试卷类型：A
2010年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数 学(理科)
说明：
1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题．
2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A 、B 相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率
是p ，那么n 次独立重复试验中事件A
恰好发生k 次的概率
P n (k)=C k n p k (1-p) k n - (k=0，l ，2，…，n)
球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径
球的体积公式V=3
4πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，周期为π的是
A ．y=sin
2
x B ．y=sin2x C ．y=cos 4x D ．y=tan2x 2．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则S 6的值为
A ．30 8．35 C ．36 D ．24
3．已知函数f(x)的反函数f 1-(x)的图象经过4(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点
A ．(1，1)
B ．(0，1)
C ．(一1，2)
D ．(一l ，1)
4．动点P 到A(0，2)点的距离比它到直线l ：y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为
A ．y 2=4x
B ．y 2=8x
C ．x 2=4y
D ．x 2=8y
5．设(1-2x)10=a 0 + a 1x + a 2x 2+…+ a 10x 10，则a 1+22a +232a +…+9
102a 则的值为 A ．2 8．-2 C ．2043 D ．2046
6．若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0， 1]上的
图象如图所示，则不等式)()(x g x f <0的解集为
A ．(-
31,0)∪(31,1) B ．(-31,3
1) C ．（-1，-31)∪(31,1) D ．(-31，0) 7．过直线y=x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为 A ．2
2 B. 22
3 C ．210 D.2 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则A 1E 与BD 所成角的余弦值为
A ．53 B. 10
30 C ．
43 D ．77 9．等腰直角三角形ABC 中，A=2
π，AB=AC=2，M 是BC 的中点，P 点在∆ABC 内部或其 边界上运动，则即BP ·AM 的取值范围是
A ．[-l ，0]
B ．[1，2]
C ．[-2，-1]
D ．[-2，0]
10．函数f(x)=sinx+2x f '(3
π) ，f '(x)为f(x)的导函数，令a=-21，b=log 32,则下列关系正确的是
A ．f(a) > f(b)
B ．f(a) ＜ f(b)
C ．f(a) = f(b)
D ．f(|a|) ＜ f(b)
11．如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为
A ．21
B ．73
C ．53 D. 52
12．椭圆22a x +22
b
y =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[12π,4
π]，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[2
2,23] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分．
13.复数i
i ++13的虚部为 14．已知集合A={x ︱︱x-a ︱≤l}，B={x ︱0652≥--x x }，若A ∩B=φ，则实数a 的取值
范围是
15．奇函数f(x)的图象按向量a 平移得到函数y=cos(2x 一
3π)+1的图象,当满足条件的 ∣a ∣最小时，a =
16．三棱锥A —BCD 内接于球0，BC=AD=32，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=2
π，顶点 A 在面BCD 上的射影恰在BC 上，。
一动点M 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r
17．(本小题满分l0分)
如图，已知平面四边形ABCD 中，∆BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=θ，记四边 形ABCD 的面积为S.
(I)将S 表示为θ的函数；
(Ⅱ)求S 的最大值及此时θ的大小．
18．《本小题满分12分)
已知公比q 为正数的等比数列{n a }的前n 项和为n s ，且4245s s =．
(I)求q 的值；
(Ⅱ)若()
*-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{n b }也为等比数列，求数列{(2n 一1)n b } 的前n 项和n T ．
19.(本小题满分l2分)
为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记l 分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为n s ，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．
(I)若设3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；
(Ⅱ)求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。
20．(本小题满分12分)
如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=
3
π 其中AC 与BD 交于点G ，1A 点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。
(I)求点G 到平面11A ADD 距离；
(Ⅱ)若G D 1与平面11A ADD ，所成角的正弦值为43， 求二面角1D -OC-D 的大小．
21．(本小题满分12分) 如图，已知双曲线122
22=-b
y a x (b>a>O)且∈a [1，2]，它的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为A 、B ．过2F 作圆2
22a y x =+的切线，切点为T ，交双曲线于P,Q 两点.
