高数常系数非齐次线性微分方程

x
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
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第二步 求如下两方程的特解 ( i ) x y p y q y Pm ( x) e
比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 b1 1 3 因此所给方程的特解为 y* x 1 3
提示 [ b 3 x0 b 3 ]2[b0xb1]3[b0xb1]2b03b0x3b1 0b 1 2b 3 b1 3b1 30 b 2 b1 0x 0
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二、
f ( x) e
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
分析思路:
第一步将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm ( x) e ( i ) x


Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y*
y1
Qm (cos x i sin x) ~ k x x e Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得 (3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0 于是求得一个特解
第八节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e
x
Pm ( x) 型
二、 f ( x) e [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x ) sin x ] 型
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x
二阶常系数线性非齐次微分方程 : y p y q y f ( x) ( p, q 为常数)
①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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x f ( x ) e Pm ( x) 型 一、
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x ) 为待定多项式 ,
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解: ~ k x y* x e Rm cos x Rm sin x
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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例4. 的一个特解 . ~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 2 特征方程 r 1 0
等式两边取共轭 : y1 p y1 q y1 Pm ( x) e ( i ) x
这说明 y1 为方程
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③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 ~ x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 原方程 y p y q y e
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
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第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
i x i x i x i x e e e e ~ f ( x) e Pl ( x) Pn ( x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 令 m max n , l , 则
代入方程 从而确定特解.
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y x Qm x e 0, 若不是特征根 k 1, 若 是特征单根 2, 若 是特征重根
* k
x
y py qy e Pm ( x)
x
即可确定系数：
b0 , b1 ,, bm 1 , bm ,
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
比较系数得
1 a b 0 2a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
y e x x e x
故原方程为
x x Y C e C e 对应齐次方程通解: 1 2
原方程通解为
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y C1 e C 2 e
x
x
xe
x
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Q ( x)
( p q ) Q ( x) Pm ( x)
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y * x Q ( x ) e 则 Q ( x) m
时可设特解为
y* (a x b) cos 2 x (c x d ) sin 2 x k e 2 x
提示:
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
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x 2. 求微分方程 y 4 y 4 y e 的通解 (其中
为实数 ) . 解: 特征方程 r 2 4 r 4 0 , 特征根: r1 r2 2 对应齐次方程通解:
2 时, 令 y A e x , 代入原方程得 A
故原方程通解为
1 ( 2 )
2
,
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2 时, 令 y B x 2 e x , 代入原方程得 B 1 , 2
y1 y1
y




y1
y1
y*
~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , R m
多项式 .
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小 结:
对非齐次方程 ~ y p y q y e x Pl ( x) cos x P n ( x) sin x
x y* e [ Q ( x) Q ( x) ]
y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 y p y q y f ( x) Q (x ) x 为 m 次待定系数多项式 2 从而得到特解 e [ Q ( x) ( 2 p ) Q ( x) ( p q ) Q ( x) ] x 形式为 y* e Qm ( x) . x e Pm ( x)
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
~ [ R ( x ) cos x R y* x e m m ( x ) sin x ]
k
x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
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内容小结
1. y p y q y Pm ( x) e x
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
y* x k Qm ( x) e x ~ x 2. y p y q y e [ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x]
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
所求通解为
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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特解的形式为
其中Qm x 为待定多项式,即 m m 1 Qm ( x) b0 x b1 x bm1 x bm 将 y x k (b x m b x m1 b x b )e x 0 1 m 1 m
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例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 因此所给方程的通解为 y C1e2x C2e3x 1 (x2 2x)e2x 2 提示 2b01 2b0b10 5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x 齐次方程 y
② ③
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
特解: 故
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
y1 x k Qm ( x) e ( i ) x (Qm ( x) 为m 次多项式) ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x
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Qm ei x Qm e i x x k e x Qm (cos x i sin x)
x e
y1 k x
第四步 分析 y 的特点

y

x e
因
y1 y1 k x
y1
y1
~ Rm cos x Rm sin x
故原方程通解为
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x 3. 已知二阶常微分方程 y a y b y c e 有特解
y e (1 x e ), 求微分方程的通解 .
2x
x
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) e x (2 a) e x (1 a b) x e x c e x