初高中天衣无缝衔接教程（2020版）
专题10圆 本专题在初中、高中扮演的角色
平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破. 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.
常用的结论包括：
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 高中必备知识点1：直线与圆的位置关系
设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d
r 时，直线和圆相离，如圆O 与直线1l ；当圆心到直线的距离d r 时，直线和圆相切，如圆O 与直线2l ；当圆心到直
线的距离d r 时，直线和圆相交，如圆O 与直线3l .
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 3.3-2，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2
AB r d .
当直线与圆相切时，如图3.3-3，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在Rt POA 中，222PO PA OA =+.
如图 3.3-4，PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得PAT
PTB ，因而
2PT PA PB =?.
典型考题
【典型例题】
在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
【变式训练】
在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，已知点．
请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；
，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．
高中必备知识点2：点的轨迹
它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
典型考题
【典型例题】
如图，点，将绕点旋转得到.
（1）请在图中画出，并写出点的坐标；
（2）求旋转过程中点的轨迹长.
【变式训练】
阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则
|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是；
（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．
【能力提升】
在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足（m，m﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即
点P 的轨迹就是直线y=x ﹣1．
（1）若m 、n 满足等式mn ﹣m=6，则（m ，n ﹣1）在平面直角坐标系xOy
中的轨迹是
； （2）若点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P 的轨迹；
（3）若抛物线y=
上有两动点M 、N 满足MN=a （a 为常数，且a≥4），设线段MN 的中点为Q ，求点Q
到x 轴的最短距离． 专题验收测试题
1．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作O 与直线BD 相切，点P 是O 上一
个东点，连接AP 交BD 于点T ，则AP
AT 的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．23
D ．27
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、点B （0，1+t ）、C （0，1﹣t ）（t ＞0），点P 在以D （3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t 的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．如图，AB 是半圆O 的直径，4AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为（ ）
A．23B．22C．2D．33
4．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）
A．1 B．2 C．2D．3
5．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若
3
5
DE
CE
，则tan∠B的值是（
）
A．1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD 为O 的直径，弦
AB CD ⊥，垂足为点E ，2CE =寸，8AB =寸，求直径CD 的长？”依题意CD 的长为（ ）
A ．6寸
B ．8寸
C ．10寸
D ．12寸
8．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122
y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（ ）
A ．229m n +=
B ．223922m n -????+= ? ?????
C ．()()222323m n ++=
D ．()222349m n ++= 9．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，且BC 平分ABD ∠，AD 分别与BC ，OC 相交于点
E ，
F ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A ．OC BD
B ．AD O
C ⊥ C ．CEF BE
D ??? D ．AF FD =
10．如图，在矩形ABCD 中，AD AB <，9AD =，12AB =，则ACD ?内切圆的半径是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．如图，A 为O 外一点，AB 与O 相切于B 点，点P 是O 上的一个动点，若5,12OB AB ==，则AP 的最小值为（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．13
12．如图，四边形ABCD 内接于O ，AH BC ⊥交CB 的延长线于点H ，若BA 平分DBH ∠，5AD =，4CH =，则AH =（ ）
A ．2.5
B ．22
C ．3
D ．313．如图，点A 、B 、C 、D 都在O 上，AB AC =，D 为O 上的一点，67.5ABC ODC ∠=∠=?，CO 的延长线交AB 于P ，若2CD =，则BP 的值为（ ）
A．2 B．22C．23D．4
14．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）
A．6πB．3πC．πD．2π
15．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
16．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在BC上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（）
A．160°B．140°C．120°D．100°
