二阶微分方程
1 可降阶的二阶微分方程 一、 形如
()y f x ''= （6.7） 型的微分方程
形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。 【例题1】
求微分方程21sin 2
x
y e x ''=
- 的通解. 解 对所给方程接连积分二次, 得
211cos 4x
y e x C '=
++, 21211
sin 82x y e x C x C =+++,
这就是方程的通解.
【例题2】
质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t
函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为
)(22
t F dt
x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时,
F (T )=0, 从而
)1()(0T
t F t F -=.
于是质点运动的微分方程又写为
)
1(022T t m F dt
x d -=, 其初始条件为0|0==t x ,
0|0
==t dt dx .
把微分方程两边积分, 得
120)2(C
T
t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得
213
20)621(C t C T
t t m F x ++-=.
由初始条件x|t =0=0, 0|0
==t dt dx ,
得
120c c ==
于是所求质点的运动规律为
)621(3
20T
t t m F x -=, 0≤t ≤T .
二、形如
(,)y f x y ''=' （6.8） 型的微分方程。
形如（6.8）式的微分方程特点是右端不含有y 。若设
y p '=
则方程化为
(,)p f x p '=
这是自变量为x 、未知函数为()p p x =的一阶微分方程。因此可用上一节的方法求解。而后通过积分求出y 的表达式。
【例题3】
求微分方程
2(1)x y xy +''=2'
满足初始条件01x y ==，03x y ='=的特解.
解 所给方程是（6.8）型的. 设y p '= 代入方程并分离变量后, 有
dx x x
p dp 2
12+=. 两边积分, 得
2ln ln(1)p x c =++
即
2
(1)p y c x 1='=+ 其中 1c
c e =±
由条件
03x y ='=
得
13c =
所以
2)y x '=3(1+
两边再积分, 得
323y x x c =++
又由条件
01x y ==，
得
21c =
于是所求的特解为
331y x x =++
三、形如
(,y f y y ''=') （6.9） 的微分方程
形如（6.9）式的微分方程的特点是等式右边没有自变量x ，若设y p '= 则有
dy
dp
p dx dy dy dp dx dp y =?==
''. 方程（6.9）化为
),(p y f dy
dp
p
=. 这是一个关于自变量为y ，未知函数()p p y =的一阶微分方程。若得到()p p y =的表达式，则可以利用分离变量法，求出()y y x =的表达式。
【例题4】
求微分方程2
0yy y ''-'=的通解.
解 设y p '=，则dy
dp
p y ='', 代入方程, 得
02
=-p dy
dp yp
.
在0y ≠，0p ≠时, 约去p 并分离变量, 得
y
dy p dp =. 两边积分得
ln ln ln p y c =+
整理得
p cy =
即
y cy '= .
分离变量后两边积分, 便得原方程的通解为
1ln ln y cx c =+
即
2c x y ce =
其中c ，2c 为任意实数
§6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 形如
()()()y p x y q x y f x ''+'+= (6.10) 的二阶微分方程,称为二阶线性微分方程,其中(),(),()p x q x f x 都是x 的已知函数. （1） 当()0f x =时,方程
()()0y p x y q x y ''+'+= (6.11) 称为二阶线性齐次微分方程;
（2）当()0f x ≠时,方程（6.10）称为二阶线性非齐次微分方程.
本节我们主要介绍二阶常系数线性齐次方程的通解形式,关于其它形式的二阶方程，由于求解较为繁难,我们在此不涉及.
一、二阶线性齐次微分方程解的结构 二阶线性齐次微分方程解的结构有如下定理.
定理 6.1 若1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个解,12,c c 是任意常数,则1122()()=+y c y x c y x 也是方程(6.11)的解.
证明 根据定理,假设有 111()()0y p x y q x y ''+'+=, 222()()0y p x y q x y ''+'+=. 分别用12,C C 乘上面两式并相加,得
''11112222[()()][()()]0+'++''+'+=c y p x y q x y c y p x y q x y
即 112211221122[]()[]()[]0+''++'++=c y c y p x c y c y q x c y c y 这就是说, 1122()()=+y c y x c y x 是方程()()0''+
'+=y p x y q x y 的解.
从形式上看,1122()()=+y c y x c y x 中包含两个任意常数,而方程()()0y p x y q x y ''+'+=又是二阶的,那么,它是否就是该方程的通解呢?我们的回答是不一定.这还要看这两个任意常数能否合并成一个任意常数.
例如,假设12,3y x y x ==是某个齐次微分方程的两个解,则
1122123+=+=c y c y c x c x cx
也是齐次方程的一个解,但是由于两个常数合并成了一个任意常数,它就不能构成通解了.
一般地,设12,y y 是两个函数,若
1
2
y k y =，
（k 为非零常数），则称1y 与2y 是线性相关的;若
1
2
y k y ≠则称1y 与2y 是线性无关的.因此我们有如下定理. 定理6.2 如果1()y x 与2()y x 是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个线性无关的特解,则
1122()()y C y x C y x =+就是所求方程(6.11)的通解.