(I)
求证：直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直； (II) 若M 为2PF 的中点，0为坐标原点，∣OM ∣-∣MT ∣=1，∣PQ ∣=λ∣AB ∣，求实数λ的
取值范围．
22．(本小题满分l2分)
已知过原点（0，0）作函数，()()
a x x e x f x +-=2的切线恰好有三条，切点分别为 ()()()332211,,,,,y x y x y x ，且321x x x
(I) 求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)求证：1x <-3．
2010年石家庄市第一次模拟考试
理科数学答案
审核：魏会阁 校对：李茂生
一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
（A 卷答案）:1-5 BCADB 6-10 ACBDA 11-12 DB
（B 卷答案）:1-5 DCABD 6-10 ACDBA 11-12 BD
二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13． 1- 14. {|05}a a << 15. ,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭
16. 4π 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：(Ⅰ)在ABD ∆中，由余弦定理得θcos 222-=BD ,……………………….1分 又ABD BCD S S S ∆∆=+=sin
)cos 22(21sin 21θθ-+3π……………………………3分
所以sin()3S θπ
=-+ ，(0,)θ∈π ……………………………….5分 （Ⅱ） (,0∈θπ ） 2333
θπππ∴-<-<，……………………………….7分 所以当231S 6523+=
=-取得最大值，最大值为时，时，即πθπ
π
θ. …10分 18．解（Ⅰ）若1=q ， 则12105a S = ,14164a S = ,
,01≠a ∴4245S S ≠，不合题意. ……………………………………………….2分
若1q ≠，由4245S S =得q q a q q a --⨯=--⨯1)1(41)1(54121，∴,4
12=q 又,0>q ∴2
1=
q . ……………………………………………………………………………..5分 (Ⅱ)21111)21(2212
11])21(1[21--⋅-+=--+=n n n a a a b ，…………………………….7分 由{}n b 为等比数列知：02211=+a ，得 4
11-=a ， ∴n n n b 21)21(412=⋅=-. ….........................................................................................9分
则n n n T 21225232132-++++= ， ① 1322
12232232121+-+-+++=n n n n n T ， ② ①-②得-=3n T 232n n +. ………………………………………………………………..12分 19. 解：（Ⅰ）分析可知ξ的取值分别为1，3. …………………………………………..2分
22223312212(1)()()()(),33333
p C C ξ∴==+= 33121(3)()(),333
p ξ==+=…………………………………………………………….4分 ξ∴的分布列为
21513.333
E ξ=⨯+⨯= ………………………………………………………….6分 （Ⅱ）若28=S ，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，又)3,2,1(0=≥i S i 所以包含两种情况.
第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中.
此时的概率为232152121233333P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=35253132⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C . ………………..8分 第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中.此时的概率为
3332622123333P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=35363132⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C . ……………………………………..10分 所以出现82S =且0(1,2,3)i S i ≥=的概率为：=
+=21P P P 732032032187
=. …….12分 20．解：(Ⅰ) 连结BO ,取DO 中点H ，连结GH ,
因为1A O ⊥平面AC ,所以平面1AD ⊥平面AC ，
又底面为菱形，O 为AD 中点，
所以BO ⊥平面1AD ，
因为GH ∥BO ，
所以GH ⊥平面1AD ，…………………….3分 又GH =12
BD =32， ξ 1 3 P 23 13
所以点G 到平面11ADD A 的距离为32. …………………………………………..5分 (Ⅱ)方法一： 分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，
则 13(,,0)2G -，1(2,0,)D a -，所以133(,,)22
D G a =-， 面1AD 的一个法向量()
=0,3,0n ， 所以123
32cos ,=33
D G a ⋅+ n = ，解得1a =，…………………………………7分 因为面OCD 的一个法向量为(0,0,1)=n ，………………………………………………8分 设面1OCD 的一个法向量为(,,)x y z =p ，则1(2,0,1)OD =-，(2,3,0)OC =-，
则有10;0.
OC OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩p p 所以23020x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取3x =，(3,2,23)=m ， …………………………………………………………10分 则23257cos ,1919
<>==p m ， 所以二面角1D OC D --的大小为257arccos
19. ………………………………… 12分 方法二:连结1D H ,由（1）可知1GD H ∠为直线
1D G 与平面1AD 所成角.
