调和点列的性质与一类竞赛题的证明

调和点列在平面几何中的应用调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。

下面先给出调和点列的定义：定义：直线上依次四点A 、B 、C 、D 满足AB ADBC DC=，则称A 、B 、C 、D 四点构成调和点列。

由交比的定义：交比（A 、B 、C 、D ）=AC D C D A B B： 知A 、B 、C 、D 四点构成调和点列的充要条件是交比（A 、C 、B 、D ）=-1 调和点列具有以下常用性质： 性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC 被直线DEF 所截，BE 、CD 交与点G ，AG 的延长线交BC 与点H ，则B 、H 、C 、F 成调和点列证明：由塞瓦定理，1AD BH CE DB HC EA =，故BH DB EAHC AD CE=由梅尼劳斯定理，1BF CE AD FC EA DB =，故BF EA DBFC CE AD=所以BH BF HC FC =由定义知，B 、H 、C 、F 成调和点列性质2：若A 、B 、C 、D 成调和点列，O 为平面上一点，则任意一条直线截OA 、OB 、OC 、OD 得到的四个点也成调和点列。

我们称由OFB发出的4条射线OA 、OB 、OC 、OD 为调和线束。

这是调和点列的一个重要性质。

证明：如图，设直线l 交OA 、OB 、OC 、OD 于E 、F 、G 、H 过A 作l 的平行线交OB 、OC 、OD 于B 1、C 1、D 1由平行线分线段成比例知 交比（E 、G 、F 、H ）=交比（A 、C 1、B 1、D 1） 由梅尼劳斯定理，1111AB OC BA B C C O CB =，1111AD OC DAD C C O CD= 所以交比（A 、C 1、B 1、D 1）=BA DACB CD：=交比（A 、C 、B 、D ）=-1 故交比（E 、G 、F 、H ）=-1即E 、F 、G 、H 成调和点列。

调和点列(一)一、线段调和分割的基本概念如果线段AB被两点C,D内分与外分成同一比例，则称线段 AB被点C和D 调和分割•亦称点列A,B;C,D为调和点列.显然，当C,D调和分割AB时，也可称A、B两点调和分割CD有时也称点C 和D是线段AB的调和共轭点.若从共点直线外任一点P作射线PA,PC,PB,PD则可称射线束为调和线束，且PA与PB共轭，PC与 PD共轭.二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.性质1设A,C,B,D是共线四点，点M为AB中点，则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述六个条件之一•(1) 点AB调和分割CD.⑵+AB -AC AD⑶AB *CD 二:2AD * BC 二2AC • DB .⑷CA*CB = CM ・CD .⑸DA * DB = DM ・DC.⑹MA2二MB 2 = MC ・MDA M CB D性质2设A,C,B,D是共线四点，过共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述两个条件之一.(1)线束PA,PC,PB,PD其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段•⑵ 另一直线I分别交射线 PA,PC,PB,PD于点A ,C' ,B ' ,D '时，点 C' ,D '调和分割线段A' B'.P性质3对线段AB的内分点C和外分点D,以及直线AB外一点P,给出如下四个论断：①PC是/APB的平分线.②PD是Z APB的外角平分线.③C,D调和分割线段AB. ④ PCL PD.以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题.性质4三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线•性质5从圆0外一点A引圆的割线交圆0于C,D,若割线ACD与点A的切点弦交于点B,则弦CD被 A,B调和分割.三、几个推论1、性质2的推论：推论1梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.N推论2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分•C N E2、性质3的推论:推论4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.推论5两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割•推论6若C,D两点调和分割圆的直径 AB则圆周上任一点到C,D两点的距离之比是不等于1的常数•反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆.(Apollonius 圆) 推论7从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割•推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是， 已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处切线相互垂直）.推论9 设点C 是厶AEF 的内心，角平分线 AC 交边EF 于点B,射线AB 交厶AEF推论10设厶AEF 的角平分线AB 交EF 于点B,交△ AEF 的外接圆于点0,则2 20E =0F = 0A *0B .3、性质4的推论: 推论11若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边 延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边4、性质5的推论： 推论12从圆0外一点A 引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边 形的对角线相交于点B,设直线AB 交圆0于C,D,则A,B 调和分割CD 弦.的外接圆圆Q 于点0,则射线AB 上的点。

课程类型数学
“平面几何配极与反演变换1”
讲义编号：
配极与反演一般在难度较高的竞赛中才会涉及，但了解其特性对于理解平面几何最基本两种元素：直线与圆的关系非常有帮助。

所以仍然希望学生能有所涉猎。

1.调和线束：
定义1.1：设A、B、C、D是同一直线上一次排列的四个点，若AC AD
CB DB
，则称A、B、C、D为调和点列，或称
点C、D调和分割线段AB（易知这和“点A、B调和分割线段CD”是等价的）。

由定义容易得出如下结论：第四调和点唯一
由定义我们有两个基本图形：
图 1 基本图形1
基本图形1：若已知E、B调和分割线段AR，F、P调和分割线段BC。

连接AC、PE交于D。

则有结论EC、BD、
AF 、PR 共点。

证明：设EC 与PR 交于O ，我们证明BOD 共线即可：
已知 BA BR AE RE
= 又PE 截ABC ，有
1EA BC PD AB CP DE
⋅⋅= PR 截EBC ，有1CP BR EO PB RE OC
⋅⋅= 将以上三式带入，整理有1CB PD EO BP DE OC ⋅⋅=，为直线DB 截ECP ，所以BOD 共线
基本图形2：若AD 平分∠BAC ，AE 为∠BAC 外角平分线，则有结论B 、D 、C 、E 为调和点列
图 2 基本图形2
定义1.2：若从直线外一点P 引射线P A 、PB 、PC 、PD ，则称他们为调和线束。

