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解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m (π R2 )
所以 J 1 mR2 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
三 转动惯量
J mjrj2 , J r2dm j
➢ 物理意义：转动惯性的量度 . M J
转动惯性的计算方法
➢ 质量离散分布刚体的转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22
j
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
z 二 转动定律(Law of Rotation of a Rigid Body about
a Fixed Axis)
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
M
Ft
F
M rF sin
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
3g (1 cos )
l
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量 J mjrj2
(Moment of Inertia) j
z
O rj
Fej
m j
Fij
2
J r dm
转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
F
F
Fra Baidu bibliotek
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
静止落下距离 y 时，
A mA
C
其速率是多少？
mC （若水平面不光滑又
如何？）
mB B
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
A
mA
FT1
FN
mA FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B
FT2
O
mB PB y
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 注意
第四章 刚体的转动
1、转动惯量的大小取决于刚体的质量及其分布、形 状及转轴的位置 .
2、转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物 理量。地位等同于质点力学中质点的质量。
3、转动惯量的单位是 kg m 2 ，量纲是ML2
z4 R3
)dz
1 mR2 5
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
证明：将均质球体分割成一
z
系列彼此平行且都与对称轴
垂直得圆盘，则有
r
J
1 2
dm r 2
1 2
r 2dz
r
2
z
dz R
om
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R2 2 mR2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
一 力矩(Torque)
刚体绕 O z 轴旋转 , 力F
作平用面在内刚, 体r上为点由点P ,O且到在力转的动
作用点 P 的径矢 .
F
对转轴Z M
的力r矩F
M Frsin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
d : 力臂
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例1 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J l / 2 r 2dr 1 l 3
l / 2
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例2 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力 FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
力矩
Mzk
r
F
M z rF sin
z
k
Fz
F
O r F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
第四章 刚体的转动
补充：证明球体对任意直径的转动惯量为：I
2 5
mR2
证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作
为质元
z
m , dm r2dz
4 R3
dz
3
r
z
oR
J z2dm R z2 m (R2 z2 )dz
R 4 R3
3
3m 4
R ( z2 R R
O
r m
F sin Ft ma t mr
Fn
M rFt mr 2
2）刚体 质量元受外力
Fej，内力
Fij
Mej Mij mjrj2
z
O rj
Fej
m j
外力矩
内力矩
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
第四章 刚体的转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
a
RFT2
R,
RFT1
J
J
1 2 mcR
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
第四章 刚体的转动
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
即
15
5
J 2 mR2 5
