四种命题四种命题间相互关系
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四种命题四种命题间的相互关系
1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)
3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)
教材整理1 四种命题
阅读教材P4~P6,完成下列问题.
1.四种命题的概念
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
2.四种命题的形式
原命题:若p,则q.
逆命题:若q,则p.
否命题:若﹁p,则﹁q.
逆否命题:若﹁q,则﹁p.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有的命题没有逆命题.()
(2)四种命题中,原命题是固定的.()
(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.()
解:(1)只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故(1)错.
(2)四种命题中原命题具有相对性,故(2)错.
(3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故(3)错.
答案:(1)×(2)×(3)×
教材整理2 四种命题间的相互关系
阅读教材P6~P8,完成下列问题.
1.四种命题之间的相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题都没有.()
(2)两个互逆命题的真假性相同.()
(3)命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数有3个.()
解:(1)若原命题为假命题,则其逆否命题为假命题,逆命题和否命题可都为假命题,故(1)对.
(2)两个互逆命题的真假性无关,故(2)错.
(3)原命题和逆否命题正确,否命题和逆命题错误,故(3)错.
答案:(1)√(2)×(3)×
小组合作探究
四种命题的概念
例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题:
(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;
(2)如果x>10,那么x>0;
(3)当x=2时,x2+x-6=0.
根据四种命题的结构写出所求命题.
自主解答:(1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线;
否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面;逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线.
(2)逆命题:如果x>0,那么x>10;
否命题:如果x≤10,那么x≤0;
逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.
(3)逆命题:如果x2+x-6=0,那么x=2;
否命题:如果x≠2,那么x2+x-6≠0;
逆否命题:如果x2+x-6≠0,那么x≠2.
1.写出一个命题的其他三种命题的步骤
(1)分析命题的条件和结论;
(2)将命题写成“若p,则q”的形式;
(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.
注意:如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.
2.常见词语的否定
[再练一题]
1.(1)命题“若m>n,则m-1>n-2”的逆否命题为________.
(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题:
①正数的平方根不等于0;
②若x2+y2=0(x,y∈R),则x,y全为0.
解:(1)若m-1≤n-2,则m≤n.
(2)①逆命题:若一个数的平方根不等于0,则这个数是正数;
否命题:若一个数不是正数,则这个数的平方根等于0;
逆否命题:若一个数的平方根等于0,则这个数不是正数.
②逆命题:若x,y全为0,则x2+y2=0(x,y∈R);
否命题:若x2+y2≠0(x,y∈R),则x,y不全为0;
逆否命题:若x,y不全为0,则x2+y2≠0(x,y∈R).
四种命题真假的判断
例2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假:
(1)正偶数不是素数;
(2)平行于同一条直线的两条直线平行.
把命题改写成“若p,则q”的形式→
依据定义写出
另外三种命题→判断真假
自主解答:(1)原命题:若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题;
逆命题:若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题;
否命题:若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题;
逆否命题:若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题.
(2)原命题:若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题.
逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题.
否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题.
逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.
在判断一个命题的真假时,可以有两种方法:一是分清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断;二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.
[再练一题]
2.下列命题:
①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.
其中是真命题的是________.
解:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.
答案:①②③
探究共同研讨
等价命题的应用
探究1我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办?
【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
探究2根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假,是哪种证明方法的理论基础?
【提示】是反证法的理论基础.
例3判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.
法一:分析已知命题→写出逆否命题→利用Δ求a的范围→判断命题真假
法二:判断原命题真假→判断逆否命题真假
【自主解答】法一:原命题的逆否命题:
已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
真假判断如下:
∵抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,
若a<1,则4a-7<0.
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
故原命题的逆否命题为真.
法二:先判断原命题的真假.
因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥7
4.
因为a≥7
,所以a≥1,所以原命题为真.
4
又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.
这种问题的解决通常有两种方法:一是直接法,先写出逆否命题,后判断,如法一;二是间接法,不写逆否命题,从判断原命题的真假证明逆否命题的真假,如法二.
[再练一题]
3.证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-
a)+f(-b),则a+b≥0.
解:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,
则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).”
∵当a+b<0时,a<-b,b<-a,
又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.
1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是()
A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数”
B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数”
D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数”
解:若原命题记作“若p,则q”,则A为“若p,则﹁q”;B为“若q,则p”;C为“若﹁p,则﹁q”;D为“若﹁q,则﹁p”.故B正确.
答案:B
2.命题“如果x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()
A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤-1
B.如果-1<x<1,则x2<1
C.如果x>1或x<-1,则x2>1
D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥1
解:“-1<x<1”的含义是“x>-1且x<1”,故“-1<x<1”的否定是“x≥1或x≤-1”,故选D.
答案:D
3.已知命题:“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解:由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,为假命题,所以否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个数为2.
答案:B
4.有下列四个命题:
①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;
④命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号).
解:④中由A∩B=B,应该得出B⊆A,原命题为假命题,所以逆否命题为假命题. 答案:①②③
5.判断命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.
解:(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为b≤-1,所以Δ≥4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.。