17．如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与P A相切时，圆心O平移的距离为_____cm．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0），点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，OC 长为_____．
19．如图，△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D 为边AB 上一动点（不与A 、B 重合），⊙D 与BC 切于E 点，E 点关于CD 的对称点F 在△ABC 的一边上，则BD=______．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作⊙O ，连接BD 交⊙O 于点E ，则AE 的最小值为________________．
21．在ABC ?中，445,tanC 3
B ∠==
，8AB =，则该三角形的内切圆半径为_________． 22．如图，以点O 为圆心，半径为2的圆与k y x =的图像交于点A B ，，若30AOB ?∠=，则k 的值为_______．
23．如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=?，则O 的半径为____．
24．如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形O AB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆
锥的底面半径为r2
，则
1
2
r
r的值为
______．
25．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P．
（1）求证：PC=PE；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，AD＝2，AE＝5
2
，求PC的长．
26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=4
5
，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+(k-1)x-k(k＞0)与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k 使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（2，﹣1），与x轴交于A，B两点，OA=3；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数y＝﹣x+3图象交x轴于点A，交y轴于点D，连结AC、BD，在x轴上有一点Q，使△AQC 与△ABD相似，求出点Q坐标；
（3）如图2，在直线y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°？若存在，请直接写出此时
k 的值；若不存在，请说明理由．
29．如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF 和AD ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，∠EAC ＝60°，求AD 的长．
30．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ．
（1）点C 为优弧AB 上一点，若70APB ∠=?，求ACB ∠的度数；
（2）连接AB ，作O 的直径AD ，若8AB =，3tan 4
BAD ∠=．求PA 的长．
第一讲 数与式 1、 绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。 ②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。 ③2 2 ()()()()f x g x f x g x >?>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ． 例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|
（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式 （1）平方差公式 22 ()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222 ()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233 ()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233 ()()a b a ab b a b -++=- （5）三数和平方公式 2222 ()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223 ()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223 ()33a b a a b ab b -=-+- 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2 －3x ＋2； （2）2 672x x ++ （3）22 ()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法 例2.分解因式： （1）()()b a b a -+-552 （2）32 933x x x +++ 3．公式法 例3.分解因式： （1）164 +-a （2）()()2 2 23y x y x --+ 4．分组分解法 例4.（1）x y xy x 332 -+- （2）2 2 2456x xy y x y +--+-
初升高数学衔接班测试题 （满分： 100 分，时间： 120 分钟） 姓名成绩 一．选择题（每小题 3 分） 1．若2 x25x 2 0 ，则4x 24x 1 2 x 2 等于（） A. 4x 5 B. 3 C. 3 D. 5 4x 2. 已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0 的解集为x | x1或 x 3}，则关于 x 的不等式bx2cx40 的解集为（） A. x | x2或 x1} B. x | x 1 或 x 2} 22 C. { x |1x 2} D. x | 2 x1} 22 3. 化简12的结果为（） 2131 A 、32B、32C、2 2 3D、322 4. 若0＜a＜1,则不等式（x－a）( x－1 )＜0的解为（） a A.x | a x1； B.x |1x a； a a
C.x | x a或 x 1 ； D. a 5. 方程 x2－4│x│+3=0 的解是( )x | x 1 或 x a a =±1或 x=±3 =1和x=3=－1或x=－3 D.无实数根 6．已知(a b)27 , ( a b) 23,则 a 2b2与ab的值分别是（） A. 4,1 B.2, 3 C.5,1 D.10, 2 3 2 7.已知y 2x2的图像时抛物线，若抛物线不动，把X轴，Y轴分别向上， 向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 （） A. y2(x 2) 22 B.y 2( x 2) 22 C. y2(x 2) 22 D.y 2( x 2) 22 8. 已知2 x23x 0 ，则函数 f ( x ) x 2x 1 （） A. 有最小值3 ，但无最大值； B.有最小值3，有最44 大值 1； C. 有最小值1，有最大值19 ； D.无最小值，也无最4 大值 .
