1
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题 :
1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距
是.
2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。
3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程x 1 2 cos
（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。y 2sin
5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共
点，则 r 的取值范围是.
6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.
7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；
8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；
10
、曲线y |
x
| 1
与直线
y
＝
kx
＋
b
没有公共点，则
k
、
b
分别应满足的条是．
2 ＝＋
11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，
则点 P 的横坐标 x .
12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则
实数 m .
13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．
14
x2 y2
1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线
4 5
16 、已知 P 是双曲线x2 y2
1 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a
2 9
F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF1
17 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是
二．选择题 :
2
18、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于
A 、
B 两点，它们的横坐标之和等于
5，
则这样的直线
（
）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C
．有无穷多条
D ．不存在
19、抛物线 y 2
4x 的焦点坐标为
( )
（A ） ( 0, 1) .
（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .
（ D ） ( 2, 0 ) .
20、若 k R ，则“ k
3 ”是“方程
x 2
y 2
1 表示双曲线”的
(
)
k
3 k 3
（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .
（C ）充要条件 .
（D ）既不充分也不必要条件 .
21 、已知椭圆
x 2
y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （
）
10 m
m
2
（ A ） 4 .
（ B ） 5 .
（ C ） 7 .
（ D ） 8 .
三．解答题
22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (
2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；
（ 2）已知椭圆 C 的方程是
x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k
的直线 l ，交椭圆 C 于 A B
a 2
b 2
、 两点，
AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点
M 在一条过原点的定直线上；
（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步
骤，并在图中标出椭圆的中心 .
23、（本题满分 x 2
y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆
1长
36
20
轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴
上方， PA PF ．
（ 1）求点 P 的坐标；
（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于
MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．
3 2
4 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器
运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
x 2 y 2
100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）
25
后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线
7
部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
25 、（本题满分
14
分）在平面直角坐标系x
O y
中，直线
l
与抛物线
y
2
＝
2
x 相交于、两点．
A B
（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；
（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问
题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体
积 16
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为
16 ，求侧棱长”；
3 3
也可以是“若正四棱锥的体积为16
，求所有侧面面积之和的最小值”. 3
试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
评分说明：
(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个
6 分
(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.
4
27 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系
xOy 中，设椭圆
y
x 2 y 2
C :
a 2
b 2
1 (a b 0) 的左右两个焦点
分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线
l 与椭
x
圆 C 相交，其中一个交点为
M 2, 1 .
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设椭圆 C 的一个顶点为
B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .
我们把由半椭圆 x
2
y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y
2
x 2 1 ( x ≤ 0) 合成
28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2
c 2
的曲线称作“果圆”，其中
a 2
b 2
c 2 ， a
0 ， b c 0．
如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．
y
（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求
B 2
“果圆”的方程；
.F
2
b
（2）当 A 1 A 2B 1 B 2
的取值范围；
.
时，求 a
O
.
x
A 1
F 0
A 2
F 1
B 1
5 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.
30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .
（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；
（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；
6
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得
4 分，否则一律得零分 .
1、双曲线 9x 2 16y 2
1的焦距是
. 5
6
2、直角坐标平面
xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。
解答：设点 P 的坐标是 (x,y)
，则由 OP ?OA
4 知 x 2 y 4 x 2y 4 0
3、若双曲线的渐近线方程为 y
3x ，它的一个焦点是 10 ,0 ，则双曲线的方程是 __________ 。
解答：由双曲线的渐近线方程为
y
3x ，知
b
3，它的一个焦点是
10 ,0 ，知 a 2 b 2 10 ，
a
因此 a 1, b
3 双曲线的方程是 x 2
y 2 1
9
4、将参数方程
x 1 2 cos （ 为参数）化为普通方程，所得方程是 __________。
y
2sin
解答： ( x 1) 2
y 2 4
5、已知圆 C :( x
5) 2
y 2
r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x
y 5 0 . 若圆 C 与直线 l 没有公共
点，则 r 的取值范围是
. (0,
10)
6、已知直线 l 过点 P( 2, 1) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于
A 、
B 两点， O 为坐标原点，则
三角形 OAB 面积的最小值为 . 4. x －
7 、已知圆 x 2 － 4 x － 4 ＋ y 2 ＝ 0 的圆心是点 ，则点 P 到直线 y － ＝ 的距离是
；
P 1 0
解：由已知得圆心为： P(2,0) ，由点到直线距离公式得： d
|2 0 1| 2 ；
1 1 2
8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为
F （－ 2 3 ， 0），且长轴长是短轴长的
2 倍，则该椭圆的
标准方程是
；
a 2b,c 2 3
b 2 4
y
2
a
2
16 x 2
解： 已知
2 2 2
1 为所求；
a b c
F ( 2 3,0) 16
4
10 、 若 曲线 y 2 ＝ | x |＋ 1 与 直线 y ＝ kx ＋ b 没 有 公 共 点 ， 则 k 、 b 分 别应 满 足 的 条 件
是
．
7
解：作出函数 y
2
|x | 1
x 1,x 0
x 1, x 的图象，
如右图所示：所以，
k 0,b (
；
1,1)
11、在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y
2
4x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离为
6，
则点 P 的横坐标 x
. 5.
