二次根式的知识点汇总
知识点一: 二次根式的概念
形如
（
)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根,所以是
为二次根式的前提条件，如
,
,
等是二
次根式，而
,
等都不是二次根式。
例1.下列式子,
、
ｘ＞0）
、
、
（x ≥0，y
≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件:；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当ａ≧0时，有意义,是二次根式,
所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 ２、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,
没有意义。
例2.当x 在实数范围内有意义？
例3＋
在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式
（)的非负性
(
)表示a 的算术平方根,也就是说,
(
）是一个非负数,即
0(
）。
注:因为二次根式（
）表示ａ的算术平方根,而正数的算术平方根是正数，０的算术平方根
1
x
1
x y
+1
1
x +
是0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数,即
0(
）,这个性质也就是非负数的算
术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，
则a=０,b=０；若
，则a=0,b ＝0；若
,则ａ＝0,ｂ＝0。
例4(１)
+5，求
的值．(2)
０,求a 200４+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质1
(
） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（)
是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以
反过来应用：若,则，如:，
.
例
1 计算
1.）2
2.2
3.２ ４.（）
2
例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x ２-3 （2)ｘ4-4 (３） ２x 2－3
知识点五:二次根式的性质2
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或０,则等于a 本身,
x
y
2
即；若ａ是负数，则等于a的相反数－a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时,先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（1
（
(3
(4
例2 填空：当a≥
0＿；当ａ＜0
＿__，
并根据这一性质回答下列问题.
（1)
a,则a可以是什么数?（2)
a,则a是什么数？
（３，则ａ是什么数？
例３当x>2,
.
知识点六:与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数ａ的算术平方根的平方,而
表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中ａ可以是正实数，０,负实数。
但与都是非负数,即，。因而它的运算的结果是有差别的,
,而
2、相同点:当被开方数都是非负数，即时,＝；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除
1、＝（ａ≥0，b≥0）反过来＝·(a≥0，b≥0)
2
（a ≥0，b>0) （a ≥0，b>0) (思考:b 的取值与a 相同吗?为什么?不相同，因为b 在分母,所以不能为0) 例１.计算
（
2
(4
例
2 化简
(１
(2
( （４
例
3．判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正
:
(1
(2
=4
=
=4
例4．计算:（1
（3
例5
．化简：
(1
（
（
例6.
，且ｘ为偶数，求(1＋
的值．
３、最简二次根式应满足的条件:
(1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； (２）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记２0以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分
==
解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2（或２的倍数)，若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件，就不是最简二次根式)
例1.把下列二次根式化为最简二次根式（１) ; (2) ; （３)
４、化简最简二次根式的方法:
(1） 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式； (2） 化去根号内的分母(或分母中的根号）,即分母有理化;
(３) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要
带绝对值，注意符号问题) 5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与; ②
与
;
③
与
; ④
与
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式：被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必
将各个根式都化为最简二次根式。如
知识点八
:二次根式的加减
1、
二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(
即同类二次根式）进行合并。(合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变）,
不能合并的直接抄下来。
例1.
（
例
2．计算
（1）
-9
（２）