初升高数学衔接讲义 前言 【数学科是什么？】 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。 【初中数学与高中数学学习方法上有什么变化？】初中：学 习? 模仿； 高中：学习? 模仿? 自主探究。 ⑴知识量的差异。 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。 量的剧增，要求有较高的自学能力。初中有时间进行反复多次的练习，而高中，课程都在加深，一天的时间又不会加长，集中学习的时间相对比初中少，需要学生自主学习。 ⑵模彷与创新的区别。初中学生多是模彷做题，模彷老师思维推理较多，而高中，随着知识的难度加大 和知识面的广泛，学生不能全部模彷，需要整合创新。 ⑶学生自学能力的差异。 高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。 ⑷思维习惯上的差异。思维习惯上的差异。初中知识范围小，层次低，知识面窄，思维受局限，高中知 识的多元化和广泛性，要求学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。如从二维空间到三维空间的思想转化， 个别学生难理解。 ⑸定量与变量的差异。初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。 学生在分析问题 时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在 高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论、化归思想）
初升高衔接数学测试题 姓名： 成绩： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．052322=--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．已知全集U=R ，集合A={x|1≤x<7}，B={x|x2-7x+10<0}，则A∩(?RB) = ( ) A ．(1,2)∪(5,7) B ．[1,2]∪[5,7) C ．(1,2)∪(5,7] D ．(1,2]∪(5,7) 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、32 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2－6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 图2 O A B M 图 3
9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1 AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的 面积是______. 17. x 6 (x 2 －y 2 )＋y 6 (y 2 －x 2 )= 18．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 三．解答题 19．（6分） 计算： （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图5 图7 图6 12题图
初升高，是学生一个升学阶段，告别初中生活，正式成为高中的一员。 那么初中和高中数学有哪些方面的不同呢？我们要如何为高中的学习打好一个基础？ 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 思维方法向理性层次跃迁。高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套
路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需逐步形成辩证型思维。 知识内容的整体数量剧增。高中数学与初中数学又一个明显的不是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求： 第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识； 第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中； 第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体
初高中天衣无缝衔接教程（2020版） 专题13初高中衔接综合测试A 卷 1．某农业大镇2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．2 1. 2(1) 1.6x += B ．2 1. 6(1) 1.2x -= C ． 1. 2(12) 1.6x += D ．( )2 1.21 1.6x += 【答案】A 【解析】 解：由题意知，葡萄总产量的年平均增长率为x ， 根据“2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨”可得：2 1.2(1) 1.6x +=． 故选：A ． 2．下列四个选项中，可以表示21 11 x x x -++的计算结果的选项是（ ） A ．2 1x - B ．1x - C ．()2 1x - D ．( )2 11 x x -+ 【答案】B 【解析】 解：2211(1)(1) 11111 x x x x x x x x x -+--===-++++ 故选：B. 3．若分式242 x x --的值为0，则x 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．﹣2 D ．4 【答案】C 【解析】 解：由题意可得：240x -=且20x -≠， 解得：2x =- 故选C.
4．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（） A．5 B．7 C．8 D．13 2 【答案】B 【解析】 作CH⊥AB于H，如图． ∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形， ∴CH= 3 2 AB=43，AH=BH=4． ∵PB=3，∴HP=1． 在Rt△CHP中，CP=22 (43)1 =7． ∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上， ∴当点A′在PC上时，CA′的值最小， ∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB， ∴∠APQ=∠CQP， ∴∠CQP=∠CPQ， ∴CQ=CP=7． 故选B．