12、在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 x
4
y 2 与直线 x m 有且只有一个公共点，则
实数 m
. 2.
13、若直线 l 1： 2x
my 1 0 与直线 l 2： y 3x 1 平行，则 m
．
2
3
14 、以双曲线
x 2 y 2 1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是
4
5
． y 2
12( x 3)
16 、已知
P 是双曲线
x 2
y 2 1 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为
3x y
0 . 设
a
2
9
F 1、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点 . 若 PF 2 3 ，则 PF 1 5 .
17 (2008 春季 12) 已知 A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l 1 ： x 0, l 2 : y 0 和 l 3 : x 3y 1
0 . 设
P i 是 l i ( i
1, 2, 3) 上与 A 、B 两点距离平方和最小的点，则△
PP 12 P 3 的面积是
3
2
二．选择题 :
18、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于
A 、
B 两点，它们的横坐标之和等于
5， 则这样的直线
（ B
）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解答： y 2 4x 的焦点是 (1 ，0) ，设直线方程为 y
k (x 1) k 0 (1) 将(1) 代入抛物线方
程可得
k 2
x 2
( 2 2
4) x k 2 0
， x 显然有两个实根，且都大于
0，它们的横坐标之和是
k
2k
2
4
5
3k
2
4
k
2 3
，选 B
k 2
3
19、抛物线 y 2
4x 的焦点坐标为
( B )
（A ） ( 0, 1) .
（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （ D ） ( 2, 0 ) .
20、若 k
R ，则“ k 3 ”是“方程
x 2 y 2 1 表示双曲线”的
( A
)
k
3 k
3
（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .
（C ）充要条件 .
（D ）既不充分也不必要条件 .
8
x2 y2
1，在 y 上.若焦距 4 ， m 等于（D）
21 、已知
m 2
10 m
（ A）4 . （ B）5 . （ C）7 . （ D）8 .
三．解答
22 ( 本分 18 分) （ 1）求右焦点坐是( 2 , 0 ) ，且点 ( 2 ,2 ) 的的准方程；
（ 2）已知C的方程是x2
y 2 1 ( a b 0 ) .斜率 k 的直l，交C于A、B 两点，a2 b 2
AB的中点 M .明：当直l 平行移，点 M 在一条原点的定直上；
（3）利用（ 2）所揭示的几何性，用作方法找出下面定的中心，要写出作步，并在中出的中心 .
[ 解（）的准方程x
2 y 2
1
， a b 0 ，
] 1 a 2 b2
∴ a 2 b 2 4，即的方程
x2 y 2
1，
b2 4 b 2
∵ 点（2, 2 ）在上，∴
4 2
1，解得 b 2 4 或 b 2 2 （舍），
b2 4 b 2
由此得 a 2 8 ，即的准方程x 2 y 2 1 . ?? 5 分
8 4
[明 ] （2）直l的方程y kx m ，?? 6 分
y kx m
与 C 的交点 A ( x1 , y1)、B( x2 , y2)，有x2 y 2
1 ，
a2 b 2
解得( 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 0 ，
a k x a kmx a m a b
b
∵0 ，∴ m2 b 2 a 2 k 2，即 b 2 a 2 k 2 m b 2 a 2 k 2.