我们有结论任意一条直线与调和线束相交则交点四点组成调和点列。

给出证明：设APB α∠=，BPC β∠=，CPD γ∠=。

完全四边形调和点列证明完全四边形调和点列是指在平面上给定4个不共线的点A、B、C、D及它们的共轭点A'、B'、C'、D'，并且这8个点满足调和性质，即(ABCD)=-1。

其中，ABCD表示A与B连线、C与D连线的交点。

调和性质可以表示为以下等式：(AA')/(AC') * (BD')/(BA') = -1(BB')/(BD') * (CA')/(CB') = -1(CC')/(CA') * (DB')/(DC') = -1(DD')/(DB') * (AC')/(AD') = -1对于完全四边形调和点列的证明，我们可以从多个角度进行阐述。

一、几何证明方法：1.利用平行线性质证明：在平面上，如果一组平行线通过一个调和四边形的对角线，则它们必定也通过该调和四边形的共轭对角线。

根据这个性质，我们可以得出扩展的拉美定理（扩展的拉美定理表示：如果A、B、C是一条直线上的三个点，D、E、F是另一条直线上的三个点，那么如果AD、BE、CF交于一点，则AE、DF和BC也必定交于一点）。

利用扩展的拉美定理，可以证明完全四边形调和点列中的任意四个点满足调和性质。

2.利用交比性质证明：在平面几何中，交比是指若干条线段的比值，可以用于表示调和性质。

对于完全四边形调和点列，我们可以使用逆向交比等式进行证明，具体通过运用调和性质的定义和多个交比定义来推导。

二、代数证明方法：可以使用代数运算进行证明，通过直线与坐标系的关系来推导出调和点列的性质。

具体可以通过线的方程来证明四个点的交点满足调和性质，并通过坐标的代数运算来证明三、向量证明方法：利用向量的加法与减法、数量积和矢积等定义和性质进行证明。

具体可以通过定义向量的坐标映射，利用向量的线性叠加性质进行证明。

四、复数证明方法：可以利用复数与几何的关系进行证明。

高联难度平面几何100题第一题分析与解答第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

求证：PCE PCD ∠=∠。

法一、调和路线()1(2):(3):⎧⎪⇒⇒⎨⎪⎩方向:对边乘积相等两切一割调和四边形方向圆上再取一点与调和四顶点相连，得新的调和线束方向一组对顶点处的切线与另一组对角线，三线共点123⎧⎪⎪⎪⇔⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩方向：用直线截得调和点列调和线束方向：用圆截得调和四边形垂直，角平分方向：特殊的调和线束平行，中点证明：由于PE ,PF 圆O 的切线，PBC 是圆O 的切线，所以四边形EBFC 是调和四边形.又因为，A 在圆O 上，所以，(AE ,AF ;AB ,AC )是调和线束 设直线AC 与DE 交于点K ,则直线截调和线束(AE ,AF ;AB ,AC )于点E ,D ,B ,K . 于是(E ,D ,;B ,K )是调和点列，所以，(CE ,CD ,;CB ,CK )是调和线束.又因为AB 是圆O 的直径，所以，CK ⊥CB ，所以，CB 平分角ECD ,结论得证。

法二、角和边的推导1.整体思路：=EB AF D AB E F O P D C E F P PBO C =⎫⎧⎪⇒⇒⇔⎨⎬⇒=⎪⎩⎭图形基础，，，圆、、的关系结论切线切线2.关键步骤： ,,,.=EB AF DA B E F D P E F P PB O C =⎫⇒⎬⇒=⎭把的边和角的关系，推到至、切线切线3.难点突破：寻找点P 、D 的关系.证明过程：定调：,,90ABE ABF AEB AFB αβ∠=∠=∠=∠=︒.推演：+90BDF EBF BFD αβ∠=∠-∠=-︒90,90PEB PFB αβ∠=︒-∠=︒-，2+2180EPF EBF PEB PFB αβ∠=∠-∠-∠=-︒.突破：2,EPF EDF PE PF P ∠=∠=⇒是△EDF 的外心，所以，PDE PED ECP ∠=∠=∠,所以，P ,D ,E ,C 四点共圆.而PD =PE ,所以,PC 平分∠ECD . 结论：PCE PCD ∠=∠法三、角元塞瓦定理整体思路：AB E F P BEF CBA O D ⎫⎧⎪⇒⇒⇔⎨⎬⎪⎩⎭图形基础，，对圆周角元塞瓦对圆，圆圆转移角度联系两个赛周元塞瓦瓦角结论关键步骤：写出两个赛瓦定理，并选对点和三角形.难点突破：用圆连结两个塞瓦定理.证明过程：定调：设,ABE ABF αβ∠=∠=.由于AB 是圆的直径，所以，PEC EBA α∠=∠=. 推演：P 对△BEF 用赛瓦定理:()()sin 90sin sin sin cos sin sin sin sin 90cos PBE PEB PFE PBF PEF PFB ααββ︒-∠∠∠===∠∠∠︒- D 对ABC ∆用塞瓦定理:sin sin sin sin sin sin DCB DBC DAB DCA DBA DAC ∠∠∠=∠∠∠ 所以，()()sin 90sin tan sin 180sin DBC DCB DACβα︒-∠∠=︒-∠ 突破：因为,DBC PBE DCA PBF ∠=∠∠=∠，所以，sin cos cos costan cotsin sin cos sinPBEDCBDACβαβααβα∠∠===∠.结论：所以，PCE PCD∠=∠小结：角度一从调和角度，用全局的目光审视，是基于某个几何模型的做法，这需要一定的几何积累；方法二和方法三，都是从局部的观点去推到，结合综合法和分析法，按照作图的顺序逐步分析以及要证的结论逐步逆推，这就非常考验分析和发现能力，但是其更接近几何的本质.。