初升高数学衔接班测试题 （满分：100分，时间：120分钟） 姓名___________ 成绩_____________________________ 一.选择题（每小题3分） 1. 若2x25x 2 0，贝卩.4x24x 1 2x 2 等于（） A.4x 5 B. 3 C. 3 D.5 4x 2. 已知关于x不等式2x2+ bx—c>0的解集为x|x 1或x 3｝，则关 于x的不等式bx2 cx 4 0的解集为（） A. x | x2或x -} B. x| x —或x 2} 22 C.{x| -x2} 1 D. x | 2 x } 22 3.化简12的结果为（) 2 1 3 1 A、■ 3.2 B 、 3 、2 C 、 2 2 3 D 、 3 2、2 4.若O v a v 1,则不等式（x—a）（x—丄）v0的解为（） a xl 1
C. x | x a 或 x 1 a ； D. x | x 1 或 x a a 5.方程 x 2—4 x +3=0的解是() =±1 或 x=± 3 =1 和 x=3 = —1 或 x= — 3 D. 无实数 根 6.已知(a b)2 7 ,(a b)2 3,则 a 2 b 2与ab 的值分别是( ) A. 4,1 B. 2, 3 C. 2 5,1 D. 10,2 2 7.已知y 2x 2的图像时抛物线，若抛物线不动，把 X 轴，Y 轴分别向 大值1； 大值. 上, 向右平移 2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 A. y 2(x 2)2 B. 2(x 2)2 2 C. y 2(x 2)2 D. 2(x 2 2)2 2 8.已知 2x 2 3x 0，则函数f(x) x 2 A.有最小值4 但无最大值; B. 有最小值寸，有最 C.有最小值1 ，有最大值 19 ； D. 无最小值，也无最
初升高衔接数学测试 （总分100分，时间90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 2 1. 一元二次方程x +x-2=0的根的情况是（ ） 3.若关于x 的多项式x 2 — px —6含有因式x - 3,则实数p 的值为 ( )? A . — 5 4.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水过程 中，水面高 度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中 OAB （为一折线），则这 个容器的形状为（ ）. （A ）有两个不相等的实数 根 （B ）有两个相等的实数根 2.已知xyz 0，则」 x y y| 的值不可能为（ (A) 1 ( B) 0 (C ) 3 (D) — 1
5.不等式x34x25x 2 0的解集是（） A. x 2 B. x 2 C. 1 x 2 D. x 1 6. 如图，在边长为2的菱形ABC冲，/ A=60°, M是AD边的中点， N是AB边上的一动点，将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ A MN则A C长度的最小值是（） D C A. 7 B. .7 1 C. 2 D. 7. 已知某三角形的三边长分别为6, 8, 6,则该三角形的内接圆半径 为（） A. 6 B.诗 C. 5 D. 8. 如图7所示，P是等腰直角△ ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP，已知 / AP B=135, P‘ A: P‘ C=1: 3,贝S P A: PB=[]
C. 31/2: 2; D. 1: 31/2。 9. 如果关于x 的不等式组：；：：0，的整数解仅有1,2’那么适合 这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对［a ，b ］共有（） 个。 10.设X, , X 2是一元二次方程X 2 3x 2 0的两个实数根，则X i 2 3x 1X 2 X 22 的值为（）. A. 7 二、填空题（每题4分，共20 分） 11.若X , y 为实数，且X 2 y 3 0,则（X y ）2010的值为 将菱形纸片ABC ［折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心 O EF 若菱形 ABCD 的 边长为 2cm,/ A=120 °,贝 S EF =12.如图, 处，折痕为 cm . D B D
第一讲数与式 1、绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 a,a0, | a | 0,a0, a, a0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。 ② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。 ③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例 1.求不等式3x 5 4 的解集 例 2. 求不等式2x 1 5的解集 例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集 例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．
例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x． 例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围． 练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）x 1 x 3 ＞4+x （2） | x+1|<| x－2| （3） | x－ 1|+|2 x+1|<4 （4）3x 2 7 (5)5x 7 8 3、因式分解 乘法公式 （ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2 （ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2 （ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac) 33223
1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 1．填空： （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 练 习 1．填空： （1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若212 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116 m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
