2.2.2椭圆的简单几何性质

B1
思考：
观察上面两个图，说出椭圆
x2 a2
y2 b2
-4
1(a b 0)
有什么特征？你能从图中看出它的范围吗?它具有 怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
椭圆
简单的几何性质
x2 1、范围：由 a 2 ≤1,
y 2 ≤1 得 b2
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
学生活动
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
B2
a
A1
F1 c
b
oc
a
A2
F2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆B1 短轴端点为 圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为 椭圆焦点.
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
x2 y2
x2 y2
1
1
25 y 16
4
25y 4
A1
3
2 1
B2
4 3
B2
A2
A1
F1
2 1
F2 A2
-5 -4 -3 -2 --11 B11 2 3 4 5 x
-2
F1 -3
F2
-4
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
y
（1） MP 1 MF MP d
e
有最小值 （2） MP MF
M1
M
P
F1
F M2 x
分析 MP MF PF
PF MP MF PF
M1 使左边等号成立，M2 使右边等号成立 此式有最大值有最小值
例2 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确定焦点的位置和长轴的位置
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
解：设d是点M到直线l
:
x
25的距5离，根据题意，
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
,
l Md
H
2.已知椭圆 x2 y2 1内有一点 P(1,-1) ，F是椭圆的右
43
焦点，在椭圆上有一点 M，使 |MP|+2|MF|的值最小，求 M 的坐标．
变式：⑴若 1|MP|+|MF|的最小值？
2
⑵ |MP|-|MF|的值最小
(3) |MP|+|MF|的值最小
(4)|MF|的最小值
求距离最值的类型：
过M做MN垂直于左准线，垂足N,若 MN 为
MF1 , MF2 的等比中项，则
MN 2 MF1 MF2
即
( x0
4)2
(2
x0 2
)(2
x0 2
)
得 5 x02 32 x0 48 0
12 x0 4或x0 5
因为椭圆上的点的横坐标x0 [-2,2],故椭圆上 不存在点M,使 MN 为 MF1 , MF2 的等比中项。
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫椭圆的中心.
顶点 离心率
(±a,0)和(0,±b) (±b,0)和(0,±a)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴,|A1A2|=2a, |B1B2|=2b，长半轴长为a,短半轴长为b.
e=c/a（0＜e＜1，且e越小，椭圆越接近圆）
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、
(C) 2 11
(D) 7 11
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆
的离心率是( C )
A 3
B 3
2
C 3
3
D 3
4
3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程是 _3_x_2_-8_x_+_4_y_2_=_0_
例7. 解：
例
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e
c
能否在椭圆x42
y2 3
1
上找到一点M，使M到左
准线的距离为M到两焦点F1 ，F2的距离的等比
中项？若能，求出M的坐标；若不能，说明理由。
解：椭圆上任一点M(x0,y0)到左右焦点的距离分
别为a+ex0,a-e0,且a=2,b= 3 ,c=1,e=1/2.
1
1
MF1 2 2 x0, MF2 2 2 x0
│PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。
焦半径公式 ①焦点在x轴上时：
“左加右减”
│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo； ②焦点在y轴上时：
│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
“上减下加”
1点、（椭-2圆，0）1x的12 距 离y72的比1是上一点到（准B线）x
11 2
与到焦
( A) 2 11 11
(B) 11 2
| |
PF1 PM
| |
e
x0
| PF1 | ( a2
c
)
e
a2 | PF1 | e( x0 c ) ex0 a
| PF2 | 2a | PF1 | 2a (ex0 a) a ex0
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之 间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用 “－”号连接．
M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为(x, y),
y P
M
点P的坐标为(x0, y0 ),
oD
x
由D的坐标为( x0 ,0), 则x
x0 ,
y
y0 . 2
因为点P( x0 ,
y0 )在圆x2
y2
4上，所以x02
y2 0
4
把x0 x, y0 2 y代入方程，得x2 4 y2 4,
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个圆。 相关点
离心率、焦点和顶点坐标
x
2
解：把已知方程化成标准方程
y2
1
52 42
这里， a 5, b 4, c 25 16 3
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
离心率 e c 3 0.6 a5
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
四个顶点坐标是
A1 (5,0), A2 (5,0), B1 (0,4), B2 (0,4)
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225, 即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
解：设 d是M到直线l 的距离，根
据题意，所求轨迹就是集合
I’
y
l
M
P={M|
MF d
c a
}
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
a
a2 b2
b2
1
a2
a2
标准方程
图形
焦点坐标 范围 对称性
三.椭圆的几何性质
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
B2 y
A1 •
• O
•Ax2
B•1
(-c,0)和(c,0)
y2 a2
bx22A2 •1y(a
b
0)
B1 •
•B2
Ox
A1•
(0,-c)和(0,c)
a x a, b y b a y a, b x b
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆
椭圆第二定义
I’ y
l
F’ o F
x
由变式可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1 时，这个点的轨
a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常
数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.
4
法
方法总结
❖ 1.椭圆定义要特别注意条件2a>2c ❖ 2.利用相关点法求动点轨迹时,寻找两个相关
的动点关系是关键 ❖ 3.求出轨迹方程后,检验特殊点是否在轨迹上
是必须要做的一步,判断是否需要去“杂”添 “点”.
小结
1. 椭圆的第二定义 2.焦半径： ①焦点在x轴上时：
│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0； ②焦点在y轴上时：
2、对称性：关于xห้องสมุดไป่ตู้，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
c
焦点F‘(-c.0) 准线方程是
x a2 ,
所以椭圆有两条准线。
c
标准方程 图形
准线
三.椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
B2 y
A1 •
•
A2
O F2 •
B1•
a2 x x
c
x2 b2
y2 a2
1(a
A2 •y
b
0)
B1 • F2 •B2 Ox
A1•
y a2 c
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
设 点P,F(x10(,cy,00)是), 椭F2圆(c,0a)x分22 别by2是2 椭1(a圆的b 左0焦) 上点的、一右焦点, 我们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦 半径、右焦半径.