调和点列知二推二【原创版】目录1.调和点列的定义和性质2.调和点列的应用3.调和点列的推广和发展正文调和点列是指在平面直角坐标系中，满足如下条件的点集：对于任意一个点 P(x, y) 在该点列中，总存在另外两个点 Q(x1, y1) 和 R(x2, y2)，使得 P、Q、R 三点共线，且 PR 的斜率为 -1。

这个性质使得调和点列在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下调和点列的定义和性质。

调和点列最早由法国数学家 Poncelet 在 19 世纪提出，他发现在满足一定条件下，可以通过三个共线的点来描述一个调和点列。

具体来说，如果点 P(x, y) 在调和点列中，那么可以通过以下公式来描述另外两个点 Q 和 R 的坐标：x1 = 2x - xy, y1 = 2y - xyx2 = 2x + xy, y2 = 2y + xy其中，x1、y1、x2、y2 分别为点 Q 和 R 的坐标。

可以看出，Q 和R 的坐标是关于 x 和 y 的一次函数，因此 P、Q、R 三点共线。

另外，根据斜率公式，可以证明 PR 的斜率为 -1，满足调和点列的定义。

接下来，我们来介绍一下调和点列的应用。

在计算机图形学中，调和点列常常用于生成平滑的曲线和曲面。

通过在起点和终点之间选择适当的点，可以得到一个近似于所需曲线或曲面的调和点列。

另外，在图像处理和模式识别领域，调和点列也有着广泛的应用，例如用于图像的缩放和插值等。

最后，我们来介绍一下调和点列的推广和发展。

随着调和点列研究的深入，人们逐渐发现了一些新的性质和应用。

例如，可以通过对调和点列进行推广，得到高维调和点列，用于描述空间中的曲线和曲面。

另外，调和点列还可以与其他数学概念相结合，如代数几何、拓扑学等，从而得到更深入的理论和应用。

总之，调和点列作为一种重要的数学概念，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法〔三〕本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克〔IMO〕金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科学学院2017级新生。

作者非常详细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家，这是第三篇。

请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认真做好笔记，满满的干货~正文如下：下面这些内容主要针对自学，如果你有一个会精心安排你的备考计划的竞赛教练，下面的这些内容仅供参考，主要还是要跟着教练的思路走。

关于培训，在这里我不作推荐，但是个人觉得最好还是要参加一些培训，了解一下最新的题目和方法。

具体的备考建议一推荐的书和题以下讲的这些都是我自己听过或者做过的书和题目，应该大部分都可以在网上找到pdf 版本，没有提到的书和题很可能是没有做过的。

不敢枉加评价。

一般来说，刚刚接触竞赛的新人都需要一套系统全面的入门书籍，比方：《奥赛经典》、《奥数教程》、《小丛书》等。

对于这些书，如果可以的话当然是选一套书慢慢啃，但其实几乎没有人能够有毅力地踏踏实实做完一套这样的“大部头”...... 所以你可以先了解一下做题的方法，然后做一些题，不一定要做完所有习题。

在刚开始接触新的领域的时候可以直接看例题的答案，但是最好每个题都要经过一段时间的思考，至少也应该知道自己没有突破的地方在哪——那就是你能学到的新东西。

要学会举一反三，这样很快就能掌握很多方法。

关于联赛的模拟题，除了学校教练的题目，我只做过《中等数学》的模拟题〔包括增刊和非增刊〕。

模拟题的难度总归与真正联赛有差距，所以如果有些套题做下来一点思路都没有，很可能是题目确实难，不必太在意；但是如果是自己算错的很多，就要找原因了。

事实上，我自己的体会是，增刊模拟题一试平均分与真实联赛的成绩差距不会很大。

定义 对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足AC ADCB DB=，则称C 、D 调和分割线段AB 或者A 、B 、C 、D 是调和点列。

我们允许无穷远点的存在，即规定如果D 为无穷远点，则1ADDB=，也可以说，当C 平分线段AB 时，A 、B 、C 以及直线AC 上的无穷远点四点成调和点列。

性质1 设,,,A B C D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则,C D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下列六个条件之一： （1） 点,A B 调和分割CD （2）112AC AD AB+= （3） 22AB CD AD BC AC DB ⋅=⋅=⋅ （4） CA CB CM CD ⋅=⋅ （5） DA DB DM DC ⋅=⋅（6） 22MA MB MC MD ==⋅本讲概述第1讲调和点列2高中数学·寒·第1讲 性质2 设,,,A B C D 是共线四点，过共点的直线外一点P 引射线,,,PA PC PB PD ，则,C D 调和分割线段AB 的充分必要条件是满足下列两个条件之一：（1） 线束,,,PA PC PB PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；（2） 另一直线l 分别交射线,,,PA PC PB PD 于点',',','A C B D 时，点','C D 调和分割线段''A B 。