例如,可以验证
1x y e -=与2x y xe -=都是二阶线性齐次微分方程20y y y ''+'+=的
解,且
1
2
y x y =不为常数,即1x y e -=与2x y xe -=线性无关,所以1y 与2y 的线性组合12x x y C e C xe --=+就是方程20y y y ''+'+=的通解.
二、二阶常系数线性齐次微分方程的通解表示
由定理6.2可知,求方程(6.10)通解的关键在于找出它的两个线性无关的解1y 与2y . 而方程(6.11)可以看出,,,y y y '''必须是同类型的函数才可能使等式右端等于零,又指数函
数rx y e =（r 为常数）的各阶导数正好具有这种特性,因此,它有可能是微分方程的解.
将'''2,,rx rx rx y e y re y r e ===代入微分方程(6.11),得
2()0,rx e r pr q ++=
而0rx
e ≠，因此有
20r pr q ++= (6.12) 由此可见,只要r 是代数方程(6.12)的一个根, rx
e 就是微分方程(6.11)的一个解,从而求微分方程的解就转化为求代数方程的解.代数方程(6.12)称为微分方程(6.11)的特征方程,特征方程的两个根叫做特征根.
求解特征方程会出现三种情况:
(1) 当240p q ->时,12r r ≠,是不相等的两个实根: (2) 当240p q -=时,12r r =,是相等的两个实根:
(3) 当240p q -<时,12,r a bi r a bi =+=-,是一对共轭复根 根据特征根的三种不同情况,我们讨论常系数齐次微分方程(6.10)的通解.
1) 12r r ≠
因为1212,r x
r x
y e y e ==是方程的两个特解,且线性无关,所以微分方程的通解是
1212r x r x y C e C e =+.
【例题5】
求微分方程320y y y ''+'+=的通解.
解 特征方程为
2320r r ++=
即
(2)(1)0r r ++=
特征根为
122,1,r r =-=-
微分方程对应的两个解为
212,x x y e y e --==且1y 与2y 线性无关,
因此 所求微分方程的通解为
212x x y C e C e --=+.
2) 12r r =
因为12r r =,常系数齐次微分方程只有一个特解11r x
y e =,因此要求出通解就需要寻找一个与1y 线性无关的特解2y ,为此我们设122
1()r x y y u x y e
==（()u x 不是常数）,即12()r x y u x e =,求导后代入微分方程(6.11),整理得
1112111()()(2)()()0.r x r x r x r pr q u x e r p u x e u x e ++++'+''=
因为1r 是特征方程的重根,所以
21110,20,r pr q r p ++=+=
于是上式可化成
''()0u x =.
满足上式的函数有很多,我们只需要取最简单的一个
()u x x =,
此时得到另一个与11r x y e =线性无关的特解22r x y xe =.为方便,设12r r r ==,则方程(6.11)的通解为
12()=+rx y c c x e 【例题6】
求微分方程为690y y y ''-'+=满足初始条件0
1,0x x y
y ==='
=的特解.
解 特征方程为
2690r r -+=
解得特征根为
123,r r ==
所以微分方程的通解为
312()x y C C x e =+.
代入初始条件
1,0x x y
y ==='
=,
得
121,3,C C ==-
所以所求微分方程的特解为
3(13)x y x e =-.
3) 12,r a bi r a bi =+=-是一对共轭复根
当微分方程的特征方程无实数根时，必定有两个不等的复数根。设1=+r a bi 与2=-r a bi 是一对共轭复根,则()()12,a bi x
a bi x y e y e +-==是常系数微分方程的两个线性无关的特解,于
是
()()12a bi x a bi x y C e C e +-=+
是微分方程的通解.这里我们得到的是微分方程的复数形式解,不便于应用,为了得到实数形式的通解,利用欧拉公式()
()+=+a bi ax e
e cosbx i sinbx ,可得出： 12cos ,sin ax ax t e bx t e bx ==
是微分方程的两个实数形式的解,因此微分方程的通解为
12(cos sin ).=+ax y e c bx c bx
【例题7】
求微分方程250y y y ''+'+=的通解.
解 特征方程为
2250r r ++=,
有共轭复根
1,212r i =-±.
所以方程通解为
12(cos2sin 2).x y e C x C x -=+
【例题8】
求微分方程40y y ''+=满足0
1,1x x y
y ==='
=的特解.
解 微分方程的特征方程为
2410r +=
特征根为
1,21
2
r i =±
所以 微分方程的通解为
1211
cos sin 22
y C x C x =+．
代入初始条件 0|1x y ==,0|1x y ='=, 得
11C =,22C =．
因此所求微分方程的特解为
11
cos
2sin 22
y x x =+． 综上所述,求二阶线性常系数齐次微分方程的通解时,不需要进行积分运算,只要求出特解方程的特解根,就可按下表6-1写出微分方程的通解． 表6-1
特 征 根 通 解 12r r ≠ 12(,r r 为实根）
1212r x r x y C e C e =+
12r r r ==
12()rx y C C e =+
1r a bi ==,2r a bi =-
12(cos sin )ax y e C bx C bx =+
二阶微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为
常微分方程的实际应用 于萍 摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用
Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
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二阶微分方程 1 可降阶的二阶微分方程 一、 形如 ()y f x ''= （6.7） 型的微分方程 形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。 【例题1】 求微分方程21sin 2 x y e x ''=- 的通解. 解 对所给方程接连积分二次, 得 211cos 4 x y e x C '=++, 21211sin 82 x y e x C x C =+++, 这就是方程的通解. 【例题2】 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律. 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为 )(22t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而 )1()(0T t F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为 )1(022T t m F dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0 ==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得 120)2(C T t t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得 21320)621(C t C T t t m F x ++-=. 由初始条件x|t =0=0, 0|0 ==t dt dx , 得
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
偏微分方程在生物学上的应用 刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用 在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。 下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
二阶常微分方程解
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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其
22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微
第四节 微分方程在经济学中的应用 微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用． 一、 供需均衡的价格调整模型 在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为 S =a 1+b 1P , D =a -bP , 其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格． 供需均衡的静态模型为 ?? ???=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D 显然，静态模型的均衡价格为 P e =1 1b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ??? ????-=+=-=)].()([), (),(11P S P D k t P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得 t P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为 P (t )=P e +C e -λt ． 假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为 P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ， 由于λ＞0，故 lim ()t P t →+∞=P e ． 这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ． 二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型
二阶常微分方程的降 阶解法
郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号
二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式
Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times
微分方程在大学物理中的应用 一．质点运动学和牛顿运定律中的运用 1.质点运动：a=dV/dt “dV/dt”是“速度随时间的变化率”-----就是加速度。（微分、又称“速度V的导数”） 写成表达式：a=dV/dt---------(1) X表示位移，“dX/dt”就是“位移随时间的变化率”-----就是速度。 写成表达式：V=dX/dt---------(2) 把（1）代入(2)得：a=(d^2 X)/(dt^2)-------这就是“位移对时间”的“二阶导数”。 实际上，(d^2 v)/(dt^2)就是“dv/dt （加速度）”对时间再次“求导”的结果。 d(dV/dt)/dt 就是把“dV/dt”再次对时间求导。-------也可以说成是“速度V对时间t的二阶导数”。 典型运用：圆周运动向心加速度公式推导（微分思想） 2.牛顿第二定律：F=d p/dt=d(m v)/dt=md v/dt=ma 动量为p的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率应当等于物体的合外力。 典型运用：自由落体运动公式的推导 f=d(mv)/dt,得mg=mdv/dt,得g=dv/dt=ds^2/d^2t,求s t关系用右边的，把下面的分母乘过去，积分两次，就得到0.5gt^2=s; 例题：一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=-ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假设振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式。 3.简谐运动（单摆复摆问题）：弹簧振子的运动为例，
回复力：F= -kx 加速度：a=F/m=-kx/m 对于给定的弹簧振子有w^2=k/m 则有a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x 其解为x=Acos(wt+h) 然后v=dx/dt,a=dv/dt推导出相应公式。(物理书上原文) 下面我们求一下a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x的解。 还有在动量守恒定律、能量守恒定律以及刚体转动中等各个反面的运用。
一、一阶微分方程 1. 线性齐次方程 'y ()0p x y += ①分离变量法求解 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -?= 2. 线性非齐次方程 'y ()()p x y g x += ①常数变易法 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -??=+? 线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。 3. Bernoulli 方程 '()()y p x y g x y α+= （1）0α=时，该方程为线性非齐次方程 （2）1α=时，该方程为线性齐次方程 （3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为 (1)()(1)()dz p x z g x dx αα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程 2()()()dy p x y q x y f x dx =++ Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。 （1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。 （2）当()0p x ≡时，是线性方程。 （3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.
2011年 6月 第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版 Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011 Vol．25No．2Sum No．84 [收稿日期 ]2010－09－20 [作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。 二阶常系数线性非齐次微分方程 特解简易求法 王海菊 (北京联合大学基础部 , 北京 100101 [摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。本文 在不脱离教材特解的求法 , 利用推导特解过程中出现的重要式子 Q?(x +(2λ+p Q' (x +(λ2 +p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。 [关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8 [文献标志码 ]A
[文章编号 ]1005- 0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients WANG Hai-ju (Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing 100101, China Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified． Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars 0引言 一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 y? +py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1] , 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式 [2-3] , 又很难记住公式。采取以下方法减少运算量 , 又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项 f (x 主要有两种类型 :
应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 ; 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f = ，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01 x x x ??。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 ' 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记