则113sin 4
GH GD H D G ∠==， 所以12D G =………………………….6分
过1D 做11D O 垂直AD ,交其延长线于1O 点，连结1O G ,在1O DG ∆中，11,O D DG ==123
GDO π∠=
，所以1OG =， 那么在直角三角形11D O G ，11D O =1，………………………………………….8分
过1O 做1O M CO ⊥于点M ，连结1D M ，
则11D MO ∠为所求二面角的平面角， ………………………………………….9分 连结1CO ,则1OO 1O C ⊥，且1OO =2
，1
OC = 则在△1OO C
中，1O M =，………………………………………………..11分
所以11111tan 6
D O D MO O M ∠==， 所以所求二面角1D OC D --
的大小为arctan
6……………………………12分 21．解：（Ⅰ）双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的渐近线为b y x a
=±， 设直线PQ 的方程为()y k x c =-,(不妨设0<k )，由于与圆222
x y a +=相切，
∴a =，即22
2a k b =，直线PQ 的斜率a k b =-，…………………….3分 因为一三象限的渐近线为b a
， 1a b b a
-⋅=-. 所以直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直；……………………………………….5分 （Ⅱ）2222()1y k x c x y a b
=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22222222222()20b a k x a k cx a k c a b -+--=，
设1122(,),(,)P x y Q x y ,
则2212222
22222122222a k c x x b a k a k c a b
x x b a k ⎧-+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩
，
所以||PQ =222222(1)||ab k b a k +=-2
222ab b a =-，…….7分 因为11||||2OM PF =,221||||2
F M PF =, 2211||||(||||)2
F M OM PF PF a -=-=， ||||1OM MT -=,代入上式得2||||1F M MT a -=+,
又22||||||F M MT F T b -===，
所以1b a =+. ……………………………………………………………………..9分
因为||2AB a =，2
222||ab PQ b a
=-， λ222
22(1)12121
b a a b a a a +===+-++，………………………………………….10分 令21,t a =+则1,2t a -=[3,5]t ∈，11214t t λ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦
， 因为1t t
+在[3,5]为增函数，所以49,35λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦. ……………………………..12分 22. 解(Ⅰ))1()(2'-++=a x x e x f x ，
设切点为),(00y x ，则切线方程为))(1()(002002000x x a x x e a x x e y x x --++=+--，
代入（0，0）得0030=-+a ax x ，
由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程03
=-+a ax x 有三个不同的解. …………………………………………….2分
令a ax x x g -+=3)( , a x x g +=2'3)(. 当0≥a 时,）上增函数，是（∞+∞-≥)(,0)('
x g x g ，则方程03=-+a ax x 有 唯一解, ………………………………………………………………………………………..3分
当0<a 时 ，由3
0)('a x x g -±==得, ）上是减函数）上是增函数，在（和（在3
,3,3)3,()(a a a a x g ---+∞----∞要使方程03=-+a ax x 有三个不同的根，只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--.03;03a g a g
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛->-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--.033;03333a a a a a a a a ……………………………………………….5分 解得4
27-<a . …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）法一 : 由已知得a ax x x x x x x x -+=---3321))()((,
则 a x x x x x x x x x =++=++323121321,0，a x x x =321. 由0,0,004
27321>><<-<x x x a 知………………………………………8分 8)(22))(11()11(322323
2222232322322212322≥++++=++=+x x x x x x x x x x x x x x x , 又因为32x x ≠所以8112123
22>+x x x ）（, 21
2322811x x x >+,…………………………………………………………………10分 又11113
21=++x x x , 所以)111(2111)111(
2331212322212321x x x x x x x x x x x x +++++=++ 1111111211123
2221232221321321232221=++∴++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x
又21
21212322219811111x x x x x x =+>++=, 39121-<>∴x x 即………………………………………………………………..12分
法二a ax x x g -+=3)(
,
,(),0x g x g ⎛→-∞→-∞> ⎝
, 由函数连续性知3
1a x --<<∞-,………………………………………8分 274
a <-，(3)2740,g a ∴-=-->……………………………………10分
且3-< 31-<∴x . ……………………………………………………………………...12分。