性质3 完全四边形的一条对角线被其他两条对角形调和分割。

如图，在完全四边形ABCDEF 中，若对角线AD 所在直线分别与对角线BF ，CE 所在直线交于点,M N ，则AM ND AN MD ⋅=⋅性质4对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线外一点P ，给出如下四个论断： （1） PC 是APB ∠的平分线 （2） PD 是APB ∠的外角平分线 （3） ,C D 调和分割线段AB（4） PC PD ⊥以上四个论断中，任意两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题。

第15章 调和点列设两点C 、D 内分与外分同一线段AB 成同一比例，即AC ADCB DB=，则称点C 和D 调和分割线段AB ，或称点C 是点D 关于线段AB 的调和共轭点,亦称点列A 、B ,C 、D 为调和点列，若从直线AB 一点P 引射线PA 、PC 、PB 、PD，则称线束PA 、PC 、PB 、PD 为调和线束．调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质．1～③性质l 设A 、C 、B 、D 是共线四点,点M 是线段AB 的中点，则C 、D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述六个条件之一：图15-1DB CMA（1)点A 、B 调和分割CD ；（2)112AC AD AB+=； (3）22AB CD AD BC AC DB ⋅=⋅=⋅; (4）CA CB CM CD ⋅=⋅； （5）DA DB DM DC ⋅=⋅； （6）22MAMB MC MD==⋅．证明（1）AC AD CA CBA CB DB AD BD =⇔=⇔、B 调和分割CD ；（2）AC AD AC AD AB AC AD ABCB DB AB AC AD AB AC AD --=⇔=⇔=-- 112AC AD AB⇔+=；（3)()AC ADAC DB BC AD BC AC CB BD CB DB=⇔⋅=⋅=⋅++ 22AC DB AC DB BC AC BC BC BD ⇔⋅=⋅+⋅++⋅ ()()AC CB BD BC AB CD =+⋅+=⋅ 22AB CD AC DB BC AD ⇔⋅=⋅=⋅；①沈文选．线段调和分割的性质及应用[J]．中学教研（数学），2009（9）：28-33． ②沈文选，肖登鹏．调和点列的性质与一类竞赛题的证明[J]．数学通讯，2009（6）：43-46． ②沈文选，羊明亮．线段的调和分割在证明两角相等的应用[J]．中学教学研究，2009（8）：31-33．(4）122ABAD MBAB CD BC AD CD BC BC⋅=⋅⇔==AC CD MC AC MCCA CB CM CD CD CB CD CB+⇔=⇔=⇔⋅=⋅；(5）122ABAC MBAB CD AC BD CD BD BD⋅=⋅⇔==AC CD MB DB AD MDCD DB CD BD++⇔=⇔=DA DB DM DC⇔⋅=⋅；（6）AC AD AM MC MD AM CB DB BM MC MD BM ++=⇔=-- 2222AM MC MD AM AM MD AM MC MD AM MC AM ++=⇔=--22=MC MD MA MB ⇔⋅=．性质2 设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA 、PC、PB 、PD ,则C 、D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下述两个条件之一：（1）线束PA 、PC 、PB 、PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；（2）另一直线l 分别交射线PA 、PC 、PB 、PD 于点A '、C '、B '、D '时,点C '、D '调和分割线段A B ''．证明（1)如图15-2，不失一般性,设过点B 作GH AP ∥交射线PC 于G ,交射线PD 于H ．图15-2H 'B'G 'C 'y lGBCADHPAC ADCB DB=⇔注意GH AP ∥,有AP AC AD APGB CB DB BH===GB BH⇔=．(2）如图15—2，不失一般性,设过点B '作G H AP ''∥交射线PC 于G ',交射线PD于H '，则G H GH ''∥．AC ADBCB DB =⇔为GH 的中点⇔注意G H GH ''∥，知B '为G H ''的中点A C A P A P A D C CB G B B H D B '''''''⇔===⇔''''''''、D '调和分裂线段A B ''．推论l 梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点,调和分割两底中点的联线段，证明 如图15—3,在梯形BCEF 中，BF CE ∥，A 是两腰延长线的交点，D 是两对角线的交点,联结AD并延长交BF于M，交CE于N，则BM MD MF NE DN CN ==,BM AM MFCN AN NE==，即BM MF NE CN =，BM MFCN NE=．此两式相乘,相除得22BM BF =，22CN NE =，即BM M F =，CN NE =，亦即M 、N 分别为BF 、CE 的中点．图15-3NDMFBCEA联结ME ，则对线束EA 、EM 、ED 、EN 来说,BF NE ∥且BM M F =，则由性质2（1）知A 、D 调和分割线段MN ．（当然也可由AM BF MDAN CE DN==而证．） 推论2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割． 此即为第14章中的性质2，下面另证如下．证明 如图15—4，在完全四边形ABCDEF 中,AD 、BF 、CE 是其三条对角线,设直线AD 交BF 于M ，交CE 于N ．若BF CE ∥，则由推论1知,点M 、N 调和分割线段AD ．若BF ∥CE ，如图15—4，设直线BF 与直线CE 交于点G ．联结AG ,过点D 作直线TL CG ∥交AC 于T ，交AE 于S ，交BG 于K ,交AG 于L ,则分别在BCG △、ACG △、FCE △中，有TD CE DK EG =,TS CE SL EG =，DS CESK EG =． 于是TD TS DS TS DS TDDK SL SK SL SK KL-====-，从而DK KL =． 图15-4SQ DK FTP B MI H LGJE NCA又过点M 作MH CG ∥交AG 于+，则M H D L ∥．联结AK 并延长交M H 于I ，交NG 于J ,则由K 为DL 的中点,知I 为M H 的中点,J 为NG 的中点，在梯形MNGH中，点K 在MG 上，则由推论1知，A 、K 调和分割IJ ，即有AI AJIK JK =． 于是，由平行线性质，有AM ANMD ND=，即知M 、N 调和分割线段AD ． 联结DG 并延长交AC 于点P ，交EF 于点Q ，则上述证明知，在完全四边形GFBDCE 中，Q 、P 调和分割线段GD ．对线束AC 、AN 、AE 、AG ,由性质2（2），知M 、G 调和分割BF ，N 、G 调和分割CE ．注：当BF CE ∥时，也可看作直线BF 与CE 相交于无穷远点G ，此时,亦有M、G 调和分割BF ，N 、G 调和分割CE ．推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交,所得线段被此对角线所在直线上的交点平分．证明 如图15-5，点M 、N 、G 为完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF、CE 所在直线的交点，过点M 与CE 平行的直线,与EB 、EA 交于点I ，J，与CA ，CF 交于点T 、S ,分别对线束EA 、EM 、ED ；CA 、CM 、CD 、CN 应用性质2(1）知MI MJ =，MJ MS =．图15-5CP同理，可证过点N 与BF 平行的直线的情形,过点G 与AD 平行的直线的情形．性质3 对线段AB 的内分点C 和外分点D ,以及直线AB 外一点P ，给出如下四个论断：①PC 是APB ∠的平分线； ②PD 是APB ∠的外角平分线； ③C 、D 调和分割线段AB ； ④PC PD ⊥．以上四个论断中,任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题．证明（1）由①、②推出③、④，此时有AC PA AD CB PB DB==，显然PC PB ⊥． (2）由①、③推出②、④．此时，可过点C 作EF PD ∥交射线PA 于点E ,交射线PB 于点F ，如图15—6．则由性质2(1)知EC CF =,从而知PC EF ⊥，亦知PC PD ⊥，亦即有PD 平分APB ∠的外角．（3）由①、④推出②、③．此时,推知PD 是APB ∠的外角平分线，由此即知C 、D 调和分割线段AB ．(4）由②、③推出①、④．此时,结论显然成立．图15-6DBF CAE P(5）由②、④推出①、③．此时，不妨设APC α∠=，BPC β∠=．由PC PD ⊥知90APD α∠=︒+，90BPD β∠=︒-，由正弦定理(或共角比例定理）有sin sin sin cos sin sin sin cos PA PA APC AC AD PA APD PA PB PB BPC CB DB PB BPD PB ααββ⋅⋅∠⋅∠⋅=====⋅⋅∠⋅∠⋅,亦即有sin cos sin cos cos sin 0sin()0sincos αααβαβαβαβββ=⇔⋅-⋅=⇔-=⇔=． 从而知PC 平分APB ∠，由此亦推知PD 是APB ∠的外角平分线。

