高等数学函数极限连续

第一讲
函数、极限与连续1
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一、 集合及其运算（自己复习）
二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）
实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应
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三、 映射和函数
1、定义4.设 X , Y 是两个非空集合 , 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
(? 1)n ? 1 n
}无限接近于 1 .
?数列极限的通俗定义
当 n 无限增大时，如果数列 {xn}的一般项 xn 无限
接近于常数 a，则称常数 a 是数列 {xn}的极限? 或者称
数列{xn} 收敛于 a，记为
xn ? a (n ? ? )
例如 1? (? 1)n?1 ? 1, n
1 2n
?
0,
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
O
y? x y ? f (x)
x
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5. 初等函数 常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合运 算所构成 的函数 , 称为初等函数.
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内容小结
1. 集合及其运算 2. 实数的完备性和确界存在定理
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
则
称为由① , ②确定的 复合函数 , u 称为中间变量 .
注意: 构成复合函数的条件 R(g) ? D( f ) 不可少.
例如, 函数链 : y ? arcsinu ,
可定义复合函数
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域 , 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件 .
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三角函数，反三角函数 .
?非基本初等函数： 分段函数等 .
例如：1、狄利克雷函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数
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2、取整函数
当
y
? 2? 1
O 12 34 x
3、符号函数
?1, x > 0,
f
?
sgn
x?
? ?
0,
x = 0,
?? ? 1, x < 0.
y 1
O
x
?1
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2. 函数的几种特性
(1) 有界性
(2) 单调性 (3) 奇偶性 (4) 周期性
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) ? C
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3. 复合函数
设有函数链
y ? f (u), u ? D( f )
①
且 R(g) ? D( f ) ②
与之对应 , 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X ? Y.
X
f
Y
y 称为 x 在映射 f 下的像, 记作 y ? f (x).
x 称为 y 在映射 f 下的原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 R( f ) ? f (X) ? ? f (x) x ? X ?称为 f 的 值域 .
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
y ? f (x), x ? D
因变量
自变量
R( f ) ? ? y y ? f (x), x ? D ?
称为值域 .
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? 定义域 使表达式或实际问题有意义的 自变量集合 . 对实际问题 , 书写函数时必须写出定义域；
? 基本初等函数： 常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数,
数列举例 : 2，4，8， ，2n， ；
1，?1，1，?1， ，(-1)n ?1, ；
注：数列 { x n } 可以看作自变量为正整数 n 的函数:
xn ? f (n), n ? N ? .
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
(? 1)n?1 趋势不定
问题: “当n 无限增大时，xn 无限接近于 a.”
如何用数学语言刻画它？
?数列极限的精确定义
设{xn }为一数列 ? 如果存在常数 a, 对于任意给定
的正数 ?，总存在正整数 N , 使得当 n ? N 时? 总有
xn ? a ? ?
成立? 则称常数 a 是数列 {xn} 的极限? 或者称数列 {xn}
注: 元素 x 的像 y 是唯一的 , 但 y 的原像不一定唯一 .
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对映射
若 f ( X ) ? Y , 则称 f 为满射;
X
f Y ? f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射 , 则称 f 为双射 或一一映射 .
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定义5. 设数集 D ? R , 则称映射
4. 反函数
若函数 使
称此映射 f ?1为 f 的反函数 .
为单射 , 则存在一新映射 其中
习惯上, y ? f (x), x ? D 的反函数记成
性质 :
y ? f ?1(x) , x ? f (D)
1) （反函数存在定理） y＝f (x) 严格单调递增 (减),
其反函数
且也严格单调递增 (减) .
3. 函数及其特性 4. 初等函数 .
有界性, 单调性,奇偶性, 周期性, 反函数, 复合函数 .
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四、数列的极限
如果按照某一法则 ,对每一 n ? N ?，对应着一个
确定的实数 x n，则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , ,
这一序列称为 数列, 记为 { x n }， xn 叫做数列的 通项
收敛于 a，记为
lim
n ??
xn
?
a,
或Hale Waihona Puke Baidu
xn ?
a (n ?
? ).
?极限定义的简记形式
lim
n ??
xn ? a?
? ? ? 0, ? N ? N ? , 当 n ?
N 时? xn ? a ? ? .
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
?数列的极限
观察数列 {1? (?1)n?1 }的变化趋势。
n
通过演示实验的观察 :
当
n
无限增大时，{1?