行及垂直的判定及其性质;第三章：直线与方程;重点是直线的倾斜角与斜率及直线方程;难点是如何选择恰当的直线方程求解题目;第四章：圆与方程;重点是圆的方程及直线与圆的位置关系;难点是直线与圆的位置关系;较去年而言，今年的学生的素质有了比较大的提高，学生的基础知识水平与基本学习方法比较扎实，大部分的学生对学习都有很大的兴趣，学习纪律比较自觉。

三、教学目的要求1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题和与测量及几何计算有关的实际问题。

2、通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数;理解等差数列、等比数列的概念，探索并掌握____种数列的通项公式与前n项和的公式，能用有关的知识解决相应的问题。

3、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题;能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题。

4、几何学研究现实世界中物体的形状、大小与位置的学科。

直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的方法。

先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形及其直观图的画法;再以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面之间的位置关系，并利用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，对某些结论进行论证。

A BCj图1-2图1-1新课标理念下高中数学必修5第一章 解三角形教法学法的探究交流本章概述：本章是在学习三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理以及这两个定理在解斜三角形中的应用。

教材地位：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的。

正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三解形的重要工具。

本章内容与三角形定性研究的结论相联系，与三角函数相联系，同时也体现了向量及其运算的应用。

高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容。

课标要求：1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

学法指导：1、重视数学思想方法的运用。

解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用。

2、加强新旧知识的联系。

本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有着密切联系。

同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。

3、提高数学建模能力。

利用解三角形解决相关的实际问题，根据题意，找出量与量之间的关系，作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。

学科实践：本章知识在现实生活中有着广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题。

因此，通过本章的学习，能提高学生解决关于测量和几何计算的实际问题的能力和数学建模能力。

知识点1 正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin == 正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦值之间的对应关系。

高中数学 第1章《解三角形》函数的周期性问题教案新人教A 版必修5一、教学目标：理解周期函数的概念并能运用函数的周期性知识解题。

1．周期函数定义：设函数()f x 的定义域为D ，T 为非零常数，若对任意x D ∈，都有()()f x T f x +=成立，则()f x 是周期函数，T 是()f x 的一个周期。

若在所有的正周期中存在最小值，则称此值为最小正周期。

2．从定义表述中可发现，周期函数不一定存在最小正周期。

二、问题举例 例1．设函数()f x 是定义在R 上的函数选题目的：引导学生理解并掌握周期函数的不同表现形式，感受抽象函数递推式与周期函数的联系； 思路分析：以第（3）小题为例，因为()()12f x f x +=-中的x 是任意的，可2x +替代x ，就可得到()()()()11412f x f x f x f x +=-=-=+-，从而()f x 的一个周期为4；其它几个问题也同样可求得结果。

例2．设函数()f x 是定义在R 上的函数，求解下列问题（1）直线x a =和x b =是函数()y f x =图象的两条对称轴，问()f x 是否为周期函数，若是，其周期为多少？（2）直线x a =是函数()y f x =图象的对称轴，点(),0b 是函数()y f x =图象的对称中心，问问()f x 是否为周期函数，若是，其周期为多少？选题目的：两条对称轴就如人的前后各放置了一面镜子，会在镜子里出现无数多个像，正如周而复始的现象；指导学生研究函数图象对称性与周期性的内在联系，从而能更好地运用对称性和周期性解决相关数学问题。

思路分析：以第（1）题为例，因为x a =和x b =都是函数()y f x =图象的对称轴，所以必有：()()2,f a x f x -=()()2,f b x f x -=则有()()22,f a x f b x -=-用2b x -替代x 可得到()()22,f a b x f x -+=由周期函数的定义可知，()f x 的一个正周期为2a b -。

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9:10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

2024年高一下学期数学教学计划模版一、教材解读在必修5中，第一章“解三角形”聚焦于正弦定理与余弦定理的理解与应用，其中应用部分为学习难点。

第二章“数列”章节着重介绍等差数列与等比数列的前n项和，以及其应用问题，这部分内容同样具有一定的难度。

第三章“不等式”涉及一元二次不等式的解法、二元一次不等式（组）及简单线性规划问题，基本不等式的理解和应用是学习的重点和难点。

必修2中，第一章“空间几何体”强调空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积的计算，三视图的理解构成学习的难点。

第二章“点、直线、平面之间的位置关系”中，直线与平面平行及垂直的判定与性质是学习的核心内容，同时也是一个难点。

第三章“直线与方程”关注直线的倾斜角、斜率及直线方程的求解，选择合适的直线方程求解问题是学习的难点。

第四章“圆与方程”则围绕圆的方程和直线与圆的位置关系进行讨论，其中后者为学习的难点。

二、学生情况分析与去年相比，今年入学的学生在综合素质上有了显著提升。

他们具备较为扎实的基础知识水平与基本学习方法，大多数学生对学习充满热情，且在学习纪律上表现出较高的自觉性。

三、教学目标1. 学生应通过探究三角形的边长和角度关系，掌握正弦定理和余弦定理，并能够运用这些定理解决一些实际的度量问题和相关的几何计算问题。

2. 学生将通过实例了解数列的概念及其表示方法，认识到数列是一种特殊的函数。

3. 学生应理解不等式（组）在描述不等关系方面的意义，掌握一元二次不等式的求解方法，并能够用一元二次不等式组表示平面区域，尝试解决简单的线性规划问题。

4. 学生将学习几何学，这是一门研究物体形状、大小和位置的学科。

通过直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等手段，学生将认识空间图形及其性质，并学习用数学语言描述相关概念。

四、教学实施策略为确保教学任务的顺利完成和教学质量的提升，我们将积极进行集体备课，实现教学内容、进度、目标、例题、习题和资料的统一。

教师需精心组织每一堂课，及时对学生的学习情况给予关注和指导，并在课后提供有效的辅导。

第一章解三角形
本章概览
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，运用由特殊到一般的思维方法，发现正弦定理，会用该定理解决两类解三角形问题.
会用向量法证明余弦定理，体会向量在解决三角形的度量问题时的工具作用.
能够运用余弦定理及其推论解三角形，了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形问题的几种情形及其基本解法.
能够运用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量和几何计算有关的几何问题，用类比的方法比较正、余弦定理，合理、正确地选择定理去解决问题.
在处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法解决实际问题的经验，提高学生学习兴趣，发展创新意识，提高数学建模能力.
通过本章学习，提高运用所学知识解决实际问题的能力，加强新旧知识的联系，重视数学思想方法（如数形结合思想，函数与方程思想）的运用.。

第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．1.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．2.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．3.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．4.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．5.课时安排1.1正弦定理和余弦定理（3课时）1.2应用举例（4课时）1.3实习作业（1课时）本章复习（1课时）高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。