调和点列性质The document was finally revised on 2021调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。

射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。

在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中着名的定理。

后来在19世纪，又经过•彭赛列、J.施泰纳、施陶特、•麦比乌斯、A•凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。

亠 < AR AD定义：直线上依次四点A、B、C、D满足乔=乔，则称A、B、C、D C DCD四点构成调和点列。

其中A、C和B、D称为调和共觇。

性质仁如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F,交BC与点E则A、D、E、F四点调和。

证明人D、E、F四点调和。

等等o符罟①AD AD^ AC BD * DC乔—丽乔—丽CF_DE _ S®. _ BD CD sin ZBDC _ BD CDTT ---- = ---- --- = ------------------------------- = ------------FE S汕吃BF*FC*sin ZBFC BF FC 故①成立。

得证！推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC （此直线也C性质2：证明：1 1 2A、B、C、D调和。

五+而=花椭圆于D、F,交BC与E则A、D、E. F成调和点列。

证明：暂路。

一1 1 2 1 1 2 b c叩—+ ------ = ---- o— -------------- -- ------- o--------------- = ------------------------- AB AD AC a a+b+c a + b a(a+b) (a + b)(a+ b + c) b c a a+b+co _ = --------------- o —= ---------------a a+b+c h c即证。

一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l 上有两基点A ,B ，则在l 上存在两点C ,D 到A ,B 圆锥曲线专题：调和点列-极点极线两点的距离比值为定值，即AC BC =AD BD =λ，则称顺序点列A ,C ,B ,D 四点构成调和点列(易得调和关系2AB =1AC +1AD )。

