习题1
1.1 解：由题意95.01=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<--u x p 可得：
95.0=⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-σσn n u x p
而
()1,0~N u x n σ
⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--σσn n u x p 那么
96.1=σ
n
∴2296.1σ=n
1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。
{}2.10015.0800
0015.00800
|
e 0015.0800--∞
+-=∞
+-==>⎰e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率()
2.76
2
.1--==e e p
(2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时
{}5.430000
0015.03000
0015.001|e 0015.03000----=-==<⎰
e e dx x p x 那么有6个元件，则所求的概率()
6
5.41--=e p
1.3
解: (1) 123{(,,)|0,1,2,
,1,2,3}k x x x x k χ===
因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤
112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!!
x x x e x x x ++-λ
λ=
其中,0,1,2,
,1,2,3k x k ==
(2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥=
因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0
()0,0
x e x f x x -λ⎧λ≥=⎨ <⎩
所以, 123(,,)
3
123(,,)x x x f x x x e
-λ=λ,其中0;1,2,3k x k ≥=
(3) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x a x b k χ=≤≤=
因为~(,)i X U a b ,其概率密度为1
,()0,|a x b f x b a x a x b
⎧≤≤⎪
=-⎨⎪ <>⎩
所以,1233
1
(,,)()
f x x x b a =
-,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ,
其概率密度为(2
(),()x f x x 2
-μ)-
=
-∞<<+∞
所以,3
1
1
(212332
1(,,)(2)k k x f x x x e π2=-
-μ)∑=
,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞=
1.4解：由题意可得：()⎪⎩
⎪⎨⎧∞
<<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2
2
i x e x x f u x σσπ
则∏
==
n
i x f x x f 1
i n i )(),...(＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1
n )2()(ln 212n 1
2
i 2
i x x e i n i i u x n
i σπσ
1.5
证: 令21
()()n
i
i F a X
a ==
-∑
则'
1()2()n
i
i F a X
a ==-
-∑,''()20F a n => 令'
1
()2()0n
i i F a X a ==--=∑,则可解得11n
i i a X X n ===∑
由于这是唯一解,又因为''
()20F a n =>,
因此,当1
1n
i i a X X n ===∑时,()F a 取得最小值
1.6
证: (1)等式左边1
1
((n
n
i
i i i X
X X X 2
2==-μ)=-+-μ)∑∑
1
1
1
(2()()(n n n i i i i i X X X X X X 2
2
====-)+-μ-+-μ)∑∑∑21
(()n
i i X X n X 2==-)+-μ∑
左边=右边,所以得证. (2) 等式左边
2
2
11
1
(2n
n n
i i
i
i i i X
X X X X nX 2
===-)=-+∑∑∑ 22
2
1
2n
i
i X
nX nX ==
-+∑221
n
i i X nX ==-∑
左边=右边,所以得证.
1.7证：(1)∑=-
=n
i i n x n x 1
1
∑+=-
++=11
1
11n i i n x n x 那么)(1
1
_
1_
n n n x x n x -+++
＝∑∑=+=•+-++
n
i i n n i i x n n x n x n 1
11111111 ＝111111+=+++∑n n i i x n x n ＝∑=+n
i i x n 1
11＝_1+n x ∴原命题得证
