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高等数学导数与微分ppt资料

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高数导数与微分复习.ppt

高数导数与微分复习.ppt

x( x 2)( x 100) ( x 1)[x( x 2)( x 100)]
故 f (1) 1 (1)(2)(99) 99!
同理可求 f (0)(自己练习)
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3/21
【例2】已知可导函数f (x)表示的曲线在
点(0,1) 处的切线的斜率为1/2 ，求 lim f 2( x) 1
d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
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d(a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
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【教材例2】设 y ln( x e x2 ), 求dy.
16/21
【解】
y
1 2 xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
【例3】 设 y e13x cos x, 求dy. 【解】 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(
x)
2e
x
x
2,
x 0 , 求 f (0) x0
11/21
【分析】 分界点的二阶导数要用二阶导数定义求
f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
为此，须先求f (x)及f (０) ，再用定义计算f (０).
【解】
2x 1, x 0
f ( x) 2e x 1, x 0 f (０)=1 也用导数定义求得
【解】 两边取对数 1 ln y 1 ln x, 即 y ln y x ln x,

《导数与微分》ppt课件

《导数与微分》ppt课件

求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2

《高数四导数与微分》课件

《高数四导数与微分》课件

以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数 展开成泰勒级数，从而可以用简 单的多项式来近似复杂的函数。 这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似 值的误差大小。例如，在求函数 在某一点的近似值时，可以通过 微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导 数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数 为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数 为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其 导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函 数图像上某一点处的切线与x轴正方向 的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的 导数f'(x)表示函数图像上该点处的切 线斜率。具体来说，当函数在某点x处 可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03

高等数学导数与微分ppt

高等数学导数与微分ppt

h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式， 由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如， 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)

导数与微分PPT优秀课件

导数与微分PPT优秀课件
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
前页 后页 结束
三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x

高等数学课件-导数与微分

高等数学课件-导数与微分

1
拐点
2
拐点是函数曲线由一侧凹转为凸或由一
侧凸转为凹的点，可以通过二阶导数的
符号变化来判定。
3
局部极值
函数的局部极值是指在某一区间内的最 大值或最小值，可以通过导数的符号变 化来判定。
最值
函数的最值是指在整个定义域内的最大 值或最小值，可以通过导数和二阶导数 的性质来判定。

最优化问题
1 概念
2 应用
应用
控制系统
微分方程描述了包含导数的方程， 它在自然科学和工程领域中有着 广泛的应用，用于解决实际问题。
各种函数所对应的微分方程可以 用于建立数学模型，从而分析和 预测实际现象，并优化解决方案。
微分方程在控制系统中起着重要 作用，用于描述动态系统的行为， 进行稳定性分析和控制器设计。
函数的极值和拐点
高阶导数
概念
高阶导数描述了函数变化率 的变化率，它们提供了函数 更为详细的局部信息。
计算方法
高阶导数的计算方法是通过 重复对函数进行求导得到的， 每次求导都可以得到一个新 的导函数。
物理解释
高阶导数在物理学中常用于 描述速度、加速度等导数的 变化率的变化率，给出了更 为精确的运动规律。
微分方程
概念
麦克劳林级数是一种通过多 项式逼近函数的方法，可以 将复杂的函数近似为简单的 多项式函数。
泰勒级数
泰勒级数是麦克劳林级数的 推广，可以将函数近似为无 穷多项式的级数形式，更加 灵活和精确。
应用
麦克劳林级数和泰勒级数在 数理科学中有广泛的应用， 例如物理学中对复杂物理现 象的近似计算。
导数的性质和微分运算
最优化问题是指在一定约 束条件下，寻找使目标函 数取得最优值的变量取值。

高数导数与微分 ppt课件

高数导数与微分 ppt课件

(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
ppt课件
9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
ppt课件
10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲 线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性 左极限=右极限=函数值
可导性 左导数=右导数
ppt课件
17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
ppt课件
21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导 数的倒数 例2-21 求 y arcsinx 的导数 例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即

高等数学PPT导数和微分

高等数学PPT导数和微分

它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章

高数导数与微分PPT课件

高数导数与微分PPT课件
例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
第23页/共36页
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例4、设
y
f
(
x
)

