理论力学第12章-动量矩定理

z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
Lx
Ly
Mx My
mv mv
m m
y vz
z vx
z vy x vz
Lz
M z mv
m x vy y vx
（12-9）
质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的 投影
LO l L O|l L l
M
e O
MO F e
d
dt
MO mv
MO F e MOe
dLO
dt
MO
Fe
M
e O
（12-16）
直角坐标轴投影式：
dLx
dt
Mx
Fe
M
e x
dLy
dt
My
Fe
M
e y
dLz
dt
Mz
Fe
M
e z
（12-17）
结论：质点系对某定点（或某定轴）的动量矩对
证明：设有一刚体，质量为 M ，z 轴通过质心 C ，
z 轴与 z 轴平行且相距为 d ，取 x 、y 轴如图所示。
刚体内任一点 M i 的质量 m i ， 它到 z 轴和 z轴的距离分别为
r i 和 ri 。由转动惯量的定义
知，刚体对于 z轴的转动惯量 可表示为：
z
z
d
ri
ri
C
Mi
O
O
zi
xi
y ( y )
例12-5 高炉运送矿石用的卷场机如图所示，已知
鼓轮的半径为 R ，质量为m 1 ，轮 绕 O 轴转动。小车和矿石总质量
为m 2 ，作用在鼓轮上的力偶矩为 M ，鼓轮对转轴的转动惯量为 J O ，
FN
v
轨道的倾角为q。设绳的质量和各 G
处摩擦均忽略不计，求小车的加
Gn θ G2
Foy M
O
Fox
G1
G n 与FN 相抵消，且：G G2 sinq m2 g sinq
则系统外力对 O 轴的矩为： M e M m2 g sin q R
由质点系对 O 轴的动量矩定理有：
d dt
JO
m2vR
M
m2 g
sinq
R
因为 v , dv a
R dt
a MR m2gR2 sinq
JO m2R2
MO mv
z
mv MO (mv)
O
rM
y
zx
x
y
即：
MO mv r mv
（12-5）
定义：动量 m v 对各直角坐标轴之矩为：
M x = MO mv i
M y = MO mv j
M z = MO mv k
M
M
x y
mv mv
m m
y vz z vx
z x
vy
vz
M z mv m
x vy y vx
（12-6）
质点对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投
影，等于质点对该轴的动量矩。即：
MO mv l MO mv | l Ml mv （12-7）
l 为任意轴上的单位矢量。
12.2.2 质点系的动量矩
质点系对点 O 的动量矩 (Moment of momentum of system of particles)
系统对转轴 O 的动量矩 ：
LO
L1
L2
L3
m1 v r
m2
vr
1 mvr 2
m1
m2
m 2
v
r
12.3 动量矩定理
12.3.1 质点的动量矩定理
动量矩定义：
MO mv r mv
对时间求导数得：
d dt
MO
mv
d dt
r
mv
dr mv r d mv
dt
dt
v mv r d mv
（12-15）
12.3.3 质点系的动量矩定理
对于质点系内各质点，对同一固定点应用动量矩定
理，写出每个质点的动量矩方程，并把作用于质点的力
分解成外力F e 和内力F i ，有：
d
dt
MO
mv
MO
Fe
MO
Fi
全部相加得：
d dt
MO
mv
MO
F
e
MO
F
i
因为
MO F i = 0
dr Or
J z = JO
R 2 r3dr 1 R4
0
2
R
圆盘质量： m R 2
Jz
JO
1 mR2 2
12.1.3 平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于 通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质 量与两轴间距离平方的乘积。
J z' J zC M d 2
（12-4）
12 动量矩定理
12.1 转动惯量、平行轴定理 12.1.1 转动惯量
转动惯量(Moment of inertia)：描述质点系质量分 布的另一个特征量。
刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量
m i 与它到该轴的垂直距离 rzi 的平方的乘积之和，记作 J z。
J z mr 2
（12-1）
12.2 质点和质点系的动量矩
动量矩 (Moment of momentum)：描述质点和质点 系的转动特征。是度量物体机械运动的一种物理量。
12.2.1 质点的动量矩
设质点某瞬时的动量 m v ，对 固定点 O 的矢径为 r 。质点的动量 对固定点O的矩为一矢量，定义为 质点对固定点O 的动量矩 (Moment of momentum of a particle) ，记为 ：
z
Jz , M
Jz
M
2 z
（12-3）
注意：回转半径是在计算物体转动惯量时，假想
地把物体全部质量集中到距轴为回转半径的某一质点 上，且其转动惯量与物体的转动惯量相等。
12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量
y
（1）均质细直杆：
dm mdx l
O x dx l
Ax
O A杆对 z 轴、y 轴的转动惯量为 ：
1 r2 dm 4
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
R4 h4
h
z
4
R2 h2
h
z
2
z
2
d
z
R2
3
h
3 R2 20
h2 10
M 20
3R 2 2h 2
lz mi vi ri mi ri2
刚体对 z 轴的动量矩
L z l z mi ri2 mi ri2
z
Mi mivi ri
所以
L z J z
（12-11）
定轴转动刚体对其转轴的动量矩，等于刚体对其转轴的
转动惯量与角速度之乘积。L z 正负号与正负号相同。
l
例12-3 一复摆以角速度绕 O 轴转动。
l q
BA
l q
B
l
Lz1 2ma0a 2ma20
l
当θ 0时，动量矩为： 因为 L z 1 = L z 2 ，最后得：
Lz2 2ma l sin q 2
a20
a l sin q 2
12.4 刚体绕定轴的转动微分方程
设刚体在主动力 F1 ，F2 ，…，Fn 作用下绕定轴 AB 转动 ，轴承 A，B的反力为 FA x ，FA y 和FB x ，FB y ， FB z。
J z J z1 J z2
O
y
l
z A r