同理，也可以C ,D 为基点，则顺序点列A ,C ,B ,D 四点仍构成调和点列。

所以称A ,B 和C ,D 称为调和共轭。

2.调和线束：如图，若A ,C ,B ,D 构成调和点列，O 为直线AB 外任意一点，则直线OA ,OC ,OB ,OD 称为调和线束。

若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆：如图，A ,B 为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P 的轨迹为圆O ，A ,B 互为反演点。

由调和点列定义可知，圆O 与直线AB 交点C ,D 满足A ,C ,B ,D 四点构成调和点列。

4.极点极线：如图，A ,B 互为阿圆O 反演点，则过B 作直线l 垂直AB ，则称A 为l 的极点，l 为A 的极线.5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。

椭圆调和点列证明 -回复
椭圆调和点列是指在椭圆上存在无重复的一列点，它们的调和平
均等于椭圆上的一点。

下面给出椭圆调和点列的证明。

设椭圆的焦点为F1, F2，它的长轴长度为2a，短轴长度为2b，
且椭圆的离心率小于1。

取椭圆上的一点P(x,y)，我们需要证明存在
无重复的一列点，它们的调和平均等于P点。

首先，我们取F1P和F2P的长度为a(n)，其中n为正整数。

那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2a，即a(n) + a(n) = 2a，即a(n) = a。

接下来，我们取F1P和F2P的长度为bn，其中n为正整数。

那么根据椭圆的性质，F1P + F2P = 2b，即bn + bn = 2b，即bn = b。

现在，我们来构造点列。

从点P开始，我们每次在椭圆上取F1P
和F2P的长度为an(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接
起来。