初升高数学衔接班第3讲 高中数学入门（三） 重、难点 不等式的性质 【典型例题】 [例1] 29.0=a ，?=46tan b ，?-?=44cos 44sin c ，试比较a 、b 、c 大小。 解：b a c <<<<10 ∴ c a b >> [例2] 比较2、33、55的大小。 解：∵ 8)2(6= 9)3(63= ∴ 332< ∵ 32)2(10= 25)5(105= ∴ 552> ∴ 35325<< [例3] 设50≤c ，且c b a a 222+=-和322-=+c b a 同时成立，试比较 a 、 b 、 c 大小。 解：易知03242>--=a a b ，故1-a ∴ 53≤--=-a a a c ，a c > 012)3(442<--=-a a b ∴ b a c >> [例4] 已知1)1(22+<+m a 对任意实数m 都成立，求a 的取值范围。 解：∵ 12+m 的最小值为1 ∴ 1)1(2<+a ，2 1->0 ② b a >>0 ③ b a >>0 ④ 0>>b a 问其中哪些条件可以推出结论 b a 11<？ 解：①、②、④ [例6] 解不等式：m x ≥+1（m 为字母系数） 解： （1）0≤m 时，只须01≥+x ，1-≥x （2）0>m 时，有???≥+≥+2101m x x ∴ 12-≥m x 【模拟试题】 1. 比较大小：?=89sin a ，?=45tan b ，? =1cos 1c 2. 已知a x ≤对任意43≤≤-x 都成立，求a 的取值范围。 3. 解关于x 的不等式：a x ≥-12（a 为系数） 4. 解不等式① 011<+-x x ② 03>+x x
初升高衔接班考试题 考生姓名___________ 考试得分___________ 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.不等式31<+x 的解为(C) .A 2
10.已知z y x ,,为非零实数,代数式xyz xyz z z y y x x +++的值所组成的集合是,M 则下列 判断正确的是(D) .A M ?0 .B M ∈2 .C M ?-4 .D M ∈4 二、填空题(每小题5分,共25分) 11.若),0(012722≠=+-y y xy x 则 y x x +的值为(5443或) 12.等腰ABC ?中AB BC ,8,=和AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根,则m 的值为(2516或) 13.对任意实数,x 都有012>++ax ax 恒成立,则实数a 的取值范围是(40<≤a ) 14.下列关系中正确的是(②) ①}{;0∈φ②}{;0≠ ?φ③}{}{;)1,0(1,0?④}{}{.),(),(a b b a = 15.函数2,1x x +中最大函数的最小值为(2 51-) 三、解答题(共75分) 16.(本小题满分12分)设,0,0=++≠c b a abc 求)11()11()11 (b a c c a b c b a +++++的值.(3-) 17.(本小题满分12分)解方程组.12 521???? ?=-=-+ +y x y x (???==315 y x ) 18.(本小题满分12分)设y x ,是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根,求 22)1()1(-+-y x 的最小值.(8) 19.(本小题满分12分)已知集合}{,4,433,2-22-+-+=x x x x M 若,2M ∈求.x (23或-) 20.(本小题满分13分)设三个实数a 、b 、c 满足,1,4 2-=++=c b a ac b 求b 的范围. (3 15 1≤≤-b ) 21.(本小题满分14分)求函数)11(12)(2≤≤-+-=x ax x x f 的最大值和最小值. ①;22)1()(,22)1()(:1max min a f x f a f x f a -==+=-=-< ②;22)1()(,1)()(:01max 2min a f x f a a f x f a -==-==≤≤-
初升高数学衔接知识专题讲义1 【典型例题】 [例1] 判断对错： 1. 坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ） 2. 横坐标为0的点在x 轴上（ ） 3. 纵坐标小于0的点一定在x 轴下方（ ） 4. 到x 轴、y 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） 5. 若直线l //x 轴，则l 上的点横坐标一定相同（ ） [例2] 已知函数x y 6=与函数3+=kx y 的图象交于点),(11y x A ，),(22y x B 且52 221=+x x ，求k 值及A 、B 的坐标。 [例3] 在函数)0(>= k x k y 的图象上有三点：),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，已知3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） A. 321y y y << B. 130y y << C. 312y y y << D. 213y y y << [例4] 比较大小：2 x 2 1- x [例5] 以矩形ABCD 的顶点A 为圆心作⊙A ，要使B 、C 、D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一个点在⊙A 外，如果12=BC ，5=CD ，则⊙A 的半径r 的取值范围为 。 [例6] 函数x x y 3 2+= （x 为整数）的最小值为 。 【模拟试题】 一. 选择题 A B C D
