第十六届中国东南地区数学奥林匹克
1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2
11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠.
证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等.
3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){}
max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论.
4. 将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示.
现有一个固定放置的918⨯方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由.
第十六届中国东南地区数学奥林匹克
江西g 吉安
高二年级 第一天
2019年7月30日 上午8:00-12:00
1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[]
a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =，
110105k k k x x x m +⎡⎤⎧⎫=++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
(0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠︒，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆.
3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.
用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值.
4. 在55⨯矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)：
（,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5)
（1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5)
（1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ），
（1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）.
若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.
第十六届中国东南地区数学奥林匹克
江西g 吉安
高一年级 第二天
2019年7月31日 上午8:00-12:00
5. 称集合{}1928192919301949S =⋯，，，，的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数.试比较x ，y 的大小，并说明理由.
6. 设a ，b ，c 为给定的三角形的三边形.若正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值.
7. 设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形''''A B C D ，使得点P 在直线AB 与''A B 上，点Q 在直线BC 与''B C 上，点R 在直线CD 与''C D 上，点S 在直线DA 与''D A 上.
8.对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且 其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.
今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：
对任意整数n m >，()()(){}
11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +--=++.
（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，
使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有n N *∈，n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克
江西g 吉安
高二年级 第二天
5. 对任意正整数n ，用n a 表示三边长均为整数且最长边的长为2n 的三角形的个数.
（1）求n a 关于的表达式；
（2）设数列{}n b 满足：()
()11n n k k n k n k C b a n N -*=-=∈∑.求使2019n n b a ≤成立的正整数n 的个数.
6. 在ABC ∆中，AB AC >，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，过A 作ABC ∆的外接圆的切线，交ED 的延长线于点P .已知AP BC =.证明：//BD CP .
7. 甲、乙两人从0，1，2，…，81中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选1个数.当这82个数被选定完之后，记A 为甲选择的所有数之和，B 为乙选择的所有数之和.在挑选数的过程中，甲希望A ，B 的最大公约数越大越好，而乙希望A ，B 的最大公约数越小越好.在甲、乙各自的最佳策略下，求挑选完毕之后A ，B 的最大公约数.
8. 对于正整数1x >，定义集合
()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且
其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.
今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：
对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +--=++.
（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，
使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数N ，l ，使得对所有n N ≥，1n n a a +=成立.