x x
2 2a 2km , y
1
y
2
kx m kx
2
m 2b 2 m ，
1 b
2 a 2k 2 1 b2 a 2 k 2
∴ AB 中点M的坐
a 2 km
,
b2 m
. ?? 11 分b2 a 2k 2 b2 a 2k 2
∴段 AB 的中点M在原点的直b2 x a 2 k y 0 上. ?? 13 分[解 ] （ 3）
9
如，作两条平行直分交于 A 、B 和C、D，并分取AB 、CD的中点M、 N ，接直MN ；又作两条平行直（与前两条直不平行）分交于A1、 B1和 C1、 D1，并分取A1B1、 C1 D1的中点M 1、 N1，接直M 1N1，那么直MN 和 M 1 N1的交点O 即
中心 . ??18 分
x2 y2
23、（本分14 分）如，点 A 、 B 分是 1
36 20
的左、右端点，点 F 是的右焦点，点 P 在上，且位于x上方， PA
PF ．
（1）求点 P 的坐；
（2） M 是 AB 上的一点， M 到直 AP 的距离等于
MB ，求上的点到点M的距离d的最小．
[ 解 ] （1）由已知可得点A（－ 6，0）， F（4， 0）
点 P 的坐是( x, y),则AP { x 6, y}, FP { x 4, y} ，由已知得
x2 y 2
1 2x
2 3
或 x
36 20 则9x 18 0, x 6. ( x 6)( x 4) y 2 0 2
由于 y 0,只能 x 3
,于是 y 5 3, 点 P的坐标是 (
3
,
5
3).
2 2 2 2
（2）直 AP 的方程是x 3y 6 0. 点M的坐是（m，0），M到直AP的距离是 | m 6 | ，
2
于是| m
2 6 | | m 6 |,又 6 m 6, 解得 m 2, 上的点( x, y)到点M的距离d有
5 x2
4
( x 9 )2
d 2 (x 2)2 y 2 x2 4x 4 20 15,
9 9 9 2
由于
6 x 6, 当
x 时
, 取得最小值15.
2 d
24 ( 本分14 分 ) 学校科技小在算机上模航天器返回. 方案如：航天器
运行（按方向）的迹方程x 2 y 2
1 ，（即航天器运行迹由抛物）100 25
10
后返回的 迹是以
y 称 、 M 0,
64
点的抛物 的 部分，降落点 D ( 8, 0) .
7
点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同 跟踪航天器 .
（ 1）求航天器 后的运行 迹所在的曲 方程；
（ 2） ：当航天器在 x 上方 ， 点 A 、 B 得离航天器的距离分 多少 ， 向航天器 出 指令？
[ 解 ]（ 1） 曲 方程
y ax 2
64 ，
7
64 a 1 由 意可知， 0 a 64.
.?? 4 分
7
7
曲 方程 y
1 x
2 64 . ?? 6 分
7
7
（ 2） 点 C( x, y ) ，根据 意可知
x 2y 2
100
1,
(1)
25
y
1 x
2 64 ,
(2)
7
7
得 4 y 2 7 y 36 0 ， y
4或 y
9 （不合 意，舍去） .
4
y 4.
?? 9 分
得 x 6 或 x 6 （不合 意，舍去）
.
C 点的坐 ( 6, 4 ) ， ?? 11 分
| AC | 2 5, | BC | 4 .答：当 点
A 、
B 得 A
C 、 BC 距离分 2 5、 4 ， 向航天器
出 指令 .
?? 14 分
25 、（本 分 14 分）在平面直角坐 系
x O y 中，直 l 与抛物 y 2
＝ 2 x 相交于 A 、B 两点．
（ 1）求 ：“如果直 l 点 T （ 3， 0），那么 OA OB ＝ 3”是真命 ；
（ 2）写出（ 1）中命 的逆命 ，判断它是真命 是假命 ，并 明理由．
[ 解 ]（ 1） 点
T(3,0) 的直
l
交抛物
y 2=2x 于点
A(x 1,y 1)、 B(x 2,y 2 ).