这样就构成了一列从P出发的点。

同样地，我们从点P开始，
每次在椭圆上取F1P和F2P的长度为bn(n = 1, 2, 3, ...)得到的点，将它们按顺序连接起来。

这样就构成了另一列从P出发的点。

根据上述构造方法，由于a(n) = a和bn = b，我们可以得到两
列点的调和平均分别等于P点。

在证明过程中，我们没有使用任何网址、超链接和电话等外部资料，仅仅利用椭圆本身的性质进行推导，从而得出椭圆调和点列的证明。

练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。

调和点列及调和线束性质的证明与应用举例首都师范大学附属回龙观育新学校(102208)李路军李洪景摘要本文考虑了由完全四边形与椭圆所呈现的一些调和点列及调和线束的性质,并用初等方法给出了证明;并通过4个例子说明了这些性质在解题中的应用.关键词调和点列;调和线束常在资料上看到一些证明不完整的有关调和点列和调和线束性质的叙述,作为教师只有理清其本质,使用起来才能心明眼亮.本文给出的例子,让我们更清楚的洞穿题目的意图及本质,为我们的教学提供了坚实的基础.本文着重对椭圆中的调和点列及调和线束问题予以讨论,实际上所提及的性质在二次曲线系中都是成立的,可类比得出.调和点列的定义若同一直线上四点G,A,H,B 满足GA ×HB =GB ×AH ,即GA AH =GBHB,则称A,B 调和分割线段GH 或G,H 调和分割线段AB ,A,B,G,H 为调和点列(G,H 与A,B 称为调和共轭).一、完全四边形中的调和点列1.完全四边形.两两相交又没有三线共点的四条直线段及它们的六点所构成的图形称作完全四边形,如图1,ABMCKD 是一个完全四边形.2.完全四边形中的调和点列.图1图2作为准备,我们考虑如下张角定理:张角定理[1](本质是正弦定理的面积形式).如图2,三角形ABC 中,D 为BC 上一点,连接AD ,设∠CAD =α,∠BAD =β,则sin (α+β)AD =sin αAB +sin βAC.证明因为S ∆ABC =S ∆ABD +S ∆ADC ,所以12AC ·AB sin (α+β)=12AC ·AD sin α+12AD ·AB sin β两边同时除以AB ·AC ·AD ,整理得:sin (α+β)AD=sin αAB +sin βAC.完全四边形中的调和点列[2]如图3.1,完全四边形ABMCKD 中,设AC 与BD 的交点为G ,连接MG 交AD 于H ,则A,D,H,K 为调和点列.证明设∠MAC=α,∠KAC=β,在∆AMH,∆ABD,∆AMD,∆ABK 中,分别有:sin (α+β)AG =sin αAH +sin βAM(1)sin (α+β)AG =sin αAD +sin βAB (2)sin (α+β)AC =sin αAD +sin βAM (3)sin (α+β)AC =sin αAK +sin βAB(4)[(1)−(2)]−[(3)−(4)]:0=sin α(1AH +1AK −2AD );因为sin α=0,所以1AH +1AK =2AD;所以AD AH +AD AK =2⇒AH +DH AH +AK −DK AK=2⇒DH AH =DK AK ,即AH ×DK =AK ×DH ,则A,D,H,K 为调和点列.根据线段间的数量关系,调和点列有不同的等价形式:DHAH =KH −KD KA −KH =DK AK ⇒1KD +1KA =2KH ,1HD −1HA =2HK ;1DH −1DK =2DA ;1AH +1AK =2AD 都可以说明点A,D,H,K 为调和点列.图3.1图3.2如图3.2连接KG 交AM 于L ,则点A,B,L,M 也为调和点列,这也正是本文要讲的调和线束性质2.图3.2中有7线9点,存在四个完全四边形,这个图形也成为完全四点形[3].二、圆锥曲线中的调和点列圆、椭圆、双曲线、抛物线这个家族中,有很多共性,这里以椭圆为例证明.性质1给定椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),过点F (x 0,y 0)(F 不在椭圆上且不为原点)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列,则点P 为直线AB 与直线x 0xa 2+y 0y b2=1的交点.证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (m,n ).当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为y −y 0=k (x −x 0).与椭圆方程联立,化简得:(a 2k 2+b 2)x 2+2ka 2(y 0−kx 0)x +a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2=0.当∆ 0时,x 1+x 2=−2ka 2(y 0−kx 0)a 2k 2+b 2,x 1x 2=a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2a 2k 2+b 2.点P,F,A,B 为调和点列,即满足x 0−x 1x 0−x 2=x 1−mm −x 2,即2mx 0+2x 1x 2−(x 0+m )(x 1+x 2)=0;两根之和之积代入,化简得:a 2y 0(m −x 0)k +(mx 0b 2+a 2y 20−a 2b 2)=0.又k =y 0−n x 0−m ;代入化简得x 0ma 2+y 0nb 2=1,即有P 点在直线x 0x a 2+y 0yb2=1上.如果过F 的直线斜率不存在,且与椭圆也有两个不同的交点时,根据纵坐标间的关系,可验证P 点也满足直线x 0x a 2+y 0yb 2=1方程.综上,P 点恒在直线x 0x a 2+y 0yb 2=1上.得证.当点F 为(t,0)(−a <t <a,t =0)时,点P 在直线x =a 2t上;点F 为焦点时,点P 在相应的准线上.当点F 为(0,t )(−b <t <b,t =0)时,点P 在直线y =b 2t上.评注在射影几何中,直线x 0x a 2+y 0yb2=1称为点F (x 0,y 0)关于椭圆的x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)极线,点F (x 0,y 0)称为直线x 0x a 2+y 0yb2=1的极点.从上面的证明过程可知,过点F (x 0,y 0)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列时,点P 为直线AB 与点F 的极线的交点.所以在圆锥曲线中,调和点列与曲线的极线极点相关.双曲线x 2a2−y 2b 2=1中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x a 2−y 0y b2=1;抛物线y 2=2px 中,点F (x 0,y 0)对应的极线为yy 0=p (x +x 0);圆x 2+y 2=r 2中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x +y 0y =r 2;当点F 在曲线外时,对应的极线为点F 的切点弦所在的直线方程;当点F 在曲线上时,对应的极线是过点F 的切线所在的直线方程.三、调和线束的两条性质调和线束的定义如图4,如果K,H,D,A 是调和点列,直线外一点M 与它们的连线称为调和线束,即直线MK,MH,MD,MA 为一簇调和线束.平面内不过点M 也不与KA 重合的直线,可以划分为两类,一类是与其中一条线束平行;一类是与四条线束都不平行,下面研究它们的性质.图4图5调和线束性质1平面内若一条直线与调和线束中的其中一条平行而与其余三条相交,则相交线段被平分.下面仅以与MA 平行进行证明.如图5,过点D 作MA 的平行线,分别交直线MK,MH 于点C,B ,则D 为线段CB 中点.证明:∆KDC ∆KAM ,所以KD KA =CDMA ;又∆DBH ∆AMH ,所以DB AM =HD HA;又因为K,H,D,A 为调和点列,KD KA =HDHA,所以CD =DB ,即D 为BC 中点.则所有与MA 平行的直线被MK,MD,MH 所截,得到的线段被平分.如果直线与MH 平行,可以过点K 作辅助线进行证明.其余类推.调和线束性质2平面内若一条直线与调和线束都相交,且交于不同的四个点,则相应的交点也成调和点列.下面分四种情况进行证明.(1)直线与射线MK,MD,MH,MA 都相交或者与其反向延长线都相交的情况.如图6,过点K 作一条直线l 与直线MD,MH,MA 分别相交于点D 1,H 1,A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.证明过点D 1作MA 的平行线交MK,MH 于E,F 两点.根据性质1,可知D 1为EF 的中点.∆KED 1 ∆KMA 1,所以KD 1KA 1=ED 1MA 1;又∆D 1F H 1 ∆A 1MH 1,所以D 1F A 1M =D 1H 1A 1H 1;所以KD 1KA 1=H 1D 1H 1A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.根据平行性,平面内与l 平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图6图7.1(2)直线与其中三条射线相交,与另一条射线反向延长线相交的情况.仅以与MK反向相交为例.如图7.1,过点D 作一直线l与射线MK反向延长交于点K1,与MH,MA 分别交于点H1、A1,则相应的点K1,H1,D,A1成调和点列.证明过点D作MA的平行线交MK,MH于E,F两点.根据性质1,可知D为EF的中点.∆K1ED ∆K1MA1,所以K1DK1A1=EDMA1;又∆DF H1 ∆A1MH1,所以DFA1M =DH1A1H1;所以K1DK1A1=H1DH1A1,则K1,H1,D,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.(3)直线与其中两条射线相交,与另两条射线反向延长线相交的情况.这里以与MK、MD反向相交为例.如图7.2,过点H作一直线l与射线MK、MD反向延长线交于点K1, D1,与MA交于A1,则相应的点K1,H,D1,A1成调和点列.证明过点K1作MH的平行线交MD1,MA于E,F 两点.根据性质1,可知K1为EF的中点.∆K1ED1 ∆HMD1,所以EK1MH =D1K1D1H;又∆A1F K1 ∆A1MH,所以K1FHM =K1A1HA1;所以K1D1K1A1=HD1HA1,则K1,H,D1,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图7.2图7.3(4)直线与其中一条射线相交,与其余三条射线反向延长线相交的情况.这里以与MA相交为例.如图7.3,过点A作直线l与射线MK、MD、MH反向延长线交于点K1,D1,H1,则相应的点K1,H1,D1,A成调和点列.证明过点D1作MA的平行线交MH,MK的反向延长线于E,F两点.根据性质1,可知D1为E,F的中点.∆H1ED1 ∆H1MA,所以ED1MA=H1D1H1A;又∆D1F K1 ∆AMK1,所以D1FAM=D1K1AK1;所以K1D1K1A=H1D1H1A,则K1,H1,D1,A为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.综上,平面内任意一不过点M的直线都有相应的情况对应.四、应用举例例1(2018年武汉大学自主招生试题[4])已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,A,B分别为椭圆E的左右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且−−→AF2+5−−→BF2=−→0.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若点M为椭圆E上的动点(异于A,B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于P,Q,连接P Q,设直线MN、P Q的斜率存在且分别为k1,k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.图8简析(Ⅰ)x29+y25=1;(Ⅱ)如图8,点D对应的极线是x=9,设NM、P Q交极线于点R,NP,MQ交极线于点G,则有完全四边形NMRQGP,连接RD,并延长交NP G于点K,则N,P,K,G为调和点列,RN,RP,RK,RG为调和线束,根据性质2,x轴与线束的相应交点依然为调和点列,设RQ与x轴的交点为I,极线与x轴的交点为H,即F1,D,I,H为调和点列,满足F1DF1H=IDIH,把坐标代入,可得x I=197,则λ=−k1k2=F1HIH=−74.图9例2(2017年高考北京卷理科第18题)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程;(II)求证:A为线段BM的中点.简析(I)抛物线C的方程为y2=x;(II)如图9,设点(0,12)为K,OP恰为点K的切点弦所在的直线,即OP为点K的极线.设MN与OP的交点为Q,则点K,Q,M,N为调和点列,那么OK,OQ,OM,ON 为调和线束,又直线MA与OK平行,根据调和线束性质1, MA与其余三条调和线束的相交线段被平分,即A为线段BM的中点.例3(2013年高考江西卷理科)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1,32),离心率e=12,直线l的方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记P A,P B,P M的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3.若存在求λ的值;若不存在,说明理由.简析(Ⅰ)x24+y23=1.(Ⅱ)如图10,直线x=4是右焦点的极线,所以点M,F,B,A为调和点列,P M,P F,P B,P A为调和线束,由调和线束性质2,则x轴与调和线束相应的交点依然为调和点列,设P M,P B,P A与x轴的交点依次为K,R,X,则K,F,R,X为调和点列,有1F R−1F X=2F K,则P F F R −P FF X=2P FF K,化简k P A+k P B=2k P M.图10例4设A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴(长轴)的两个端点,P为平面内任意一点(不在直线AB上),设直线P A,P B与椭圆分别交于E,F,与长轴(短轴)所在直线分别相交于C,D,直线EF与短轴(长轴)所在直线相交于M,则直线P M平分线段CD[5].简析如图11,实际上,此试题可认为是过y轴上一点M(不与原点、A,B重合)作直线交椭圆于E,F,连接AE,BF,相交于一点P,则直线P E,P M,P F被x轴所截,截得的线段被平分.图11设BE与AF的交点与点P的连线与y轴的交点为L,在完全四边形BF P EMA中,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,又点M在y轴上,其极线P L一定与y轴垂直,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分.图12如果点P在椭圆上(不与顶点重合),如图12,设过点P的切线与x轴交于Q点,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分,则Q为CD中点.本文仅仅是对圆锥曲线中的椭圆进行了相应的研究,而在圆、双曲线、抛物线中也是成立的.圆锥曲线压轴题,一向都是思维的难点与计算的痛点,但是如果能先从几何的角度去认识它,分析它,就有助于对习题的深刻理解,并减少运算.所以人们常说,解析几何首先是几何,要有几何的眼光.调和线束的性质应用,在一些竞赛中也常常隐蔽出现[6],只有掌握了其本质,解决问题时才能直入主题,才能站在高处思考问题,故以后的教学中,要有意的培养学生洞察问题本质的意识,不仅仅是“解析”.如果不能从几何角度解释,说明我们还没有找到几何解释的方法.参考文献[1]赖百奇.张角公式的若干应用[J].数学通报,2005(7).[2]张景中.面积关系帮你解题[M].上海:上海教育出版社,1982.[3]邹宇,张景中,饶永生.作辅助线求完全四边形线段比列的机械化方法.数学通报,2016(1).[4]满在伟,杨列敏.对一道解析几何问题的探究与推广[J].中学数学教学参考,2019(11).[5]李伟键.椭圆的一个结论的演变历程[J].数学通讯,2017(12).[6]曾建国.调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用[J].中学数学研究,2019(7).。