大一高数第三章 导数与微分 课件

大一高数第三章 导数与微分 课件

x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
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例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
返回 上页 下页
4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
返回 上页 下页
( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：

f

山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分

山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分
其极限值即为函数f x在点x0处的导数
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00

导数与微分课件

导数与微分课件

导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。

大学高等数学ppt课件第一章1导数与微分

大学高等数学ppt课件第一章1导数与微分
如果
y
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 f (x) 是 区间 I 上的 增函数
如果
x1 x2
x
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
y
f ( x1 )
则 f (x) 是 区间 I 上的 减函数
f ( x2 )
o
x1 x2
y arctan x,
y arccos x,
y arc cot x
反函数 inverse function
设有函数 y f ( x) 是定义在区间D上的单调函数，由其逆映射
f 1 确定的函数
x f 1 ( y) 称为函数 y f ( x) 的反函数
y f 1 ( x), x f (D)
o
x
函数的复合 Composition of functions
引例:已知两个函数 y = sin u 和 u = 2 x ， 把u 代入得 y = sin2x ，
y = sin2x 称为这两个函数的复合函数。再如 y 2u , u ln x y 2ln x
y u , u sin x y f (u), u ( x)
4、函数的复合条件及复合函数的定义域的确定。
| f ( x) | M
（bounded function )。
则 称 f (x) 在 D 上有 界, 或 称 f (x)是有 界函数
如 f ( x) sin x 在（ ， ）内有界 1 f ( x) sin 也是有界函数 x
单调性
在定义域的子区间 I 上任意两点 x 1 和x 2
f (1) 2 1 2

高等数学(导数、微分)详细ppt课件

高等数学(导数、微分)详细ppt课件

.
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0处 量的 在变 点化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度 ★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
.
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的
导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
y
y
yf(x)
o
x
yf(x)
o
x0
x
.
例8 讨论函数f (x)xsin1x, x0, 0, x0
在x0处的连续性与可. 导性
解
sin1 x
是有界函, 数lxim 0xsin1x0
f(0 )lif m (x )0f(x)在 x0处连 . 续
但x在 0处 x 0有 y(0x)sin01x0 sin 1
x23 x2 x5
,
则
它 们 的 导 数 分 别 为 dy 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ， dx
dy 2 dx
=_
__
__
______
__
， dy 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ dx
.
.
4、 设 f(x)x2,则 ff(x)________________； ff(x)_________________.

第2章导数与微分11PPT精品文档168页

第2章导数与微分11PPT精品文档168页

t 0 时，若 v 趋于确定值，该值就是质点 M 在时刻 t0 的瞬时速度 v ，
即： v lim v lim s lim s(t0 t) s(t0 ) （式 1）
t 0
t0 t t0
t
瞬时速度 v 反映了路程函数 s(t) 相对于时间 t 变化的快慢程度。
称瞬时速度 v 为函数 s(t) 相对于自变量 t 的变化率。
形式上只需要将以上定义中的 x0 换成 x 即可，
如： y lim f (x x) f (x) 或 y lim f (x h) f (x)
x0
x
h0
h
有时也简称导数．
④左右导数
在导数定义 lim x x0
f ( x) f ( x0 ) 中，若将 x x x0
x0 改为 x x0
x0 x x0
x
存在，则称函数 y f (x) 在点 x0 处可导，此极限值称为函数 y f (x)
在点 x0 处的导数．记为：
f (x0 ) 、 y
x x0
、 dy dx
、 df (x)
x x0
dx
x x0
★说明
①领域的概念 自变量的变化范围不一定为无穷区间，当自变量的变化
范围限定为某个有限区间时，就需要研究自变量 x 任意 地接近某个定值 x0 时的情况。通常将包含 x0 的开区间
且极限存在，则称此极限为右导数，记为： f(x0 ) ，若改为
x x0 且极限存在，则称此极限为左导数，记为： f(x0 ) ．
因为 x 0 x x0; x 0 x x0 ．
所以可类似得到其它的定义形式。 函数在某点可导当且仅当函数在该点的左右导数存在且相等．
⑤实际意义 由引例，导数的物理意义为：速度为位移函数对时间的导数， 加速度可以表示为速度对时间的导数．
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隐函数求导方法:
两边对 x 求导
(含导数 y 的方程)
例1.
求由方程
ey xye0确定的隐函数的导数
dy dx
.
解: 我们把方程两边分别对 x 求导数, 注意
y = y(x) , 即遇到 y 时要将它看作 x 的函数，得
所以
从而
dy y dx xey
(xey0)
上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程 ey xye0 所确定的隐函数.
达到最高点的时刻 t
v2
,
高度
g
t
v2 g
落地时刻
抛射最远距离
t
2v2
g
例9. 计算由摆线的参数方程
所确定的函数 y = y(x)的二阶导数. 解:
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5 y 4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx dy 121x6
dx 5y4 2
因x=0时y=0, 故
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 y y 0 9
速度的水平分量为
垂直分量为
故抛射体速度大小
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
dy d y dx dx d t d t
o
x
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
垂直分量
速度的方向
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
o
x
v1
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
x(t)
dy (t ) :G(t)
,
可得
dx (t)
d2 y d x2
d (G (t )) dx
d (G(t)) dt
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t )
(t )
上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程 所确定的隐函数.
例5. 求
的导数 .
对
解: 两边取对数 , 化为隐式
数 求
导
法
两边对 x 求导
1 y coxsln x sin x
y
x
yxsixn (co xs ln xsix n ) x
注意:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
1111
x1 x2 x3 x4
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t)0时, 有
d y d y d t dy dx d t dx dt
dx
(t )
d t (t )
(t)0 时, 有
dx dy
dx dt
Байду номын сангаасdt dy
dx dt
dy (t ) d t (t)
(t)(t)(t)(t)
3(t)
x a cos t
例7. 已知椭圆的参数方程为
y
b sin
t
求椭圆在 t π 相应的点处的切线方程. 4
解: 当
时, 椭圆上的相应点 的坐标是:
曲线在 点的切线斜率为:
由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
x f(t)
例如，yt f(t) f(t)
例10. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
当气球高度为 500 m 时, 其速率为 140mmin, 求此时
观察员视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
se c2 d 1 d h
d t 500 d t
第二章 导数与微分
第四节
隐函数和参数方程求导 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 (即写成 y = f (x)的形式).
y
bx x
例6. 求 y
(x1)(x2)
(x3)(x4) 的导数.
可以验证
先两边取对数
ln|u(x)|
u(x)
u(x)
ln y 1 ln x (1)ln x (2) ln x 3 ) ( l( n x 4 )
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x1 x 2 x3 x4
s e2 c1ta2n
已知 dh dt
140, 且h = 500 时, tan1,
h500
故se2c2,
d dt
1 1 140 2 500
(radm / in)
小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘、连 除表示的函数
3. 参数方程求导法
求高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
y
9 x
x2
16 y
y
3 2
3
x2 3
y
3 2
3
4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
另解：从椭圆方程解出 y = f (x)，求在已知点的导数。
例4. 求由方程 xy1siny0所确定的隐函数的二阶
导数
d 2y dx 2
.
2
解: 应用隐函数的求导方法, 得
于是
再对 x 求导, 得
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
课堂练习
1. 设
y(sixn )taxnxx lnx3
2x (2x)2
,求
y.
y1
y2
提示： 分别用对数求导法求 y1 , y2 .
答案:
lnyvlnu
1 y
y
vlnu
u v u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuv vuv1 u
或者将 y uv 化为指数函数 y evlnu再求导.
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln
y
x
ln
a b
a[l n bl nx]b[lnxlna]
两边对 x 求导
y ln a a b
,且
f(t)0,
求
d d
2y x2
.
解: d y dy / dt
d x dx/dt
t f(t)
t,
f (t)
d2 y 1
d x2 f (t)
再例，
求
d d
2y x2
.
解: d y 1 ; dx t
d2 y d x2
1
t2
t
1 t3
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小.

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