当直
l
的 率不存在
, l
的方程
x=3,此 ,直
l
与抛物 相交于点
A(3,
6
)、 B(3, －
6
).
∴ OA OB
=3；
y 2 2 x 当直 l 的 率存在 , 直 l 的方程 y
k ( x 3) ，其中 k
0 ，由
y k ( x 3)
得 ky 2 2 y 6 k 0 y y
6
又 ∵ x
1 1 y
2 , x 2 1 y 2 ， 1 2
2 1
2 2
uuur uuur
1
2
∴
g
y 1 y 2 ( y 1 y 2 ) y 1 y 2
3 ，
OA OB x 1 x 2 4
上所述，命 “如果直
l 点 T(3,0) ，那么 OA OB =3”是真命 ；
11
(2)逆命 是： 直 l 交抛物 y 2=2x 于 A 、B 两点 ,如果 OA OB =3, 那么 直 点
T(3,0).
uuur uuur
命 是假命 . 例如：取抛物 上的点
A(2,2) ， B( 1
,1)，此 OAgOB =3,
2
直 AB 的方程 ：
y 2
( x 1) ，而 T(3,0) 不在直 AB 上；
3
明：由抛物 y 2=2x 上的点 A (x 1
,y 1)、 B (x 2,y 2) 足 OA OB =3，可得 y 1y 2=－ 6，或 y 1 y 2 =2，
如果 y 1 y 2=－ 6，可 得直 AB
点 (3,0)；
如果 y 1 y 2=2 ，可 得直 AB 点 (－ 1,0),而不 点 (3,0).
26 、(14 分 ) 求出一个数学 的正确 后，将其作 条件之一，提出与原来 有关的新 ，我 把它称 原来 的一个“逆向” .
例如，原来 是“若正四棱 底面 4， 棱 3，求 正四棱 的体 ” . 求出体
16
后，它的一个“逆向” 可以是“若正四棱 底面
4，体
16
，求 棱 ”；
3
3
也可以是“若正四棱 的体
16
，求所有 面面 之和的最小 ”.
3
出 “在平面直角坐 系
xOy 中，求点 P( 2,
1) 到直 3x 4y
0 的距离 .”的一个
有意 的“逆向” ，并解答你所 出的“逆向”
.
分 明：
(ⅰ ) 在本 的解答 程中，如果考生所 的意 不大，那么在 分 准的第二 段所列
6 分
中， 只
2 分，但第三 段所列 4 分由考生 自己所 的解答正确与否而定.
(ⅱ ) 当考生所 出的“逆向” 与所列解答不同，可参照所列 分 准的精神 行 分
.
[ 解 ] 点 ( 2, 1) 到直 3x
4 y 0 的距离
|3 2 4 1|
2 .
?? 4 分
3 2 42
“逆向” 可以是：
(1) 求到直 3x 4 y 0 的距离
2 的点的 迹方程 .
?? 10 分
[解]
所求 迹上任意一点
P( x, y ) ，
| 3x 4 y |
，
5 2
所求 迹 3x 4 y 10 0 或 3x 4y 10 0 .
?? 14 分
(2) 若点 P( 2, 1) 到直 l : ax by 0 的距离
，求直 l 的方程
. ?? 10 分 2
[ 解
]
| 2a b |
2
，化 得 4
ab 3 2
0 ，
b 0 或
4a 3b ，
a 2
b 2
b
所以，直 l 的方程 x
0 或 3x 4y
0 .
?? 14 分
意 不大的“逆向” 可能是：
(3) 点 P( 2, 1) 是不是到直
3x 4 y 0 的距离
2 的一个点？
?? 6 分
[ 解 ] | 3 2 4 1 |
因
2 ，
32
4 2
12
所以点 P( 2, 1 ) 是到直 3x 4 y 0 的距离 2 的一个点 . ?? 10 分(4) 点 Q(1, 1) 是不是到直3x 4 y 0 的距离 2 的一个点？?? 6 分
[解 ] 因|3 1 4 1| 7
，32 42
2
5
所以点 Q(1, 1) 不是到直 3x 4 y 0 的距离2的一个点. ?? 10 分
(5) 点 P( 2, 1) 是不是到直5x 12y 0 的距离 2 的一个点？?? 6 分
[解 ] 因 |5 2 12 1| 22 2 ，
5 2 12 2 13
所以点 P( 2, 1) 不是到直 5x 12 y 0 的距离2的一个点. ?? 10 分
27 、( 14 分 ) 如，在直角坐系xOy 中，
y
C : x 2 y 2 1 (a b 0) 的左右两个焦点
a 2 b2
分 F1、F2 . 右焦点F2且与x 垂直的直l与
x
C 相交，其中一个交点M 2, 1 .