1. 在函数x y 2= ，2 x y =和5+=x y 的图象中，是中心对称图形且对称中心是原点的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知点)8,3(-在反比例函数)0(≠= k x k y 的图象上，那么下列各点中在此函数图象上的是（ ） A. )8,3( B. )6,4( C. )6,4(- D. )8,3(-- 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 同圆或等圆的半径相等 C. 圆中的最大的弦是直径 D. 一个圆只有一条直径 4. 用a 、d 分别表示圆的弦和直径的长，则它们的关系是（ ） A. 0>>a d B. 0≠=a d C. a d <<0 D. 0>≥a d 5. 线段AB=5cm ，在以AB 为直径的圆上，到AB 的距离为2.5cm 的点有（ ）个。 A. 无数个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 已知⊙O 的圆心在坐标原点，半径为33，又A 点坐标为)3,4(，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A. A 点在⊙O 上 B. 点A 在⊙O 内 C. A 点在⊙O 外 D. 点A 在x 轴上 二. 填空题： 7. 若点M （2-a ，1+b ）与点N （52+a ，b 23+）关于y 轴对称，则=a ，=b 。 8. 已知点P （52-m ，43+m ）在第一、三象限的角平分线上，则=m 。 9. 若ABC ?的各顶点坐标为A （3-，2），B （2，2），C （1，1-），则ABC ?的面积为 。 10. 已知矩形ABCD 的顶点A （0，0），B （0，2-），D （3-，0），则点C 的坐标为 。 初升高数学衔接知识专题讲义2 【典型例题】 一、因式分解： 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． D
初升高数学衔接班试题 一、选择题： 1．若12,x x 是方程2 2630x x -+=的两个根，则 12 11 x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ． 12 D ． 92 2．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2 4b ac ?=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系 是( ) A ．M ?= B ．M ?> C ．M ?< D ．大小关系不能确定 3．函数y kx m =+与(0)m y m x = ≠在同一坐标系内的图象可以是（ ） x y O A ． x y O B ． x y O C ． x y O D ． 4.函数y ＝－x 2 ＋4x ＋6的最值情况是 （ ） （A ）有最大值6 （B ）有最小值6 （C ）有最大值10 （D ）有最大值2 5.函数y ＝2x 2 ＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ） （A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1 （C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜11 二、填空题： 1．（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C （2，4），则该二次函数的表达式为 ． （2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 2.设12,x x 是方程2 0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ， q = _ ____ ． 3．已知实数,,a b c 满足2 6,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ． 4．抛物线2 (4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在 x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 5．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 三、计算题： 1． 解不等式 （1）327x x ++-< (2) 2 20x x +<
初升高暑假数学衔接教材(含答案)
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初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、
初升高中衔接教程 数学 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接
前言 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！
一、选择题： 1．若12,x x 是方程2 2630x x -+=的两个根，则12 11 x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ． 12 D ． 92 2．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2 4b ac ?=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系 是( ) A ．M ?= B ．M ?> C ．M ?< D ．大小关系不能确定 3．函数y kx m =+与(0)m y m x = ≠在同一坐标系内的图象可以是（ ） x A ． x B ． x C ． x D ． 4.函数y ＝－x 2＋4x ＋6 的最值情况是 （ ） （A ）有最大值6 （B ）有最小值6 （C ）有最大值10 （D ）有最大值2 5.函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ） （A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1 （C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜11 二、填空题： 1．（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C （2，4），则该二次函数的表达式为 ． （2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 2.设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2 0x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ， q = _ ____ ． 3．已知实数,,a b c 满足2 6,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ． 4．抛物线2 (4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 5．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 三、计算题： 1． 解不等式 （1）327x x ++-< (2) 2 20x x +< (3) (9)3(3)x x x +>- (4) 231x x x -+≥+