判断是否为线性系统例题

－2
0 (a )
2
t
－1
0 (b )
1
t
f1 (t )＝f (t － 2 ) 1 1
y f1 (t )
0 (c )
4
t
0 (d )
2
Hale Waihona Puke Baidu
t
图 1.6-2 例1.6-2图
因果性例题
例 1.6-3 对于以下系统：
y f ( t ) af ( t ) b y f ( t ) cf ( t ) df ( t 1 ) y f (k )
故该系统是时不变系统。
(2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的 波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任 何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。 所以， 这样的系统是时变的。 设
f 1( t ) f ( t t d )
相应的零状态响应为
输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状
态响应，a为常数。
解
(1) 已知 设
f ( t ) y f ( t ) a cos[ f ( t )] f1 ( t ) f ( t td )
t td
则其零状态响应
y f 1 ( t ) a cos[ f 1 ( t )] a cos[ f ( t t d )] y f 1 ( t ) y f ( t td )
判断是否为线性系统例题
例 1.6-1 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为 初始状态，试判定它们是否为线性系统。 (1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|
(4) y(t)=af(t)+b
解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。
对于系统(4)， 如果直接观察y(t)~f(t)关系，似乎系统既不满
足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令
f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零
t td
y f 1 ( t ) f1 ( 2 t ) f ( 2 t td ) y f ( t t d ) f [ 2 ( t t d )] f ( 2 t 2 t d ) y f 1 ( t ) y f ( t td )
f (t )
y f(t ) 1
1

i
k
f (i )
由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，
因此都是因果系统。
而对于输入输出方程为
y f ( t ) f ( t 1)
其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如， 令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激 励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。 在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前 输入信号作用下， 因果系统的零状态响应只能出现在t≥0的时 间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号，而把 从某时刻t0(t0≠0)开始的信号称为有始信号。
输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线 性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程 的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输 出描述方程的系统都是非线性系统。
判断时不变例题
例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acos［f(t)］ t≥0 (2) yf(t)=f(2t) t≥0