(1)求 C 的方程；
(2)C 的一个点B( 0, b ) ，直 BF2交 C 于另一点 N ，求△ F1 BN 的面.
y
[ 解 ] (1) [ 解法一 ] l x ，F2的坐 2, 0 .??2分
2 1
1, 得 a 2
4,
由意可知 a 2 b2 2 x
a 2
b 2 2, b 2.
所求方程x2 y 2
1 . ?? 6 分4 2
[ 解法二 ] 由定可知
MF1 MF 2 2a . 由意MF 2 1 ，MF1 2a 1. ?? 2 分
又由 Rt △ MF1 F2可知(2a 1) 2 2 2 2
0 ，
1， a
a 2 ，又 a 2 b2 2 ，得 b2 2 . C 的方程x2
y2 1 .??6分4 2
(2)直BF2的方程y x 2 . ?? 8 分
13
y x 2, 2
x 2
y 2
?? 10 分
由
1, 得点 N 的 坐 .
4 2 3
又 F 1 F 2
1
2
2 2 2
8 ?? 14 分
2 2 ，S F BN
.
1
2
3
3
我 把由半
x 2 y 2 1
y 2 x 2
1 ( x ≤ 0) 合成 28（本 分
a 2
b 2 ( x ≥ 0) 与半
2 c 2
18 分）
b
的曲 称作“果 ”，其中
a 2
b 2
c 2 ， a 0 ， b
c 0．
如 ，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相 的焦点，
A 1 ， A 2 和
B 1 ， B 2 分 是“果 ”与
x ， y 的交点．
（1）若 △ F 0 F 1F 2 是
y
1 的等 三角形，求
B 2
“果 ”的方程；
.F
2
b
的取 范 ；
（2）当 A 1 A 2 B 1 B 2
.
，求 a
O
.
x
（3） 接“果 ”上任意两点的 段称 “果 ”
A 1
F 0
A 2
F 1
k ，使斜率 k 的“果 ”
的弦． 研究：是否存在 数
B 1
平行弦的中点 迹 是落在某个 上？若存在，求出所有可能的 k ；若不存在， 明理由．
解：（ 1）
F 0 ( c ，0) ， F 1
0， b 2 c 2 ， F 2 0， b 2 c 2 ，
F 0 F 2
b 2
c 2 c 2 b 1， F 1 F 2
2 b 2
c 2
1 ，
于 是 c
3
， a
b
c
7 ， 所 求 “ 果” 方 程 4 x
y 1 ( x ≥ 0) ，
2
2
2
2
2
2
4
4
7
2
4 2
1 ( x ≤ 0) ．
y
3 x
（2）由 意，得
a c 2
b ，即 a 2
b 2 2b a ．
( 2b)
2
b
2
c
2
a 2
，
a 2
b
2
(2b a) 2
，得
b 4
．
a
5
又 b 2
c
2 a 2
b 2 ,
b 2 1 ．
b
2 4 ．
a 2
2
a
2 ，
5
2
2
2
2
x
y
y
x
（ 3） “果 ” C 的方程 a 2 b 2
1 ( x ≥ 0) ，
b 2
c 2
1 ( x ≤ 0) ．
平行弦的斜率 k ．
当 k
0 ，直 y
t ( b ≤ t ≤ b ) 与半
x 2
y 2 1 ( x ≥ 0) 的交点是
a 2
b 2
P
a 1
t 2
， ，与半 y
2
x 2
1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q
c
1
t 2
， ．
b 2
t
2
2
2
t
b
c
b
x a c
t 2 ,
x 2
y 2
P ， Q 的中点 M ( x ，y ) 足 g 1 2 得
1
．
2 b
a c
2
b 2
y
，
t
2
2
a c 2
b a
c 2b
a 2
b ，
a c
b 2
0 ．
2
2 g 2
上所述，当 k
0 ，“果 ”平行弦的中点 迹 是落在某个 上．
当 k
0 ， 以 k 斜 率B 1
的 直 l 与 半
x
2 y 2
2
2 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是
a
b
2ka 2b
k 2a 2
b b 3
2 a 2
b 2 ， 2
a 2
2
．
k
k b
由此，在直 l 右 ，以 k 斜率的平行弦的中点 迹在直
y
b 2 x 上，即不在某一
ka 2
上．
当 k
0 ，可 似 得到平行弦中点 迹不都在某一 上．
29 在平面直角坐 系 xOy 中，A 、B 分 直 x y
2 与 x 、 y 的交点， C AB 的中点 . 若
抛物 y 2
2 px ( p 0) 点 C ，求焦点 F 到直 AB 的距离 .
