人教版选修2-3二项式定理练习题及答案

选修2-3二项式定理专题自测试题

【梳理自测】

一、二项式定理及特点

1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10

3．(教材改编)二项式⎝

⎛⎭⎪⎫x 3－1x 25

的展开式中的常数项为( )

A ．10

B ．－10

C ．－14

D ．14

答案：1.B 2.B 3.A

◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理

(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．

其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．

式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r

. (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1.

②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n

n . 二、二项式系数的性质

1．若⎝

⎛

⎭⎪⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数

之和为( )

A.132

B.164

C ．－164 D.1128

2．若⎝

⎛

⎭⎪⎫3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数

为( )

A ．－5

B ．5

C ．－405

D ．405 答案：1.B 2.C

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －r

n (r ＝

0,1，…，n )

(2)增减性与最大值：

二项式系数C k n ，当k ＜

n ＋12

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半

部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n

2

n 取得最大值；当n 是奇数时，

中间两项C n －12n ，C n ＋1

2

n 取得最大值．

(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1

n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2

n －1

. 【指点迷津】

1．一个防范

运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a

n －r b r

，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．

2．一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．

3．两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．

考向一 二项展开式中的特定项或系数

例题1 (1)(2013·高考安徽卷)若⎝

⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.

(2)(2013·高考江西卷)⎝

⎛⎭⎪⎫

x 2－2x 35展开式中的常数项为( )

A ．80

B ．－80

C ．40

D ．－40 【审题视点】 根据二项展开式的通项公式，令x 的次数为4，则为x 4的项，含x 的次数为0，则为常数项．

【典例精讲】 (1)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4， ∴C 38a 3

＝7，∴a ＝12

.

(2)设展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2x 3r ＝C r 5·x

10－2r

·(－

2)r·x－3r＝C r5·(－2)r·x10－5r.若第r＋1项为常数项，则10－5r＝0，得r＝2，即常数项T3＝C25(－2)2＝40.

【答案】(1)1

2

(2)C

【类题通法】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

变式训练

1．(2014·浙江省温州市调研)(x－

1

2x

)6的展开式中的常数项是________．

解析：二项式(x－

1

2x

)6的展开式的通项公式为T r＋1＝C r6(x)6－r(－

1

2x

)r＝(－

1 2)r C r

6

x3－

3r

2

，

∴当r＝2时，T r＋1是常数项，此时T3＝

15

4

.

答案：

15

4

考向二二项展开式的系数和问题

例题2 在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和．

【审题视点】分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值．【典例精讲】设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数

和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a

3

＋a5＋…＋a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

(1)二项式系数的和为

C0 10＋C1

10

＋…＋C10

10

＝210.

(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇数项的二项式系数和为

C0 10＋C2

10

＋…＋C10

10

＝29，

偶数项的二项式系数和为

C1 10＋C3

10

＋…＋C9

10

＝29.

(4)令x＝y＝1，得到

a

＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

∴奇数项的系数和为1＋510 2

；