[ 解 ] 由已知可得
A( 2, 0), B(0, 2), C (1, 1) ，
?? 3 分
解得抛物 方程
y
2
x . ? 6 分 于是焦点
F
1
, 0 .
?? 9 分
4
1 0 2
4 2
点 F 到直 AB 的距离
7
?? 12 分
2
.
8
30 、( 本 分 18 分 )
已知 z 是 系数方程
x 2 2bx c 0 的虚根， 它在直角坐 平面上
的 点 P z ( Re z, Im z ) .
（ 1）若 ( b, c ) 在直 2x
y 0 上，求 ： P z 在 C 1 ： (x 1)2 y 2 1上；
（ 2） 定 C ： ( x
m) 2
y 2 r 2 （ m 、r
R ， r 0 ）， 存在唯一的 段 s 足：①若 P z
在 C 上，( b, c )在段s上；② 若( b, c )是段s上一点（非端点），P z在C上. 写出段 s 的表达式，并明理由；
（ 3）由（ 2）知段s与C之确定了一种关系，通种关系的研究，填写表一（表中 s1是（1）中 C1的段）.
[ 明 ]（ 1）由意可得2b c 0 ，解方程x2 2bx 2b 0 ，得z b 2b b2 i ，2 分点 P z b, 2b b2 或 P z b, 2b b2 ，
将点 P z代入 C1的方程，等号成立，P z在 C1： (x 1)2 y2 1 上.?? 4 分（ 2） [ 解法一 ] 当0 ，即b2 c ，解得z b c b2 i ，
点 P z b, c b2 或 P z b, c b2 ，
由意可得 ( b m) 2 c b2 r 2 ，整理后得 c 2mb r 2 m2，?? 6 分Q 4 b2 c 0 ， (b m)2 c b2 r 2， b ( m r , m r ) .
段 s ： c 2mb r 2 m2， b [ m r, m r ] .
若 ( b, c ) 是段 s 上一点（非端点），系数方程
x2 2bx 2mb r 2 m2 0, b ( m r , m r ) .
此
0 ，且点P z b, r 2 (b m)2 、 P z b, r 2 (b m)2 在 C 上.??10 分[ 解法二 ]z x yi 是原方程的虚根，( x yi) 2 2b( x yi) c 0 ，
解得x b,
①
由意可得， ( x m)2 y2 r 2 . ③2bx c, ②
y2 x2
解①、②、③ 得 c 2mb r 2 m2 . ?? 6 分以下同解法一 .
[ 解 ]（ 3）表一
段 s 与段 s1的关系m、 r 的取或表达式得分s
所在直平行于s1所在直m 1 ， r 1 12 分
16 s
所在直线平分线段 s1 r 2 ( m 1)2 1 ， m 1 15 分
线段 s 与线段 s1长度相等 1 4m2 r 2 5 18 分
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
近四年上海高考解析几何试题 近四年上海高考解析几何试题一(填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 5221 ( 2005春季7 ) 双曲线的焦距是 . 9x,16y,162 (2005年3) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的A(1,2)P(x,y)xoyOP,OA,4轨迹方程是 __________。解答:设点P的坐标是(x,y)，则由知OP,OA,4 x，2y,4,x，2y,4,0 3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是，，y,,3x10,0 b__________。解答:由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，，y,,3x,310,0a 2y222，因此双曲线的方程是 a,1,b,3x,,1a，b,109 ,,，x12cos,4 (2005年6) 将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 __________。 ,,y,2sin,, 22解答: (x,1)，y,4 2225 (2006春季5) 已知圆和直线. 若圆与直线没l:3x，y，5,0C:(x，5)，y,r(r,0)Cl有公共 r 点，则的取值范围是 . (0,10) 6 (2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐 P(2,1)yxlA、BO标原 点，则三角形面积的最小值为 . 4. OAB 227 (2006年2) 已知圆,4,4，,0的圆心是点P，则点P到直线,,1,0的距离yxxyx
是 ; |201|,,2 解:由已知得圆心为:，由点到直线距离公式得:; P(2,0)d,,211，8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(,2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则3 该椭圆的标准方程是 ; 2b,4, 2,abc,,2,23,2y,,x2解:已知为所 求; ,,,,，,a161,,222164abc,,,,,F(23,0),,, ,5,9 (2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A(4，)，B(5，,)，则?OAB的面积是 ; 36 ,,,55 解:如图?OAB中， ,,，,,,,,OAOBAOB4,5,2(()),366 15, (平方单位); ,,,S45sin5,AOB26 210 (2006年11) 若曲线,||，1与直线,，没有公共点，则、分别应满足的条件yyxkxbkb
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
2（2019黄浦一模）. 双曲线2 2 12 y x -=的渐近线方程为 2（2019奉贤一模）. 双曲线22 13y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =u r ，则u v = 2（2019金山一模）. 抛物线24y x =的准线方程是 2（2019浦东一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标为 3（2019杨浦一模）. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 4（2019静安一模）. 若直线22(273)(9)30a a x a y -++-+=与x 轴平行，则a 的值是 4（2019普陀一模）. 若直线l 经过抛物线2 :4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r ， 则直线l 的方程为 5（2019徐汇一模）. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >） 的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是 6（2019崇明一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 6（2019松江一模）. 已知双曲线标准方程为2 213 x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 7（2019闵行一模）. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离 为 7（2019崇明一模）. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 8（2019虹口一模）. 双曲线22 143 x y -=的焦点到其渐近线的距离为 8（2019奉贤一模）. 椭圆2214x y t +=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 9（2019静安一模）. 以两条直线1:20l x y +=和2:350l x y ++=的交点为圆心，并且与直线315x y ++相切的圆的方程是 12（2019徐汇一模）. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22 :(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分 别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是 椭圆22 194 x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为 12（2019黄浦一模）. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为 3 π 的两条直线，且与圆心 为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l
3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点 P 的轨迹方程为 4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 4（2020宝山二模）. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是 4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22 :1412 x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别 为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为 5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 5（2020青浦二模）. 双曲线22 144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 6（2020金山二模）. 已知双曲线2 221x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实 数a = 7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线 :210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线 (1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为 8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，???，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、???、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞ = 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
新课标立体几何解析几何常考题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= A 1 E D 1 C 1 B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
1．12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ． 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________； 以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3 2 y =1的公共点有_______个. 3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2 =1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 . 4．若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2 1 2 =有两个公共点。则实数a 的范围为 . 5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围 是 . 6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________. 7．经过两圆（x+3）2 +y 2 =13和x+2 （y+3）2 =37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________ 8.双曲线x 2 －y 2 ＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是___________. 9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________. 10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y = x 1 上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线 y =－x +b 的距离等于 2 2 |MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹 12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2 -x y 的最小值为（ ） A.1 B.－1 C.－ 3 23 D.以上都不对 13已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝ 3 π 2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ） A.m =12，n =3 B.m =24，n =6 C.m =6，n = 2 3 D.m =12，n =6 14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12. A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 三、解答题
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019年 1.（2019全国III 理10）双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是 . 3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1， F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ?=uuu r uuu r ，则 C 的离心率为____________． 4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标 原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率 为 A B C ．2 D 5．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 6.（2019天津理5）已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 C.2
2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ． D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．2=± y x D ．2 =±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 A B ．2 C D 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和 2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -=